edit-this-file.tex 42.6 KB
Newer Older
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
% \square?

%%%%%%%%%%%

* Meta-Infos

Übungen flexibel

** Skript

myfsr.de

- Skripte

- ganz unten

- Typos und Fehler gerne und bitte an Benedikt Bartsch. E-Mail-Adresse siehe:

 - https://myfsr.de/dokuwiki/doku.php?id=fsr:mitglieder

** Forum

physik.protagon.space

** Literatur

Walschap: Metric Structures in Differential Geometry

Spivac: Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. I

Ben Andrews: Lectures on Differential Geometry

math-people.anu.edu.au/~andrews/DG

* Begriff Differentialgeometrie

Sie studiert Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten ist die Abstraktion einer (Hyper-)Fläche in $\mathbb R^n$, $n\in \mathbb N$.

TODO Bildchen 1

TODO Bildchen 2

Auf $U\cap V$ haben wir zwei Abbildungen:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
                                                                            & U\cap V \arrow[ld, "X"'] \arrow[rd, "Y"] &                                                 \\
\underbrace{X(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2} \arrow[rr, "Y\circ X^{-1}"] &                                          & \underbrace{Y(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2}
\end{tikzcd}
\end{center}

Problem: bekannte Dinge aus der Analysis hängen meist von Koordinatensystemen ab.

Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig?

* Tangentialvektoren in $\mathbb R^n$

** Notation

- $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
61
- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
- $f\colon U\to V$
 - $$
     D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix}
   $$
 - $$
     Df = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right]\in M_{m\times n}(C^\infty(U))
   $$

TODO Bildchen 3

naive Vorstellung: ein Tangentialvektor an $p\in \mathbb R^n$ ist ein (gewähltes) Element $\xi \in\mathbb R^n$

Alle möglichen Tangentialvektoren an allen Punkten sind dann identifiziert mit

$$
  T\mathbb R^n := \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (p, \xi)
$$

$\leftarrow$ Koordinatentransformation ändert Einträge

Basiswechselmatrix:

$$
\begin{blockarray}{ccc}
\begin{block}{[ccc]}
  \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \\
  -\frac12 & \frac{\sqrt 3}{2} \\
\end{block}
\uparrow & \uparrow  \\
f_1 & f_2  \\
\end{blockarray}
$$

(in $E$-Koordinatensystem)

$\Rightarrow$

$$
  (B^{-1} \cdot p, B^{-1}\cdot \xi) = (p', \xi')
$$

$\leftarrow$ Koordinaten von $(p, \xi)$ in $\mathcal F$-Koordinatensystem.

TODO Bildchen 4

$$
  (p, \xi) \in T\mathbb R^n, \quad \varphi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R
$$

Richtungsableitung

$$
  \underbrace{\partial_{\xi}\varphi}_{\text{Richtungsableitung}} := \underbrace{D_p \varphi}_{\text{Zeile}} \cdot \underbrace{\xi}_{\text{Spalte}} = D_p\varphi(\xi)\in \mathbb R
$$

Idee: benutze das als Definition
 - „ein Tangentialvektor ist das, was Funktionen ableitet“
 - „Tangentialvektor = Richtungsableitung“

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
121 122
%2019-10-18

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
Sei $(p, \xi) \in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$ ein (in Koordinaten darstellbarer) Tangentialvektor

TODO Bildchen 5

$$
  \partial_{(\varphi, \xi)} \varphi &:=& D_p\varphi(\xi)
  \\&=& \sum_{i=1}^n \xi^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
  \\&=&\left( \sum_{i=1}^n \xi^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p \right)(\varphi)
$$

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
133
* Definition: Derivation
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362

Sei $p\in \mathbb R^n$. Eine Derivation an $p$ ist $\partial \colon C^\infty(\mathbb R^n)\xrightarrow{\text{linear}} \mathbb R$ mit

$$
  \partial (\varphi\cdot\psi) = \partial \varphi \cdot \psi(p) + \partial \psi \cdot \varphi(p)
$$

* Beispiel

$\forall (p, \xi)\in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$, $\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi)}(\cdot)$ ist Derivation an $p$.

* Proposition

$\forall \partial \colon C^\infty(\mathbb R^n) \to \mathbb R$ Derivation in $p$: $\exists! \xi\in \mathbb R^n : \partial = \partial_{(p, \xi)}$

Beweis:

Seien $x^i \colon \R^n \to \R : (x^1, \ldots, x^n) \mapsto x^i$ Koordinatenabbildungen / Projektionen. Setze:

$$
  \xi_i := \partial (x^i)\in \R
$$

Zu zeigen:

$$
  \partial = \partial_{\left(p, \left( \begin{matrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{matrix} \right) \right)}
$$

Trick:

ein $\varphi \in C^\infty (\mathbb R^n)$ kann mit $\varphi_i(x)\in C^\infty(\R^n)$ sowie:

$$
  \varphi(x) = \varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x) (x^i - p^i) \quad \text{fast Taylor}
$$

Beweis des Tricks:

$$
  \varphi (x) - \varphi(p) &=& \int_0^1 \frac{\partial \varphi(p+t(x-p))}{\partial t} \diffd t
  \\ &\overset{\text{Kettenregel + Skalarprodukt ausmultiplizieren }}=&
    \sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} (p+t(x-p))\cdot (x^i - p^i)\intd t
  \\&=&\sum_{i=1}^n (x^i-p^i) \underbrace{\int_0^1 \frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(p+t(x-p))\intd t}_{=: \varphi_i(x)}
$$

$$
  \partial (1) = \partial (1\cdot 1) \overset{\text{Leibnitz}}= \partial (1) + \partial (1) \Rightarrow \partial (1) = 0
$$

$$
  \partial (\varphi) &=& \partial \left(\varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x)\cdot(x^i - p^i)\right)
  \\&\overset{\text{Leibnitz, Linearität}}=& \sum_{i=1}^n \left( \partial (\varphi_i)(\underbrace{p^i -p^i}_{=0}) + \underbrace{\varphi_i(p) \partial (x^i}_{\xi_i} \underbrace{- p^i)}_{\text{konstant}} \right)
  \\&=&\sum_{i=1}^n \varphi_i(p) \xi_i
  \\&=& \sum_{i=1}^n \xi_i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
$$


Eindeutigkeit folgt aus der Linearität der Derivation:

$$
  &&\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi')}
  \\&\Rightarrow& \partial_{(p, \xi -\xi')} = 0
  \\&\Rightarrow&\forall i\in \mathbb N_{\leqslant n} : \xi^i - \xi^i = 0 (= \partial_{(p, \xi-\xi')}(x^i))
$$

$\square$

Fazit: Tangentialvektoren an $p\in \R^n\mathrel{\hat=}$ Derivation an $p$

* Definition: Tangentialraum

$$
  T_p\mathbb R^n := \{ \partial \colon C^\infty (\R^n) \to \R\ |\ \partial \text{ Derivation} \}
$$

** Bemerkung

 - Vektorraum, da Derivationen VR bilden
 - Beweis der Proposition liefert:
 $$
   T_p\R^n \cong \R^n, \quad \partial_{(p, \xi)} \mapsfrom\xi
 $$
 - $\dim (T_p\R^n)=n$

* Frage

Sei $p\in U\in \mathcal O(\R^n) \leftarrow \text{offenen Mengen}$. Was ist folgende Menge?
$$
  T_p U := \{ \partial \colon C^\infty (U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation} \}
$$

* Behauptung/Intuition

Es gilt:

$$
  T_p U \cong T_p\mathbb R^n
$$

Beweis:

Definiere die duale Abbildung:

$$
  \varepsilon^* \colon
  \begin{cases}
    T_pU &\to T_p\R^n
    \\ \partial &\mapsto
      \begin{cases}
        C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
        \\ \varphi &\mapsto \partial (\varphi|_U)
      \end{cases}
  \end{cases}
$$

Zeige, dass $\varepsilon^*$ ein Isomophismus ist.

Sei

$$
  \varepsilon \colon
  \begin{cases}
    C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
    \\ \varphi &\mapsto \varphi|_U
  \end{cases}
$$

$\varepsilon^*$ ist surjektiv:

Sei $\xi\in \R^n$, $\partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. $\varepsilon^* (\underbrace{\partial_{(p, \xi)} }_{\in T_pU}) = \partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. Surjektivität ist relativ klar. Gibt es einen Unterschied zwischen $\partial_{(p, \xi)} \in T_pU$ und $\partial_{(p, \xi)} \in T_p\R^n$?

$\varepsilon^*$ ist injektiv:

$$
  &\Leftrightarrow& \ker(\varepsilon^*) = \{0\}
  \\ &\Leftrightarrow& \forall \partial \in \ker(\varepsilon^*) : \partial = 0
$$

Sei $\partial \in \ker(\varepsilon^*)$. Dann gilt für $\partial$:

$$
  &&\partial \in \ker(\varepsilon^*)
  \\&\Leftrightarrow& \varepsilon^*(\partial) = 0
  \\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varphi|_U)) = 0
  \\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varepsilon (\varphi))) = 0
  \\&\Leftrightarrow& \partial \circ \varepsilon = 0
  \\&\Leftrightarrow& \forall \varphi \in C^\infty (\R^n): \partial (\varphi|_U) = 0
$$

Es bleibt noch zu zeigen, dass:

$$
  \forall \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\mathbb R^n) : \partial (\psi) = \partial (\varphi|_U)
$$

denn dann:

$$
  \partial (\psi) = \partial (\varphi|_U) = 0
$$

Sei $\psi\in C^\infty(U)$. Sei

$$
  \chi(x) :=
  \begin{cases}
    0, & |x| \geqslant 1
    \\ \exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right), & |x| < 1
  \end{cases}
  \quad \in C^\infty(\R^n)
$$

TODO Bildchen 6

die Hügelfunktion und

$$
  \varrho (x) :=\frac{\int_{-\infty}^x \chi(t) \intd t}{\int_{-\infty}^\infty \chi(t) \intd t}
$$

die Hangfunktion

TODO Bildchen 7

$U$ offen $\Rightarrow \exists r>0 : B(p, 5 \cdot r) \subseteq U$. Sei:

$$
  \tilde\varrho \colon
  \begin{cases}
    \R^n &\to \R
    \\ x &\mapsto
    \begin{cases}
      \varrho \left(3 - \frac{|x-p|}{r} \right), & x\in U
      \\ 0, & \text{sonst}
    \end{cases}
    \quad \in C^\infty (\R^n, \R)
  \end{cases}
$$

$\exists p\in V\subset U:$

$$
  \tilde\varrho &=& 1 \quad \text{auf } V
  \\ \tilde\varrho &=& 0 \quad \text{auf } \R^n\setminus U
$$

TOOD Bildchen 8

Konstruiere $\varphi$:

$$
  \varphi(x) :=
  \begin{cases}
    \psi(x)\cdot \tilde\varrho(x) & x\in U
    \\ 0 & \text{sonst}
  \end{cases}
$$

Jetzt gilt:

$$
  \partial (\varphi|_U) &=&\partial ((\tilde\varrho \cdot \psi)|_U)
  \\&=&\partial (\tilde\varrho|_U \cdot \psi)
  \\&=& \underbrace{\tilde\varrho|_U(p)}_{=1} \cdot \partial(\psi) + \underbrace{\partial (\tilde\varrho|_U)}_{\overset{(*)}=0} \cdot \psi(p)
$$

Beweis von $(*)$:

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
363
Konstruiere $\rho \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\rho = 0$ auf $U\setminus V$ und $\rho(p) = 1$. Es gilt $\rho(1-\tilde \varrho) = 0$.
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
364 365 366

TODO Bildchen 9

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
367
Daraus Folgt: $(\rho := \rho|_U)$
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
368 369

$$
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
370 371 372 373
  0 &=& \partial (\rho (1-\tilde \varrho))
  \\&=& \partial (\rho - \rho \tilde \varrho)
  \\&=& \partial (\rho) - \partial (\rho\tilde \varrho)
  \\&=& \partial(\rho) - \underbrace{\rho(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\rho)
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
374 375 376
  \\&=& -\partial (\tilde \varrho)
$$

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595
%2019-10-24

Wiederholung letztes mal:

Sei $p\in \R^n$, $T_p\R^n=\{ \partial \colon C^\infty \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p \}$. Das heißt:

 1. $\partial$ linear
 2. $\partial(f\cdot g) = f(p) \cdot \partial(g) + g(p)\cdot \partial(f)$

$U\subseteq \R^n$ offen, $p\in U$

$$
  T_pU = \{ \partial \colon C^\infty(U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p\}
$$

$\varepsilon \colon C^\infty(\R^n) \to C^\infty(U)$ Einschränkungsabbildung

$\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n : \partial \mapsto \partial \circ \varepsilon$ duale Abbildung. letztes mal: $\varepsilon^*$ surjektiv. Für Injektivität: Es reicht zu zeigen:

$$
  \forall \partial \in T_pU, \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\R^n)
$$

mit $\partial(\psi) = \partial(\varphi|_U)$. Dazu $\varrho\in C^\infty(\R)$, $\varrho(x)\geqslant 0\forall x\in\R$:
$$
  \varrho|_{(-\infty, -1]}=0, \quad \varrho|_{[1,+\infty)}=1
$$

TODO Bildchen 10

NEU: (Alternativ Beweis zum letzten Beweis):

Zudem sei $\sqrt{\varrho}\in C^\infty(\R)$, $\sqrt{1-p}\in C^\infty(\R)$. (das kriegt man wenn man statt $\varrho$, $\varrho^2$ nimmt oder mit Taylor)

Dann: $\exists r>0$ so dass $B(p, 5r)\subseteq U$, $B_{5r}(p)$

$$
  \tilde\varrho(x) = \begin{cases} \varrho\left( 3 -\frac{|x-p|}{r} \right) & x\in U \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}
$$

Wir wollen zeigen: $\partial (\tilde\varrho)=0$, $[\varphi = \tilde\varrho \cdot \psi \text{ erfüllt dann das Gewünschte}]$

$$
  \partial(\tilde \varrho) &=& \partial \left( {\sqrt{\tilde p}}^2 \right)
  \\ &=& \partial \left( \sqrt{\tilde \varrho} \cdot \sqrt{\tilde \varrho} \right)
  \\ &=& \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1} \cdot \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) + \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) \cdot  \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1}
  \\ &=& 2 \partial \left(\sqrt{\tilde p}\right)
$$

$$
  0-\partial (\tilde \varrho) &=& \partial(1) - \partial (\tilde \varrho)
  \\&=& \partial (1-\tilde \varrho)
  \\&=& \partial({\sqrt{1-\tilde \varrho}}^2)
  \\&=& 2 \sqrt{ \smash{\underbrace{1-\tilde \varrho(p)}_{=0}} \vphantom{1-\tilde \varrho(p)} }\partial (\sqrt{1-\tilde\varrho})
  \\&=& 0
$$

Fazit: $\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n$ ist ein Homomorpismus. „Tangentialraum ist lokal, sieht nicht was weit entfernt ist“

In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt.

Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)

* Definition: Pullback-Abbildung

Die Pullback-Abbildung zu $f$ ist

$$
  f^* \colon C^\infty(V) \to C^\infty(U) : \varphi \mapsto \varphi \circ f
$$

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  V \arrow[r, "\varphi"]                                      & \mathbb R \\
  U \arrow[u, "f"] \arrow[ru, "f^*(\varphi)=\varphi\circ f"'] &
  \end{tikzcd}
\end{center}

Beobachtung: $f^*$ ist Algebrenhomorphismus ($=$ ist linear und respektiert Produkte)

* Definition: Differential

Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt). Sei $p\in U$. Das Differential von $f$ an $p$ ist die Abbildung

$$
  \Diff_pf\colon
  \begin{cases}
    T_pU &\to T_{f(p)}V
    \\ \partial &\mapsto \partial \circ f^*
  \end{cases}
$$

das heißt:

$$
  [(\Diff_pf)(\partial)](\varphi) = \partial(\varphi\circ f) = \partial (f^*\varphi)
$$

Das Differential bildet Derivationen auf Derivationen ab. Zeige die Wohldefiniertheit:

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  C^\infty(V) \arrow[r, "f^*"] \arrow[rrd, "(\Diff_pf)(\partial)"'] & C^\infty(U) \arrow[rd, "\partial"] &           \\
                                                                &                                    & \mathbb R
  \end{tikzcd}
\end{center}

$(\Diff_pf)(\partial)$ ist linear, da Komposition linearer Abbildung.
Leibnitz Regel:

$$
  [(\Diff_pf)(\partial)](\varphi\cdot \psi)
  &=& \partial(f^*(\varphi \cdot \psi))
  \\&=& \partial((\varphi \cdot \psi)\circ f)
  \\&=& \partial((\varphi\circ f) \cdot (\psi \circ f) )
  \\&=& \partial((f^*\varphi) \cdot (f^*\psi))
  \\&=& (f^*\varphi)(p) \cdot \partial(f^*\psi) + (f^*\psi)(p) \cdot \partial(f^*\varphi)
  \\&=&\varphi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\psi) + \psi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\varphi)
$$

Vergleiche mit Definition aus Analysis:

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] &  &  &  & \mathbb R^m                             \\
  T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"']                                                                                                                   &  &  &  & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] \\
  T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"]                                                                                                              &  &  &  & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']
  \end{tikzcd}
\end{center}

Es gilt für $\varphi\colon V\to\R$ glatt:

$$
  \R\ni\left( \left(\Diff_p f\right) \left[\left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}\right] \right) [\varphi]
  &=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}(f^* \varphi)
  \\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)
  \\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)_1
  \\&\overset{\text{Kettenregel}}=& \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_1}\right|_{f(p)} & \hdots & \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_m}\right|_{f(p)}\end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_j}\right|_{p} \\ \vdots \\ \left.\frac{\partial f_m}{\partial x_j}\right|_{p}\end{pmatrix}
  \\&=& \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p
  \\&=& \left(\sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\right)[\varphi]
$$

Das Diagramm wird mit den vorher konstruierten Isomophismen kommutativ.

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  U\subseteq \mathbb R^n \arrow[rrrrrr, "f"]                                &                                                                                                                                                       &  &   &  &                                         & V\subseteq \mathbb R^m                                                                                                                            \\
  e_j \arrow[dd, maps to] \arrow[rrrrrr, maps to]                           &                                                                                                                                                       &  &   &  &                                         & \left(\begin{matrix}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_1}\right|_p\\\vdots\\\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_m}\right|_p\end{matrix}\right) \\
                                                                            & \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] &  &   &  & \mathbb R^m                             &                                                                                                                                                   \\
  {\partial_{(p,e_j)}} \arrow[d, maps to]                                   & T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"']                                                                                                                   &  & ! &  & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu]                          \\
  {\varepsilon^*\left(\partial_{(p,e_j))}\right)} \arrow[rd, "="', no head] & T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"]                                                                                                              &  &   &  & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']           &                                                                                                                                                   \\
                                                                            & \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_p \arrow[rrrrr, maps to]                                                                            &  &   &  &                                         & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu, maps to]
  \end{tikzcd}
\end{center}

Das Differential aus der Analysis (Matrize) ist der Koordinatenausdruck von unserem Differential (Element eines Vektorraums).

$$
  \sum_{i=1}^m \underbrace{\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p}_{\text{Koordinate } \in \R} \cdot \underbrace{\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}}_{\text{Element aus Basis} }
$$

* Kettenregel

\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  U \arrow[r, "f"] & V \arrow[r, "g"] & W \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
  \end{tikzcd}
\end{center}

$$
  \Diff_p(g\circ f) = \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f
$$

Beweis:

$$
  \left( \left( \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f \right) (\partial) \right)[\varphi]
  &=& \left( \left( D_{f(p)}g \right) \left[ \left( D_pf \right) (\partial) \right] \right)[\varphi]
  \\&=&[(\Diff_p f)(\partial)] (\varphi\circ g)
  \\&=& \partial((\varphi\circ g)\circ f)
  \\&=& \partial(\varphi\circ(g\circ f))
  \\&=& \left[ \left( D_p (g\circ f) \right)(\partial) \right](\varphi)
$$

* Interpretation von Tangentialvektoren als „Geschwindigkeitsvektor“

Sei $\gamma\colon I\subseteq\R \to \R^n$ eine glatte Kurve, $I$ ein Intervall, $p=\gamma(t_0)\in \R^n$

TODO Bildchen 11

Es wäre $\Diff_{t_0} \gamma\colon T_{t_0}\R^1 \to T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Es soll gelten $\dot\gamma(t_0)\in T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Definiere deshalb:

$$
  \dot\gamma(t_0) := \left( D_{t_0}\gamma \right) \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)
$$

Übung: Es gilt:

$$
  \{ \dot\gamma(t_0)\ |\ \gamma\colon I \subseteq R \text{ glatte Kurve mit } \gamma(t_0) = p \} = T_p\R^n
$$

* Satz über (inverse) implizite Funktionen

Sei $f\colon U\to V$ glatt, $U$, $V\subseteq\R^n$, $p\in U$ so dass:

$$
  D_p f\colon T_pU\to T_pV
$$

invertierbar ist. Dann ist $f$ lokal ein Diffeomorphismus:

$\exists U'\subseteq U$, $V'\subseteq V$ offen, $p\in U'$, so dass

$$
  f|_{U'} \colon U' \xrightarrow{\cong}V'
$$

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717
ein Diffeomorphismus ist, das heißt glatte Abbildung mit glatter Inversen, d.h. $f\colon U'\to V'$ glatt, bijektiv, $f^{-1}\colon V'\to U'$ glatt.

%2019-10-25

Wir wollen jetzt Abbildungen $f\colon U\subseteq\R^n\to V\subseteq\R^m$ haben,

$$
  D_pf \colon \underbrace{T_pU}_{\cong \R^n} \to \underbrace{T_pV}_{\cong \R^m} \text{ linear}
$$

$\rightsquigarrow$ Was ist „bestmögliche“ Bedingung an $D_pf$, die schönes über $f$ impliziert?

Die „richtige“ Bedingung an $D_pf$ ist, „vollen Rang“ zu haben, das heißt:

$$
  \rg(D_pf) = \min \{m,n\}
$$

$\rightsquigarrow$ Es gibt zwei Varianten dieser Bedingung:

 1. $n\leqslant m$, $\rg(D_pf)=n \Leftrightarrow n\leqslant m$, $D_pf$ injektiv

    Beispiel: $\iota\colon \R^n\hookrightarrow \R^m$, $n\leqslant m$, die Einbettung in die $n$ ersten Koordinaten.

 2. $n\geqslant m$, $\rg(D_pf)=m \Leftrightarrow n\geqslant m$, $D_pf$ surjektiv

    Beispiel: $\pi\colon \R^n\twoheadrightarrow \R^m$, $m\leqslant n$, Projektion auf die $m$ letzten Koordinaten.

* Satz: Satz über implizite Funktionen

(ist quasi ein Analogon zu einer ähnlichen Aussage aus der linearen Algebra)

Sei $f\colon U\subseteq\R^n\to V\subseteq\R^m$, $U$, $V$ offen, $0\in U$, $f(0)=0\in V$.

 1. Wenn $n\leqslant m$, $\rg D_pf = n$, dann existiert eine offene Umgebung $V'\subseteq V$, $0\in V'$ und ein Diffeomorphismus $g\colon V'\subseteq \R^m\to V'' \subseteq\R^m$, $g(0)=0$ mit $g\circ f|^{V'} = \iota$, d.h. nach einem Koordinatewechsel $g$ wird $f$ zur kanonischen Einbettung $\iota$.

 2. Wenn $n\geqslant m$, $\rg(D_pf) =m$, dann existiert eine offene Umgebung $U'\subseteq U$, $0\in U'$ und ein Diffeomorphismus $h\colon U'' \to U'$, $h(0)=0$ mit $f\circ h=\pi$ (dort wo $g\circ f$ definiert ist)

Beweis:

Hauptidee: $\rg(D_0f)$ maximal $\Rightarrow \rg(D_0f)$ konstant in Umgebung der $0$

 1. ohne Einschränkung
    $$
      D_pf = \left[\begin{matrix} \frac{A}{*} \end{matrix}\right] \in \Mat_{m\times n}(\R), \quad \det A \neq 0
    $$
    (permutiere Koordinaten in $\R^m$)

    Dann folgt: $D_xf = \left[\begin{matrix} \frac{A(x)}{*} \end{matrix}\right]$, $\det A(x)\neq 0$ in Umgebung von $0$

    Definiere:

    $$
      \begin{cases}
        U\times \R^{m-n}\to \R^m
        \\ (x_1,\ldots x_n, x_{n+1}, \ldots, x_m) \mapsto f(x_1,\ldots, x_n) + (0,\ldots, 0, x_{n+1}, \ldots, x_m)
      \end{cases}
    $$

    $$
      D_0F =
        \begin{bmatrix}
          \begin{array}{c|c}
              A & 0 \\
            \hline
              * & \eins
          \end{array}
        \end{bmatrix}
    $$
    Aus dem Satz über inverse Finktionen folgt $F$ lokal invertierbar mit lokaler Inversen $g$

    $$
      g\circ f = g\circ F \circ \iota - \iota
    $$
 2. Beweis ist Übung

* Intermezzo: Topologische Räume

** Definition: Topologischer Raum

Ein topologischer Raum $(X,\tau)$ ist ein Paar aus einer Menge $X$ und einem System $\tau$ von Teilmengen von $X$ ($\mathrel{\hat=}$ „offene Mengen“) mit
 1. $\emptyset$, $X\in \pi$
 2. $(U_i)_{i\in I}\subseteq \tau \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i \in \tau$
 3. $U_1, \ldots, U_n\in \tau \Rightarrow \bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau$

Beispiel:

 1. $(X,d)$ metrischer Raum $\Rightarrow \tau_d := \{ U\subseteq X\ |\ \forall x\in U \exists r> 0 \colon B_r(x) \subseteq U \}$ die durch $d$ induzierte Topologie
 2. $(\R^n, d_2(x,y) = \lVert x-y \rVert_2) \rightsquigarrow (\R^n, \tau_{d_2})$
 2. $(\R^n, d_2(x,y) = \lVert x-y \rVert_1) \rightsquigarrow (\R^n, \tau_{d_2})$

    Es gilt $\tau_{d_2} = \tau_{d_1}$, da alle Normen äquivalent (vgl. Analysis4)

** Definition: Hausdorff-Raum

  Ein topologischer Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn
  $$
    \forall x, y \in X, x\neq y : \exists U_x, U_y \mathrel\text{offen} : U_x \cap U_y = \emptyset
  $$

  TODO Bildchen 12

** Definition: kompakter Hausdorff-Raum

  Ein Hausdorff-Raum $(X,\tau)$ heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt, d.h.

  $$
    \bigcup_{i\in I} U_i \supseteq X, U_i {\text{ offen }} \Rightarrow \exists i_1, \ldots, i_n \in I \mathrel{\text{mit}} \bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq X
  $$

** Definition: Basis einer Topologie

Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum. Ein System $\mathcal B\subseteq \tau$ von offenen Mengen heißt Basis der Topologie $\tau$, falls jedes $U\in \tau$ als Vereinigung $U=\bigcup_{i\in I}B_i$, $B_i\in \mathcal B$ dargestellt werden kann.

** Definition: 2. Abzählbarkeitsaxiom

Ein topologischer Raum ist zweitabzählbar bzw. erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom, wenn es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.

Beispiel:

Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{ \underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in \mathbb Q^n, r\in \mathbb Q_{>0} \}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.

Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978
%2019-11-14

* Untermannigfaltigkeiten

% \begin{Def}
% Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Der Rang von $f$ an $p$ ist definiert als der Rang (= Dimension des Bildes) des Differentials $D_p f$.
% \end{Def}

** Definition einer Untermannigfaltigkeit

Es gibt zwei gängige Definitionen einer Untermannigfaltigkeit $N\subset M$, die sich dadurch unterscheiden, welche Eigenschaften man von der Inklusionsabbildung $i\colon N\to M$ verlangt.

** Definition: Mannigfaltigkeit

Seien $N$, $M$ Mannigfaltigkeiten. Eine glatte Abbildung $i\colon N\to M$ heißt Immersion, wenn $D_pf\colon T_pM\to T_pN$ injektiv für jedes $p\in M$ ist. Eine Immersion $i\colon N\to M$ heißt Einbettung, wenn $i\colon N\to i(N)\subset M$ ein Homöomorphismus ist (d.h. $i$ ist injektiv und $i^{-1}\colon i(N)\to N$ ist stetig).

Dementsprechend gibt es zwei Definitionen einer Untermannigfaltigkeit, die in der Literatur zu finden sind:

\begin{itemize}
\item eine (immersierte) Untermannigfatigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer injektiven Immersion $i\colon N\to M$;
\item eine (eingebettete) Untermannigfaltigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer Einbettung $i\colon N\to M$.
\end{itemize}

Wir werden in diesem Kurs das Wort „Untermannigfaltigkeit“ stets für eingebettete Untermannigfaltigkeit benutzen.

Wir erinnern uns an den Satz über implizite Funktion, die wir früher in der Vorlesung bewiesen hatten.

Sei $f\colon \mb R^n\to \mb R^k$ glatt. Offensichtlich ist der Rang von $f$ an jedem Punkt $p\in \mb R^n$ kleiner oder gleich $\min(n,k)$. Man sagt, $f$ habe \emph{maximalen Rang} an einem Punkt, wenn der Rang von $f$ an $p$ gleich $\min(n,k)$ ist.

Natürlicherweise tauchen hier zwei Varianten auf:
\begin{itemize}
    \item $n\leqslant k$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $n$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $n$ (an jedem Punkt) ist die Einbettung $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\iota(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_n,0,\dots,0)$.
    \item $k\leqslant n$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $k$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $k$ (an jedem Punkt) ist die Projektion $\pi\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\pi(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_k)$.
\end{itemize}

** Satz: implizite Funktionen
%TODO \label{theo:implizite-fkt}
Sei $U\subset \mb R^n$ eine Umgebung von $0\in \mb R^n$, $f\colon U\to \mb R^k$ glatt mit $f(0) = 0$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
    \item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $g$  von $\mb R^k$ an $0$ mit $g\circ f = \iota$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
    \item Wenn $k\leqslant n$ und $f$ maximalen Rang ($=k$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h = \pi$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
\end{enumerate}

% Beweis:
% Bereits bewiesen.

Man sollte anmerken, dass wegen des Satzes über implizite Funktion jede Immersion lokal eine Einbettung ist:

** Proposition
Sei $i\colon N\to M$ eine Immersion, $\dim N = n$, $\dim M = m$. Dann gilt: für jedes $p\in N$ gibt es eine Umgebung $V$ von $p$ in $N$ und eine Karte $(U,y)$ mit $i(p)\in U\subset M$, so dass:
\begin{enumerate}
    \item $q\in i(V)\cap U$ genau dann, wenn $y^{n+1}(q) = \dots = y^m (q) = 0$ (anders gesagt, $y(i(V)\cap U) = (\mb R^n\times \{0\})\cap y(V)$;
    \item $i|_V$ ist eine Einbettung.
\end{enumerate}

Beweis:

Sei $x$ eine Kartenabbildung um $p$ mit $x(p)=0$, $\tilde y$ eine Kartenabbildung um $i(p)$ mit $\tilde y\circ i(p) = 0$. Dann hat $\tilde y\circ i \circ x^{-1}$ maximalen Rang ($=n$) an $0$, also gibt es nach dem Satz über implizite Funktion
%TODO (Satz \ref{theo:implizite-fkt})
eine Karte $g$ von $\mb R^m$ und eine Umgebung $W$ von $0$ mit $g\circ \tilde y\circ i\circ x^{-1}|_W = \iota|_W$, wobei $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^m$ die kanonische Einbettung ist. Sei $U\coloneqq x^{-1}(W)$, $y = g\circ \tilde y$; dann gilt (1) nach Konstruktion. (2) folgt dann, weil $i|_U = y^{-1}\circ\iota\circ x|_U$ eine Verkettung von Einbettungen ist.

** Satz vom regulären Wert

Der Satz vom regulären Wert ist von zentraler Bedeutung in Differentialgeometrie, weil er uns erlaubt, Untermannigfaltigkeiten zu konstruieren.

*** Definition: kritischer Wert

Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $n$ bzw. $k$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $\operatorname{Rang} D_p f = k$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.

Wenn $n\geqslant k$ ist (und das ist für uns der interessante Fall), heißt also die Bedingung, dass $q\in N$ ein regulärer Wert von $f$ ist so viel wie: an jedem Urbildpunkt von $q$ hat $f$ maximalen Rang ($=k$).

*** Satz: Satz vom regulären Wert

Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $n$ bzw. $k$ mit $n\geqslant k$, $f\colon M\to N$ glatt. Wenn $q\in f(M)$ ein regulärer Wert ist, dann ist $A\coloneqq f^{-1}(q)\subset N$ (= die Faser von $f$ an $q$)  eine Untermannigfaltigkeit von $M$.

Beweis:

Sei $y\colon V\to \mb R^k$ eine Karte um $q\in N$ mit $y(q)=0$. Sei außerdem $p\in A$ und $x\colon U\to \mb R^n$ eine Karte um $p\in M$. Zerlege $\mb R^n = \mb R^k\times \mb R^{n-k}$ und seien $\pi_1,\pi_2$ die entsprechenden Projektionsabbilgungen. Außerdem sei $\iota_2\colon \mb R^{n-k}\to \mb R^n$ die Einbettung in die letzten Koordinaten: $\iota_2(a_1,\dots,a_{n-k}) = (0,\dots,0,a_1,\dots,a_{n-k})$.

Da $y\circ f\circ x^{-1}$ maximalen Rang an $0\in \mb R^n$ hat, gibt es nach Satz über implizite Funktionen
%TODO \ref{theo:implizite-fkt}
(ii) eine Karte $(W,h)$ um $0\in\mb R^n$ mit $y\circ f\circ x^{-1}\circ h = \pi_1|_W$. Sei $\widetilde W\coloneqq \pi_2(W)$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\mb R^{n-k}$, und $y\circ f\circ x^{-1}\circ h \circ \iota_2 = \pi_1\circ \iota_2 = 0$ auf $\widetilde W$. Das heißt, wenn $z\coloneqq x^{-1}\circ h\circ \iota_2|_{\widetilde W}$, so folgt $z(\widetilde W)\subset A$. Nun behaupten wir, dass $z(\widetilde W) = A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, so dass $z$ ein Homömorphismus auf sein Bild ist. Es ist zunächst klar, dass $z(\widetilde W) \subset A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, weil $z(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h\circ \iota_2)(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h)(W\cap (0\times \mb R^{n-k}))$. Für die andere Inklusion nehmen wir ein $\tilde p\in A \cap (x^{-1}\circ h)(W)$; dann folgt aber $\tilde p = (x^{-1}\circ h)(u)$ für ein eindeutig bestimmtes $u\in W$, und $0 = (y\circ f)(\tilde p) = (y\circ f\circ x^{-1}\circ h)(u) = \pi_1(u)$, so dass $u = (0,a)\in 0\times \widetilde W$. Dann gilt aber $\tilde p = z(a)\in z(W)$. Es folgt, dass $i\colon A\hookrightarrow M$ eine topologische Einbettung ist (also ein Homöomorphismus auf sein Bild).

Wir versehen nun $A$ mit der glatten Struktur induziert durch die oben konstruierten Karten $(z(\widetilde W),z^{-1})$, wenn $p$ die Menge $A$ durchläuft (Übungsfrage: warum sind diese Karten kompatibel?). Dann ist die Inklusion $i\colon A\hookrightarrow M$ sogar glatt, weil $x\circ i\circ (z^{-1})^{-1} = h\circ \iota_2$.

*** Beispiel: Sphäre

Die Abbildung $f\colon \mb R^{n+1}\to \mb R$, $a\mapsto \norm{a}^2$, erfüllt $Df(a) = 2(a_1,\dots,a_{n+1})$; der Rang des Differentials ist also maximal ($=1$) an jedem Punkt außer $0$. Das heißt, die Sphäre vom Radius $r> 0$, $S_r\coloneqq f^{-1}(r)$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $\mb R^{n+1}$.

*** Bemerkung: Satz von Sard

Der (höchst nichttriviale) Satz von Sard besagt, dass eine glatte Abbildung $f\colon \mb R^m\to\mb R^n$ ($m\geqslant n$) stets „sehr viele“ reguläre Werte hat (insbesondere ist die Menge der regulären Werte stets dicht in $\mb R^n$). Das heißt, dass eine „generische“ Faser von $f$ eine Untermannigfaltigkeit ist.

* Vektorfelder und ihre Flüsse

** Definition: Vektorfeld

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $TM$ sein Tangentialbündel und $\pi\colon TM\to M$ die Projektionsabbildung. Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ ist ein Schnitt des Tangentialbündels, d.h. eine glatte Abbildung $X\colon M\to TM$ mit $\pi\circ X= \mathrm{id}_M$ (d.h. $X(p)\in T_p M$ für jedes $p\in M$).

Der Wert von $X$ an einem Punkt $p\in M$ wird durch $X(p)$ oder $X_p$ bezeichnet.

Wir notieren folgende Eigenschaften der Vektorfelder:

\begin{enumerate}
    \item Die Vektorfelder bilden ein Vektorraum bezüglich punktweiser Operationen, weil der Wert eines Vektorfeldes an jedem Punkt $p$ in dem Vektorraum $T_p M$ liegt. Der Vektorraum der Vektorfelder auf $M$ wird durch $\Gamma(TM)$, $\mathrm{Vect}(M)$ oder $\mathfrak{X}(M)$ bezeichnet.
    \item Man kann Vektorfelder mit glatten Funktionen multiplizieren: wenn $X\colon M\to TM$ ein Vektorfeld ist und $f\in C^\infty(M)$, dann ist $f X\colon p\mapsto f(p)X(p)$ auch ein Vektorfeld.
    % \item
    \item Da Tangentialvektoren auf Funktionen durch Ableitungen wirken, kann man ein Vektorfeld $X$ auf eine glatte Funktion $f\in C^\infty(M)$ anwenden und eine neue Funktion $X(f)\in C^\infty(M)$ bekommen mit
    \[
    (X(f))(p) = X_p(f)
    \]
    \item wenn $(U,x)$ eine Karte um $p\in M$ ist, definiert sie die Koordinatenvektorfelder $\partial/\partial x^i$ auf $U$. Daher kann jedes Vektorfeld auf $U$ dargestellt werden als
    \[
    X = \sum_{i=1}^n X(x^i) \frac{\partial}{\partial x^i} = \sum_{i=1}^n dx^i(X) \frac{\partial}{\partial x^i}.
    \]
    Umgekehrt definiert in diesem Fall eine beliebige ``Linearkombination''
    \[
    X = \sum_{i=1}^n f_i \frac{\partial}{\partial x^i}
    \]
    mit $f_i\in C^\infty(V)$, $i=1,\dots,n$, ein Vektorfeld $X$ auf $V$.
\end{enumerate}

** Beispiel
%TODO \label{bsp:vektorfelder-r-n}

Wenn $M = \mb R^n$, dann gilt $TM = \mb R^n\times \mb R^n$ (Übung!). In diesem Falle kann man Vektorfelder $X\colon \mb R^n\to \mb T\mb R^n$ mit glatten Funktionen $\underline{X}\colon \mb R^n\to \mb R^n$ identifizieren: ein Vektorfeld $X$ entspricht eindeutig der Funktion $u\mapsto (X(u^1),\dots,X(u^n))$, also seinen Koordinaten bzgl. $\frac{\partial}{\partial u^i}$.

% Wir notieren folgende einfache Proposition:
% \begin{Prop}
% Sei $X\colon U\to TM$ eine (a priori nicht glatte) Abbildung mit $\pi\circ X = \mathrm{id}_U$. Folgende Bedingungen sind äquivalent:
% \begin{enumerate}
%     \item $X$ ist ein Vektorfeld (d.h. $X$ ist glatt als Abbildung);
%     \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ gilt $X(x^i)\in C^\infty(V)$;
%     \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ und jede $f\in C^\infty(V))$ gilt $X(f)\in C^\infty(V)$.
% \end{enumerate}
% \end{Prop}

** Flüsse von Vektorfeldern

Eines der wichtigen Ergebnisse in der Analysis ist der Satz über Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen (der Satz von Picard-Lindelöf). Dieser gilt auch auf Mannigfaltigkeiten und bildet somit interessanten Zusammenhang zwischen Vektorfeldern und Diffeomorphismen. Wir fangen mit folgender Version des klassischen Satzes von Picard-Lindelöf in $\mb R^n$.

*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von DGLs erster Ordnung in $\mb R^n$


Sei $U\subset \mb R^n$ offen und $F\colon U\to \mb R^n$ glatt. Dann existiert für jedes $a\in U$ eine Umgebung $W$ von $a$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\psi\colon I\times W\to U$ mit folgenden Eigenschaften:

\begin{enumerate}
    \item $\psi(0,u) = u,$
    \item $\frac{\partial\psi}{\partial t}(t,u) = F(\psi(t,u))$.
\end{enumerate}

Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1$, $W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\psi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\psi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.

%ende satz

Die Abbildung $\psi(t,u)$ wird interpretiert als Lösung der Differentialgleichung

$$
% TODO \label{eqn:ode}
\dot \psi(t) = F(\psi(t))
$$
mit Anfangsbedingung $\psi(0) = u$ am Zeitpunkt $t$: die zweite Bedingung besagt, dass $\psi$ die Differentialgleichung löst, und die erste Bedingung besagt, dass der Anfangswert an $t=0$ gleich $u$ ist.

Die Differentialgleichung
%TODO \eqref{eqn:ode}
kann man auf einer Mannigfaltigkeit $M$ auch leicht interpretieren: eine glatte Kurve $\gamma\colon I\to M$ hat an jeder Stelle einen Tangentialvektor $\dot\gamma(t) = (D_t\gamma)\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\in T_p M$ -- die linke Seite hat somit eine Interpretation als Element in $T_p M$. Die rechte Seite soll dann durch Vorgabe eines Tangentialvektors an jedem Punkt auf $M$, d.h. eines Vektorfeldes auf $M$, bestimmt sein.

Somit lässt sich der obige Satz wie folgt auf Mannigfaltigkeiten interpretieren:

*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert für jedes $q\in M$ eine Umgebung $V$ von $q$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon I\times V\to M$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
    \item $\Phi(0,p) = p,$
    \item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$.
\end{enumerate}

Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1,W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\Phi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\Phi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.

Beweis:

Sei $(U,x)$ eine Karte um $q$. Setze $G\coloneqq x(U)$, $a\coloneqq x(q)$,

$$
  F\coloneqq (dx^1(X),\dots,dx^n(X))\circ x^{-1}\colon G\to \mb R^n
$$

und wende den vorigen Satz an, um eine Abbildung $\psi\colon I\times W\to G$ zu bekommen. Die Abbildung $\Phi\coloneqq x^{-1}\circ \psi$ ist dann nach Konstruktion die gesuchte: die Eigenschaften (1) und (2), geschrieben in Koordinaten mit Hilfe von $x$, sind genau die Bedingungen (1) und (2) des vorigen Satzes.

Die Abbildung $\Phi$ aus dem obigen Satz wird auch \emph{lokaler Fluss} von $X$ genannt. Für jedes $p\in V$ ist dann $\gamma(t)\coloneqq \Phi(t,p)$ eine Kurve auf $M$, welche die Differentialgleichung
$$
\dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
$$
sowie die Anfangsbedingung $\gamma(0) = 0$ erfüllt. Solche Kurven heißen \emph{Integralkurven} von $X$.

Der obige Satz ist eine lokale Aussage, und es besteht \emph{a priori} keine Hoffnung, das ``Zeitintervall'' $I$ vergrößern zu können: es gibt sogar im Eindimensionalen Differentialgleichungen, dessen Integralkurven in einer endlichen Zeit ins Unendliche laufen, z.B. $\dot x = x^2$ in $\mb R$ (Übung: überzeugen Sie sich, dass die Integralkurven hier ins Unendliche in endlicher Zeit laufen und bestimmen Sie das zugehörige Vektorfeld!). Es gibt allerdings immer einen maximalen Definitionsbereich des Flusses:

*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert eine eindeutig bestimmte maximale offene Teilmenge $W\subset \mb R\times M$ mit $\{0\}\times M\subset W$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ mit folgenden Eigenschaften:

\begin{enumerate}
    \item $\Phi(0,p) = p,$
    \item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$,
    \item für jedes $p\in M$, $W\cap (\mb R\times \{p\}) = I_p\times \{p\}$, wobei $I_p\subset \mb R$ ein offenes Intervall mit $0\in I_p$ ist.
\end{enumerate}

Beweis:

Der vorige Satz liefert die Existenz einer offenen Teilmenge
$$
W_0 = \bigcup_{q\in M} I_q\times V_q
$$
zusammen mit einer eindeutigen glatten Abbildung $\Phi\colon W_0\to M$ mit gewünschten Eigenschaften (die Eindeutigkeitsaussage aus dem vorigen Satz impliziert, dass $\Phi$ wohldefiniert auf $W_0$ ist).

Sei nun $\mathcal W = \{(W,\Phi\mid (W,\Phi)\text{ erfüllen (i), (ii), (iii) }\}$ die Familie von allen offenen Teilmengen, welche die Aussage des Satzes erfüllen. Wenn nun $(W',\Phi')$ und $(W'',\Phi'')$ zwei Elemente aus $\mathcal W$ sind, folgt aus der Eindeutigkeit, dass $\Phi'$ und $\Phi''$ auf $W'\cap W''$ übereinstimmen, weswegen sie sich zu einer eindeutig bestimmten glatten Abbildung $\Phi\colon W'\cup W''\to M$ fortsetzen. Das ergibt, dass auf der Vereinigung
\[
W\coloneqq \bigcup_{(W',\Phi')\in \mathcal W} W'
\]
eine glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ durch $\Phi|_W'\coloneqq \Phi'$ wohldefiniert ist. Sie erfüllt offensichtlich die Aussage des Satzes.

*** Definition: maximaler Fluss

Die Abbildung $\Phi\colon W\to M$ heißt maximaler Fluss von $X$. $X$ heißt vollständig, wenn $W = \mathbb R\times M$ ist, d.h. wenn der Fluss immer definiert ist.

*** Übung:

Zeigen Sie, dass jedes Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit vollständig ist.

Sei $X$ nun ein vollständiges Vektorfeld auf $M$. Wir definieren $\Phi_t\colon M\to M$ durch $\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$ und beobachten folgende fundamentale Eigenschaft:

*** Proposition:

\[
\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}
\]

Beweis:

Nach Definition ist $\Phi_{t_1+t_2}(p)$ der Wert an $t= t_1+t_2$ der Integralkurve $\gamma_p$ von $X$ mit Anfangswert $p$. $\Phi(t_2)(p)$ ist der Wert derselben Integralkurve an $t= t_2$, und $\Phi_{t_1}(\Phi_{t_2}(p))$ ist der Wert an $t=t_1$ der Integralkurve von $X$ mit Anfangswert $\Phi_{t_2}(p)$. Nach Eindeutigkeit ist die letztere aber gleich $\gamma_p(t+t_2)$, und ihr Wert an $t_1$ ist $\gamma_{p}(t_1+t_2)$, wie gewünscht.

*** Korollar

\begin{enumerate}
    \item $\Phi_t\colon M\to M$ is ein Diffeomorphismus für jedes $t\in \mb R$;
    \item die Abbildung $\Phi\colon \mb R\to \mathrm{Diff}(M)$, $t\mapsto \Phi_t$, ist ein Gruppenhomomorphismus.
\end{enumerate}

*** Definition: Einparametergruppe

Eine glatte Abbildung $\Phi\colon \mathbb R\times M\to M$ mit $\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}$ ($\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$) heißt eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von $M$.

Gegeben eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen, bekommen wir das Vektorfeld $X$, welches sie erzeugt, auch zurück durch
\[
X_p \coloneqq \Phi_{*,(0,p)}\frac{\partial}{\partial t}.
\]
Dieses Vektorfeld hat nach Konstruktion $\Phi$ als zugehörigen maximalen Fluss: diese Gleichung ist genau die Bedingung (2) aus der Definition des Flusses eines Vektorfeldes. Somit haben wir festgestellt:

*** Proposition

Es gibt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Einparametergruppen von Diffeomorphismen von $M$ und vollständigen Vektorfeldern auf $M$.