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* Meta-Infos

Übungen flexibel

** Skript

myfsr.de

- Skripte

- ganz unten

- Typos und Fehler gerne und bitte an Benedikt Bartsch. E-Mail-Adresse siehe:

 - https://myfsr.de/dokuwiki/doku.php?id=fsr:mitglieder

** Forum

physik.protagon.space

** Literatur

Walschap: Metric Structures in Differential Geometry

Spivac: Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. I

Ben Andrews: Lectures on Differential Geometry

math-people.anu.edu.au/~andrews/DG

* Begriff Differentialgeometrie

Sie studiert Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten ist die Abstraktion einer (Hyper-)Fläche in $\mathbb R^n$, $n\in \mathbb N$.

TODO Bildchen 1

TODO Bildchen 2

Auf $U\cap V$ haben wir zwei Abbildungen:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
                                                                            & U\cap V \arrow[ld, "X"'] \arrow[rd, "Y"] &                                                 \\
\underbrace{X(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2} \arrow[rr, "Y\circ X^{-1}"] &                                          & \underbrace{Y(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2}
\end{tikzcd}
\end{center}

Problem: bekannte Dinge aus der Analysis hängen meist von Koordinatensystemen ab.

Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig?

* Tangentialvektoren in $\mathbb R^n$

** Notation

- $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen
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- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
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- $f\colon U\to V$
 - $$
     D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix}
   $$
 - $$
     Df = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right]\in M_{m\times n}(C^\infty(U))
   $$

TODO Bildchen 3

naive Vorstellung: ein Tangentialvektor an $p\in \mathbb R^n$ ist ein (gewähltes) Element $\xi \in\mathbb R^n$

Alle möglichen Tangentialvektoren an allen Punkten sind dann identifiziert mit

$$
  T\mathbb R^n := \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (p, \xi)
$$

$\leftarrow$ Koordinatentransformation ändert Einträge

Basiswechselmatrix:

$$
\begin{blockarray}{ccc}
\begin{block}{[ccc]}
  \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \\
  -\frac12 & \frac{\sqrt 3}{2} \\
\end{block}
\uparrow & \uparrow  \\
f_1 & f_2  \\
\end{blockarray}
$$

(in $E$-Koordinatensystem)

$\Rightarrow$

$$
  (B^{-1} \cdot p, B^{-1}\cdot \xi) = (p', \xi')
$$

$\leftarrow$ Koordinaten von $(p, \xi)$ in $\mathcal F$-Koordinatensystem.

TODO Bildchen 4

$$
  (p, \xi) \in T\mathbb R^n, \quad \varphi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R
$$

Richtungsableitung

$$
  \underbrace{\partial_{\xi}\varphi}_{\text{Richtungsableitung}} := \underbrace{D_p \varphi}_{\text{Zeile}} \cdot \underbrace{\xi}_{\text{Spalte}} = D_p\varphi(\xi)\in \mathbb R
$$

Idee: benutze das als Definition
 - „ein Tangentialvektor ist das, was Funktionen ableitet“
 - „Tangentialvektor = Richtungsableitung“

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Sei $(p, \xi) \in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$ ein (in Koordinaten darstellbarer) Tangentialvektor

TODO Bildchen 5

$$
  \partial_{(\varphi, \xi)} \varphi &:=& D_p\varphi(\xi)
  \\&=& \sum_{i=1}^n \xi^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
  \\&=&\left( \sum_{i=1}^n \xi^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p \right)(\varphi)
$$

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* Definition: Derivation
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Sei $p\in \mathbb R^n$. Eine Derivation an $p$ ist $\partial \colon C^\infty(\mathbb R^n)\xrightarrow{\text{linear}} \mathbb R$ mit

$$
  \partial (\varphi\cdot\psi) = \partial \varphi \cdot \psi(p) + \partial \psi \cdot \varphi(p)
$$

* Beispiel

$\forall (p, \xi)\in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$, $\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi)}(\cdot)$ ist Derivation an $p$.

* Proposition

$\forall \partial \colon C^\infty(\mathbb R^n) \to \mathbb R$ Derivation in $p$: $\exists! \xi\in \mathbb R^n : \partial = \partial_{(p, \xi)}$

Beweis:

Seien $x^i \colon \R^n \to \R : (x^1, \ldots, x^n) \mapsto x^i$ Koordinatenabbildungen / Projektionen. Setze:

$$
  \xi_i := \partial (x^i)\in \R
$$

Zu zeigen:

$$
  \partial = \partial_{\left(p, \left( \begin{matrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{matrix} \right) \right)}
$$

Trick:

ein $\varphi \in C^\infty (\mathbb R^n)$ kann mit $\varphi_i(x)\in C^\infty(\R^n)$ sowie:

$$
  \varphi(x) = \varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x) (x^i - p^i) \quad \text{fast Taylor}
$$

Beweis des Tricks:

$$
  \varphi (x) - \varphi(p) &=& \int_0^1 \frac{\partial \varphi(p+t(x-p))}{\partial t} \diffd t
  \\ &\overset{\text{Kettenregel + Skalarprodukt ausmultiplizieren }}=&
    \sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} (p+t(x-p))\cdot (x^i - p^i)\intd t
  \\&=&\sum_{i=1}^n (x^i-p^i) \underbrace{\int_0^1 \frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(p+t(x-p))\intd t}_{=: \varphi_i(x)}
$$

$$
  \partial (1) = \partial (1\cdot 1) \overset{\text{Leibnitz}}= \partial (1) + \partial (1) \Rightarrow \partial (1) = 0
$$

$$
  \partial (\varphi) &=& \partial \left(\varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x)\cdot(x^i - p^i)\right)
  \\&\overset{\text{Leibnitz, Linearität}}=& \sum_{i=1}^n \left( \partial (\varphi_i)(\underbrace{p^i -p^i}_{=0}) + \underbrace{\varphi_i(p) \partial (x^i}_{\xi_i} \underbrace{- p^i)}_{\text{konstant}} \right)
  \\&=&\sum_{i=1}^n \varphi_i(p) \xi_i
  \\&=& \sum_{i=1}^n \xi_i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
$$


Eindeutigkeit folgt aus der Linearität der Derivation:

$$
  &&\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi')}
  \\&\Rightarrow& \partial_{(p, \xi -\xi')} = 0
  \\&\Rightarrow&\forall i\in \mathbb N_{\leqslant n} : \xi^i - \xi^i = 0 (= \partial_{(p, \xi-\xi')}(x^i))
$$

$\square$

Fazit: Tangentialvektoren an $p\in \R^n\mathrel{\hat=}$ Derivation an $p$

* Definition: Tangentialraum

$$
  T_p\mathbb R^n := \{ \partial \colon C^\infty (\R^n) \to \R\ |\ \partial \text{ Derivation} \}
$$

** Bemerkung

 - Vektorraum, da Derivationen VR bilden
 - Beweis der Proposition liefert:
 $$
   T_p\R^n \cong \R^n, \quad \partial_{(p, \xi)} \mapsfrom\xi
 $$
 - $\dim (T_p\R^n)=n$

* Frage

Sei $p\in U\in \mathcal O(\R^n) \leftarrow \text{offenen Mengen}$. Was ist folgende Menge?
$$
  T_p U := \{ \partial \colon C^\infty (U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation} \}
$$

* Behauptung/Intuition

Es gilt:

$$
  T_p U \cong T_p\mathbb R^n
$$

Beweis:

Definiere die duale Abbildung:

$$
  \varepsilon^* \colon
  \begin{cases}
    T_pU &\to T_p\R^n
    \\ \partial &\mapsto
      \begin{cases}
        C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
        \\ \varphi &\mapsto \partial (\varphi|_U)
      \end{cases}
  \end{cases}
$$

Zeige, dass $\varepsilon^*$ ein Isomophismus ist.

Sei

$$
  \varepsilon \colon
  \begin{cases}
    C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
    \\ \varphi &\mapsto \varphi|_U
  \end{cases}
$$

$\varepsilon^*$ ist surjektiv:

Sei $\xi\in \R^n$, $\partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. $\varepsilon^* (\underbrace{\partial_{(p, \xi)} }_{\in T_pU}) = \partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. Surjektivität ist relativ klar. Gibt es einen Unterschied zwischen $\partial_{(p, \xi)} \in T_pU$ und $\partial_{(p, \xi)} \in T_p\R^n$?

$\varepsilon^*$ ist injektiv:

$$
  &\Leftrightarrow& \ker(\varepsilon^*) = \{0\}
  \\ &\Leftrightarrow& \forall \partial \in \ker(\varepsilon^*) : \partial = 0
$$

Sei $\partial \in \ker(\varepsilon^*)$. Dann gilt für $\partial$:

$$
  &&\partial \in \ker(\varepsilon^*)
  \\&\Leftrightarrow& \varepsilon^*(\partial) = 0
  \\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varphi|_U)) = 0
  \\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varepsilon (\varphi))) = 0
  \\&\Leftrightarrow& \partial \circ \varepsilon = 0
  \\&\Leftrightarrow& \forall \varphi \in C^\infty (\R^n): \partial (\varphi|_U) = 0
$$

Es bleibt noch zu zeigen, dass:

$$
  \forall \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\mathbb R^n) : \partial (\psi) = \partial (\varphi|_U)
$$

denn dann:

$$
  \partial (\psi) = \partial (\varphi|_U) = 0
$$

Sei $\psi\in C^\infty(U)$. Sei

$$
  \chi(x) :=
  \begin{cases}
    0, & |x| \geqslant 1
    \\ \exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right), & |x| < 1
  \end{cases}
  \quad \in C^\infty(\R^n)
$$

TODO Bildchen 6

die Hügelfunktion und

$$
  \varrho (x) :=\frac{\int_{-\infty}^x \chi(t) \intd t}{\int_{-\infty}^\infty \chi(t) \intd t}
$$

die Hangfunktion

TODO Bildchen 7

$U$ offen $\Rightarrow \exists r>0 : B(p, 5 \cdot r) \subseteq U$. Sei:

$$
  \tilde\varrho \colon
  \begin{cases}
    \R^n &\to \R
    \\ x &\mapsto
    \begin{cases}
      \varrho \left(3 - \frac{|x-p|}{r} \right), & x\in U
      \\ 0, & \text{sonst}
    \end{cases}
    \quad \in C^\infty (\R^n, \R)
  \end{cases}
$$

$\exists p\in V\subset U:$

$$
  \tilde\varrho &=& 1 \quad \text{auf } V
  \\ \tilde\varrho &=& 0 \quad \text{auf } \R^n\setminus U
$$

TOOD Bildchen 8

Konstruiere $\varphi$:

$$
  \varphi(x) :=
  \begin{cases}
    \psi(x)\cdot \tilde\varrho(x) & x\in U
    \\ 0 & \text{sonst}
  \end{cases}
$$

Jetzt gilt:

$$
  \partial (\varphi|_U) &=&\partial ((\tilde\varrho \cdot \psi)|_U)
  \\&=&\partial (\tilde\varrho|_U \cdot \psi)
  \\&=& \underbrace{\tilde\varrho|_U(p)}_{=1} \cdot \partial(\psi) + \underbrace{\partial (\tilde\varrho|_U)}_{\overset{(*)}=0} \cdot \psi(p)
$$

Beweis von $(*)$:

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Konstruiere $\rho \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\rho = 0$ auf $U\setminus V$ und $\rho(p) = 1$. Es gilt $\rho(1-\tilde \varrho) = 0$.
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TODO Bildchen 9

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Daraus Folgt: $(\rho := \rho|_U)$
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  0 &=& \partial (\rho (1-\tilde \varrho))
  \\&=& \partial (\rho - \rho \tilde \varrho)
  \\&=& \partial (\rho) - \partial (\rho\tilde \varrho)
  \\&=& \partial(\rho) - \underbrace{\rho(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\rho)
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  \\&=& -\partial (\tilde \varrho)
$$

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Wiederholung letztes mal:

Sei $p\in \R^n$, $T_p\R^n=\{ \partial \colon C^\infty \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p \}$. Das heißt:

 1. $\partial$ linear
 2. $\partial(f\cdot g) = f(p) \cdot \partial(g) + g(p)\cdot \partial(f)$

$U\subseteq \R^n$ offen, $p\in U$

$$
  T_pU = \{ \partial \colon C^\infty(U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p\}
$$

$\varepsilon \colon C^\infty(\R^n) \to C^\infty(U)$ Einschränkungsabbildung

$\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n : \partial \mapsto \partial \circ \varepsilon$ duale Abbildung. letztes mal: $\varepsilon^*$ surjektiv. Für Injektivität: Es reicht zu zeigen:

$$
  \forall \partial \in T_pU, \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\R^n)
$$

mit $\partial(\psi) = \partial(\varphi|_U)$. Dazu $\varrho\in C^\infty(\R)$, $\varrho(x)\geqslant 0\forall x\in\R$:
$$
  \varrho|_{(-\infty, -1]}=0, \quad \varrho|_{[1,+\infty)}=1
$$

TODO Bildchen 10

NEU: (Alternativ Beweis zum letzten Beweis):

Zudem sei $\sqrt{\varrho}\in C^\infty(\R)$, $\sqrt{1-p}\in C^\infty(\R)$. (das kriegt man wenn man statt $\varrho$, $\varrho^2$ nimmt oder mit Taylor)

Dann: $\exists r>0$ so dass $B(p, 5r)\subseteq U$, $B_{5r}(p)$

$$
  \tilde\varrho(x) = \begin{cases} \varrho\left( 3 -\frac{|x-p|}{r} \right) & x\in U \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}
$$

Wir wollen zeigen: $\partial (\tilde\varrho)=0$, $[\varphi = \tilde\varrho \cdot \psi \text{ erfüllt dann das Gewünschte}]$

$$
  \partial(\tilde \varrho) &=& \partial \left( {\sqrt{\tilde p}}^2 \right)
  \\ &=& \partial \left( \sqrt{\tilde \varrho} \cdot \sqrt{\tilde \varrho} \right)
  \\ &=& \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1} \cdot \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) + \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) \cdot  \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1}
  \\ &=& 2 \partial \left(\sqrt{\tilde p}\right)
$$

$$
  0-\partial (\tilde \varrho) &=& \partial(1) - \partial (\tilde \varrho)
  \\&=& \partial (1-\tilde \varrho)
  \\&=& \partial({\sqrt{1-\tilde \varrho}}^2)
  \\&=& 2 \sqrt{ \smash{\underbrace{1-\tilde \varrho(p)}_{=0}} \vphantom{1-\tilde \varrho(p)} }\partial (\sqrt{1-\tilde\varrho})
  \\&=& 0
$$

Fazit: $\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n$ ist ein Homomorpismus. „Tangentialraum ist lokal, sieht nicht was weit entfernt ist“

In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt.

Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)

* Definition: Pullback-Abbildung

Die Pullback-Abbildung zu $f$ ist

$$
  f^* \colon C^\infty(V) \to C^\infty(U) : \varphi \mapsto \varphi \circ f
$$

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  V \arrow[r, "\varphi"]                                      & \mathbb R \\
  U \arrow[u, "f"] \arrow[ru, "f^*(\varphi)=\varphi\circ f"'] &
  \end{tikzcd}
\end{center}

Beobachtung: $f^*$ ist Algebrenhomorphismus ($=$ ist linear und respektiert Produkte)

* Definition: Differential

Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt). Sei $p\in U$. Das Differential von $f$ an $p$ ist die Abbildung

$$
  \Diff_pf\colon
  \begin{cases}
    T_pU &\to T_{f(p)}V
    \\ \partial &\mapsto \partial \circ f^*
  \end{cases}
$$

das heißt:

$$
  [(\Diff_pf)(\partial)](\varphi) = \partial(\varphi\circ f) = \partial (f^*\varphi)
$$

Das Differential bildet Derivationen auf Derivationen ab. Zeige die Wohldefiniertheit:

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  C^\infty(V) \arrow[r, "f^*"] \arrow[rrd, "(\Diff_pf)(\partial)"'] & C^\infty(U) \arrow[rd, "\partial"] &           \\
                                                                &                                    & \mathbb R
  \end{tikzcd}
\end{center}

$(\Diff_pf)(\partial)$ ist linear, da Komposition linearer Abbildung.
Leibnitz Regel:

$$
  [(\Diff_pf)(\partial)](\varphi\cdot \psi)
  &=& \partial(f^*(\varphi \cdot \psi))
  \\&=& \partial((\varphi \cdot \psi)\circ f)
  \\&=& \partial((\varphi\circ f) \cdot (\psi \circ f) )
  \\&=& \partial((f^*\varphi) \cdot (f^*\psi))
  \\&=& (f^*\varphi)(p) \cdot \partial(f^*\psi) + (f^*\psi)(p) \cdot \partial(f^*\varphi)
  \\&=&\varphi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\psi) + \psi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\varphi)
$$

Vergleiche mit Definition aus Analysis:

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] &  &  &  & \mathbb R^m                             \\
  T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"']                                                                                                                   &  &  &  & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] \\
  T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"]                                                                                                              &  &  &  & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']
  \end{tikzcd}
\end{center}

Es gilt für $\varphi\colon V\to\R$ glatt:

$$
  \R\ni\left( \left(\Diff_p f\right) \left[\left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}\right] \right) [\varphi]
  &=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}(f^* \varphi)
  \\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)
  \\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)_1
  \\&\overset{\text{Kettenregel}}=& \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_1}\right|_{f(p)} & \hdots & \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_m}\right|_{f(p)}\end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_j}\right|_{p} \\ \vdots \\ \left.\frac{\partial f_m}{\partial x_j}\right|_{p}\end{pmatrix}
  \\&=& \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p
  \\&=& \left(\sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\right)[\varphi]
$$

Das Diagramm wird mit den vorher konstruierten Isomophismen kommutativ.

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  U\subseteq \mathbb R^n \arrow[rrrrrr, "f"]                                &                                                                                                                                                       &  &   &  &                                         & V\subseteq \mathbb R^m                                                                                                                            \\
  e_j \arrow[dd, maps to] \arrow[rrrrrr, maps to]                           &                                                                                                                                                       &  &   &  &                                         & \left(\begin{matrix}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_1}\right|_p\\\vdots\\\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_m}\right|_p\end{matrix}\right) \\
                                                                            & \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] &  &   &  & \mathbb R^m                             &                                                                                                                                                   \\
  {\partial_{(p,e_j)}} \arrow[d, maps to]                                   & T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"']                                                                                                                   &  & ! &  & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu]                          \\
  {\varepsilon^*\left(\partial_{(p,e_j))}\right)} \arrow[rd, "="', no head] & T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"]                                                                                                              &  &   &  & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']           &                                                                                                                                                   \\
                                                                            & \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_p \arrow[rrrrr, maps to]                                                                            &  &   &  &                                         & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu, maps to]
  \end{tikzcd}
\end{center}

Das Differential aus der Analysis (Matrize) ist der Koordinatenausdruck von unserem Differential (Element eines Vektorraums).

$$
  \sum_{i=1}^m \underbrace{\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p}_{\text{Koordinate } \in \R} \cdot \underbrace{\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}}_{\text{Element aus Basis} }
$$

* Kettenregel

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  U \arrow[r, "f"] & V \arrow[r, "g"] & W \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
  \end{tikzcd}
\end{center}

$$
  \Diff_p(g\circ f) = \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f
$$

Beweis:

$$
  \left( \left( \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f \right) (\partial) \right)[\varphi]
  &=& \left( \left( D_{f(p)}g \right) \left[ \left( D_pf \right) (\partial) \right] \right)[\varphi]
  \\&=&[(\Diff_p f)(\partial)] (\varphi\circ g)
  \\&=& \partial((\varphi\circ g)\circ f)
  \\&=& \partial(\varphi\circ(g\circ f))
  \\&=& \left[ \left( D_p (g\circ f) \right)(\partial) \right](\varphi)
$$

* Interpretation von Tangentialvektoren als „Geschwindigkeitsvektor“

Sei $\gamma\colon I\subseteq\R \to \R^n$ eine glatte Kurve, $I$ ein Intervall, $p=\gamma(t_0)\in \R^n$

TODO Bildchen 11

Es wäre $\Diff_{t_0} \gamma\colon T_{t_0}\R^1 \to T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Es soll gelten $\dot\gamma(t_0)\in T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Definiere deshalb:

$$
  \dot\gamma(t_0) := \left( D_{t_0}\gamma \right) \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)
$$

Übung: Es gilt:

$$
  \{ \dot\gamma(t_0)\ |\ \gamma\colon I \subseteq R \text{ glatte Kurve mit } \gamma(t_0) = p \} = T_p\R^n
$$

* Satz über (inverse) implizite Funktionen

Sei $f\colon U\to V$ glatt, $U$, $V\subseteq\R^n$, $p\in U$ so dass:

$$
  D_p f\colon T_pU\to T_pV
$$

invertierbar ist. Dann ist $f$ lokal ein Diffeomorphismus:

$\exists U'\subseteq U$, $V'\subseteq V$ offen, $p\in U'$, so dass

$$
  f|_{U'} \colon U' \xrightarrow{\cong}V'
$$

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ein Diffeomorphismus ist, das heißt glatte Abbildung mit glatter Inversen, d.h. $f\colon U'\to V'$ glatt, bijektiv, $f^{-1}\colon V'\to U'$ glatt.

%2019-10-25

Wir wollen jetzt Abbildungen $f\colon U\subseteq\R^n\to V\subseteq\R^m$ haben,

$$
  D_pf \colon \underbrace{T_pU}_{\cong \R^n} \to \underbrace{T_pV}_{\cong \R^m} \text{ linear}
$$

$\rightsquigarrow$ Was ist „bestmögliche“ Bedingung an $D_pf$, die schönes über $f$ impliziert?

Die „richtige“ Bedingung an $D_pf$ ist, „vollen Rang“ zu haben, das heißt:

$$
  \rg(D_pf) = \min \{m,n\}
$$

$\rightsquigarrow$ Es gibt zwei Varianten dieser Bedingung:

 1. $n\leqslant m$, $\rg(D_pf)=n \Leftrightarrow n\leqslant m$, $D_pf$ injektiv

    Beispiel: $\iota\colon \R^n\hookrightarrow \R^m$, $n\leqslant m$, die Einbettung in die $n$ ersten Koordinaten.

 2. $n\geqslant m$, $\rg(D_pf)=m \Leftrightarrow n\geqslant m$, $D_pf$ surjektiv

    Beispiel: $\pi\colon \R^n\twoheadrightarrow \R^m$, $m\leqslant n$, Projektion auf die $m$ letzten Koordinaten.

* Satz: Satz über implizite Funktionen

(ist quasi ein Analogon zu einer ähnlichen Aussage aus der linearen Algebra)

Sei $f\colon U\subseteq\R^n\to V\subseteq\R^m$, $U$, $V$ offen, $0\in U$, $f(0)=0\in V$.

 1. Wenn $n\leqslant m$, $\rg D_pf = n$, dann existiert eine offene Umgebung $V'\subseteq V$, $0\in V'$ und ein Diffeomorphismus $g\colon V'\subseteq \R^m\to V'' \subseteq\R^m$, $g(0)=0$ mit $g\circ f|^{V'} = \iota$, d.h. nach einem Koordinatewechsel $g$ wird $f$ zur kanonischen Einbettung $\iota$.

 2. Wenn $n\geqslant m$, $\rg(D_pf) =m$, dann existiert eine offene Umgebung $U'\subseteq U$, $0\in U'$ und ein Diffeomorphismus $h\colon U'' \to U'$, $h(0)=0$ mit $f\circ h=\pi$ (dort wo $g\circ f$ definiert ist)

Beweis:

Hauptidee: $\rg(D_0f)$ maximal $\Rightarrow \rg(D_0f)$ konstant in Umgebung der $0$

 1. ohne Einschränkung
    $$
      D_pf = \left[\begin{matrix} \frac{A}{*} \end{matrix}\right] \in \Mat_{m\times n}(\R), \quad \det A \neq 0
    $$
    (permutiere Koordinaten in $\R^m$)

    Dann folgt: $D_xf = \left[\begin{matrix} \frac{A(x)}{*} \end{matrix}\right]$, $\det A(x)\neq 0$ in Umgebung von $0$

    Definiere:

    $$
      \begin{cases}
        U\times \R^{m-n}\to \R^m
        \\ (x_1,\ldots x_n, x_{n+1}, \ldots, x_m) \mapsto f(x_1,\ldots, x_n) + (0,\ldots, 0, x_{n+1}, \ldots, x_m)
      \end{cases}
    $$

    $$
      D_0F =
        \begin{bmatrix}
          \begin{array}{c|c}
              A & 0 \\
            \hline
              * & \eins
          \end{array}
        \end{bmatrix}
    $$
    Aus dem Satz über inverse Finktionen folgt $F$ lokal invertierbar mit lokaler Inversen $g$

    $$
      g\circ f = g\circ F \circ \iota - \iota
    $$
 2. Beweis ist Übung

* Intermezzo: Topologische Räume

** Definition: Topologischer Raum

Ein topologischer Raum $(X,\tau)$ ist ein Paar aus einer Menge $X$ und einem System $\tau$ von Teilmengen von $X$ ($\mathrel{\hat=}$ „offene Mengen“) mit
 1. $\emptyset$, $X\in \pi$
 2. $(U_i)_{i\in I}\subseteq \tau \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i \in \tau$
 3. $U_1, \ldots, U_n\in \tau \Rightarrow \bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau$

Beispiel:

 1. $(X,d)$ metrischer Raum $\Rightarrow \tau_d := \{ U\subseteq X\ |\ \forall x\in U \exists r> 0 \colon B_r(x) \subseteq U \}$ die durch $d$ induzierte Topologie
 2. $(\R^n, d_2(x,y) = \lVert x-y \rVert_2) \rightsquigarrow (\R^n, \tau_{d_2})$
 2. $(\R^n, d_2(x,y) = \lVert x-y \rVert_1) \rightsquigarrow (\R^n, \tau_{d_2})$

    Es gilt $\tau_{d_2} = \tau_{d_1}$, da alle Normen äquivalent (vgl. Analysis4)

** Definition: Hausdorff-Raum

  Ein topologischer Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn
  $$
    \forall x, y \in X, x\neq y : \exists U_x, U_y \mathrel\text{offen} : U_x \cap U_y = \emptyset
  $$

  TODO Bildchen 12

** Definition: kompakter Hausdorff-Raum

  Ein Hausdorff-Raum $(X,\tau)$ heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt, d.h.

  $$
    \bigcup_{i\in I} U_i \supseteq X, U_i {\text{ offen }} \Rightarrow \exists i_1, \ldots, i_n \in I \mathrel{\text{mit}} \bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq X
  $$

** Definition: Basis einer Topologie

Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum. Ein System $\mathcal B\subseteq \tau$ von offenen Mengen heißt Basis der Topologie $\tau$, falls jedes $U\in \tau$ als Vereinigung $U=\bigcup_{i\in I}B_i$, $B_i\in \mathcal B$ dargestellt werden kann.

** Definition: 2. Abzählbarkeitsaxiom

Ein topologischer Raum ist zweitabzählbar bzw. erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom, wenn es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.

Beispiel:

Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{ \underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in \mathbb Q^n, r\in \mathbb Q_{>0} \}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.

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* Definition: Topologische Mannigfaltigkeit

Eine \emph{topologische Mannigfaltigkeit} von Dimension $n\in\mathbb N$ ist ein zweitabzählbarer Hausdorff-Raum $M$ mit der Eigenschaft, dass jedes $p\in M$ eine offene Umgebung $U\subseteq M$ hat, die homöomorph zu $\R^n$ ist (das heißt $\exists x\colon U\to \R^n$ stetig, bijektiv, $x^{-1}\colon \R^n\to U$ auch stetig)

** Bemerkung

Da $\R^n \overset{\text{homöomorph}}\cong B_1(0)\subseteq \R^n$ könnte man $B_1(0)$ oder eine beliebige offenen Teilmenge von $\R^n$ statt $\R^n$ verwenden. Dies führt auf eine äquivalente Definition.

* Definition: differenzierbarer Atlas

Sei $M$ topologische Mannigfaltigkeit von Dimension $n$. Ein \emph{differenzierbarer Atlas} $\mathcal A$ auf $M$ ist eine Familie

$$
  \mathcal A = \{ (U,x)\ |\ U\subseteq M \text{offen}, x\colon U\xrightarrow{\cong} \R^n \text{ Homömorphismus} \}
$$

mit den folgenden Eigenschaften:

 1. die $U$’s überdecken $M$: $M = \bigcup_{(U,x)\in \mathcal A} U$
 2. $(U,x)$, $(V,y)\in \mathcal A$, $U\cap V\neq \emptyset\Rightarrow y\circ x^{-1}\colon x(U\cap V) \to y(U\cap V)$ ist glatt

Die Elemente eines Atlas’ heißen \emph{Karten}

* Definition: äquivalente Atlanten

Zwei Atlanten $\mathcal A$, $\mathcal A'$ heißen \emph{äquivalent / kompatibel}, wenn $\mathcal A\cup \mathcal A'$ ein Atlas ist. Das heißt:

$$
  \forall (U,x)\in \mathcal A, (V,y')\in \mathcal A, U\cap V \neq \emptyset: y\circ x^{-1}\colon x(U\cap V)\to y(U\cap V) \text{ ist glatt}
$$

* Definition: glatte Mannigfaltigkeit

Eine \emph{glatte} ($=$ differenzierbar) \emph{Mannigfaltigkeit} $M$ ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Äquivalenzklasee von Atlanten, die sogenannte „glatte Struktur“

%TODO Welche Äquivalenzklasee

** Beispiel

$\R$ ist $1$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Die Atlanten

$$
  \mathcal A &:=& \{ (\R, \id\colon\R\to\R) \}
  \\\mathcal A &:=& \{ (\R, \sqrt[3]{\cdot} \colon\R\to\R) \}
$$
sind nicht äquivalent.

* Vereinbarung

Sei von nun an eine Mannigfaltigkeit immer glatt.

** Beispiel

1. $\R^n\colon \mathcal A = \{ (\R^n, \id) \}$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
2. $M$ Mannigfaltigkeit, $U\subseteq M$ offen $\Rightarrow U$ ist Mannigfaltigkeit (Schneide alle Kartenumgebungen mit $U$)
3. Sei $V$ ein $\R$-Vektorraum, $\dim V = n\Rightarrow V$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit (Die Wahl einer Basis definiert Karte $V\to \R^n$, je zwei solche Karten sind kompatibel, weil die Vergleichsabbildung durch Multiplizieren mit der Basiswechselmatrix gegeben ist)
4. $S^n = \{ x\in \R^{n+1} | \lVert x \rVert_2 = 1 \} \subseteq \R^{n+1}$. Sei $V_i^\pm=\{ x\in S^n \pm x_i > 0\}\subseteq S^n$ offen $\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1}\left( V_i^+ \cup V_i^- \right) = S^n$,
   $$
     pi_i\colon \begin{cases} V_i^{\pm} &\to B_1(0)\subseteq \R^n \\ (x_1,\ldots, x_{n+1}) &\mapsto (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1}) \end{cases}
   $$
   ist Homöomorphismus mit Umkehrabbildung
   $$
     &&(x_1,\ldots, x_{i-1}, x_{i+1},\ldots, x_{n+1})\\&\mapsto& \left( x_1,\ldots x_{i-1}, \pm \sqrt{1-\sum_{i\neq i} x_i^2}, x_{i+1}, \ldots, x_{n+1} \right)
   $$
   Was ist $\pi_i \circ \pi_j^{-1}$ (wo es definiert ist)?:
   $$
     &&(x_1,\ldots, x_{j-1}, x_{j+1},\ldots, x_{n+1})\\&\mapsto& \left( x_1,\ldots x_{i-1}, x_{i+1},\ldots, x_{j-1} \pm \sqrt{1-\sum_{k\neq i} x_k^2}, x_{j+1}, \ldots, x_{n+1} \right)
   $$
5. Es ist offen:
   $$
     \operatorname{GL}_n (\R) = \{ A\in \operatorname{Mat}_n(\R) \ |\ \det (A) \neq 0 \} \subseteq \R^{n^2}
   $$
   und eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n^2$

6. $(M,\mathcal A_M), (N, \mathcal A_N)$ Mannigfaltigkeit $\Rightarrow (M\times N, \mathcal A_M \times \mathcal A_N)$ Mannigfaltigkeit

* Glatte Abbildungen

** Definition

  Seien $M$, $N$ zwei Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung $f\colon M\to N$ heißt \emph{glatt}, wenn für jedes Paar vin Karten $(U, x)$ und $(V,x)$ auf $M$ bzw. $N$ gilt: $y\circ f\circ x^{-1}$ ist glatt (wo definiert)

\begin{center}
\begin{tikzcd}
U\supseteq M \arrow[r, "f"] \arrow[d, "x"']   & N\subseteq V \arrow[d, "y"] \\
\mathbb R^n \arrow[r, "y\circ f\circ x^{-1}"] & \mathbb R^m
\end{tikzcd}
\end{center}

das heißt eine Abbildung ist glatt, wenn sie glatt in lokalen Koordinaten ist

** Übung

$M\xrightarrow{f}N$, $N\xrightarrow{g}P$, glatt $\Rightarrow g\circ f$ glatt

Notation:
$$
  C^\infty(M,N):= \{ f\colon M\to N \text{glatt} \}, \quad C^\infty := C^\infty (M, \R)
$$

** Übung

$C^\infty$ ist eine $\R$-Algebra, das heißt Summen, Vielfache glatter Abbildungen sind glatt.

** Definition

Eine glatte Abbildung $f\colon M\to N$ heißt \emph{Diffeomorphismus}, wenn $\exists g\colon N\to M$ glatt:

$$
  g\circ f = \id_M, \quad f\circ g = \id_N
$$

Wenn ein Diffeomorphismus $f\colon M\to N$ existiert, so heißen $M$, $N$ \emph{diffeomorph}, in Zeichen
$$
  M\cong N,\quad M\xrightarrow[f]{\cong} N
$$

** Beispiel

1. $B_1(0)\cong \R^n$, $x\mapsto \tan\left( \frac{\pi}2 \lVert x \rVert \right)\cdot x$
2. $(\R, \mathcal A_1 = \{ (\R,\id) \}) \cong (\R, \mathcal A_2 = \{ (\R, \sqrt[3]{\cdot}) \})$
   \begin{center}
      \begin{tikzcd}
      \mathbb R \arrow[rr, "f=(x\mapsto x^3)"] \arrow[d, "\id"'] &  & \R \arrow[d, "{\sqrt[3]{\cdot}}"] \\
      \R \arrow[rr, "\id"]                                       &  & \R
      \end{tikzcd}
   \end{center}
3. Zwei Atlanten $\mathcal A_1$, $\mathcal A_2$ auf $M$ sind äquivalent, wenn
   $$
     \id\colon (M, \mathcal A_1) \to (M, \mathcal A_2)
   $$
   ein Diffeomorphismus ist und Umgekehrt. (Übung)

* Definition: Pullbackabbildung

$f\colon M\to N$ glatt $\Rightarrow f^*\colon C^\infty(N)\to C^\infty(M), \varphi\mapsto \varphi\circ f$ heißt \emph{Pullback-} (Zurückzieh-) \emph{Abbildung} (ist ein Algebrenhomorphismus)

** Beobachtung

$$
  (g\circ f)^* = f^* \circ g^*, \quad \id^* = \id, \quad M \xrightarrow{f}N \xrightarrow{g}P \xrightarrow{\varphi}\R
$$

$\Rightarrow f$ Diffeomorphismus $\Rightarrow f^*$ ist Isomophismus

* Tangentialraum

** Definition

Sei $p\in M$. Der \emph{Tangentialraum} von $M$ an $p$ ist definiert als der Raum der Derivationen von $C^\infty(M)$ an $p$

$$
  T_pM := \{ \partial \colon C^\infty(M) \to \R \ |\ \partial \text{ linear } , \partial (fg) = f_p\partial(g) + g_p\partial(f)\}
$$

Sei $(U,x)$ Karte von $M$, $p\in U \Rightarrow x(U) = \R^n$, $x\colon U\xrightarrow{\cong} \R^n$ Diffeomorphismus
(Übung)

 - $\Rightarrow x^* \colon C^\infty(\R^n) \xrightarrow{\cong} C^\infty(U)$ (siehe oben)
 - $T_pU\cong T_{x(p)}\R^n(\cong \R^n)$, $\partial \mapsto \partial \circ x^*$

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* Tangentialraum zu einer Mannigfaltigkeit

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $C^\infty(M) = \{f\colon M\to \R, f\text{ glatt }\}$, $p\in M$.

$$
  T_p M := \{\partial \colon C^\infty(M)\to \R\ |\ \partial \text{ Derivation an } p, \text{ (d.h. } \partial \text{ linear und } \partial(fg) = f(p) \partial(g) + \partial(f)g(p) \text{)} \}
$$

%TODO Bildchen 13

Wir haben lokale Karte an $p$:

$$
  \exists U\ni p \text{ offen}, x\colon U\to \R^n \text{ Diffeomorphismus}
$$

letztes Mal: $\Rightarrow x^*\colon C^\infty(\R^n) \xrightarrow{\cong} C^\infty(U)$ Isomophismus.

$$
  \Rightarrow (x^*)^* \colon T_p U \xrightarrow{\cong} T_{x(p)}\R^n : \partial \mapsto \partial \circ x^*
$$

Fazit:

$$
  T_pU \cong T_{x(p)} \R^n \cong \R^n
$$

mit Basis:

$$
  \left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{p}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}|_p
$$

(„Notationsmissbrauch“)

„schiebt $p$ nach $\R^n$ und leitet es dort ab, formal ${\left(\left(x^*\right)^*\right)^{-1} \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x(p)}$

** Proposition

Die Inklusionsabbildung $i\colon U\hookrightarrow M$ induziert einen Isomophismus $\left(i^*\right)^* \colon T_p U \to T_p M$

$$
  i^*\colon C^\infty(M) \to C^\infty(U)
$$
ist die Pullbackabbildung, aber eigentlich nur die Restriktionsabbildung

$$
  \left( i^* \right)^*(\partial) = \partial\circ i^*
$$

Beweis:

Haben wir schon für $M=\R^n$ gemacht, der Beweis bleibt der gleiche (18.10 und 24.10)

$\left(i^*\right)^*$ injektiv:

$$
  \partial \circ i^* = 0 \Leftrightarrow \partial(f)=0
$$

für alle Funktionen $f\in C^\infty(U)$, die Einschränkungen von Funktionen auf $M$ sind.

Da $\partial = \sum_{i=1}^n\alpha_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p$, reicht es zu zeigen, dass $\alpha_i = 0$, $i=1,\ldots,n$. Seien $\tilde x_i\in C^\infty(U)$ mit folgenden Eigenschaften:

1. $\tilde x_i = x_i$ in einer Umgebung von $p$
2. $\operatorname{supp} \tilde x_i$ ist kompakt

(das geht, da $U$ diffeomorph zu $\R^n$ und dort weiß man, dass (und wie) das geht $\curvearrowright$ benutze Abschneidefunktionen)

Es gilt: $\partial(\tilde x_i)= \alpha_i$ und $\tilde x_i$ sind offensichtlich auf $M$ glatt (durch $0$) fortsetzbar.

$\left(i^*\right)^*$ surjektiv: Sei $\tilde\partial\in T_pM$. Wir suchen $\partial\in T_pM$ mit $\hat \partial = \partial \circ i^*$. Wir suchen also die $\alpha_i\in \R$, sodass

$$
  \hat \partial = \sum_{i=1}^n \alpha_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p
$$

Sei $\alpha_i := \hat \partial (\tilde x_i)$, $i=1,\ldots,n$. Wir wollen zeigen, dass

$$
  \hat \partial(f) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \left.\frac{\partial f}{x_i}\right|_p, \quad f\in ^C\infty(M)
$$

Trick: Benutze wieder die Abschneidefunktion $\tilde\varrho\colon U\to [{0,1}]$ mit $\varrho-1$ in einer Umgebung von $p$, $\operatorname{supp} \varrho$ kompakt und sodass $\hat \partial(\tilde \varrho) = 0$ [siehe Beweis für $M=\mathbb R^n$ ]

$$
  \Rightarrow \hat \partial(f) = \hat \partial( \tilde\varrho f)
$$

[wegen Leibnitzregel]

$$
  \operatorname{supp} \tilde \varrho f \subseteq U
$$
und
$$
  C^\infty(U)\cong C^\infty(\R^n)
$$
insbesondere ist $\tilde \varrho f$ darstellbar als $f(p) + \sum_{i=1}^n x_i f_i(x)$
$$
  \Rightarrow \hat \partial(f) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_p
$$
(wie in vorigen Beweis)

** Korollar

- $\operatorname{dim}M = n\Rightarrow T_pM \cong \R^n$, $p\in M$
- $(U,x)$ Karte um $p\in U \Rightarrow \left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_p, \ldots,\left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_p$ ist Basis von $T_pM$

* Differential einer Abbildung

** Definition

Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Sei $p\in M$. Das \emph{Differential} von $f$ an $p$ ist die lineare Abbildung.

$$
  D_pf = \left( f_* \right)_p \colon \begin{cases} T_pM &\to T_{f(p)}N \\ v &\mapsto v\circ f^* \\ (C^\infty(M)\to\R) &\to (C^\infty(N)\xrightarrow{f^*} C^\infty(M) \xrightarrow{\nu} \R) \end{cases}
$$

Wohldefiniertheit:

$$
  \nu\circ f^* \in T_{f(p)} N
$$

denn:

$$
  (\nu\circ f^*)(\varphi\cdot \psi) &=& \nu(f^*(\varphi\cdot\psi))
  \\&=& \nu(f^*(\varphi)\cdot f^*(\psi))
  \\&=& (f^*(\varphi))(p)\cdot \nu (f^*(\psi)) + (f^*(\psi))(p)\cdot \nu (f^*(\varphi))
  \\&=& \varphi(f(p))\cdot (\nu\circ f^*)(\psi) + \psi(f(p))\cdot(\nu\circ f^*)(\varphi)
$$

** Definition: Differential

Sei $\varphi\in C^\infty(M)$, $p\in M$. Das \emph{Differential} von $\varphi$ an $p$ ist eine lineare Abbildung

$$
  \intd \varphi(p) \in \left( T_pM \right)^* =: T_p^*M
$$

** Definition: Kotangentialraum

$$
  T_p^*M := \left( T_pM \right)^*
$$

heißt \emph{Kotangentialraum}. Wenn $(U, x)$ eine Karte um $p$ ist, folgt auch

$$
  T_p^*U \cong T_p^*M
$$

Links: Beweis: $\diffd x_1,\ldots, \diffd x_n \rightarrow$ ist die duale Basis zu $\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{p}, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_{p}$, denn

$$
  \diffd x_i(p) \left( \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_p \right) = \left.\frac{\partial x_i}{\partial x_j}\right|_p = \delta_{ij}
$$

$$
  \diffd\varphi(p) = \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}\right|_p
$$

weil die Koordinaten des Vektors $\diffd \varphi(p)$ in der Basis $\diffd x_1,\ldots, \diffd x_n$ genau durch Anwenden der dualen Basisvektoren $\left( \frac{\partial}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right)$ entstehen.

* Tangentialbündel

$$
  TM := \dot\bigcup_{p\in M} T_pM
$$

$$
  \pi \colon TM \to M,\quad v\in T_pM \Leftrightarrow \pi(v) = p
$$

** Proposition

$TM$ trägt eine glatte Struktur, die durch die glatte Struktur von $M$ induziert ist; mit dieser ist $TM$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $2n$.

Beweis:

Sei $U,x$ eine Karte von $M$. Definiere $\tilde U := \pi^{-1}(U) = \dot\bigcup_{p\in U} T_pM$

%TODO prettify
$$
  \begin{cases}
    \tilde U &\to \R^{2n} = \R^n\times \R^n
    \\ v&\mapsto (\underbrace{x(\pi(v))}_{\in\R^n}, [\diffd x_1(\pi(v))](v),\ldots, [\diffd x_n(\pi(v))] )
  \end{cases}
$$

Definiere eine Topologie auf $TM$ durch Forderung, dass alle $\tilde x$'s Homöomorphismen sind.Wir müssen nur überprüfen, dass

$$
  \{ (\tilde U, \tilde x)\ |\ (U,x)\in\mathcal A \}
$$

einen Atlas bilden.

Seien $(\tilde U, \tilde x)$, $(\tilde V, \tilde y)$ zwei solche Karten so dass

$$
  \tilde U \cap \tilde V \neq \emptyset \Rightarrow U\cap V \neq \emptyset
$$

Wenn $(a,b)\in \R^n\times \R^n$, so gilt

$$
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  (\tilde y\circ \tilde x^{-1})(a,b) = (\underbrace{(y\circ x^{-1})(a)}_{\text{glatt}}, \underbrace{D_a(y\circ x^{-1})(b)}_{\text{glatt}} )\quad \to\quad \text{glatt}
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$$

** Bemerkung

Analog ist $T^*M = \bigcup_{p\in M} T^*_p M$ eine $2$-dimensionale Mannigfaltigkeit.

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Gestern: Tangentialbündel

\begin{center}
\begin{tikzcd}
T^*M \arrow[d, "\pi"] &[-25pt] = &[-25pt] \dot\bigcup_{p\in M}T^*_pM   &[-25pt] \rightarrow &[-25pt] \text{Ist auch eine glatte Mannigfaltigkeit}       \\
M                     &   & {\pi(v)=p,\quad v\in T^*_pM} &             & \dim T^*M = 2\text{-dimensionale Mannigfaltigkeit}
\end{tikzcd}
\end{center}

$\leftarrow$ geht auch ohne $*$.

Diese Erkenntniss bringt folgendes Resultat:

Sei $f\colon M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ wird jetzt zu einer Abbildung:
$$
  Df = f_* \colon \begin{cases} TM &\to TN \\ v \mapsto D_{\pi(v)}f(v) \end{cases}
$$

$f_*$ ist glatt, denn wenn $(U,x)$ bzw. $(V,y)$ Karten auf $M$ bzw. $N$ sind. $\rightsquigarrow$ $(\tilde U, \tilde x)$, $(\tilde V, \tilde y)$-Karten für $TM$, $TN$

$$
  (\tilde y \circ f_* \circ \tilde x^{-1})\colon \begin{cases} \R^{2n} &\to \R^{2m}\quad \text{genauer: auf offenen Teilmengen} \\ (a,b) &\mapsto ((y\circ f\circ x^{-1})(a), D_a(y\circ f\circ x^{-1})(b)) \rightarrow \text{ glatt } \end{cases}
$$

Aus der Definition von $Df = f_*$ folgt:

$$
  \pi_{TN} \circ f_* = f\circ \pi_{TM}
$$

das heißt das folgende Diagramm kommutiert:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
TM \arrow[d, "\pi_{TM}"] \arrow[r, "Df = f_*"] & TN \arrow[d, "\pi_{TN}"] \\
M \arrow[r, "f_*"]                             & N
\end{tikzcd}
\end{center}

* Vektorbündel

** Definition

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung $\pi\colon E\to M$ (Projektionsabbildung), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. jede Faser $E_p := \pi^{-1}(p)$, $p\in M$ ist ein $\R$-Vektorraum von Dimension $m$
2. \emph{[lokale Trivialität]} für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $U$, so dass
    \begin{center}
    \begin{tikzcd}
    \pi^{-1}(U) \arrow[rr, "\cong"] \arrow[rr, "\psi"'] &  & U\times \mathbb R^m
    \end{tikzcd}
    \end{center}
    so dass für jedes $g\in U$ gilt:
    $$
      \psi(q, \cdot) \colon E_q\to \R^m
    $$
    ist ein Vektorraumisomorphismus

** Beispiele:

 1. Das triviale $m$-dimensionale Vektorbündel über $M$ ist $E=M\times \R^m$, $\pi$ projiziert in die erste Komponente
 2. $TM$, $T^*M$ Vektorbündel über $M$ von Dimension $\dim M$
 3. Wenn $E$ und $F$ Vektorbündel über $M$ sind, so ist,
   $$
     E\oplus F \overset{\text{als Menge}}= E_p \oplus F_p
   $$
   auch ein Vektorbündel
   (Übung: überprüfe, dass es eine Struktur der Mannigfaltigkeit trägt und lokal trivial ist)

** Slogan

#+BEGIN_QUOTE
„Differentialgeometrie ist ein Teil der Mathematik, wo man Analysis horizontal und lineare Algebra vertikal macht“
#+END_QUOTE

** Definition: Schnitt

Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein \emph{Schnitt} von $E$ ist eine glatte Abbildung $s\colon M\to E$ mit
$$
  \pi\circ s=\id_M
$$
$$
  \Gamma(E) := \{ s\colon M\to E\ |\ S \text{ Schnitt von } E \}
$$

Wenn $s\in \Gamma(E)$ ist ein Vektorraum mit punktweisen Operationen:

$$
  (s_1 + s_2)(p) := s_1(p) + s_2(p),\quad (\lambda s)(p) = \lambda \cdot s(p), \quad p\in M, \quad \lambda \in \R
$$

** Bemerkung

Wenn $E=M\times\R^m$, dann ist $\Gamma(E) = C^\infty(M, \R^m)$. Wenn nun $s\in \Gamma(E)$, $\varphi\in C^\infty$.
$$
  \Rightarrow (\varphi\cdot s)(p) := \varphi(p)\cdot s(p)
$$

Das macht $\Gamma(E)$ zu einem $C^\infty(M)$-Modul.

Definition:

Seien $\begin{tikzcd} E\arrow[d,"\pi_E"'] \\ M \end{tikzcd}$ und $\begin{tikzcd} F\arrow[d,"\pi_F"'] \\ M \end{tikzcd}$ zwei Vektorbündel. Ein \emph{Homomorpismus} $f\colon E\to F$ ist eine glatte Abbildung mit $\pi_F\circ f = \pi_E$:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
E \arrow[d, "\pi_E"] \arrow[r]   & F \arrow[d, "\pi_F"] \\
M \arrow[r, Rightarrow, "\operatorname{id}"] & M
\end{tikzcd}
\end{center}

(das Diagramm kommutiert)

und so dass $f|_{E_p}\colon E_p \to F_p$ linear ist.

** Definition

$\begin{tikzcd} E\arrow[d] \\ M \end{tikzcd}$, $\begin{tikzcd} F\arrow[d] \\ M \end{tikzcd}$ heißen \emph{isomorph}, wenn es Vektorbündelhomomorphismen $f\colon E\to F$, $g\colon F\to E$ gibt mit
$$
  g\circ f = \id_E,\quad f\circ g = \id_F
$$

Wichtige Erkenntniss: Nicht jedes Vektorbündel ist trivial! (isomorph zu $M\times \R^m$) (Ankündigung; Beweis später!)

*** Beispiel

$$
  TS^2 \quad \text{Man kann den Igel nicht kämmen}
$$

** Frage: Wo kommen die kleinen Mannigfaltigkeit her?

Wo kriegt man Mannigfaltigkeiten her?

** Beispiel: Definition durch Gleichung

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. $f\colon M\to \R^m$ glatt, $g\in \R^m$
$$
  f^{-1}(g) = \{ p\in M\ |\ f(p) =q \} \subseteq M
$$
Wann sind die Mengen eine Mannigfaltigkeit? Wir sind dann vor Fragen gestellt:
 1. Was ist eine sinnvolle Definition einer Untermannigfaltigkeit
 2. Wann ist $f^{-1}(q)$ eine Untermannigfaltigkeit?

** Definition

Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeit, Eine Abbildung $i\colon M\to N$ heißt Immersionm, wenn $D_pi$ injektiv ist für jedes $p\in M$.

** Definition

Eine (injektive) Immersion $i\colon M\to N$ heißt Einbettung, wenn $i\colon M \to i(M)\subseteq N$ ein Homömorphismus.

*** Vorsicht

Untermannigfaltigkeiten kann „injektive Immersion“ oder „Einbettung“ heißen -- nicht äquivalent!!

Für uns heißt „$M$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $N$ “ so viel wie „wir fixieren eine Einbettung ${i\colon M\to N}$
%TODO Syntax ambiguity

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%2019-11-14

* Untermannigfaltigkeiten

% \begin{Def}
% Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Der Rang von $f$ an $p$ ist definiert als der Rang (= Dimension des Bildes) des Differentials $D_p f$.
% \end{Def}

** Definition einer Untermannigfaltigkeit

Es gibt zwei gängige Definitionen einer Untermannigfaltigkeit $N\subset M$, die sich dadurch unterscheiden, welche Eigenschaften man von der Inklusionsabbildung $i\colon N\to M$ verlangt.

** Definition: Mannigfaltigkeit

Seien $N$, $M$ Mannigfaltigkeiten. Eine glatte Abbildung $i\colon N\to M$ heißt Immersion, wenn $D_pf\colon T_pM\to T_pN$ injektiv für jedes $p\in M$ ist. Eine Immersion $i\colon N\to M$ heißt Einbettung, wenn $i\colon N\to i(N)\subset M$ ein Homöomorphismus ist (d.h. $i$ ist injektiv und $i^{-1}\colon i(N)\to N$ ist stetig).

Dementsprechend gibt es zwei Definitionen einer Untermannigfaltigkeit, die in der Literatur zu finden sind:

\begin{itemize}
\item eine (immersierte) Untermannigfatigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer injektiven Immersion $i\colon N\to M$;
\item eine (eingebettete) Untermannigfaltigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer Einbettung $i\colon N\to M$.
\end{itemize}

Wir werden in diesem Kurs das Wort „Untermannigfaltigkeit“ stets für eingebettete Untermannigfaltigkeit benutzen.

Wir erinnern uns an den Satz über implizite Funktion, die wir früher in der Vorlesung bewiesen hatten.

Sei $f\colon \mb R^n\to \mb R^k$ glatt. Offensichtlich ist der Rang von $f$ an jedem Punkt $p\in \mb R^n$ kleiner oder gleich $\min(n,k)$. Man sagt, $f$ habe \emph{maximalen Rang} an einem Punkt, wenn der Rang von $f$ an $p$ gleich $\min(n,k)$ ist.

Natürlicherweise tauchen hier zwei Varianten auf:
\begin{itemize}
    \item $n\leqslant k$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $n$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $n$ (an jedem Punkt) ist die Einbettung $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\iota(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_n,0,\dots,0)$.
    \item $k\leqslant n$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $k$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $k$ (an jedem Punkt) ist die Projektion $\pi\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\pi(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_k)$.
\end{itemize}

** Satz: implizite Funktionen
%TODO \label{theo:implizite-fkt}
Sei $U\subset \mb R^n$ eine Umgebung von $0\in \mb R^n$, $f\colon U\to \mb R^k$ glatt mit $f(0) = 0$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
    \item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $g$  von $\mb R^k$ an $0$ mit $g\circ f = \iota$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
    \item Wenn $k\leqslant n$ und $f$ maximalen Rang ($=k$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h = \pi$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
\end{enumerate}

% Beweis:
% Bereits bewiesen.

Man sollte anmerken, dass wegen des Satzes über implizite Funktion jede Immersion lokal eine Einbettung ist:

** Proposition
Sei $i\colon N\to M$ eine Immersion, $\dim N = n$, $\dim M = m$. Dann gilt: für jedes $p\in N$ gibt es eine Umgebung $V$ von $p$ in $N$ und eine Karte $(U,y)$ mit $i(p)\in U\subset M$, so dass:
\begin{enumerate}
    \item $q\in i(V)\cap U$ genau dann, wenn $y^{n+1}(q) = \dots = y^m (q) = 0$ (anders gesagt, $y(i(V)\cap U) = (\mb R^n\times \{0\})\cap y(V)$;
    \item $i|_V$ ist eine Einbettung.
\end{enumerate}

Beweis:

Sei $x$ eine Kartenabbildung um $p$ mit $x(p)=0$, $\tilde y$ eine Kartenabbildung um $i(p)$ mit $\tilde y\circ i(p) = 0$. Dann hat $\tilde y\circ i \circ x^{-1}$ maximalen Rang ($=n$) an $0$, also gibt es nach dem Satz über implizite Funktion
%TODO (Satz \ref{theo:implizite-fkt})
eine Karte $g$ von $\mb R^m$ und eine Umgebung $W$ von $0$ mit $g\circ \tilde y\circ i\circ x^{-1}|_W = \iota|_W$, wobei $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^m$ die kanonische Einbettung ist. Sei $U\coloneqq x^{-1}(W)$, $y = g\circ \tilde y$; dann gilt (1) nach Konstruktion. (2) folgt dann, weil $i|_U = y^{-1}\circ\iota\circ x|_U$ eine Verkettung von Einbettungen ist.

** Satz vom regulären Wert

Der Satz vom regulären Wert ist von zentraler Bedeutung in Differentialgeometrie, weil er uns erlaubt, Untermannigfaltigkeiten zu konstruieren.

*** Definition: kritischer Wert

Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $n$ bzw. $k$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $\operatorname{Rang} D_p f = k$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.

Wenn $n\geqslant k$ ist (und das ist für uns der interessante Fall), heißt also die Bedingung, dass $q\in N$ ein regulärer Wert von $f$ ist so viel wie: an jedem Urbildpunkt von $q$ hat $f$ maximalen Rang ($=k$).

*** Satz: Satz vom regulären Wert

Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $n$ bzw. $k$ mit $n\geqslant k$, $f\colon M\to N$ glatt. Wenn $q\in f(M)$ ein regulärer Wert ist, dann ist $A\coloneqq f^{-1}(q)\subset N$ (= die Faser von $f$ an $q$)  eine Untermannigfaltigkeit von $M$.

Beweis:

Sei $y\colon V\to \mb R^k$ eine Karte um $q\in N$ mit $y(q)=0$. Sei außerdem $p\in A$ und $x\colon U\to \mb R^n$ eine Karte um $p\in M$. Zerlege $\mb R^n = \mb R^k\times \mb R^{n-k}$ und seien $\pi_1,\pi_2$ die entsprechenden Projektionsabbilgungen. Außerdem sei $\iota_2\colon \mb R^{n-k}\to \mb R^n$ die Einbettung in die letzten Koordinaten: $\iota_2(a_1,\dots,a_{n-k}) = (0,\dots,0,a_1,\dots,a_{n-k})$.

Da $y\circ f\circ x^{-1}$ maximalen Rang an $0\in \mb R^n$ hat, gibt es nach Satz über implizite Funktionen
%TODO \ref{theo:implizite-fkt}
(ii) eine Karte $(W,h)$ um $0\in\mb R^n$ mit $y\circ f\circ x^{-1}\circ h = \pi_1|_W$. Sei $\widetilde W\coloneqq \pi_2(W)$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\mb R^{n-k}$, und $y\circ f\circ x^{-1}\circ h \circ \iota_2 = \pi_1\circ \iota_2 = 0$ auf $\widetilde W$. Das heißt, wenn $z\coloneqq x^{-1}\circ h\circ \iota_2|_{\widetilde W}$, so folgt $z(\widetilde W)\subset A$. Nun behaupten wir, dass $z(\widetilde W) = A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, so dass $z$ ein Homömorphismus auf sein Bild ist. Es ist zunächst klar, dass $z(\widetilde W) \subset A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, weil $z(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h\circ \iota_2)(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h)(W\cap (0\times \mb R^{n-k}))$. Für die andere Inklusion nehmen wir ein $\tilde p\in A \cap (x^{-1}\circ h)(W)$; dann folgt aber $\tilde p = (x^{-1}\circ h)(u)$ für ein eindeutig bestimmtes $u\in W$, und $0 = (y\circ f)(\tilde p) = (y\circ f\circ x^{-1}\circ h)(u) = \pi_1(u)$, so dass $u = (0,a)\in 0\times \widetilde W$. Dann gilt aber $\tilde p = z(a)\in z(W)$. Es folgt, dass $i\colon A\hookrightarrow M$ eine topologische Einbettung ist (also ein Homöomorphismus auf sein Bild).

Wir versehen nun $A$ mit der glatten Struktur induziert durch die oben konstruierten Karten $(z(\widetilde W),z^{-1})$, wenn $p$ die Menge $A$ durchläuft (Übungsfrage: warum sind diese Karten kompatibel?). Dann ist die Inklusion $i\colon A\hookrightarrow M$ sogar glatt, weil $x\circ i\circ (z^{-1})^{-1} = h\circ \iota_2$.

*** Beispiel: Sphäre

Die Abbildung $f\colon \mb R^{n+1}\to \mb R$, $a\mapsto \norm{a}^2$, erfüllt $Df(a) = 2(a_1,\dots,a_{n+1})$; der Rang des Differentials ist also maximal ($=1$) an jedem Punkt außer $0$. Das heißt, die Sphäre vom Radius $r> 0$, $S_r\coloneqq f^{-1}(r)$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $\mb R^{n+1}$.

*** Bemerkung: Satz von Sard

Der (höchst nichttriviale) Satz von Sard besagt, dass eine glatte Abbildung $f\colon \mb R^m\to\mb R^n$ ($m\geqslant n$) stets „sehr viele“ reguläre Werte hat (insbesondere ist die Menge der regulären Werte stets dicht in $\mb R^n$). Das heißt, dass eine „generische“ Faser von $f$ eine Untermannigfaltigkeit ist.

* Vektorfelder und ihre Flüsse

** Definition: Vektorfeld

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $TM$ sein Tangentialbündel und $\pi\colon TM\to M$ die Projektionsabbildung. Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ ist ein Schnitt des Tangentialbündels, d.h. eine glatte Abbildung $X\colon M\to TM$ mit $\pi\circ X= \mathrm{id}_M$ (d.h. $X(p)\in T_p M$ für jedes $p\in M$).

Der Wert von $X$ an einem Punkt $p\in M$ wird durch $X(p)$ oder $X_p$ bezeichnet.

Wir notieren folgende Eigenschaften der Vektorfelder:

\begin{enumerate}
    \item Die Vektorfelder bilden ein Vektorraum bezüglich punktweiser Operationen, weil der Wert eines Vektorfeldes an jedem Punkt $p$ in dem Vektorraum $T_p M$ liegt. Der Vektorraum der Vektorfelder auf $M$ wird durch $\Gamma(TM)$, $\mathrm{Vect}(M)$ oder $\mathfrak{X}(M)$ bezeichnet.
    \item Man kann Vektorfelder mit glatten Funktionen multiplizieren: wenn $X\colon M\to TM$ ein Vektorfeld ist und $f\in C^\infty(M)$, dann ist $f X\colon p\mapsto f(p)X(p)$ auch ein Vektorfeld.
    % \item
    \item Da Tangentialvektoren auf Funktionen durch Ableitungen wirken, kann man ein Vektorfeld $X$ auf eine glatte Funktion $f\in C^\infty(M)$ anwenden und eine neue Funktion $X(f)\in C^\infty(M)$ bekommen mit
    \[
    (X(f))(p) = X_p(f)
    \]
    \item wenn $(U,x)$ eine Karte um $p\in M$ ist, definiert sie die Koordinatenvektorfelder $\partial/\partial x^i$ auf $U$. Daher kann jedes Vektorfeld auf $U$ dargestellt werden als
    \[
    X = \sum_{i=1}^n X(x^i) \frac{\partial}{\partial x^i} = \sum_{i=1}^n dx^i(X) \frac{\partial}{\partial x^i}.
    \]
    Umgekehrt definiert in diesem Fall eine beliebige ``Linearkombination''
    \[
    X = \sum_{i=1}^n f_i \frac{\partial}{\partial x^i}
    \]
    mit $f_i\in C^\infty(V)$, $i=1,\dots,n$, ein Vektorfeld $X$ auf $V$.
\end{enumerate}

** Beispiel
%TODO \label{bsp:vektorfelder-r-n}

Wenn $M = \mb R^n$, dann gilt $TM = \mb R^n\times \mb R^n$ (Übung!). In diesem Falle kann man Vektorfelder $X\colon \mb R^n\to \mb T\mb R^n$ mit glatten Funktionen $\underline{X}\colon \mb R^n\to \mb R^n$ identifizieren: ein Vektorfeld $X$ entspricht eindeutig der Funktion $u\mapsto (X(u^1),\dots,X(u^n))$, also seinen Koordinaten bzgl. $\frac{\partial}{\partial u^i}$.

% Wir notieren folgende einfache Proposition:
% \begin{Prop}
% Sei $X\colon U\to TM$ eine (a priori nicht glatte) Abbildung mit $\pi\circ X = \mathrm{id}_U$. Folgende Bedingungen sind äquivalent:
% \begin{enumerate}
%     \item $X$ ist ein Vektorfeld (d.h. $X$ ist glatt als Abbildung);
%     \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ gilt $X(x^i)\in C^\infty(V)$;
%     \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ und jede $f\in C^\infty(V))$ gilt $X(f)\in C^\infty(V)$.
% \end{enumerate}
% \end{Prop}

** Flüsse von Vektorfeldern

Eines der wichtigen Ergebnisse in der Analysis ist der Satz über Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen (der Satz von Picard-Lindelöf). Dieser gilt auch auf Mannigfaltigkeiten und bildet somit interessanten Zusammenhang zwischen Vektorfeldern und Diffeomorphismen. Wir fangen mit folgender Version des klassischen Satzes von Picard-Lindelöf in $\mb R^n$.

*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von DGLs erster Ordnung in $\mb R^n$


Sei $U\subset \mb R^n$ offen und $F\colon U\to \mb R^n$ glatt. Dann existiert für jedes $a\in U$ eine Umgebung $W$ von $a$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\psi\colon I\times W\to U$ mit folgenden Eigenschaften:

\begin{enumerate}
    \item $\psi(0,u) = u,$
    \item $\frac{\partial\psi}{\partial t}(t,u) = F(\psi(t,u))$.
\end{enumerate}

Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1$, $W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\psi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\psi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.

%ende satz

Die Abbildung $\psi(t,u)$ wird interpretiert als Lösung der Differentialgleichung

$$
% TODO \label{eqn:ode}
\dot \psi(t) = F(\psi(t))
$$
mit Anfangsbedingung $\psi(0) = u$ am Zeitpunkt $t$: die zweite Bedingung besagt, dass $\psi$ die Differentialgleichung löst, und die erste Bedingung besagt, dass der Anfangswert an $t=0$ gleich $u$ ist.

Die Differentialgleichung
%TODO \eqref{eqn:ode}
kann man auf einer Mannigfaltigkeit $M$ auch leicht interpretieren: eine glatte Kurve $\gamma\colon I\to M$ hat an jeder Stelle einen Tangentialvektor $\dot\gamma(t) = (D_t\gamma)\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\in T_p M$ -- die linke Seite hat somit eine Interpretation als Element in $T_p M$. Die rechte Seite soll dann durch Vorgabe eines Tangentialvektors an jedem Punkt auf $M$, d.h. eines Vektorfeldes auf $M$, bestimmt sein.

Somit lässt sich der obige Satz wie folgt auf Mannigfaltigkeiten interpretieren:

*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert für jedes $q\in M$ eine Umgebung $V$ von $q$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon I\times V\to M$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
    \item $\Phi(0,p) = p,$
    \item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$.
\end{enumerate}

Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1,W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\Phi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\Phi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.

Beweis:

Sei $(U,x)$ eine Karte um $q$. Setze $G\coloneqq x(U)$, $a\coloneqq x(q)$,

$$
  F\coloneqq (dx^1(X),\dots,dx^n(X))\circ x^{-1}\colon G\to \mb R^n
$$

und wende den vorigen Satz an, um eine Abbildung $\psi\colon I\times W\to G$ zu bekommen. Die Abbildung $\Phi\coloneqq x^{-1}\circ \psi$ ist dann nach Konstruktion die gesuchte: die Eigenschaften (1) und (2), geschrieben in Koordinaten mit Hilfe von $x$, sind genau die Bedingungen (1) und (2) des vorigen Satzes.

Die Abbildung $\Phi$ aus dem obigen Satz wird auch \emph{lokaler Fluss} von $X$ genannt. Für jedes $p\in V$ ist dann $\gamma(t)\coloneqq \Phi(t,p)$ eine Kurve auf $M$, welche die Differentialgleichung
$$
\dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
$$
sowie die Anfangsbedingung $\gamma(0) = 0$ erfüllt. Solche Kurven heißen \emph{Integralkurven} von $X$.

Der obige Satz ist eine lokale Aussage, und es besteht \emph{a priori} keine Hoffnung, das ``Zeitintervall'' $I$ vergrößern zu können: es gibt sogar im Eindimensionalen Differentialgleichungen, dessen Integralkurven in einer endlichen Zeit ins Unendliche laufen, z.B. $\dot x = x^2$ in $\mb R$ (Übung: überzeugen Sie sich, dass die Integralkurven hier ins Unendliche in endlicher Zeit laufen und bestimmen Sie das zugehörige Vektorfeld!). Es gibt allerdings immer einen maximalen Definitionsbereich des Flusses:

*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert eine eindeutig bestimmte maximale offene Teilmenge $W\subset \mb R\times M$ mit $\{0\}\times M\subset W$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ mit folgenden Eigenschaften:

\begin{enumerate}
    \item $\Phi(0,p) = p,$
    \item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$,
    \item für jedes $p\in M$, $W\cap (\mb R\times \{p\}) = I_p\times \{p\}$, wobei $I_p\subset \mb R$ ein offenes Intervall mit $0\in I_p$ ist.
\end{enumerate}

Beweis:

Der vorige Satz liefert die Existenz einer offenen Teilmenge
$$
W_0 = \bigcup_{q\in M} I_q\times V_q
$$
zusammen mit einer eindeutigen glatten Abbildung $\Phi\colon W_0\to M$ mit gewünschten Eigenschaften (die Eindeutigkeitsaussage aus dem vorigen Satz impliziert, dass $\Phi$ wohldefiniert auf $W_0$ ist).

Sei nun $\mathcal W = \{(W,\Phi\mid (W,\Phi)\text{ erfüllen (i), (ii), (iii) }\}$ die Familie von allen offenen Teilmengen, welche die Aussage des Satzes erfüllen. Wenn nun $(W',\Phi')$ und $(W'',\Phi'')$ zwei Elemente aus $\mathcal W$ sind, folgt aus der Eindeutigkeit, dass $\Phi'$ und $\Phi''$ auf $W'\cap W''$ übereinstimmen, weswegen sie sich zu einer eindeutig bestimmten glatten Abbildung $\Phi\colon W'\cup W''\to M$ fortsetzen. Das ergibt, dass auf der Vereinigung
\[
W\coloneqq \bigcup_{(W',\Phi')\in \mathcal W} W'
\]
eine glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ durch $\Phi|_W'\coloneqq \Phi'$ wohldefiniert ist. Sie erfüllt offensichtlich die Aussage des Satzes.

*** Definition: maximaler Fluss

Die Abbildung $\Phi\colon W\to M$ heißt maximaler Fluss von $X$. $X$ heißt vollständig, wenn $W = \mathbb R\times M$ ist, d.h. wenn der Fluss immer definiert ist.

*** Übung:

Zeigen Sie, dass jedes Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit vollständig ist.

Sei $X$ nun ein vollständiges Vektorfeld auf $M$. Wir definieren $\Phi_t\colon M\to M$ durch $\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$ und beobachten folgende fundamentale Eigenschaft:

*** Proposition:

\[
\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}
\]

Beweis:

Nach Definition ist $\Phi_{t_1+t_2}(p)$ der Wert an $t= t_1+t_2$ der Integralkurve $\gamma_p$ von $X$ mit Anfangswert $p$. $\Phi(t_2)(p)$ ist der Wert derselben Integralkurve an $t= t_2$, und $\Phi_{t_1}(\Phi_{t_2}(p))$ ist der Wert an $t=t_1$ der Integralkurve von $X$ mit Anfangswert $\Phi_{t_2}(p)$. Nach Eindeutigkeit ist die letztere aber gleich $\gamma_p(t+t_2)$, und ihr Wert an $t_1$ ist $\gamma_{p}(t_1+t_2)$, wie gewünscht.

*** Korollar

\begin{enumerate}
    \item $\Phi_t\colon M\to M$ is ein Diffeomorphismus für jedes $t\in \mb R$;
    \item die Abbildung $\Phi\colon \mb R\to \mathrm{Diff}(M)$, $t\mapsto \Phi_t$, ist ein Gruppenhomomorphismus.
\end{enumerate}

*** Definition: Einparametergruppe

Eine glatte Abbildung $\Phi\colon \mathbb R\times M\to M$ mit $\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}$ ($\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$) heißt eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von $M$.

Gegeben eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen, bekommen wir das Vektorfeld $X$, welches sie erzeugt, auch zurück durch
\[
X_p \coloneqq \Phi_{*,(0,p)}\frac{\partial}{\partial t}.
\]
Dieses Vektorfeld hat nach Konstruktion $\Phi$ als zugehörigen maximalen Fluss: diese Gleichung ist genau die Bedingung (2) aus der Definition des Flusses eines Vektorfeldes. Somit haben wir festgestellt:

*** Proposition

Es gibt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Einparametergruppen von Diffeomorphismen von $M$ und vollständigen Vektorfeldern auf $M$.
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