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\chapter{Abstrakte Mannigfaltigkeiten}


\section{Glatte Strukturen, glatte Abbildungen, Tangentialräume}
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(eine VL fehlt hier)
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Notation: $u^i:\mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x: U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.

\begin{defn}
Eine Fuktion $f:M\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}: x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
\end{defn}

\begin{rem}
Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb :M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
\end{rem}

\begin{defn}
Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f:M\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$  von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}:x(U)\to y(V)$ glatt ist.
\end{defn}

\begin{defn}
Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f:A\to N$ ist fortsetzbar, wenn $\exists W\supset A$, $\bar{f}:W\to N$ glatt, s.d. $\left.\bar{f}\right\vert_{A}=f$. $C^\infty(A,N)=\lb f:A\to N ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$. 
\end{defn}

\begin{defn}
Seien $M,N$ MF. $f:M\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):= \lb f:M\to N ~\vert~ f {\rm DM} \rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$. 
\end{defn}

\begin{rem}
Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x:U\to x(U)$ DM.
\end{rem}
Wir wollen nun den Tangentialraum $T_pM$ fuer $p\in M$ definieren. Eine hilfreiche Einbettung $M\hookrightarrow\mb R^n$ haben wir diesmal nicht.

\begin{defn}
Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f:U\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt} \rb$
\end{defn}
\begin{rem}
Wir beobachten $C^\infty_{0, p} \trianglelefteq C^\infty(U)$ ist Ideal. Aus $f\in C^\infty_{0, p},~ g\in C^\infty(U)$ folgt $fg\in C^\infty_{0, p}$.
\end{rem}

\begin{defn}
$C^\infty_p:= C^\infty(U)/C^\infty_{0, p}$ heisst Algebra der Fuktionenkeime an $p$.
\end{defn}

Ein Funktionenkeim an $p$ ist somit die Aequivalenzklasse glatter Funktionen in einer Umgebung von $p$.

% hier stand eine erinnerung an TV im Rn

\begin{defn}
Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v:C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p) + f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
\end{defn}

\begin{bsp}\label{bsp:tangentialvektoren-koord}
Sei $p\in M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$. Die Koordinatenvektorfelder auf $U$ bzgl. $(U,x)$ sind gegeben als Familie von TV $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p=\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\in T_pM, p\in U$. $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f):= \partial_i\lt f\circ x^{-1}\rt\lt x(p)\rt=D_{x(p)}\lt f\circ x^{-1}\rt(e_i), i\in\lb 1,\ldots, n\rb$. Durch die Eigenschaften des Differentials in $\mb R^n$ sind die $\left\frac{\partial}{\partial x_i}\right.\vert$ wirklich TV.
\end{bsp}

Wenn wir nun beweisen wollen, dass $\dim T_pM=n$, reicht es zu zeigen, dass die $\partial_i$ eine Basis von $T_pM$ bilden.

\begin{prop}
Sei $M$ eine $n$-dim. MF, $p\in M, ~(U,x)$ eine Karte um $p$. Dann kann jeder Vektor $v\in T_pM$ eindeutig dargestellt werden als $v=\sum_{i=1}^n \alpha_i\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p$ mit $\alpha_i\in\mb R$.
\end{prop}
Tatsaechlich gilt $\alpha_i=v\lt x^i\rt$. Insbesondere ist $\lb\partial_i\rb_{i=1}^n$ eine Basis von $T_pM$ und damit ist dessen Dimension $n$.

\begin{lem}
Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dann existieren $f_1,\ldots, f_n\inC^\infty(V)$ mit $f(0)=\partial_if(0)$, s.d. $f(u)=f(0) + \sum_{i=1}^n u^if_i(u), ~u\in V$.
\end{lem}

\begin{proof}
Sei $p\in V$, $C:[0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C: [0,1]\to\mb R$ glatt.
\begin{eqnarray}
\varphi(1)-\varphi(0) &=& \int_0^1 \varphi'(t) {\rm d}t \\
                      &=& \sum_{i=1}^{n} \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial u^i}(tp)p_i {\rm d}t \\
                      &=& \sum_{i=1}^{n}p_i \underbrace{\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial u^i}(tp) {\rm d}t}_{=: f_i(p)} \\
\end{eqnarray}
\end{proof}
Es folgt der Beweis voriger Proposition.

\begin{proof} ~\hfill
\begin{enumerate}
\item Wenn $v\in T_pM, f$ konstant in einer Umgeung von $p\Rightarrow v(f)=0$. $v(f)=v(C)=Cv(1)=C\lt 1v(1) + 1v(1)\rt= 2Cv(1)\Rightarrow v(1)=0$. 
\item Nach evtl. Verschiebung und Verkleinerung koennen wir annehmen, dass $0\in x(U), x(U)$ sternfoermig bzgl. 0. Fuer $f\in C^\infty(U)$ bel. gilt dann nach Lemma $f\circ x^{-1}=f(p)+\sum_{i=1}^{n}u^if_i$ mit $f_i(0)=\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f)$ Damit folgt
\begin{eqnarray}
\left. f \right\vert_U &=&f(p) + \sum_{i=1}^n x^i\lt f_i\circ x\rt \\
vf &=& 0 + \sum_{i=1}^n\lt v\lt x^i\rt\lt f_i\circ x\rt(p) + 0v\lt f_i\circ x\rt \rt \\
   &=& \sum_{i=1}^n v\lt x^i\rt \lt f\circ x\rt(p) \\
   &=& \sum_{i=1}^n v\lt x^i \rt\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f)
\end{eqnarray}
Es fehlt noch die lineare Unabhaengigkeit. Seien $\lambda_i\in\mb R, i\in\lb 1,\ldots, n\rb$ mit $\sum_{i=1}^{n}\left.\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p=0$. Dann $\sum_{i=1}^{n}\left.\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p\lt x^j\rt=\lambda_j$
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{cor}
$\forall p\in M:~\dim T_pM = \dim M$
\end{cor}

Seien jetzt $(U,x), (V,y)$ zwei Karten um $p\in M$ mit Basen $\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\vert_p, i\in\lb 1,\ldots, n\rb, \left.\frac{\partial}{\partial y^i}\right\vert_p$. Was ist die Basiswechselmatrix?
Nach Prop. gilt:

\begin{eqnarray}
\left.\frac{\partial}{\partial y^j}\right\vert_p &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial}{\partial y^j}\right\vert_p \lt x^i \rt \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\vert_p \\
 &=& \sum_{i=1}^n \partial_j\lt u^i\circ x\circ y^{-1} \frac{\partial}{\partial x_i} \rt \\
 &=& \sum_{i=1}^n \lt u^i\circ x\circ y^{-1}\rt\lt y(p)\rt \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p
\end{eqnarray}
Damit ist die Basiswechselmatrix von $\lb\frac{\partial}{\partial x^i}\rb_{i=1}^n$ zu $\lb\frac{\partial}{\partial x^i}\rb_{i=1}^n$ gegeben durch Jacobi von $x\circ y^{-1}$ an $y(p)$.
Das liefert folgende Alternativdefinition des Tangentialraumes $T_pM := \lb [(U,x), \xi] ~\vert~ \xi\in\mb R^n, (U,x)~{\rm Karte~um~}p, \lt (U,x),\xi\rt\sim\lt (V,y), \eta\rt:\iff D_{y(p)}\lt x\circ y\rt^{-1}\xi=\eta \rb$

\begin{defn}
Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Dann definiert man die Pullbackabildung $f^\ast:C^\infty(N)\to C^\infty(N),~ \varphi\mapsto \varphi\circ f$.
\end{defn}

\begin{defn}
Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\in M$ ist die lineare Abbildung
\[
D_p f = f_{*,p}\colon T_p M\to T_p N,
\]
\[
D_pf (v) (\varphi)=v\lt f^\ast(\varphi)).
\]
\end{defn}
Wenn $M=\mb R^n, N=\mb R^m$, dann ist $T_pM\simeq \mb R^n, T_pN\simeq\mb R^m$. Dann ist 
\begin{eqnarray}
D_pf\lt \frac{\partial}{\partial u^i} \rt &=& \sum_{j=1}^{m} D_p(f)\lt  \frac{\partial}{\partial u^i} \rt\lt u^j\rt \frac{\partial}{\partial u^j} \\
&=& \sum_{j=1}^n  \frac{\partial}{\partial x^i}\lt u^j\circ f\rt  \frac{\partial}{\partial u^j} \\
&=& \sum_{j=1}^m  \frac{\partial f_j}{\partial u^i}  \frac{\partial}{\partial u^j}  
\end{eqnarray}
$D_pf$ ist bzgl. Standardbasen also Jacobi von $f$.

\begin{rem}
Nach wie vor gilt die Kettenregel aus der Analysis: $D_p(g\circ f) = D_{f(p)}g\circ D_pf$ (Beweis: Übung).
\end{rem}

\begin{defn}
Sei $M$ eine MF und $f:M\to\mb R,~p\in M$. Das Differential von $f$ an $p$ ist ${\rm d}f(p):T_pM\to\mb R, ~v\mapsto v(f)$.
\end{defn}
Man sieht, dass ${\rm d}f(p)$ linear ist, also Element vom Kotangentialraum $\lt T_pM\rt^\ast=: T^\ast_pM$.

\begin{bsp}
$M=\mb R^n, T_pM={\rm span}\lb \left. \frac{\partial}{\partial u^i}\right\vert_p \rb_{i=1}^n$. Dann ${\rm d}f(p)\lt \left. \frac{\partial}{\partial u^i}\right\vert_p \rt= \frac{\partial f}{\partial u^i}(p)$. Das Differential hat bzgl. $\frac{\partial}{\partial u^i}$ die Koordinatenzeile $\lt \frac{\partial f}{\partial u^1}, \frac{\partial f}{\partial u^2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial u^n} \rt$
\end{bsp}

\begin{defn}
Das Tangential- bzw. Kotangentialbündel von $M$ wird definiert als die disjunkte vereinigung aller Tangential- bzw. Kotangentialräume:
\[
TM\coloneqq \bigsqcup_{p\in M}T_p M,\quad T^*M\coloneqq \bigsqcup_{p\in M}T^*_p M.
\]
$TM$ bzw. $T^*M$ sind mit natürlichen ``Fußpunktprojektionen'' $\pi_{TM}\colon TM\to M$, $\pi_{T^*M}\colon T^*M\to M$ versehen, welche einen Vektor $\xi\in T_p M$ bzw. $T^*_p M$ zuf $p$ abbilden.
\end{defn}

\begin{prop}
$TM$ und $T^*M$ sind auf natürliche Weise glatte Mannigfaltigkeiten von Dimension $\dim TM = \dim T^*M = 2\cdot \dim M$.
\end{prop}
\begin{proof}
(wird nachgeliefert, siehe Walschap Prop. 1.4.2)
\end{proof}

Die obige Konstruktion des Differentials liefert dann folgende aussage: für jede glatte Abbildung $f\colon M\to N$ induziert eine glatte Abbildung 
$$Df\colon TM\to TN,$$
$$v\mapsto D_{\pi(v)}f(v)$$
(dies ist die ``Vereinigung von den $D_p f$'s über alle $p\in M$''). $Df$ wird auch das (globale) Differential von $f$ genannt. Nach Konstruktion von $Df$ ist folgendes Diagramm kommutativ:
\[
\begin{CD}
TM @>Df>> TN\\
@VV\pi_{TM}V @VV\pi_{TN}V\\
M @>f>> N
\end{CD}
\]

\section{Satz über implizite Funktion; Untermannigfaltigkeiten}

\subsection{Satz über implizite Funktion}
\begin{defn}
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Der Rang von $f$ an $p$ ist definiert als der Rang (= Dimension des Bildes) des Differentials $D_p f$.
\end{defn}

Sei $f\colon \mb R^n\to \mb R^k$ glatt. Offensichtlich ist der Rang von $f$ an jedem Punkt $p\in \mb R^n$ kleiner oder gleich $\min(n,k)$. Man sagt, $f$ habe \emph{maximalen Rang} an einem Punkt, wenn der Rang von $f$ an $p$ gleich $\min(n,k)$ ist.

Natürlicherweise tauchen hier zwei Varianten auf:
\begin{itemize}
    \item $n\leqslant k$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $n$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $n$ (an jedem Punkt) ist die Einbettung $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\iota(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_n,0,\dots,0)$.
    \item $n\geqslant k$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $k$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $k$ (an jedem Punkt) ist die Projektion $\pi\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\pi(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_k)$.
\end{itemize}

Die folgende Version des Satzes über implizite Funktion aus der Analysis zeigt, dass jede Abbildung, welche maximalen Rang an einem Punkt $p$ hat, lokal wie die Einbettung $\iota$ bzw. die Projektion $\pi$ aussieht.
\begin{theo}\label{theo:implizite-fkt}
Sei $U\subset \mb R^n$ eine Umgebung von $0\in \mb R^n$, $f\colon U\to \mb R^k$ glatt mit $f(0) = 0$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
    \item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $g$  von $\mb R^k$ an $0$ mit $g\circ f = \iota$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
    \item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h = \pi$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{proof}
Siehe Analysis-Vorlesung oder Walschap, Theorem 1.5.3.
\end{proof}

\subsection{Untermannigfaltigkeiten}
Es gibt zwei gängige Definitionen einer Untermannigfaltigkeit $N\subset M$, die sich dadurch unterscheiden, welche Eigenschaften man von der Inklusionsabbildung $i\colon N\to M$ verlangt.

\begin{defn}
Seien $N$, $M$ Mannigfaltigkeiten. Eine glatte Abbildung $i\colon N\to M$ heißt Immersion, wenn $D_pf\colon T_pM\to T_pN$ injektiv für jedes $p\in M$ ist. Eine Immersion $i\colon N\to M$ heißt Einbettung, wenn $i\colon N\to i(N)\subset M$ ein Homöomorphismus ist (d.h. $i$ ist injektiv und $i^{-1}\colon i(N)\to N$ ist stetig).
\end{defn}

Dementsprechend gibt es zwei Definitionen einer Untermannigfaltigkeit, die in der Literatur zu finden sind:
\begin{itemize}
\item eine (immersierte) Untermannigfatigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer injektiven Immersion $i\colon N\to M$;
\item eine (eingebettete) Untermannigfaltigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer Einbettung $i\colon N\to M$.
\end{itemize}

Wir werden in diesem Kurs das Wort ``Untermannigfaltigkeit'' stets für eingebettete Untermannigfaltigkeit benutzen.

Man sollte anmerken, dass wegen des Satzes über implizite Funktion jede Immersion lokal eine Einbettung ist:
\begin{prop}
Sei $i\colon N\to M$ eine Immersion, $\dim N = n$, $\dim M = m$. Dann gilt: für jedes $p\in N$ gibt es eine Umgebung $V$ von $p$ in $N$ und eine Karte $(U,y)$ mit $i(p)\in U\subset M$, so dass:
\begin{enumerate}
    \item $q\in i(V)\cap U$ genau dann, wenn $y^{n+1}(q) = \dots = y^m (q) = 0$ (anders gesagt, $y(i(V)\cap U) = (\mb R^n\times \{0\})\cap y(V)$;
    \item $i|_V$ ist eine Einbettung.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Sei $x$ eine Kartenabbildung um $p$ mit $x(p)=0$, $\tilde y$ eine Kartenabbildung um $i(p)$ mit $\tilde y\circ i(p) = 0$. Dann hat $\tilde y\circ i \circ x^{-1}$ maximalen Rang ($=n$) an $0$, also gibt es nach dem Satz über implizite Funktion (Satz \ref{theo:implizite-fkt}) eine Karte $g$ von $\mb R^m$ und eine Umgebung $W$ von $0$ mit $g\circ \tilde y\circ i\circ x^{-1}|_W = \iota|_W$, wobei $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^m$ die kanonische Einbettung ist. Sei $U\coloneqq x^{-1}(W)$, $y = g\circ \tilde y$; dann gilt (1) nach Konstruktion. (2) folgt dann, weil $i|_U = y^{-1}\circ\iota\circ x|_U$ eine Verkettung von Einbettungen ist.
\end{proof}


\subsection{Satz vom regulären Wert}
Der Satz vom regulären Wert ist von zentraler Bedeutung in Differentialgeometrie, weil er uns erlaubt, Untermannigfaltigkeiten zu konstruieren.

\begin{defn}
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $m$ bzw. $n$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $\Rg D_p f = n$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.
\end{defn}

Wenn $m\geqslant n$ ist (und das ist für uns der interessante Fall), heißt also die Bedingung, dass $q\in N$ ein regulärer Wert von $f$ ist so viel wie: an jedem Urbildpunkt von $q$ hat $f$ maximalen Rang ($= n$).

\begin{theo}[Satz vom regulären Wert]
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $m$ bzw. $n$ mit $m\geqslant n$, $f\colon M\to N$ glatt. Wenn $q\in f(M)$ ein regulärer Wert ist, dann ist $A\coloneqq f^{-1}(q)\subset N$ (= die Faser von $f$ an $q$)  eine Untermannigfaltigkeit von $M$.
\end{theo}
\begin{proof}
(wird nachgeliefert, siehe Walschap, Theorem 1.6.1)
\end{proof}

\begin{bsp}
Die Abbildung $f\colon \mb R^{n+1}\to \mb R$, $a\mapsto \norm{a}^2$, erfüllt $Df(a) = 2(a_1,\dots,a_{n+1})$; der Rang des Differentials ist also maximal ($=1$) an jedem Punkt außer $0$. Das heißt, die Sphäre vom Radius $r> 0$, $S_r\coloneqq f^{-1}(r)$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $\mb R^{n+1}$.
\end{bsp}

\begin{rem}
Der (höchst nichttriviale) Satz von Sard besagt, dass eine glatte Abbildung $f\colon \mb R^m\to\mb R^n$ ($m\geqslant n$) stets ``sehr viele'' reguläre Werte hat (insbesondere ist die Menge der regulären Werte stets dicht in $\mb R^n$). Das heißt, dass eine ``generische'' Faser von $f$ eine Untermannigfaltigkeit ist.
\end{rem}

\section{Vektorfelder und Flüsse}
Wir haben bereits beim Studium von Untermannigfaltigkeiten gesehen, dass Tangentialvektorfelder eine große Rolle in Differentialgeometrie spielen. Wir werden sie nun im Kontext von abstrakten Mannigfaltigkeiten einführen und untersuchen.

\begin{defn}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $TM$ sein Tangentialbündel und $\pi\colon TM\to M$ die Projektionsabbildung. Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ ist eine glatte Abbildung $X\colon M\to TM$ mit $\pi\circ X= \mathrm{id}_M$ (d.h. $X(p)\in T_p M$ für jedes $p\in M$).
\end{defn}



Wie früher führen wir einige Notation zum Thema Vektorfelder.
\begin{enumerate}
    \item Die Vektorfelder bilden ein Vektorraum bezüglich punktweiser Operationen, weil der Wert eines Vektorfeldes an jedem Punkt $p$ in dem Vektorraum $T_p M$ liegt. Der Vektorraum der Vektorfelder auf $M$ wird durch $\Gamma(TM)$, $\mathrm{Vect}(M)$ oder $\mathfrak{X}(M)$ bezeichnet.
    \item Man kann Vektorfelder mit glatten Funktionen multiplizieren: wenn $X\colon M\to TM$ ein Vektorfeld ist und $f\in C^\infty(M)$, dann ist $f X\colon p\mapsto f(p)X(p)$ auch ein Vektorfeld.
    \item Der Wert von $X$ an einem Punkt $p\in M$ wird durch $X(p)$ oder $X_p$ bezeichnet;
    \item Da Tangentialvektoren auf Funktionen durch Ableitungen wirken, kann man ein Vektorfeld $X$ auf eine glatte Funktion $f\in C^\infty(M)$ anwenden und eine neue Funktion $X(f)\in C^\infty(M)$ bekommen mit
    \[
    (X(f))(p) = X_p(f)
    \]
    \item wenn $(U,x)$ eine Karte um $p\in M$ ist, definiert sie die Koordinatenvektorfelder $\partial/\partial x^i$ auf $U$, wie im Beispiel \ref{bsp:tangentialvektoren-koord} bestimmt. Daher kann jedes Vektorfeld auf $U$ dargestellt werden als
    \[
    X = \sum_{i=1}^n X(x^i) \frac{\partial}{\partial x^i} = \sum_{i=1}^n dx^i(X) \frac{\partial}{\partial x^i}.
    \]
    Umgekehrt definiert in diesem Fall eine beliebige ``Linearkombination''
    \[
    X = \sum_{i=1}^n f_i \frac{\partial}{\partial x^i}
    \]
    mit $f_i\in C^\infty(V)$, $i=1,\dots,n$, ein Vektorfeld $X$ auf $V$.
\end{enumerate}

\begin{bsp}\label{bsp:vektorfelder-r-n}
Wenn $M = \mb R^n$, dann gilt $TM = \mb R^n\times \mb R^n$ (Übung!). In diesem Falle kann man Vektorfelder $X\colon \mb R^n\to \mb T\mb R^n$ mit glatten Funktionen $\underline{X}\colon \mb R^n\to \mb R^n$ identifizieren: ein Vektorfeld $X$ entspricht eindeutig der Funktion $u\mapsto (X(u^1),\dots,X(u^n))$, also seinen Koordinaten bzgl. $\frac{\partial}{\partial u^i}$.
\end{bsp}


Wir notieren folgende einfache Proposition:
\begin{prop}
Sei $X\colon U\to TM$ eine (a priori nicht glatte) Abbildung mit $\pi\circ X = \mathrm{id}_U$. Folgende Bedingungen sind äquivalent:
\begin{enumerate}
    \item $X$ ist ein Vektorfeld (d.h. $X$ ist glatt als Abbildung);
    \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ gilt $X(x^i)\in C^\infty(V)$;
    \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ und jede $f\in C^\infty(V))$ gilt $X(f)\in C^\infty(V)$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\subsection{Flüsse von Vektorfeldern}
Eines der wichtigen Ergebnisse in der Analysis ist der Satz über Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen (der Satz von Picard-Lindelöf). Dieser gilt auch auf Mannigfaltigkeiten und bildet somit interessanten Zusammenhang zwischen Vektorfeldern und Diffeomorphismen. Wir fangen mit folgender Version des klassischen Satzes von Picard-Lindelöf in $\mb R^n$.

\begin{theo}[Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von DGLs erster Ordnung in $\mb R^n$]
Sei $U\subset \mb R^n$ offen und $F\colon U\to \mb R^n$ glatt. Dann existiert für jedes $a\in U$ eine Umgebung $W$ von $a$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\psi\colon I\times W\to U$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
    \item $\psi(0,u) = u,$
    \item $\frac{\partial\psi}{\partial t}(t,u) = F(\psi(t,u))$.
\end{enumerate}
Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1,W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\psi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\psi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.
\end{theo}
Die Abbildung $\psi(t,u)$ wird interpretiert als Lösung der Differentialgleichung 
\begin{equation}\label{eqn:ode}
\dot \psi(t) = F(\psi(t))
\end{equation}
mit Anfangsbedingung $\psi(0) = u$ am Zeitpunkt $t$: die zweite Bedingung besagt, dass $\psi$ die Differentialgleichung löst, und die erste Bedingung besagt, dass der Anfangswert an $t=0$ gleich $u$ ist.

Die Differentialgleichung \eqref{eqn:ode} kann man auf einer Mannigfaltigkeit $M$ auch leicht interpretieren: eine glatte Kurve $\gamma\colon I\to M$ hat an jeder Stelle einen Tangentialvektor $\dot\gamma(t) = (D_t\gamma)\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\in T_p M$ -- die linke Seite hat somit eine Interpretation als Element in $T_p M$. Die rechte Seite soll dann durch Vorgabe eines Tangentialvektors an jedem Punkt auf $M$, d.h. eines Vektorfeldes auf $M$, bestimmt sein.

Somit lässt sich der obige Satz wie folgt auf Mannigfaltigkeiten interpretieren:
\begin{theo}[Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes]
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert für jedes $q\in M$ eine Umgebung $V$ von $q$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon I\times V\to M$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
    \item $\Phi(0,p) = p,$
    \item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$.
\end{enumerate}
Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1,W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\Phi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\Phi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.
\end{theo}
\begin{proof}
Sei $(U,x)$ eine Karte um $q$. Setze $G\coloneqq x(U)$, $a\coloneqq x(q)$,
$$F\coloneqq (dx^1(X),\dots,dx^n(X))\circ x^{-1}\colon G\to \mb R^n$$
und wende den vorigen Satz an, um eine Abbildung $\psi\colon I\times W\to G$ zu bekommen. Die Abbildung $\Phi\coloneqq x^{-1}\circ \psi$ ist dann nach Konstruktion die gesuchte: die Eigenschaften (1) und (2), geschrieben in Koordinaten mit Hilfe von $x$, sind genau die Bedingungen (1) und (2) des vorigen Satzes.
\end{proof}

Die Abbildung $\Phi$ aus dem obigen Satz wird auch \emph{lokaler Fluss} von $X$ genannt. Für jedes $p\in V$ ist dann $\gamma(t)\coloneqq \Phi(t,p)$ eine Kurve auf $M$, welche die Differentialgleichung
\[
\dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
\]
sowie die Anfangsbedingung $\gamma(0) = 0$ erfüllt. Solche Kurven heißen \emph{Integralkurven} von $X$.

Der obige Satz ist eine lokale Aussage, und es besteht \emph{a priori} keine Hoffnung, das ``Zeitintervall'' $I$ vergrößern zu können: es gibt sogar im Eindimensionalen Differentialgleichungen, dessen Integralkurven in einer endlichen Zeit ins Unendliche laufen, z.B. $\dot x = x^2$ in $\mb R$ (Übung: überzeugen Sie sich, dass die Integralkurven hier ins Unendliche in endlicher Zeit laufen und bestimmen Sie das zugehörige Vektorfeld!). Es gibt allerdings immer einen maximalen Definitionsbereich des Flusses:

\begin{theo}[Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes]
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert eine eindeutig bestimmte maximale offene Teilmenge $W\subset \mb R\times M$ mit $\{0\}\times M\subset W$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
    \item $\Phi(0,p) = p,$
    \item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$,
    \item für jedes $p\in M$, $W\cap (\mb R\times \{p\}) = I_p\times \{p\}$, wobei $I_p\subset \mb R$ ein offenes Intervall mit $0\in I_p$ ist.
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{proof}
Der vorige Satz liefert die Existenz einer offenen Teilmenge
\[
W_0 = \bigcup_{q\in M} I_q\times V_q
\]
zusammen mit einer eindeutigen glatten Abbildung $\Phi\colon W_0\to M$ mit gewünschten Eigenschaften (die Eindeutigkeitsaussage aus dem vorigen Satz impliziert, dass $\Phi$ wohldefiniert auf $W_0$ ist).

Sei nun $\mathcal W = \{(W,\Phi\mid (W,\Phi)\text{ erfüllen (1),(2),(3) }\}$ die Familie von allen offenen Teilmengen, welche die Aussage des Satzes erfüllen. Wenn nun $(W',\Phi')$ und $(W'',\Phi'')$ zwei Elemente aus $\mathcal W$ sind, folgt aus der Eindeutigkeit, dass $\Phi'$ und $\Phi''$ auf $W'\cap W''$ übereinstimmen, weswegen sie sich zu einer eindeutig bestimmten glatten Abbildung $\Phi\colon W'\cup W''\to M$ fortsetzen. Das ergibt, dass auf der Vereinigung
\[
W\coloneqq \bigcup_{(W',\Phi')\in \mathcal W} W'
\]
eine glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ durch $\Phi|_W'\coloneqq \Phi'$ wohldefiniert ist. Sie erfüllt offensichtlich die Aussage des Satzes.
\end{proof}

\begin{defn}
Die Abbildung $\Phi\colon W\to M$ heißt maximaler Fluss von $X$. $X$ heißt vollständig, wenn $W = \mathbb R\times M$ ist, d.h. wenn der Fluss immer definiert ist.
\end{defn}

\begin{ueb}
Zeigen Sie, dass jedes Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit vollständig ist.
\end{ueb}

Sei $X$ nun ein vollständiges Vektorfeld auf $M$. Wir definieren $\Phi_t\colon M\to M$ durch $\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$ und beobachten folgende fundamentale Eigenschaft:
\begin{prop}
\[
\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Nach Definition ist $\Phi_{t_1+t_2}(p)$ der Wert an $t= t_1+t_2$ der Integralkurve $\gamma_p$ von $X$ mit Anfangswert $p$. $\Phi(t_2)(p)$ ist der Wert derselben Integralkurve an $t= t_2$, und $\Phi_{t_1}(\Phi_{t_2}(p))$ ist der Wert an $t=t_1$ der Integralkurve von $X$ mit Anfangswert $\Phi_{t_2}(p)$. Nach Eindeutigkeit ist die letztere aber gleich $\gamma_p(t+t_2)$, und ihr Wert an $t_1$ ist $\gamma_{p}(t_1+t_2)$, wie gewünscht.
\end{proof}
\begin{cor}\quad
\begin{enumerate}
    \item $\Phi_t\colon M\to M$ is ein Diffeomorphismus für jedes $t\in \mb R$;
    \item die Abbildung $\Phi\colon \mb R\to \mathrm{Diff}(M)$, $t\mapsto \Phi_t$, ist ein Gruppenhomomorphismus.
\end{enumerate}
\end{cor}
\begin{defn}
Eine glatte Abbildung $\Phi\colon \mathbb R\times M\to M$ mit $\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}$ ($\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$) heißt eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von $M$.
\end{defn}
Gegeben eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen, bekommen wir das Vektorfeld $X$, welches sie erzeugt, auch zurück durch
\[
X_p \coloneqq \Phi_{*,(0,p)}\frac{\partial}{\partial t}.
\]
Dieses Vektorfeld hat nach Konstruktion $\Phi$ als zugehörigen maximalen Fluss: diese Gleichung ist genau die Bedingung (2) aus der Definition des Flusses eines Vektorfeldes. Somit haben wir festgestellt:
\begin{prop}
Es gibt eine 1:1-Korrespondenz zwischen Einparametergruppen von Diffeomorphismen von $M$ und vollständigen Vektorfeldern auf $M$.
\end{prop}

\section{Lie-Klammer von Vektorfeldern; Lie-Gruppen}

\subsection{Lie-Klammer}
Die Lie-Klammer von Vektorfeldern haben wir schon in der Theorie der Untermannigfaltigkeiten gesehen. Wir werden gleich sehen, dass sie auch auf abstrakten Mannigfaltigkeiten wohldefiniert ist.

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$, $Y$ zwei Vektorfelder auf $M$. Definiere die Abbildung $X_pY\colon C^\infty_p \to \mb R$ durch
\[
X_pY([f]) \coloneqq X_p([Y(f)]).
\]
Diese Abbildung ist offensichtlich linear, aber \emph{keine Derivation}, also kein Tangentialvektor. Allerdings ist interessanterweise $X_pY-Y_pX$ eine Derivation:
\begin{eqnarray*}
X_pY-Y_pX(fg) = X_p(Y(fg)) - Y_p(X(fg))\\
= X_p(f\cdot Y(g) + g\cdot Y(f)) - Y_p(f\cdot X(g) + g\cdot X(f))\\
= X_p(f)\cdot Y_p(g) + f(p)X_p(Y(g)) + X_p(g)\cdot Y_p(f) + g(p)X_p(Y(f)) \\
- Y_p(f)\cdot X_p(g) - f(p)\cdot Y_p(X(g)) - Y_p(g)\cdot X_p(f) - g(p)Y_p(X(f))\\
=f(p)(X_pY-Y_pX)(g) + g(p)(X_pY-Y_pX)(f)
\end{eqnarray*}
und gibt somit einen Tangentialvektor $X_pY-Y_pX \in T_pM$.

\begin{defn}
Die Lie-Klammer zweier Vektorfelder $X$, $Y$ auf $M$ ist das Vektorfeld $[X,Y]$ definiert durch
\[
[X,Y]_p\coloneqq X_pY-Y_pX.
\]
\end{defn}

Wenn man die Vektorfelder $X$, $Y$ in Koordinaten einer Karte $(U,x)$ als
\[
X = \sum_{i=1}^n X_i \frac{\partial}{\partial x^i},
\]
\[
Y = \sum_{j=1}^n Y_j \frac{\partial}{\partial x^j}
\]
ausdrückt ($X_i,Y_j\in C^\infty(U)$), dann findet man leicht für beliebige glatte Funktion $f\in C^\infty(U)$
\[
X_p Y(f) = \sum_{i,j=1}^n X_i Y_j \frac{\partial f}{\partial x^i\partial x^j} + \sum_{i,j=1}^n X_i \frac{\partial Y_j}{\partial x^i}\frac{\partial f}{\partial x^j}
\]
und somit
\[
X_p Y - Y_p X = \sum_{i,j=1}^n \lt X_i \frac{\partial Y_j}{\partial x_i} - Y_i \frac{\partial X_j}{\partial x^i}\rt \frac{\partial}{\partial x^j},
\]
also die Formel, die wir schon für Untermannigfaltigkeiten hergeleitet haben. Somit gelten auch die anderen damals festgestellten Eigenschaften der Lie-Klammer:
\begin{prop}
Die Lie-Klammer $[\cdot,\cdot]\colon \Gamma(TM)\times \Gamma(TM)\to \Gamma(TM)$ ist eine bilineare Abbildung auf dem Vektorraum der Vektorfelder auf $M$ und hat folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}
    \item sie ist antisymmetrisch: $[X,Y] = -[Y,X]$ für alle Vektorfelder $X,Y$;
    \item sie erfüllt die Jacobi-Identität:
    \[
    [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0,\quad X,Y,Z\in\Gamma(TM).
    \]
\end{enumerate}
\end{prop}

Diese algebraische Struktur, wie wir gleich sehen werden, taucht nicht nur bei Vektorfeldern auf, sondern spielt auch bei der Theorie der ``glatten Gruppen'' (Lie-Gruppen) eine wichtige Rolle. Sie verdient somit den eigenen Namen:
\begin{defn}
Eine Lie-Algebra $(V,[\cdot,\cdot])$ ist ein Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot,\cdot]\colon V\times V\to V$, welche antisymmetrisch ist und die Jacobi-Identität
\[
[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0
\]
erfüllt.
Ein Homomorphismus zwischen Lie-Algebren $(V_1,[\cdot,\cdot])$, $(V_2,[\cdot,\cdot])$ ist eine lineare Abbildung $f\colon V_1\to V_2$ mit $f([v,v'])= [f(v),f(v')]$.
\end{defn}

\begin{bsp}\label{bsp:lie-algebra-matrizen}
Ein auf den ersten Blick ganz anderes Beispiel einer Lie-Algebra bilden Matrizen: der Vektorraum der Matrizen $M_n(\mb R)$ mit dem Kommutator $[A,B]= AB-BA$ ist eine Lie-Algebra (Übung: überzeugen Sie sich, dass die Jacobi-Identität gilt!).
\end{bsp}



Eine der wichtigen Eigenschaften der Lie-Klammer von Vektorfeldern besteht darin, dass sie ``natürlich'' (= invariant unter Diffeomorphismen) ist. Um das formulieren zu können, müssen wir erst mal verstehen, wie sich Vektorfelder unter Diffeomorphismen abbilden.

Wenn $f\colon M\to N$ ein Diffeomorphismus ist, definiert die Vorschrift
\begin{equation}\label{eqn:pushforward_vektorfeld}
(f_*X)(f(p)) = D_pf(X_p)    
\end{equation}
ein Vektorfeld $f_* X$ auf $N$. Dieses wird \emph{Pushforward} von $X$ durch $f$ genannt. Da Diffeomorphismen invertierbar ist, ist jedes Vektorfeld auf $N$ ein Pushforward eines Vektorfeldes von $M$.

\textbf{Warnung!} Wenn $f\colon M\to N$ irgendeine glatte Abbildung ist, liefert die Formel \eqref{eqn:pushforward_vektorfeld} \textbf{kein} wohldefiniertes Vektorfeld auf $N$: ein Punkt $q\in N$ kann mehrere Urbilder haben, die keinen eindeutigen Bildvektor definieren lassen.

Nach Definition gilt für $\varphi\in C^\infty(N)$
\[
(f_* X(\varphi))(f(p)) = (D_p f(X_p))(\varphi) = X_p(f^*(\varphi)), p\in M,
\]
also
\begin{equation}
f^*(f_*X(\varphi))= X(f^*(\varphi))    
\end{equation}
oder
\begin{equation}\label{eq:pback-pforward}
f_*X = (f^*)^{-1} \circ X \circ f^* 
\end{equation}

\begin{lem}\label{lem:diffeo-inv-lie-klammer}
Ein Diffeomorphismus $f\colon M\to N$ induziert einen Isomorphismus $f_*$ der Lie-Algebren $\Gamma(TM)$ und $\Gamma(TN)$:
\[
f_*[X,Y] = [f_* X,f_* Y],\quad X,Y\in \Gamma(TM). 
\]
\end{lem}
\begin{proof}
Sei $\varphi\in C^\infty(N)$. Unter Benutzung von \eqref{eq:pback-pforward} bekommen wir
\begin{eqnarray*}
(f_*[X,Y])(\varphi) = ((f^*)^{-1}\circ [X,Y]\circ f^*)(\varphi)  
=(f^*)^{-1}(X_p(Y(f^*\varphi)) - Y_p(X(f^*\varphi))) \\
= (f^*)^{-1}(X_p(f^*(f_*Y(\varphi))) - Y_p(f^*(f_*X(\varphi))))\\
=(f_* X_p)(f_*Y(\varphi))-(f_* Y_p)(f_*X(\varphi)) = [f_*X,f_*Y](\varphi).
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\subsection{Lie-Gruppen}
In der Mathematik tauchen schon in den ersten Semestern der linearen Algebra Matrizengruppen. Diese haben auf natürliche Weise Koordinaten (= die Matrixeinträge), welche ihnen auch die Struktur der Mannigfaltigkeiten geben. Diese Klasse von ``glatten'' Gruppen bildet eine zentrale Klasse von Objekten in der reinen Mathematik, die sogenannten Lie-Gruppen.

\begin{defn}
Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $\circ\colon G\times G\to G$ und $(\cdot)^{-1}\colon G\to G$, so dass $(G,\circ,(\cdot)^{-1})$ eine Gruppe ist.
\end{defn}

\begin{bsp}
$GL(n,\mathbb R) = \{A\in M_n(\mb R)\mid \det A \neq 0\}$ ist eine Lie-Gruppe:
\begin{itemize}
    \item es ist eine Mannigfaltigkeit, weil es eine offene Teilmenge von $M_n(\mb R) \cong \mb R^{n^2}$ ist
    (die natürlichen Koordinaten sind somit einfach durch Matrixeinträge gegeben)
    \item die Multiplikation ist glatt, weil es durch Polynome in Matrixeinträgen definiert ist (der $(i,j)$-te Eintrag des Produkts $AB$ ist $\sum a_{ik}b_{kj}$)
    \item die Inversion ist glatt wegen der Cramerschen Regel:
    \[
    A^{-1} = \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det A},
    \]
    wobei $\mathrm{adj}(A)$ die Adjunkte von $A$ ist: $\mathrm{adj}(A)_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ji}$, wobei $M_{ji}$ die Determinante der Matrix ist, welche durch Streichung der $j$-ten Zeile und $i$-ten Spalte aus $A$ entsteht.
\end{itemize}
Analog ist $GL(n,\mb C)$ eine Lie-Gruppe.
\end{bsp}

Weitere klassische Lie-Gruppen aus der linearen Algebra wie $O(n)$, $U(n)$ etc. definiert man natürlicherweise als Untergruppen von $GL(n,\mb R)$ oder $GL(n,\mb C)$. Um zu zeigen, dass sie Lie-Gruppen sind, kann man entweder den Satz vom regulären Wert oder den folgenden tiefen Satz von Cartan (welchen wir leider hier nicht beweisen können) benutzen:
\begin{theo}[Cartan]
Sei $H$ eine abgeschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe $G$. Dann ist $H$ eine Untermannigfaltigkeit von $G$, also automatisch auch eine Lie-Untergruppe.
\end{theo}
Man erhält somit folgende ``klassische'' Lie-Gruppen:
\begin{itemize}
    \item $SL(n,\mb K) = \{A\in GL(n,\mb K)\mid \det A = 1\}$ ($\mb K = \mb R$ oder $\mb C$),
    \item $O(n) = \{A\in GL(n,\mb R)\mid A^TA = 1\}$,
    \item $SO(n) = \{A\in O(n)\mid \det A = 1\}$,
    \item $U(n) = \{A\in GL(n,\mb R)\mid A^*A = 1\}$,
    \item $SU(n) = \{A\in U(n)\mid \det A = 1\}$.
\end{itemize}

\subsection{Lie-Gruppen und Lie-Algebren}

Wir werden jetzt einen interessanten strukturellen Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren herstellen.

Sei $G$ eine Lie-Gruppe. Die Linkswirkung von $G$ auf sich selbst definiert für jedes $g\in G$ einen Diffeomorphismus $L_g\colon G\to G$, $h\mapsto gh$.

\begin{defn}
Sei $G$ eine Lie-Gruppe. Ein Vektorfeld $X$ auf $G$ heißt \emph{linksinvariant}, wenn $(L_g)_* X = X$ für jedes $g\in G$.
\end{defn}

Nach Lemma \ref{lem:diffeo-inv-lie-klammer} bilden linksinvariante Vektorfelder eine Lie-Unteralgebra der Lie-Algebra der Vektorfelder auf $G$.

\begin{defn}
Die Lie-Algebra $\mathrm{Lie}(G)$ einer Lie-Gruppe $G$ ist die Lie-Algebra der linksinvarianten Vektorfelder auf $G$.
\end{defn}

Da die ganze Lie-Algebra der Vektorfelder immer unendlichdimensional ist, könnte man denken, dass die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe auch unübersichtlich ist. Tatsächlich ist es immer ein endlichdimensionaler Vektorraum, welcher mit dem Tangentialraum an $1\in G$ identifiziert werden kann:

\begin{lem}
Die Auswertungsabbildung an $1$,
\[
\mathrm{ev}_1\colon \mathrm{Lie}(G)\to T_1G
\]
\[
X\mapsto X(1)=X_1
\]
ist ein Vektorraumisomorphismus.
\end{lem}
\begin{proof}
Jedes linksinvariante Vektorfeld $X$ ist eindeutig durch sein Wert an $1$ bestimmt, weil die Auswertung der Gleichung
\[
(L_g)_* X = X
\]
an $g\in G$ liefert
\[
(L_g)_{*,1} X_1 = X_g.
\]
Somit ist $\mathrm{ev}_1$ injektiv. Es ist auch surjektiv, weil für jedes $v\in T_1 G$ das Vektorfeld
\[
X(g) \coloneqq (L_g)_{*,1}(v)
\]
nach Konstruktion linksinvariant ist.
\end{proof}

Somit gilt $\dim \mathrm{Lie}(G) = \dim G$, also ist die Lie-Algebra immer endlichdimensional. Das obige Lemma erlaubt uns, den Vektorraum $T_1G$ mit der Lie-Algebra von $G$ zu identifizieren und somit selbst als Lie-Algebra zu betrachten. Die Lie-Klammer von zwei Elementen aus $T_1 G$ ist dann als Wert an $1\in G$ der von ihnen induzierten linksinvarianten Vektorfeldern definiert, was erst mal eine nicht ganz durchsichtige Konstruktion ist.

Daher berechnen wir jetzt explizit die Lie-Algebra von der Matrixgruppe $GL(n,\mb R)$ (und somit auch aller ihrer Lie-Untergruppen). Es stellt sich heraus, dass es genau das Beispiel der Matrizen mit dem Kommutator wird!

Da $GL(n,\mb R)\subset M_n(\mb R)$ als offene Teilmenge, gilt: $T_1 GL(n,\mb R)\cong M_n(\mb R)$. Wir bezeichnen den durch das obige Lemma und diese Tatsache erhaltenen Vektorraumisomorphismus $\psi\colon \mathrm{Lie}(GL(n,\mb R))\to M_n(\mb R)$.

Wir betrachten die Lie-Algebra-Struktur auf $M_n(\mb R)$ aus Beispiel \ref{bsp:lie-algebra-matrizen}: $[A,B] = AB-BA$.

\begin{prop}
$\psi\colon \mathrm{Lie}(GL(n,\mb R))\to M_n(\mb R)$ ist ein Isomorphismus von Lie-Algebren:
\[
\psi([X,Y])=[\psi(X),\psi(Y)],\quad X,Y\in\mathrm{Lie}(GL(n,\mb R)).
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Seien $X,Y$ linksinvariante Vektorfelder auf $GL(n,\mb R)$, und $M = X(1)\in M_n(\mb R)$, $N=Y(1)\in M_n(\mb R)$. Da $GL(n,\mb R)\subset M_n(\mb R)$ als offene Teilmenge, können wir Vektorfelder mit Funktionen $GL(n,\mb R)\to M_n(\mb R)$ identifizieren (siehe Beispiel \ref{bsp:vektorfelder-r-n}). Da $X$, $Y$ linksinvariant sind, gilt mit dieser Identifikation
\[
X(A) = AM,\quad Y(A) = AN,\quad A\in GL(n,\mb R),
\]
und wir müssen den Kommutator dieser Vektorfelder an $1$ berechnen. Dafür können wir z.B. die Formel für den Kommutator in Koordinaten $(u^{ij})_{i,j=1}^n$ benutzen:
\[
X(A) = \sum_{i,j=1}^n (AM)_{ij}\frac{\partial}{\partial u^{ij}},\quad Y(A) = \sum_{k,\ell=1}^n (AN)_{k\ell}\frac{\partial}{\partial u^{k\ell}},
\]
\begin{eqnarray*}
[X,Y]_1 = \sum_{i,j,k,\ell = 1}^n \lt M_{ij} \frac{\partial (AN)_{k\ell}}{\partial A_{ij}}- N_{ij} \frac{\partial (AM)_{k\ell}}{\partial A_{ij}} \rt\Big\vert_{A=1} \frac{\partial}{\partial u^{k\ell}} \\
=  \sum_{k,\ell = 1}^n (MN-NM)_{k\ell} \frac{\partial}{\partial u^{k\ell}}.
\end{eqnarray*}
Hier haben wir folgende Beobachtung benutzt: die Abbildung $R_N\colon A\mapsto AN$ ist linear in $A$, also ist sie gleich ihrem eigenen Differential, und es gilt
\[
\lt \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial (AN)_{k\ell}}{\partial A_{ij}} M_{ij}\Big\vert_{A=1}\rt_{k\ell} = (D_{1}R_N(M))_{k\ell} = (MN)_{k\ell},
\]
und analog für den zweiten Summanden.

Also gilt
\[
\psi([X,Y])= MN-NM = [M,N] = [\psi(X),\psi(Y)],
\]
wie gewünscht.
\end{proof}

Somit ist die Lie-Algebra von $GL(n,\mb R)$ identifiziert: sie ist isomorph zu den Matrizen $M_n(\mb R)$ mit dem Kommutator $[M,N]=MN-NM$; diese wird auch durch $\mk{gl}(n,\mb R)$ bezeichnet.

Für alle oben eingeführten klassischen Lie-Gruppen ($O(n)$, $SL(n)$ etc.) identifizieren sich somit die Lie-Algebren mit Lie-Unteralgebren von $\mk{gl}(n,\mb R)$ oder $\mk{gl}(n,\mb C)$ mit dem Matrixkommutator. Wir werden in den Übungen sehen, wie man diese Lie-Algebren dann explizit ausrechnet.