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\chapter{Über Untermannigfaltigkeiten in $\mb R^n$}

\begin{defn}
Sei $M\subset\mb R^n$ eine Teilmenge und $p\in M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
\begin{enumerate}
    \item (lokale Darstellung durch eine Karte) Es gibt eine offene Umgebung $\widehat U\subset\mb R^n$ von $p$, eine offene Teilmenge $V\subset\mb R^m$ und eine glatte Funktion $\psi:V\to \widehat  U$, so dass:
    \begin{enumerate}
     %   \item $\psi(V)=M\cap \widehat U$. \\
        \item $\psi: V\to M\cap \widehat U$ ist ein Homöomorphismus. \\
        \item $D_{\psi^{-1}(p)} \psi $ ist injektiv.
    \end{enumerate}
    
    \item (lokale Darstellung durch eine Untermannigfaltigkeitskarte) Es existiert eine offene Umgebung $U\subset\mb R^n$ von $p$, eine offene Teilmenge $\widehat V\subset\mb R^n$ und ein Diffeomorphismus $\psi:\widehat V\to \widehat U$, sodass $M\cap \widehat U=\psi\lt \widehat V \cap\lt \mb R^m\times\lb 0\rb \rt \rt$.
    
    \item (lokale Darstellung als Nullmenge) Es existiert eine offene Umgebung $\widehat U\subset\mb R^n$ von $p$ und eine glatte Funktion $F:\widehat U\to\mb R^{n-m}$, sodass
    \begin{enumerate}
        \item $\left. F \right\vert_{M\cap \widehat U} = 0$
        \item $D_p F \in\mr{Hom}\lt \mb R^n, \mb R^{n-m} \rt$ ist surjektiv.
    \end{enumerate}
    
    \item (lokale Darstellung als Graph) Es gibt nach eventueller Permutation der Koordinaten im $\mb R^n$ eine offene Umgebung $\widehat V$ von $\bar p:=\pi_{\mb R^m}(p)$, eine offene Umgebung $V'\subset\mb R^{n-m}$ von $\tilde p:=\pi_{\mb R^{n-m}}(p)$ und eine glatte Funktion $f:V\to V'$ mit 
    \[
    M\cap (V\times V')= \lb \lt x, f(x) \rt ~\vert~ x\in V\rb.
    \]
    Hierbei sind $\pi_{\mb R^n}$ bzw. $\pi_{\mb R^{n-m}}$ die Projektionen von $\mb R^n$ auf die ersten bzw. letzten Koordinaten.
\end{enumerate}

Eine Teilmenge $M\subset\mb R^n$, die die obigen äquivalenten Bedingungen für alle $p\in M$ erfüllt, heißt Untermannigfaltigkeit des $\mb R^n$.
\label{def_untermannigfaltigkeit}
\end{defn}

Ein simples Beispiel stellt die Einheitssphäre $S^{n-1}=\lb x\in\mb R^n ~\vert~ \norm{x}_2=1 \rb$. in der Umgebung des Punktes $(0,\ldots, 0, 1)$ gilt, dass $U\cap S^{n-1}=\lb x\in\mb R^n ~\left\vert~ x_n=\sqrt{1-\sum\limits_{i=1}^{n-1} x_i^2}  \right. \rb$.

Nun zum Beweis der Äquivalenz der Bedingungen in \eqref{def_untermannigfaltigkeit}.
\begin{proof}
(1)$\Rightarrow$(2): Sei $\lb v_i \rb_{i=1}^m$ eine Basis des Bildes von $D_{\psi^{-1}(p)}\psi$. Ergänze diese zu einer Basis $\lb v_i \rb_{i=1}^n$ des $\mb R^n$. Definiere die Abbildung $\Psi$ durch
\begin{eqnarray}
\Psi: V\times\mb R^{n-m} & \to & \mb R^n\\ 
(x',x'') & \mapsto & \psi(x') + \sum_{i=0}^{n-m}x_i'' v_{m+i}.
\end{eqnarray}
$D_{(\psi^{-1}(p), 0)}\in\mr{Hom}\lt \mb R^n, \mb R^n \rt$ hat $v_1, \ldots, v_n$ als Spalten und ist damit invertierbar. Damit existiert eine offene Umgebung $\widehat V$ von $\lt \psi^{-1}(p), 0\rt$, sodass $\left. \Psi\right\vert_{\widehat V}$ Diffeomorphismus ist.\\
(2)$\Rightarrow$(3): Definiere $F:=\pi_{\mb R^{n-m}}\circ \Psi^{-1}=\lb \lt x', f(x') \rt ~\vert~ x'\in V' \rb$. Dann ist $DF = D {\pi_{\mb R^{n-m}}}\circ D\Psi^{-1}$ an der Stelle $a$ surjektiv und $F\vert_{M\cap \widehat U} =0$.\\
(3)$\Rightarrow$(4): Folgt sofort aus dem Satz über die implizite Funktiion.\\
(4)$\Rightarrow$(1): Definiere $\psi(x):=(x,f(x)),~ \widehat U:=V\times V'$. Die Eigenschaften folgen direkt.
\end{proof}

\begin{defn}
Die Abbildung $\psi:V\to U\coloneqq \widehat U\cap M$ aus der Def. \eqref{def_untermannigfaltigkeit} heißt Karte (um $p\in M$). Die Abbildung $\Psi:\widehat V\to U$ heißt Untermannigfaltigkeitskarte (um $p\in M$).
\label{def_karte}
\end{defn}

Betrachten wir als Beispiel die Sphäre $S^2=\lb x\in\mb R^2 ~\vert~ x_1^2+x_2^2+x_3^3 = 1 \rb$. Die Funktion $F(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-1$ hat das Differential $DF = \lt 2x_1, 2x_2, 2x_3\rt\neq 0$ auf $S^2$. Damit bildet $S^2$ eine UM des $\mb R^n$. Die Abbildung
\begin{eqnarray}
\psi:\lt 0, 2\pi \rt\times \lt -\frac\pi 2,\frac\pi 2 \rt &\to&\mb R^3 \\
(\phi, \theta) &\mapsto& (\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta, \sin\theta)
\end{eqnarray}
ist eine Karte. Die Abbildung
\begin{eqnarray}
\phi:B(0,1) &\to & S^3\subset\mb R^3 \\
(x_1,x_2) &\mapsto & (x_1, x_2, 1-x_1^2+x_2^2)
\end{eqnarray}
ist auch eine Karte, jedoch nur für die obere Halbsphäre. In der DG studiert man Größen, die man zwar mit Hilfe von Karten definiert, aber diese unabhängig von der Wahl der Karte sein sollen. Die nachfolgenden Diagramme sollen die Situationen der einzelnen Karten miteinander vergleichen.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V^\Psi \ar{r}{\Psi}       & U^\Psi                      &\subset  &\mb R^n \\ [-20pt]
\rotatebox{90}{$\subset$} & \rotatebox{90}{$\subset$}   &         &\rotatebox{90}{$\subset$} \\ [-20pt]
V^\psi \ar{r}{\psi}       & U^\psi                      &\subset  & M
\end{tikzcd}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzcd}
\mb R^n \supset V^\Phi \ar{r}{\Phi} & U^\Phi\cap U^\Psi & V^\Psi\subset\mb R^n \ar{l}[above]{\Psi} \\ [-20pt]
\mb R^n\times\lb 0 \rb \supset V^\phi \ar{r}{\phi} & U^\phi\cap U^\psi & V^\psi\subset\mb R^n\times\lb 0\rb \ar{l}[above]{\psi}
\end{tikzcd}
\end{center}

An den Stellen, wo sich Kartenumgebungen $U^\Psi, U^\Phi$ schneiden, sind Kartenwechselabbildungen wohldefiniert, also Abbildungen $\Psi^{-1}\circ\Phi:V^\Phi\to V^\Psi$ und $\psi^{-1}\circ\phi: V^\phi\to V^\psi$. Da die Karten selbst Diffeomorphismen sind, überträgt sich diese Eigenschaft auch auf die Kartenwechselabbildungen.

\section{Tangentialraum}
\begin{defn}
Sei $M\subset\mb R^n$ eine Untermannigfaltigkeit, $p\in M$ und $\psi\colon V\to U$ eine Karte um $p$. Der Tangentialraum zu $M$ an $p$ ist definiert als $T_pM:=\mr{Im}\, D_{\psi^{-1}(p)}\psi\subset\mb R^n$.
\label{def_tangentialraum}
\end{defn}

Man muss nun überprüfen, dass $T_pM$ ist wohldefiniert ist, d.h., dass er von der Wahl der Karte $\psi$ nicht abhängt. Ist $\phi:V^\phi\to U^\phi$ eine andere Karte und $p\in U^\phi\cap U^\psi$, dann ergibt sich zunächst das folgende kommutative Diagramm:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
                                      &   \mb R^n   &                                                     \\
\mb R^m \ar{ru}{D_{\psi^{-1}(p)}\psi}  \ar{rr}[below]{D_{\psi^{-1}(p)}\lt \phi^{-1}\circ\psi \rt}&             & \mb R^m \ar{lu}[above, right]{D_{\phi^{-1}(p)}\phi} \\
\end{tikzcd}
\end{center}

Nun ist $\phi^{-1}\circ\psi$ ein Diffeomorphismus und es folgt, dass $\mr{im} ~ D_{\psi^{-1}(p)}\psi = \mr{im}~D_{\psi^{-1}(p)}\lt \phi\circ\phi^{-1}\circ\psi \rt  = \mr{im}~ D_{\phi^{-1}(p)}\phi$.

\begin{defn}
Das Tangentialbündel von $M$ wird definiert als $TM:=\lb (p,v)\in\mb R^n\times\mb R^n ~\vert~ p\in M, v\in T_pM \rb$.
\label{def_tangentialbuendel}
\end{defn}



\begin{defn}
Die Koordinaten eines Tangentialvektors $v$ bzgl. einer Karte $\psi$ sind durch $v^\psi:= D_p\psi^{-1}(v)$ gegeben.
\label{def_koordinaten_tangentialvektor}
\end{defn}

Eine Basis des Tangentialraums kann man nach Definition aus dem Bild einer Basis des $\mb R^n$ erhalten. Ist $\psi$ eine Karte und $\lb e_i \rb_{i=1}^n$ die kanonische Basis des $\mb R^n$, und $\psi(x) = p$, so bildet
\[
D_x \psi(e_i) = \frac{\partial \psi}{\partial x_i},\quad i = 1,\dots, m
\]
eine Basis von $T_pM$.

Die Tangentialvektoren $v\in T_pM$ können wir auch als Richtungsableitungen auffassen. Ist $f:\mb R^n\to\mb R$, dann ist $\partial_v f := v(f):= D_p f(v)$. Ist $v\in T_pM$, so hängt $v(f)$ nur von $f\vert_M$ ab, denn

\begin{eqnarray}
v(f)&=& D_pf(v) \\
    &=& D_p\lt f\circ\Psi\circ\Psi^{-1} \rt(v) \\
    &=& D_{x}\lt f\circ\Psi \rt \circ \underbrace{D_p\Psi^{-1}(v)}_{\in T_pM} \\
    &=& D_{x}\lt f\circ\psi \rt(v)
\end{eqnarray}

Aus den Ableitungsregeln folgt auch die Leibnizregel mit $v(fg)=f(p)v(g) + g(p)v(f)$ für $v\in T_pM$ und $f,g:\mb R^n\to\mb R$.

Ist nun $\gamma:I\to M\subset\mb R^n$ eine Kurve und $\gamma(0)=p$, dann gilt $\dot\gamma(0)\in T_pM$. Das ist unmittelbar einleuchtend, denn

\begin{eqnarray}
\dot\gamma(0) &=& D_0\gamma \\
              &=& D_0\lt\psi\circ\psi^{-1}\circ\gamma \rt \\
              &=& D_{x}\psi \circ D_0\lt \psi^{-1}\circ\gamma \rt \\
              &\in & \mr{im}~D_{x} \psi \\
              &=& T_pM.
\end{eqnarray}

Somit können wir den Tangentialraum nun aus mehreren Sichtweisen betrachten:
\begin{enumerate}
    \item Bild des Differentials $D_{x}\psi$ einer Parametriserung von $M$
    \item Die Menge der Richtungsableitungen $v\in T_pM$ für glatte Funktionen auf $M$ an $p$
    \item Menge der Tangentialvektoren glatter Kurven auf $M$ durch $p$
\end{enumerate}

Aus der Äquivalenz der Varianten (1) und (2) der Definition einer Untermannigfaltigkeit folgt, dass für eine Funktion $f\colon M\to \mb R$ und eine Karte $\psi\colon V\to U$ die Verknüpfung $f\circ\psi\colon V\to \mb R$ genau dann glatt ist, wenn $f$ die Einschränkung einer glatten Funktion von der offenen Teilmenge $\widehat U\subset \mb R^n$ auf $M$ ist. Somit können wir glatte Funktionen auf $M$ auch so definieren:

\begin{defn}
Eine Funktion $f\colon M\to \mb R$ ist glatt, wenn für jede Karte $\psi$ die Funktion $f\circ\psi\colon V\to\mb R$ glatt ist. Die Algebra der glatten Funktionen auf $M$ wird durch $C^\infty(M)$ bezeichnet.
\end{defn}
Nach obigen Überlegungen können wir diese Funktionen in Richtung jedes Tangentialvektors $v\in T_p M$ ableiten, und es gilt
\[
[D_x\psi(e_i)] (f) = \frac{\partial(f\circ \psi)}{\partial x_i}(x),
\]
also entsprechen die Vektoren $D\psi(e_i)$ genau den Richtungsableitungen in Richtung $x_i$. Dies motiviert auch die Notation
\[
D_x \psi(e_i)\eqqcolon \frac{\partial}{\partial x_i}
\]
für die entsprechende Basis des Tangentialraumes.

\begin{defn}
Sei $M\subset\mb R^n$ eine UM. Die von $\mb R^n$ induzierte Riemannsche Metrik auf $M$ ist die Familie von Skalarprodukten $g_p$ definiert durch
\begin{eqnarray}
g_p: T_pM\times T_pM &\to & \mb R \\
(v,w) &\mapsto & \ip{v,w}_{\mb R^n} =: g_p(v,w).
\end{eqnarray}
\label{def_riemannsche}
\end{defn}
Sei $\psi: V^\psi\to U^\psi\subset M$ eine Karte. Wir drücken nun $g_p$ in Koordinaten aus. Setze hierfür $x:=\psi^{-1}(p)$. Dann ergibt sich die Darstellung $g_x^\psi(\cdot, \cdot ) = g_p\lt D_x\psi(\cdot), D_x\psi(\cdot) \rt$ von $g$ bzgl. $\psi$. Explizit ergibt sich

\begin{eqnarray}
g_x^\psi(v,w) &=& g_p\lt D_x\psi(v), D_x\psi(w) \rt \\
              &=& \ip{ D_x\psi(v), D_x\psi(w) } \\
              &=& v^T \underbrace{\lt D_x\psi\rt^T \lt D_x\psi\rt}_{=:G_x} w.
\end{eqnarray}
Dies bedeutet, dass die Matrix $G_x$ die Matrix des Skalarproduktes $g_x^\psi$ ist und damit die Riemannsche Metrik auf $M$ in lokalen Koordinaten darstellt.

Es sei als Beispiel $M=S^2$ gewählt und die Parametrisierung $\psi(\theta, \phi)=\lt\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\cos\theta, \sin\theta \rt$ für $\phi\in\lt 0,2\pi\rt$ und $\theta\in\lt -\frac\pi 2, \frac\pi 2\rt$. Dann ist
\begin{equation}
D\psi = 
\begin{pmatrix}
-\sin\phi\cos\theta & -\cos\phi\sin\theta \\
\sin\phi\cos\theta  & -\sin\phi\cos\theta \\
0                   & \cos\theta
\end{pmatrix}
\end{equation}

und damit
\begin{equation}
G=
\begin{pmatrix}
\cos^2\theta & 0 \\
0            & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\norm{e_\phi}^2         & \ip{e_\phi, e_\theta} \\
\ip{e_\theta, e_\phi}   & \norm{e_\theta}^2
\end{pmatrix},
\end{equation}
wobei $e_\phi:=D_\psi(e_1)$ und $e_\theta=D_\psi(e_2)$.
Sei $\gamma:I\to M\subset\mb R^n$ eine Kurve. Mit $\gamma(I)\subset U^\psi$ finden wir

\begin{eqnarray}
L(\gamma) &=& \int_I \norm{\dot\gamma} \mr dt \\
          &=&  \int_I \ip{\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)}_{\mb R^n}^{\frac 1 2} \\
          &=& \int_I g_{\gamma(x)}\lt\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\rt \mr dt \\
          &=& \int_I g_{\psi^{-1}(\gamma(t)}^\psi \lt D_{\psi^{-1}}\dot\gamma(t), D_{\psi^{-1}}\dot\gamma(t)  \rt^{\frac 12} \mr dt \\
          &=& \int_I \lt \dot{\tilde{\gamma}}(t)^T G_x \dot{\tilde{\gamma}}(t)   \rt^{\frac 12} \mr dt,
\end{eqnarray}
wobei $\psi^{-1}\circ\gamma =:\tilde\gamma$ und $G_x:=\lt D_x\psi \rt^T \lt D_x\psi\rt$

\section{Vektorfelder auf $M$}

\begin{defn}
Sei $X:M\to\mb R^n$ eine Abbildung derart, dass für jede Karte $\psi:V^\psi\to U^\psi$ die Abbildung $X\circ\psi:V^\psi\to\mb R^n$ glatt ist. $X$ wird Vektorfeld auf $M\subset\mb R^n$ genannt. Ein Tangentialvektorfeld (TVF) $X$ ist ein Vektorfeld (VF) auf $M$ mit $X(p)=X_p\in T_pM$ für alle $p\in M$. Ein Normalenvektorfeld (NVF) $X$ ist ein VF auf $M$ mit $X(p)=X_p\perp T_pM$ für alle $p\in M$. Ein Einheitsvektorfeld (EVF) $X$ ist ein VF mit $\bra X(p), X(p)\ket=1$ für alle $p\in M$
\end{defn}

Sei $M\subset\mb R^3$ eine Fläche. Sei $\psi:V^\psi\to U^\psi\subset M\subset\mb R^3$ eine Karte von $M$. Sei $p\in U^\psi$, $v_i:=\lt D_{\psi^{-1}(p)}\psi \rt(e_i)$ mit $i\in\lb1,2\rb$ die von $\psi$ induzierte Basis von $T_pM$. Dann ist
\begin{equation}
\nu_p:=\frac{v_1\times v_2}{\norm{v_1\times v_2}} \perp T_pM
\end{equation}
ein NVF zu $M$ an $p$. Die Abbildung $\nu:U^\psi\to\mb R^n,~ p\mapsto \nu_p$ ist ein NVF auf $U^\psi$. Für jede andere Parametrisierung $\phi:V^\phi\to U^\phi=U^\psi$ gilt $\nu_p^\phi=\pm \nu_p^psi$ für jedes $p\in U^\phi=U^\psi$.

\begin{defn}
Eine orientierte Fläche $\lt M, \nu\rt$ ist eine Fläche $M\subset\mb R^3$ ausgestattet mit einem Einheitsnormalenfeld $\nu:M\to\mb R^3$.
\end{defn}

Da $\norm{\nu_\phi}=1$ folgt, dass $\nu:M\to S^2$. $\nu$ heißt Gauß-Abbildung von $M$. Beispiele für orientierte Flächen sind u.a. die Sphäre in $\mb R^3$ und das Möbiusband.

Sei nun $\nu:M\to\mb R^3$ ein Einheitsnormalenfeld, $p\in M$ und $v\in T_pM$. Leiten wir die Relation $1=\bra\nu_p, \nu_p\ket$ in Richtung von $v$ an $p$ ab, so erhalten wir
\begin{eqnarray}
0 &=& v\lt\bra\nu, \nu\ket \rt \\
  &=& 2\bra v(\nu), v(\nu) \ket,
\end{eqnarray}
also $v(\nu)\perp \nu_p$ und damit $v(\nu)\in T_pM$. Insgesamt erhalten wir somit eine Abbildung $S_p:T_pM\to T_pM, ~ v\mapsto -v(\nu)$.

\begin{defn}
Der lineare Operator $S_p$ heißt Formoperator oder Weingartenoperator von $M$ an $p\in M$.
\label{def_weingarten}
\end{defn}

\begin{defn}
Die bilineare Abbildung 
\begin{eqnarray}
h_p:T_pM\times T_pM &\to& \mb R^n \\
(v,w) &\mapsto& \bra S_p(v), w \ket_{\mb R^n} =g_p\lt S_p(v), w \rt
\end{eqnarray}
heißt zweite Fundamentalform von $M$ an $p$.
\label{zweite_fundamentalform}
\end{defn}
Historisch bedingt wird $g_p$ erste Fundamentalform genannt. Es seien hier zwei Beispiele angeführt. Im ersten sei $M=\mb R^2$, damit $\nu$ konstant und daher $S_p=0=h_p$. Im zweiten Beispiel sei $M=S^2$ und $v(p)=p$. Damit folgt $D\nu=I$ und daher $S_p=-I_{T_pS^2}=h_p$.

\begin{prop}
Sei $(M,\nu)$ eine orientierte Fläche und $\psi:V^\psi\to U^\psi\subset M$ eine Karte von $M$, sowie $p\in M, x\in V^\psi$ mit $\psi(x)=p$. Dann gilt für alle $v,w\in\mb R^2:$
\begin{equation}
\bra D_x\psi(v), S_p\lt D_x\psi(w)\rt \ket = \bra \mr{Hess}_x\psi(v,w), \nu_p \ket,
\end{equation}
also $D_x\psi \simeq T_pM$.
\end{prop}

\begin{proof}
$\forall x\in V^\psi$ gilt $\bra D_x\psi(v), \nu\circ\psi(x)\ket=0$. Ableitung nach $x$ liefert nun
\begin{equation}
\underbrace{\bra D_x\lt D_{(\cdot)}\psi(v)\rt(w), \nu_{\psi(x)} \ket}_{\bra \mr{Hess}_x \psi(v,w), \nu_{\psi(x)}\ket} + \underbrace{\bra D_x\psi(v), D_{\psi(x)}\nu\circ D_x\psi(w) \ket}_{-S_{\psi(x)}\lt D_x\psi(w)\rt}=0
\end{equation}
\end{proof}
Diese Formel kann in Koordinaten wie folgt interpetiert werden. Die zweite Fundamentalform $h_p$ liefert eine Bilinearform auf $\mb R^2$, nämlich hier $h_x^\psi(v,w):=h_{\psi(x)}\lt D_x\psi(v), D_x\psi(w) \rt$. Die obige Gleichung besagt, dass die Matrix von $h_x^\psi$ duch $\lt \bra\frac{\partial\psi}{\partial x_i\partial x_j}, \nu_{\psi(x)} \ket\rt_{ij}$ gegeben ist.

\begin{cor}
$S_p:T_pM\to T_pM$ ist bzgl. dem Skalarprodukt $g_p$ selbstadjungiert.
\end{cor}
\begin{proof}
Für alle $v,w\in\mb R^2$ ist $\mr{Hess}_x\psi(v,w)=\mr{Hess}_x\psi(w,v)$.
\end{proof}

Als Beispiel sei eine Fläche $M\subset\mb R^3$ lokal an $0\in\mb R^3$ durch $z=f(x,y)$ gegeben und derart, dass $M=\mb R^2$. Die Taylorentwicklung von $f$ an $0$ sei
\begin{equation}
f(x,y) = 0 + 0x + 0y + \frac{1}{2}\lt Lx^2 + 2Mxy + Ny^2\rt + \mathcal{O}(x_ix_jx_k).
\end{equation}
Dann hat die zweite Fundamentalform in Koordinaten die Gestalt $\begin{pmatrix}
L & M \\
M & N
\end{pmatrix}$.

Es seien nun $\lt T_pM, g_p \rt$ und $S_p:T_pM\to T_pM$ gegeben. $S_p$ besitzt eine ONB $(v_1,v_2)$ aus Eigenvektoren, also existieren $\kappa_1\kappa_2\in\mb R$ mit $S_p(v_i)=\kappa_i v_i$, mit $i\in\lb 1,2 \rb$.

\begin{defn}
Die obigen $\kappa_i$ heißen Hauptkrümmungen von $M$ an $p$ für die obigen Hauptkrümmungsrichtungen $v_i\in T_pM$ mit $i\in\lb 1,2\rb$. Die Zahlen
\begin{eqnarray}
\kappa(p) &:=& \frac{\kappa_1+\kappa_2}{2} = \frac 12 \mr{Tr}(S_p) \\
K(p) &:=& \kappa_1\kappa_2 = \det(S_p)
\end{eqnarray}
heißen mittlere Krümmung und Gaußkrümmung von $M$ an $p$.
\end{defn}

\begin{defn}
Wir nennen $p$
\begin{enumerate}[(i)]
\item elliptischen Punkt, wenn $K(p) > 0$.
\item hyperbolischen Punkt, wenn $K(p) < 0$.
\item parabolischen Punkt, wenn ein $\kappa_i=0$.
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{theo}
Sei $\gamma:I\to M\subset\mb R^3$ eine nach Bogenlänge parameterisierte Kurve. Dann existiert eine Funktion $\kappa:I\to\mb R$ mit
\begin{equation}
\ddot\gamma = \underbrace{\kappa(t)\lt\nu_{\gamma(t)}\times\dot\gamma(t) \rt}_{\in T_{\gamma(t)}M} + \underbrace{h_{\gamma(t)}\lt\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\rt \nu_{\gamma(t)}}_{\in  N_{\gamma(t)}M}.
\end{equation}
\end{theo}

\begin{defn}
$\kappa(t)$ heißt geodätische Krümmung von $\gamma$. Wenn $\kappa$ verschwindet, wird $\gamma$ Geodäte oder geodätische Linie genannt.
\label{def_geodaete}
\end{defn}

\begin{proof}
Wir wählen eine positiv orientierte ONB wie folgt
\begin{eqnarray}
e_1(t) &:= & \dot\gamma(t) \\
e_2(t) &:= & \nu_{\gamma(t)} \times \dot\gamma(t) \\
e_3(t) &:= & \nu_{\gamma(t)}
\end{eqnarray}

Wir drücken nun $\ddot\gamma(t)$ durch $e_i(t)$, $i\in\lb 1, 2, 3\rb$ aus:
\begin{equation}
\ip{\ddot\gamma(t), e_1(t)} = \ip{\ddot\gamma(t), \dot\gamma(t)}=\frac{1}{2} \frac{\rm d}{\rm{d} t} \norm{\dot\gamma}^2=0
\end{equation}

Definiere jetzt $\kappa(t)$ durch $\kappa(t):=\ip{\ddot\gamma(t), e_2(t)} e_2(t)$. Dann gilt, dass der Tangentialanteil von $\ddot\gamma(t)$ genau $\gamma(t)e_2(t)=\kappa(t)\lt\nu_{\gamma(t)}\times\dot\gamma(t) \rt$ ist. Wir berechnen den Normalteil:
\begin{eqnarray}
\ip{\ddot\gamma(t), e_3(t)} &=& \ip{\ddot\gamma(t), \nu_{\gamma(t)}} \\
    &=& \frac{\rm d}{\rm{d}t} \ip{\dot\gamma(t), \nu_{\gamma(t)}} -\ip{\dot\gamma(t), \frac{\rm d}{\rm{d}t} \nu_{\gamma(t)}} \\
    &=& -\ip{\dot\gamma(t), D_{\gamma(t)}\nu\dot\gamma(t)} \\
    &=& h_{\gamma(t)}\lt \dot\gamma(t), \dot\gamma(t) \rt
\end{eqnarray}

\end{proof}

Damit ergibt sich die Frenet-Krümmung $\kappa_2$ von $\gamma:I\to\mb R^3$ zu $\kappa_2(t)=\norm{\ddot\gamma(t)} = \sqrt{\kappa^2(t) + h_{\gamma(t)}\lt\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\rt^2 }$.

Bislang haben wir folgende Objekte im Zusammenhang mit UM $M\subset\mb R^n$ kennengelernt:
\begin{itemize}
    \item Tangentialraum $T_pM$ für $p\in M$
    \item Von $\mb R^n$ induzierte Riemannsche Metrik $g_p:T_pM\times T_pM\to\mb R$
    \item Für eine Fläche $M\subset\mb R^3$ den Formoperator $S_p:T_pM\to T_pM$ und zweite Fundamentalform $h:T_pM\times T_pM\to\mb R$
    \item Für eine Fläche $M\subset\mb R^3$ Hauptkrümmungen $\kappa_1(p), \kappa_2(p)$ und Gaußkrümmung $\kappa(p)=\kappa_1(p)\kappa_2(p)$
\end{itemize}

\begin{defn}
Eine Größe der inneren Geoemtrie einer UM $M\subset\mb R^3$ ist eine Größe, die nur von der Riemannschen Metrik $g_p$ abhängt. Andere Größen heißen Größen der äußeren Geometrie.
\end{defn}

\begin{theo}
Die Gaußkrümmung $\kappa(p)=\kappa_1(p)\kappa_2(p)$ ist eine Größe der inneren Geometrie.
\end{theo}

\section{Tangentialvektorfelder}
Es sei daran erinnert, dass ein TVF auf einer UM $M\subset\mb R^3$ eine glatte Abbildung $X:M\to\mb R^n$ ist, sodass $X(p)=X_p\in T_pM$. TV können Funktionen ableiten. Für $f:M\to\mb R$ bekommen wir also $X(f):M\to\mb R, ~ p\mapsto X_p(f)$. Beispielhaft sei $M=\mb R^n,~ X:\mb R^n\to\mb R^n$ mit Komponenten $X_i,~i\in\lb 1, \ldots, n\rb$. Dann gilt
\begin{equation}
X(f)=\sum_{i=1}^{n} \underbrace{X_i(p)\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{\partial_{X(p)}(f)=X_p(t)}.
\end{equation}

Wenn $\psi:V^\psi\to U^\psi\subset M$ eine Kurve ist, $X:U^\psi\to\mb R^n$ ein TVF, dann ist $X\circ\psi:V^\psi\to\mb R^n$ und $\forall x\in V^\psi$ gilt $X\circ\psi(x)\in T_{\psi(x)}M$. In $T_{\psi(x)}$ gibt es eine Basis $\partial_i^\psi=\frac{\partial}{\partial x_i}:=D_x\psi(e_i)$. Also hat man $X\circ\psi(x)=\sum_{i=1}^{n}X_i^\psi(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$. Die Ableitung erfüllt die Leibnizregel, also folgt $X_p(fg)=g(p)X_p(f) + f(p)X_p(g)$ und $X(fg)=fX(g) + gX(f)$.

\begin{defn}
Seien $X,Y:M\to\mb R^n$ zwei TVF. Dann heißt das TVF $\com{X,Y}:=X_p(Y) - Y_p(X)$ Lie-Klammer oder Kommutator von $X,Y$.
\label{def_lieklammer}
\end{defn}

Nach obigen Überlegungen reicht es den Kommutator für VF auf $\mb R^n$ auszurechnen, denn lokal sieht jedes VF so aus. Seien $X,Y:\mb R^m\to\mb R^m$ VF, $f:\mb R\to\mb R$ eine Funktion. Dann gilt:
\begin{eqnarray}
\com{X,Y}_p(f) &=& \lt X_p(Y)\rt(f) - \lt Y_p(X)\rt(f) \\
               &=& \sum_{i=1}^{m} X_i(p)\frac{\partial Y}{\partial X_i}(f) \\
               &=& \sum_{i,j=1}^{m} \lt X_i(p)\frac{\partial Y_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} - Y_i(p) \frac{\partial X_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} \rt \\
               &=& \sum_{i,j=1}^{m} \left( X_i(p)\frac{\partial Y_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} + X_i(p)Y_j(p)\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right. \\
               &-& \left. Y_i(p)\frac{\partial X_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} - X_i(p)Y_j(p) \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right) \\
               &=&\sum_{i,j=1}^{m} \lt X_i(p)\frac{\partial}{\partial x_i}\lt Y_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \rt - Y_i(p)\frac{\partial}{\partial x_i}\lt X_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \rt \rt \\
               &=& X_p\lt Y(f)\rt - Y_p\lt X(f) \rt. 
\end{eqnarray}

D.h. $\com{X,Y}$ ist das TVF, welches für alle $f:M\to\mb R$ die Bedingung $\com{X,Y}(f)=X\lt Y(f)\rt - Y\lt X(f)\rt$. Zu je zwei TVF $X,Y$ auf $M$ gibt es damit die Lie-Klammer $\com{X,Y}$, die wiederum ein TVF ist. Nun, wenn $M\subset\mb R^m$ eine UM und $X,Y$ zwei TVF auf $M$, kann man immer noch ein VF $X\lt Y\rt$ bilden. Mit Komponenten $X\lt Y_i\rt$. Das Problem liegt darin, dass $X\lt Y\rt$ i.A. kein TVF sein wird, selbst wenn $X,Y$ es gewesen sind.

Als Beispiel dienen soll die Sphäre $S^2\setminus\lb N, S\rb$ ohne Nord- und Südpol. Wir setzen $X=Y=\frac{\partial}{\partial\vartheta}$ und werden sehen, dass $\lt X(Y)\rt_p \perp T_pS^2$ für alle $p$ sein wird. Berechnen wir $\frac{\partial}{\partial\vartheta}$ in Koordinaten $\vartheta,\varphi$ des Punktes $p\in S^2$. Wir nutzen als Karte 

\begin{eqnarray}
\psi: (0,2\pi) \times \lt -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rt &\to & S^2 \\
(\varphi, \vartheta) &\mapsto &
\begin{pmatrix}
\cos\vartheta\cos\varphi \\
\cos\vartheta\sin\varphi \\
\sin\vartheta
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray}

Damit ergibt sich
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial\vartheta} =
\begin{pmatrix}
-\sin\vartheta\cos\varphi \\
-\sin\vartheta\sin\varphi \\
\cos\vartheta
\end{pmatrix}
\label{ausdruck_1}
\end{equation}

und

\begin{equation}
X\lt Y\rt = \frac{\partial}{\partial\vartheta} \eqref{ausdruck_1}) = -
\begin{pmatrix}
\cos\vartheta\cos\varphi \\
\cos\vartheta\sin\varphi \\
-\sin\vartheta
\end{pmatrix}.
\end{equation}

Allerdings ist $\com{X,Y}=X(Y)-Y(X)$ ein TVF, wenn $X,Y$ es sind. Arbeiten wir in lokalen Koordinaten $x_1,\ldots, x_m$ mit den Darstellungen $X=\sum_{i=1}^{m}X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$, $Y=\sum_{i=1}^{m}Y_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$, so folgt:

\begin{eqnarray}
\com{X,Y} &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}, Y_i(x)\frac{\partial}{\partial x_j}} \\
          &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i} \lt Y_j(x)\frac{\partial}{\partial x_j} \rt - Y_j(x) \frac{\partial}{\partial x_j}\lt X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i} \rt } \\
          &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial Y_j(x)}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i} - Y_j(x)\frac{\partial X_i}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_j} } \\
          &=& \sum_{j=1}^{m} \underbrace{\lt \sum_{i=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial Y_j(x)}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i} - Y_j(x)\frac{\partial X_i}{\partial x_j}} \rt}_{=:Z_j(x)} \frac{\partial}{\partial x_j} \\
          &=& \sum_{j=1}^{m} Z_j(x)\frac{\partial}{\partial x_j}
\end{eqnarray}

\begin{defn}
Seien $X,Y$ zwei TVF auf $M$. Dann definieren wir $\nabla_{Y_p}X:=\pi_{T_pM}\lt Y_p(x)\rt =: Y_p(x)^\tau $
\end{defn}
Nach Konstruktion ist $\nabla_YX$ ein TVF auf $M$. Es wird kovariante Ableitung von $X$ nach $Y$ genannt.

\begin{rem}
Wenn $X$ ein TVF ist und $\xi\in T_pM$, ergibt die Notation $\nabla_\xi X:=\pi_{T_pM}\lt \xi(X)\rt$ und $\delta_{mn}$.
\end{rem}

Beispielhaft sei $\gamma:I\to M$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. $\gamma$ ist genau dann eine Geodäte, wenn $\forall t\in I:~\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t)=0$. Die Ableitungsvorschrift von $\nabla$ heißt auch Levi-Civita-Zshg. auf $M$.

\begin{prop}
Seien $X,Y,Z$ TVF uf $M$ und $f,\tilde{g}: M\to\mb R$ glatt. Dann gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\nabla_{fX+\tilde g Y} Z = f\nabla_X Z + \tilde g \nabla_Y Z$ \\
\item $\forall \alpha,\beta\in\mb R$ gilt $\nabla_X(\alpha Y + \beta Z) = \alpha\nabla_XY + \beta\nabla_XZ$
\item $\nabla_X(fY) = X(f)Y + f\nabla_XY$
\item $\nabla_XY-\nabla_YX = \com{X,Y}$, (Torsionsfreiheit des L-C-Zshg.) \\
\item $X\lt g(Y,Z)\rt = g\lt \nabla_XY, Z\rt + g\lt Y,\nabla_XZ \rt$, (L-C-Zshg. Riemannsch) \\
\item Wenn $M\subset\mb R^3$ eine orientierte Fläche mit ENF $\nu$, dann gilt $Y(X) = \nabla_YX + h(X,Y)\nu$
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\begin{eqnarray}
\nabla_{fX+\tilde gY} Z &=& \lt (fX+\tilde g Y)(Z) \rt^\tau \\
                        &=& \lt fX(Z) +\tilde gY(Z) \rt^\tau \\
                        &=& f\nabla_XZ + \tilde g \nabla_YZ
\end{eqnarray}

\item 
\begin{eqnarray}
\nabla_X \lt\alpha Y + \beta Z\rt &=& \com{X\lt \alpha Y + \beta Z\rt}^\tau \\
                                  &=& \alpha X(Y)^\tau +\beta X(Z)^\tau \\
                                  &=& \alpha\nabla_X Y + \beta\nabla_XZ
\end{eqnarray}

\item 
\begin{eqnarray}
\nabla_X(fY) &=& \lt X(fY) \rt^\tau \\
             &=& \lt X(f)Y + f X(Y) \rt^\tau \\
             &=& X(f)Y^\tau + fX(Y)^\tau \\
             &=& X(f)Y + f\nabla_XY
\end{eqnarray}

\item 
\begin{eqnarray}
\nabla_XY - \nabla_YX &=& X(Y)^\tau - Y(X)^\tau \\
                      &=& \com{X(Y) - Y(X)}^\tau \\
                      &=& \com{X,Y}^\tau \\ 
                      &=& \com{X,Y}
\end{eqnarray}

\item 
\begin{eqnarray}
g\lt\nabla_XY, Z\rt &=& \ip{\nabla_XY, Z} \\
                    &=& \ip{X(Y)^\tau, Z} \\
                    &=& \ip{X(Y), Z}
\end{eqnarray}

\item Sei $p\in M$.
\begin{eqnarray}
0 &=& Y_p\lt \ip{X,\nu_p} \rt \\
  &=& \ip{Y_p(X), \nu_p} + \ip{X_p, Y_p(\nu)} \\
  &=& \ip{Y_p(X), \nu_p} - \ip{X_p, S_p\lt Y_p\rt} \\
  &=& \ip{Y_p(X), \nu_p} - h_p\lt X, Y_p\rt
\end{eqnarray}
Und damit folgt $\ip{Y_p(X), \nu_p}=h_p(X,Y_p) \Rightarrow (iv)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

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% EINE VORLESUNG FEHLT HIER
% (Vadim schreibt sie selbst rein...)
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Um Gaußkrümmung zu beschreiben, brauchen wir aber die zweiten Ableitungen. Seien $M\subset\mb R$ eine UM. Sei $f\in C^\infty(M)$ und $X,Y,Z$ TVF auf $M$.

\begin{defn}
.
\begin{enumerate}[(i)]
    \item Hesse-Form von $f$:
    \begin{equation}
        \lt {\rm Hess} ~f \rt\lt X,Y\rt := X(Y(f)) - \lt\nabla_X Y\rt(f)
    \end{equation}
    
    \item Zweite kovariante Ableitung von $Z$ nach $X,Y$:
    \begin{equation}
        \nabla^2_{X,Y}Z := \nabla_X\lt\nabla_Y Z \rt - \nabla_{\nabla_X Y} Z
    \end{equation}
    
    \item Riemannscher Krümmungstensor
    \begin{equation}
        R_{X,Y}(Z) := \nabla^2_{X,Y}Z - \nabla^2_{Y,X}Z
    \end{equation}
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{rem}
Obige Definitionen sind so gewählt, dass $\lt {\rm Hess} ~f \rt_p(X,Y)$ von $X_p,Y_P$ abhängt, aber nicht von ihren Ableitungen. Ebenso hängt $\lt\nabla_{X,Y} Z\rt_p$ nur von $X_p, Y_p$ ab.
\end{rem}

Als Beispiel wählen wir $M=\mb R^m \times\lb 0\rb\subset\mb R^n$. Mit $X=\sum_{i=1}^m X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}, Y=\sum_{j=1}^m Y_j(x)\frac{\partial}{\partial x_j}$ und $f=f(x)$ ergibt sich
\begin{eqnarray}
{\rm Hess}~(f)(X,Y) &=& \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m X_i(x) \frac{\partial}{\partial x_i} \lt Y_j(x) \frac{\partial f}{\partial x_j} \rt \\
                     &-& \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \frac{\partial Y_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \\
                     &=& \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m X_i(x) Y_j(x) \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}
\end{eqnarray}

Damit ist die Hesse-Form von $f$ in jedem Punkt $x\in\mb R^m$ eine Bilinearform auf $\mb R^m = T_x\mb R^m$ mit der Matrix $\lt \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\rt$. Analog gilt auf $\mb R^m$
\begin{eqnarray}
\nabla^2_{X,Y}(Z) &=& \sum_{i,j,k=1}^m \lt X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}\lt Y_j(x)\frac{\partial Z_k}{\partial x_j}\rt \rt \frac{\partial}{\partial x_k} - \sum_{i,j,k=1}^m \lt X_i(x)\frac{\partial Y_j}{\partial x_i} \frac{\partial Z_k}{\partial x_j} \rt\frac{\partial}{\partial x_k} \\
                 &=& \sum_{i,j,k=1}^m \lt X_i(x)Y_j(x) \frac{\partial^2 Z_k}{\partial x_i \partial x_j}\rt \frac{\partial}{\partial x_k}
\end{eqnarray}

Insbesondere ist dann $R_{X,Y}Z = 0$ auf $\mb R^m$.

\begin{theo}
$X,Y,Z,f$ seien gewählt wie bisher.
\begin{enumerate}[(i)]
    \item Für $k_1,k_2\in C^\infty(M)$ ist ${\rm Hess}f$ ist symmetrisch und $C^\infty-$linear in $X$ und $Y$:
    \begin{equation}
    \lt{\rm Hess}f\rt \lt k_1X, k_2Y\rt = k_1k_2{\rm Hess}f\lt X,Y\rt
    \end{equation}
    
    \item $\nabla^2_{X,Y}$ ist $C^\infty-$linear in $X,Y$.
    
    \item $R_X,YZ$ ist in allen drei Variablen $C^\infty-$linear. Nebst dem gilt
    \begin{eqnarray}
    R_{X,Y}Z + R_{Y,X}Z &=& 0 \\
    g\lt R_{X,Y}Z, W  \rt &=& -g\lt Z, R_{X,Y}W \rt,
    \end{eqnarray}
    wobei $W$ TVF.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{cor}
\begin{enumerate}[(i)]
    \item Für jede Funktion $f\in C^\infty(M)$ erhalten wir eine Familie von symmetrischen Bilinearformen $\lt{\rm Hess}f\rt_p: T_pM\times T_pM\to\mb R$.
    
    \item Für jedes TVF $Z$ eine glatte Familie von bilinearen Abbildungen
    \begin{eqnarray}
    \nabla^2_{\cdot, \cdot} Z: T_pM\times T_pM &\to& T_pM \\
    \lt X_p, Y_p\rt                            &\mapsto & \lt \nabla_{X,Y}Z\rt_p.
    \end{eqnarray}
    
    \item Wir bekommen eine glatte Familie von bilinearen Abbildungen
    \begin{eqnarray}
    R_{\cdot, \cdot}: T_pM\times T_pM &\to& T_pM \\
    \lt X_p, Y_p\rt                   &\mapsto& \lt Z_p\to R_{X_p, Y_p}Z_p\rt.
    \end{eqnarray}
\end{enumerate}
$R_{\cdot, \cdot}$ ist schiefsymmetrisch und nimmt Werte in antiselbstadjungierten Endomorphismen an.
\end{cor}

\begin{proof}
Es wird obiger Satz bewiesen.
\begin{enumerate} [(i)]
    \item ${\rm Hess}f(X,Y) = X(Y(f)) - (\nabla_XY)(f)$ ist $C^\infty$-linear, weil $\nabla_XY$ es ist. Es ist ausreichend Symmetrie in $X,Y$ zu zeigen:
    \begin{eqnarray}
    {\rm Hess}f(X,Y) - {\rm Hess}f(Y,X) &=& X(Y(f)) - Y(X(f)) - \lt\nabla_XY - \nabla_YX\rt (f) \\
                                        &=& \ltt X,Y\rtt (f) - \ltt X,Y\rtt (f) \\
                                        &=& 0.
    \end{eqnarray}
    
    \item $\nabla^2_{X,Y}Z$ ist $C^\infty$ in $X,Y$. $C^\infty$-Linearität in $Y$:
    \begin{eqnarray}
    \nabla^2_{X,hY} Z &=& \nabla_X\lt\nabla_{hY}Z\rt - \nabla_{\nabla_XhY}Z \\
                      &=& \nabla_X\lt h\nabla_YZ\rt - \nabla_{X(h)Y+h\nabla_XY}Z \\
                      &=& X(h) + h\nabla_X\lt\nabla_YZ\rt - X(h)\nabla_YZ - h\nabla_{\nabla_XY}Z \\
                      &=& h\lt\nabla_X\lt\nabla_YZ\rt - \nabla_{\nabla_XY}Z\rt.
    \end{eqnarray}
    
    \item Aus (ii) folgt, dass $R_{X,Y}(Z)~C^\infty$-linear in den ersten beiden Variablen ist. Aus der Definition folgt $R_{X,Y}Z = -R_{Y,X}Z$. Für die Behauptung über $g$ stellen wir zunächst eine Nebenrechnung an:
    \begin{eqnarray}
    R_{X,Y}Z &=& \nabla^2_{X,Y}Z - \nabla^2_{Y,X}Z \\
             &=& \nabla_X\lt\nabla_YZ\rt - \nabla_{\nabla_XY}Z - \nabla_Y\lt\nabla_XZ\rt + \nabla_{\nabla_YX}Z \\
             &=& \nabla_X\lt\nabla_YZ\rt -\nabla_Y\lt\nabla_XZ\rt - \nabla_{\ltt X,Y\rtt} Z
    \end{eqnarray}
    Dann gilt:
    \begin{eqnarray}
    g\lt R_{X,Y}Z, W\rt &=& g\lt\nabla_X\nabla_YZ, W\rt - g\lt\nabla_Y\nabla_XZ, W\rt - g\lt\nabla_{\ltt X,Y\rtt}Z, W\rt \\
                        &=& X\lt g\lt\nabla_YZ, W\rt\rt - g \lt\nabla_YZ, \nabla_XW\rt \\
                        &-& Y\lt g\lt\nabla_XZ, W\rt\rt + g\lt\nabla_XZ, \nabla_YW\rt \\
                        &-& \ltt X,Y\rtt \lt g\lt Z,W\rt\rt + g\lt Z, \nabla_{\ltt X,Y\rtt}W\rt \\
                        &=& X\lt Y\lt g\lt Z,W\rt\rt\rt - X\lt g\lt Z,\nabla_YW\rt\rt - g\lt\nabla_YZ,\nabla_XW\rt \\
                        &-& Y\lt X\lt g\lt Z, W\rt\rt\rt + Y\lt g\lt Z, \nabla_XW\rt\rt + g\lt\nabla_XZ, \nabla_YW\rt \\
                        &-& \ltt X,Y\rtt\lt g\lt Z,W\rt\rt - g\lt Z,\nabla_{\ltt Y,X\rtt}W\rt \\
                        &=& -g\lt Z, \nabla_X\nabla_YW\rt + g\lt Z, \nabla_Y\nabla_XW\rt - g\lt Z,\nabla_{\ltt X,Y\rtt}W\rt \\
                        &=& + g\lt Z, R_{Y,X}W \rt \\
                        &=& -g\lt Z, R_{X,Y}W \rt
    \end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{proof}

Im folgenden stellen wir uns der Frage, wie man $R$ in Koordinaten darstellt. Ist $\psi: V\to U\subset M$ eine Karte, so wählen wir Koordinaten $\lb x_i\rb_{i=1}^n$ und $\lb\frac{\partial}{\partial x_i}\rb_{i=1}^n$ bildet eine Basis des Tangentialraums in beliebigen $p\in U$. Da $R$ linear in allen Argumenten ist, gilt $R_{\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt = \sum_{l=1}^m R_{ijk}^l \frac{\partial}{\partial x_l}$, wobei $R_{ijk}^l:U\to\mb R$ glatte Koeffizientenfunktionen sind. Analog zu den Christoffelsymbolen, sind auch diese über die Metrik ausdrückbar, es ist
\begin{equation}
    R_{ijkl}:= g\lt R_{\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt, \frac{\partial}{\partial x_l}\rt.
\end{equation}
Weiterhin ist $\sum_{l=1}^m R_{ijk}^l g_{ls}=R_{ijks}$. Es sei daran erinnert, dass 
\begin{equation}
R_{X,Y}Z=\nabla_X\lt\nabla_YZ\rt -\nabla_Y\lt\nabla_XZ\rt -\nabla_{\ltt X,Y\rtt}Z    
\end{equation}
gilt. Diese Formel wird unter der Berücksichtigung von $\ltt \frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j} \rtt = 0$ zur Berechnung der expliziten Darstellung in Koordinaten genutzt werden:
\begin{eqnarray}
R_{\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j}} \lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt &=& \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\lt\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_i}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt\rt \\
&=& \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{jk}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{ik}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt \\
&=& \sum_{s=1}^m \lt \frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j} \rt\frac{\partial}{\partial x_s} \\
&+& \sum_{s=1}^m \lt \Gamma_{jk}^s\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\frac{\partial}{\partial x_s} - \Gamma_{ik}^s}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\frac{\partial}{\partial x_s} \rt \\
&=& \sum_{s=1}^m\lt\frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j}\rt + \sum_{r=1}^m\sum_{s=1}^m \lt\Gamma_{jk}^r\Gamma_{ir}^s - \Gamma_{ik}^r\Gamma_{jr}^s\rt\frac{\partial}{\partial x_j} \\
\end{eqnarray}

$\Gamma_{ik}^s$ sind in Termen der Metrik $\lt g_{sr}\rt$ beschreibbar. $R_{ijk}^l$ hängt nur von $\lt g_{sr}\rt$ und ihren Ableitungen ab. Aus den Relationen $R_{X,Y}Z=-R_{Y,X}Z$ und $g\lt R_{X,Y}Z, W\rt = -g\lt Z, R_{X,Y}W\rt$ folgt
\begin{eqnarray}
R_{ijk}^l &=& -R_{jik}^l \\
R_{ijkl}  &=& R_{jikl} \\
R_{ijkl}  &=& -R_{ijlk}
\end{eqnarray}
Ist $M\subset\mb R^3$ eine Fläche, so ist $i,j,k,l\in\lb 1,2\rb$. Der gesamte Krümmungstensor ist dann durch die Funktion $R_{1221}$ in lokalen Koordinaten eindeutig bestimmt.

\begin{theo}(Theorema Egregrium)\\
Sei $\lt M,\nu\rt\subset\mb R^3$ eine orientierte Fläche, sei $h$ die zweite Fundamentalform und $S$ der Formoperator von $M$, sowie $R$ der Krümmungstensor. Dann gilt:
\begin{eqnarray}
R_{X,Y}Z &=& h(Y,Z)S(X) - h(X,Z)S(Y) \\
         &=& K\lt g\lt Y,Z\rt X - g\lt X,Z\rt Y\rt,
\end{eqnarray}
wobei $K$ die Gaußkrümmung ist und $X,Y,Z$ bel. TVF.
\end{theo}

\begin{cor}
Gauß-Krümmung ist eine Größe der inneren Geometrie.
\end{cor}

\begin{proof}
Wir beweisen nun das Theorema Egregrium. Für alle TVF $X,Y,Z$ gilt 
\begin{equation}
X\lt Y\lt Z\rt\rt - Y\lt X\lt Z\rt\rt - \ltt X,Y \rtt (Z) = 0. \hfill\lt\ast\rt
\end{equation}
Es gilt nun:
\begin{eqnarray}
X\lt Y\lt Z\rt\rt &=& X\lt\nabla_YZ+h\lt Y,Z\rt\nu\rt \\
                  &=& \nabla_X\lt\nabla_YZ\rt +h\lt X,\nabla_YZ\rt + X\lt h\lt Y,Z\rt\rt\nu + h\lt Y,Z\rt \underbrace{X\lt\nu\rt}_{=-S(X)}
\end{eqnarray}
Analog folgt für $Y$
\begin{equation}
Y\lt X\lt Z\rt\rt = \nabla_Y\lt\nabla_XZ\rt +h\lt Y,\nabla_XZ\rt + Y\lt h\lt X,Z\rt\rt\nu - h\lt X,Z\rt S\lt Y\rt.
\end{equation}
Nebst diesen gilt:
\begin{eqnarray}
\com{X,Y} &=& \nabla_{\com{X,Y}} Z + h\lt\com{X,Y}, Z\rt\nu \\
          &=& \nabla_{\com{X,Y}} Z + h\lt\nabla_XY, Z\rt\nu - h\lt\nabla_YX, Z\rt\nu
\end{eqnarray}

Die Operation $\lt\ast\rt^\tau$ ergibt
\begin{equation}
\nabla_X\lt\nabla_YZ\rt - h\lt Y,Z\rt S\lt X\rt - \nabla_Y\lt\nabla_XZ\rt + h\lt X,Z\rt S\lt Y\rt -\nabla_{\com{X,Y}}\lt Z\rt =0,
\end{equation}
woraus die erste Behauptung folgt. \\

Die zweite Behauptung ist äquivalent zu
\begin{equation}
g\lt R_{X,Y}Z, W\rt = K\lt g\lt Y,Z\rt g\lt X,W\rt - g\lt X,Z\rt g\lt Y,W\rt \rt
\end{equation}
für beliebige TVF $X,Y,Z,W$. Da beide Seiten nur von den Werten in $X,Y,Z,W$ an $p\in M$ abhängen, reicht es die Gleichheit für ein beliebiges $p\in M$ zu verifizieren. Dazu seien $v_1,v_2\in T_pM$ die Hauptkrümmungsrichtungen. Beide Seiten sind antisymmetrisch in $X,Y$ und in $Z,W$. Es ist ausreichend Gleichheit für $X_p=Y_p=v_1, Y_p=W_p=v_2$ festzustellen. Bemerke, dass
\begin{eqnarray}
h(v_2,v_2) &=& g\lt v_2, S(v_2)\rt = \kappa_2 g\lt v_2, v_2\rt \\
h(v_1,v_2) &=& g\lt v_1, S(v_2)\rt = \kappa_2g\lt v_1, v_2\rt = 0
\end{eqnarray}
gilt.
Wir finden somit
\begin{eqnarray}
g\lt R_{v_1, v_2}(v_2), v_1\rt &=& g\lt h(v_2,v_2)S(v_1) - \underbrace{h(v_1,v_1)S(v_2)}_{0}, v_1\rt \\
                               &=& g\lt\kappa_2 g(v_2,v_2)\underbrace{S(v_1)}_{\kappa_1 v_1}, v_1\rt \\
                               &=&\kappa_1\kappa_2 g(v_1, v_1)g(v_2,v_2) \\
                               &=& K\lt g(v_2,v_2)g(v_1, v_1) - \underbrace{g(v_1, v_2)g(v_2, v_1)}_{=0}\rt \\
                               &=& K\lt g\lt Y_p, Z_p\rt g\lt X_p, W_p\rt - g\lt X_p, Z_p\rt g\lt Y_p, W_p\rt \rt,
\end{eqnarray}
woraus die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{cor}
Für eine Fläche $\lt M,\nu\rt\subset\mb R^3$ gilt in lokalen Koordinaten
\begin{equation}
    R_{1221} = K g\lt\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_1}\rt g\lt\frac{\partial}{\partial x_2}, \frac{\partial}{\partial x_2}\rt
\end{equation}
\end{cor}

Wir haben jetzt für eine UM $M\subset\mb R^n$ viele Größen der inneren Geometrie gefunden. Die Einbettung nach $\mb R^n$ hat viele Identifikationen mit sich gebracht, die Berechnnungen zwar erleichtert, jedoch die Strukturen verschleiert haben. Die Idee ist nun sich von der Einbettung zu lösen und die intrinsischen Strukturen zu studieren. Dies führt zu abstrakten Mannigfaltigkeiten. Dabei soll eine solche lokal wie $\mb R^n$ aussehen, aber zusätzlich eine differenzierbare Struktur tragen.