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* Erinnerungen an WS

Wir studieren Mannigfaltigkeiten (Mfg).

$\approx$ topologische Räume, die lokal wie $\mathbb R^n$ aussehen + glatte ~Strukturen~ von glatten Abbildungen zu sprechen.

Konkret: um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ zusammen mit einer Karte $x\colon U\to \mathbb R^n$

%Bild 1

Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Analysis auch auf $M$ zu verstehen.

~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)

1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
  %TODO %TYPO: remove space here
  $$
    T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
    \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
  $$
  
  Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung!
  
  %Bild 2
  
  $\pi \colon TM \to M$ ist glatt
  $v\in T_pM \mapsto p$
  
  Nutzen: wir verstehen „wirklich“, was Ableitungen sind
  
  Früher: 
  $$
    f\in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb R^n) &\rightsquigarrow& D_pf \in \mathbb M_{n\times m} (\mathbb R)
    \\&& Df \in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb M_{n\times m}(\mathbb R))
  $$
  
  Jetzt in Diffgeo:
  
  $$1
  f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear}
  $$1
  
  %Bild 3
  
2. ODEs als Flüsse von Vektorfeldern
  %Bild 4
  
  Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi \circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p) \in T_pM$)
  Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes)
  
  s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE
  $$1
    \dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
  $$1
  lässt

3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$
  
  $(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra.
  
  Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften:
  
    1. $[X,Y] = -[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$
    2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$:
    $$
      [X, [Y,Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X,Y]] = 0
    $$
    
  Beispiele:
    1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra
    2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B] = AB - BA$ ist eine Lie-Algebra
  
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  Verbindung zwischen a) und b)%ref
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  -- Lie-Gruppen
  Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt.
  
  $G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow \operatorname{Lie}(G) = 2(G) = \{ X\in \Gamma(TG) \ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p} = D_pLg} X = X \} = \{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \}$
  
  $\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$.
  
  Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum
  $\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$
 
  %TODO %TYPO vertical space
  $$
    Lg \colon G &\to& G\\
    h &\mapsto& g\cdot h
  $$

  Satz $G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)$
  
  $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)$
  
  Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren!
  
  $$1
    (\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])
  $$1
  
  Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$.
  $$1
    [A,B] = AB - BA
  $$1
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106 107

%DATE 2019-04-02
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108

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109
* Übung 1
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Differential einer Abbildung

$$1
  f\colon \mathbb R^n  \to \mathbb R^n
$$1

$$
p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear})
\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)}
$$

$$
  \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i
  \\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
    \begin{matrix}
      i = \overline{1, m} \\
      j = \overline{1, n}
    \end{matrix}}
$$

$$
  f\colon M\to N
$$
$$
  p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear}
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&
  \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)})
$$

$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$

\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}

%TODO vertical line

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148 149
%2019-??-??

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TODO Bildchen %TODO

$$
  M &\overset f\to& N
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}&
  \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
  \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f
$$

Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear

%TODO vertical line

** Beispiel

$$1
  G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C)
$$1

$$
  &\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot]
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\
  &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C)
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\}
$$

Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$

$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$

$$
  \dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0
$$

Also:

$$
  T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \}
$$

Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte:
$$
  \gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right)
\\  \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX}
\\  \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n)
\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X
$$
wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit

%Hinweis nur mündlich:
$$
  D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A))
$$

$$
  G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R)
  \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Wir haben gesehen:
$$
  \exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\
  &X& \mapsto \exp(X)
$$

$$
  \gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX)
$$

$$
  \dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t))
$$

wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist

$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$

Ausführlicher:

$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$

$$
  X\in T_1G \rightsquigarrow
  \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} }
  = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann:
$$
  \dot A(t) = A(t)\cdot X
$$

$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$

%TODO vertical line

$$
  x &\mapsto& A\cdot x
  \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear}
  \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m
  \\
  \\ f\colon V &\to& W \text{ linear}
$$

mit Übung 28 %TODO ref
$p\in V$:


\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
  V \arrow[r, "f"]                                      & W
  \end{tikzcd}
\end{center}

%TODO vertical line
%TODO das war das mündliche Zeug

$$
  \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}
$$

$$
  \det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R
$$

$$
  D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R
  \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A)
$$

$$
  \det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2)
$$

Determinante ist Konjugationsinvariant

$$1
  \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1})
$$1

Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit:

$$
  \det (1+tA)
  &=&
    \left|\begin{matrix}
      1+t\lambda_1& & \\
      & \ddots & \\
      && 1+t\lambda_n
    \end{matrix}\right|
  \\&=&
    (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n)
  \\&=&
    1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2)
  \\&=&
    1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)
$$
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* Integration auf Mannigfaltigkeiten

Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs

%TODO schöner
\begin{tikzcd}
 \arrow[rr, "U", no head]  &  & \mathbb R^n                                        \\
                           &             & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\
 \arrow[rr, "V"', no head] &             & \mathbb R^n                                       
\end{tikzcd}

Betrachte $n=1$:

$U$, $V \subseteq \mathbb R$ offenen Intervalle. $\alpha\colon \underbrace{U}_{=(a,b)} \to V$ Diffeo ($=$ strikt monotone glatte Fkt.)

Transformationsformel:
$$
  \int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\,\mathrm d t = \int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm dt
$$

„Mnemonik“:
$$
  \intd v = v'(u)\intd u
$$

$f\colon V\to \mathbb R$
$$
  \int_{U}(\alpha^*(f))(u)\alpha'(u)\intd u = \int_V f(v)\intd v \neq \int_V \alpha^*(f)(t) \intd t
$$

In $\mathbb R^n$:

$$
\int_U \alpha^*(t)(\det D_u\alpha)\intd_{u_1}\cdots\intd_{u_n} = \int_V f(v) \intd_{v_1}\dotsm\intd_{v_n}
$$

$$
\alpha \colon &U& \to V \text{ Diffeo}
\\ &(u_1,\dotsc,u_n)& \mapsto (v_1, \dotsc, v_n)
$$

$v=v(u)$
$$
\int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
$$

$$
  \intd v_1
  = \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1 
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2
$$

$$
  \intd v_2
  = \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1 
  + \frac{\partial v_2 }{\partial u_2 }\intd u_2 
$$

$$
  \intd v_1 \intd v_2
  = \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_1 \intd u_1}
  + \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2}
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_2 \intd u_1
  =: (*)
$$

$$
  = \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
  = \int_U f(v(u))
%   \left%TODO overcome boxes
  \Bigg
  (
    \underbrace{
      \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 } \frac{\partial v_2}{\partial u_2} - \frac{\partial v_1}{\partial u_2}\frac{\partial v_2}{\partial u_1}
    }_{
      \underset{
        \begin{subarray}{c}
          \text{sollte}\\
          (*)\text{ sein}
        \end{subarray}
      }{=} \det \left(
      \begin{matrix}
        \frac{\partial v_1}{\partial u_1} & \frac{\partial u_1}{\partial u_2}
        \\ \frac{\partial v_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_2}  
      \end{matrix}\right)
    }
  \Bigg
%   \right
  )
  \intd u_1 \intd u_2
$$

Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten:

$$
  \intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0
  \\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0
$$

Erkenntniss:

Koordinatenfrei werden nicht Funktionen, sondern sogenannte Differentialformen integriert. Eine $n$-Differentialform auf $\mathbb R^n$ ist (informell) ein Ausdruck
$$
  \omega = f(x) \intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_n
$$
mit den Rechenregeln: wenn $x=x(y)$ mit $y = (y_1,\dotsc,y_n)$ dann transformiert sich der Ausdruck zu 

$$
  f(x(y))
  \left(
    \frac{\partial x_1}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_1}{\partial y_n}\intd y_n
    \wedge \ldots \wedge
    \frac{\partial x_n}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_n}{\partial y_n}\intd y_n
  \right)
$$

und es gilt:

$$
 T^*M \ni \intd y_i \wedge \intd y_j = -\intd y_j \wedge \intd y_i,\ \ \ \ i,j = 1,\ldots, n
$$

folglich ist $\int \omega$ unabhängig von Koordinaten.

Ziel:

* Das Tensorprodukt

ausgehend von einem Vektoraum $V(= T_pM, T_p^*M)$ einen Kalkühl zu entwickeln, welcher die Interpretation von Ausdrücken wie $\intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_k$ mit Rechenregeln $\intd x_i \wedge \intd x_j = \intd x_j \wedge \intd x_i$ erlaubt.

Das wird durch Theorie von Tensorprodukten und multiliniearen (z.B. $\det\colon \underbrace{\mathbb R^n \times \ldots \times \mathbb R^n}_{n\text{-mal}} \to \mathbb R$) Abbildungen gemacht

Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1 \times \ldots \times V_n \to W$. Es reicht diese Idee für bilineare Abbildungen zu realisieren. (dann wiederholt man es)

** Definition: Tensorprodukt

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451
Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f \colon V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\otimes W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
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452 453 454 455 456 457 458 459

\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f", dashed] \\
                                          & Z                                             
\end{tikzcd}
\end{center}

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460
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\otimes W$
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461

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462
Wenn $V\otimes W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
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463 464 465 466 467

Beweis:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
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468 469
V + W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] &  \                                 \\
                                          & (V\otimes W)_2                                  &  \arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
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470 471 472
\end{tikzcd}
\end{center}

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473
Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_1$ liefert $f_1\colon (V\otimes W)_1 \to (V\otimes W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$.
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474

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475
Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_2$ liefert $f_2\colon (V\otimes W)_2 \to (V\otimes W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.
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476 477 478 479 480

Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte z.B.: $f_1\circ f_2$

\begin{center}
\begin{tikzcd}
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481 482
V\otimes W \arrow[r, "i_2"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, "f_1\circ f_2"] & \                   \\
\                                             & (V\otimes W)_2                           & \  \arrow[u, "id"']
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483 484 485
\end{tikzcd}
\end{center}

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486
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\otimes W)_2$ ist $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
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487

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488
** Existenz von $V \otimes W$
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489

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490
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
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491 492 493 494 495 496

Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (re­elle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.

$$
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497
  \mathcal F_{\mathbb R}(X) \cong \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viele } x\in X \}
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498 499 500
$$

$$
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501
  V\otimes W :=
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502 503
  {
    \mathcal F(V\times W)
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504
  }/{
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505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516
    \left\langle
    \begin{subarray}{l}
      (v_1+v_2, w) -(v_1,w) -(v_2,w), v_1, v_2 \in V, w\in W \\
      (v, w_1+w_2) -(v,w_1) -(v,w_2), v \in V, w_1, w_2\in W \\
      \left.
      \begin{subarray}{l}
        (\lambda v, w) - \lambda(v,w) \\
        (v, \lambda w) - \lambda(v,w) \\
      \end{subarray}
      \right\}
      v \in V, w\in W, \lambda \in \mathbb R
    \end{subarray} \right\rangle
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517
  }
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518 519 520 521
$$

Sei
$$
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522 523
  i \colon &V\times W& \to V\otimes W
  \\ &(v,w)& \mapsto [(v,w)] =: v\otimes w
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524 525 526 527 528
$$

Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:

$$
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529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625
  (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w
  \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2
  \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$

%%%%2019-04-10


$$
  \langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot)
$$

wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$)

Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$. 
($e'=0$, $e'\in E'$) %TODO ?

Entsprechend ist

$$
  V\otimes W = \operatorname{span}\{ \underbrace{v\otimes w}_{=[(v,w)]}\ |\ v\in V, w\in W \}
$$

mit den Relationen:
$$
  (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w
  \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2
  \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$

** Lemma

Die angegebene Konstruktion von $V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft.

Beweis:

Sei $f\colon V\times W \to Z$ gegeben, bilinear

Definiere

$$
  \hat f\colon V\times W &\to& Z,\ \ \ \ \text{linear}
  \\ \sum_{i=1}^k \lambda_i(v_i, w_i) &\mapsto& \sum_{i=1}^k \lambda_i f(v_i, w_i)
$$

Behauptung: $\hat f$ induziert eine lineare Abbildung $\bar f$
$$
  \bar f\colon V\otimes W &\to& Z
  \\ (v\otimes w) &\mapsto& \hat f((v,w))
$$

Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben %TODO ref 
im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B.

$$
  && \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) )
  \\ &\overset{\text{Def. } \hat f}{=}& f(v_1 + v_2, w) - f(v_1, w) - f(v_2, w)
  \\ &\overset{\text{Bilinearität von } f}=& 0
$$

$\Rightarrow$ $\bar f$ erfüllt dann $\bar f(v\otimes w) = f(v,w) \Rightarrow V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft.

** Homomorphismen und Dualräume: (Erinnerung aus LAAG)

$V$, $W$ Vektorräume $\rightsquigarrow Hom(V,W) = \{ f\colon V\to W\ |\ f \text{ linear } \}$ ist selbst ein Vektoraum, wenn $V$, $W$ endlichdimensional $\Rightarrow \operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V,W) = \operatorname{dim}V \cdot \operatorname{dim} W$ ($\operatorname{Hom}(V,W) \cong \mathbb{M}(m\times n, \mathbb R)$, wenn $V\cong \mathbb R^n$, $W\cong \mathbb R^m$) 

$V^* := \operatorname{Hom}(V, \mathbb R)$ ist dann der Dualraum von $V$. Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$ ist, dann gibt es die duale Basis $\{ \alpha_j \}_{j=1}^n \subset V^*$ mit: $\alpha_j(e_i) := \delta_{ij} = \begin{cases} 1,  & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}$

Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^{**}$, $v\mapsto (\alpha \mapsto \alpha(v))$ ein Isomorphismus

** Proposition

$W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann:

$$
  \operatorname{dim} W\otimes V^* = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V = \operatorname{dim} W \otimes V
$$

Mehr: wenn $\{ f_j \}^m_{j=1}$ und $\{ e_i \}^n_{i=1}$ Basen in $W$ bzw. $V$ sind. Dann ist $\{ f_j \otimes e_i \}_{i=1,\dotsc, n; j=1,\dotsc, m}$ eine Basis in $W\otimes V$

Beweis:

Sei $L\colon W\times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha) \mapsto (\theta_{w,\alpha} \colon v \mapsto \alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang} 1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$)

$L$ ist bilinear, weil:

$$
  && (L(w_1 + \lambda w_2, \alpha_1 + \mu\alpha_2))(v)
  \\&=& (\alpha_1 + \mu\alpha_2)(v)\cdot(w_1 + \lambda w_2)
  \\&=& \underbrace{ \alpha_1(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_1)(v)}
  + \underbrace{ \mu \alpha_2(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_2)(v)}
  + \lambda \underbrace{ \alpha_1(v)w_2 }_{L(w_2, \alpha_1)(v)}
  + \mu\lambda \underbrace{ \alpha_2(v)\cdot w_2 }_{L(w_2, \alpha_2)(v)}
$$

Nach der universellen Eigenschaft vom Tensorprodukt bekommen wir eine lineare Abbildung

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626
$$
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627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711
  \bar L \colon W\otimes V^* &\to& \operatorname{Hom}(V,W)
  \\ w\otimes \alpha &\mapsto& \theta_{w,\alpha}
$$

$\bar L$ ist ein Isomorphismus: geben wir das Inverse an. Sei $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis on $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n$ die duale Basis in $V^*$. Definiere

$$
  \varphi \colon \operatorname{Hom}(V,W) &\to& W\otimes V^*
  \\ T &\mapsto& \sum_{i=1}^n T(e_i) \otimes \alpha_i
$$

$$
  \varphi \circ \bar L(w\otimes \alpha) &=& \varphi(\theta_{w,\alpha})
  \\&=& \sum_{w,\alpha} (e_i) \otimes \alpha_i
  \\&=& \sum_{i=1}^{n} \alpha(e_i)w\otimes \alpha_i
  \\&=& w\otimes \left( \sum_{i=1}^{n}\alpha(e_i)\cdot \alpha_i \right)
  \\&=& w\otimes \alpha
  \\&\Rightarrow& \varphi \circ \bar L = \operatorname{id}
$$

$$
  (\bar L\circ \varphi(T)(v)) 
  &=& \sum_{i=1}^{n} \theta_{T(e_i), \alpha_i}(v)
  \\&=& \sum_{i=1}^{n}\alpha_i(v)T(e_i)
  \\&=& T\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i (v) e_i\right)
  \\&=& T(v) 
  \\&\Rightarrow& \bar L \circ \varphi = \operatorname{id}
$$

$W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operatorname{dim} W\otimes V = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V \Rightarrow \{ f_j \otimes e_i \}$ ist eine Basis.

** Korollar

Wenn $X$, $Y$ endliche Mengen sind, dann gilt:

$$
  \mathcal F(X\times Y) \cong \mathcal{F}(X) \otimes \mathcal{F}(Y)
$$

Erinnerung: hier gilt $\mathcal F(X) = \{ f\colon X \to \mathbb R \}$ mit punktweisen Operationen

** Korollar

$W\otimes V \cong V\otimes W$, $W\otimes(V\otimes Z) = (W\otimes V)\otimes Z$

Bemerkung: Es gilt auch ohne Einschränkung auf Dimensionen

** Definition Tensor

Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (zum Vektoraum $V$) ist ein Element des Vektoraumes

$$
  T_{r,s}(V) := V \underbrace{ \otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}}
$$

Bemerkung: Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n \subset V^*$ duale Basis. $\rightsquigarrow$

$$
  \{ e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_r} \ |\ i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \}
$$

ist eine Basis in $T_{r,s}$ (Beweis: wende induktiv die Proposition an).

$\Rightarrow$ jedes $T\in T_{r,s}(V)$ ist darstellbar also

$$
  T= \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} } T_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1,\ldots,i_r} (e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s})
$$

Beispiel $T_{1,1} (V) = V\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{End}(V)$ d.h., elemente von $T_{1,1}$ kann man als lineare Abbildung von $V$ nach $V$ interpretieren. Multilinear heißt linear in jeder Komponente. Sei
$$
  M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{ V\times \ldots \times V }_{s\text{-mal}} \times \underbrace{ V^* \times \ldots \times V^* }_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$

** Proposition

$T_{r,s}(V)$ ist kanonisch isomorph zu $M_{s,r} (V)$

** Korollar

$$
  \operatorname{Bil}(V) = \{ b\colon V\times V \to \mathbb R \text{ biliniear} \} \cong V^*\otimes V^*
$$

Insbesondere ist ein Skalarpodukt auf $V$ ein Tensor vom Typ $(0,2)$ Notation $g_{i,j}$ für Koordinaten einer Metrik ist konstant mit Tensorprodukten.
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712