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* Erinnerungen an WS

Wir studieren Mannigfaltigkeiten (Mfg).

$\approx$ topologische Räume, die lokal wie $\mathbb R^n$ aussehen + glatte ~Strukturen~ von glatten Abbildungen zu sprechen.

Konkret: um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ zusammen mit einer Karte $x\colon U\to \mathbb R^n$

%Bild 1

Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Analysis auch auf $M$ zu verstehen.

~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)

1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
  %TODO %TYPO: remove space here
  $$
    T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
    \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
  $$
  
  Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung!
  
  %Bild 2
  
  $\pi \colon TM \to M$ ist glatt
  $v\in T_pM \mapsto p$
  
  Nutzen: wir verstehen „wirklich“, was Ableitungen sind
  
  Früher: 
  $$
    f\in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb R^n) &\rightsquigarrow& D_pf \in \mathbb M_{n\times m} (\mathbb R)
    \\&& Df \in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb M_{n\times m}(\mathbb R))
  $$
  
  Jetzt in Diffgeo:
  
  $$1
  f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear}
  $$1
  
  %Bild 3
  
2. ODEs als Flüsse von Vektorfeldern
  %Bild 4
  
  Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi \circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p) \in T_pM$)
  Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes)
  
  s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE
  $$1
    \dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
  $$1
  lässt

3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$
  
  $(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra.
  
  Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften:
  
    1. $[X,Y] = -[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$
    2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$:
    $$
      [X, [Y,Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X,Y]] = 0
    $$
    
  Beispiele:
    1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra
    2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B] = AB - BA$ ist eine Lie-Algebra
  
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  Verbindung zwischen a) und b)%ref
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  -- Lie-Gruppen
  Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt.
  
  $G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow \operatorname{Lie}(G) = 2(G) = \{ X\in \Gamma(TG) \ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p} = D_pLg} X = X \} = \{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \}$
  
  $\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$.
  
  Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum
  $\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$
 
  %TODO %TYPO vertical space
  $$
    Lg \colon G &\to& G\\
    h &\mapsto& g\cdot h
  $$

  Satz $G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)$
  
  $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)$
  
  Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren!
  
  $$1
    (\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])
  $$1
  
  Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$.
  $$1
    [A,B] = AB - BA
  $$1
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%DATE 2019-04-02
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* Übung 1
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Differential einer Abbildung

$$1
  f\colon \mathbb R^n  \to \mathbb R^n
$$1

$$
p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear})
\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)}
$$

$$
  \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i
  \\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
    \begin{matrix}
      i = \overline{1, m} \\
      j = \overline{1, n}
    \end{matrix}}
$$

$$
  f\colon M\to N
$$
$$
  p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear}
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&
  \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)})
$$

$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$

\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}

%TODO vertical line

TODO Bildchen %TODO

$$
  M &\overset f\to& N
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}&
  \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
  \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f
$$

Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear

%TODO vertical line

** Beispiel

$$1
  G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C)
$$1

$$
  &\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot]
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\
  &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C)
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\}
$$

Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$

$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$

$$
  \dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0
$$

Also:

$$
  T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \}
$$

Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte:
$$
  \gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right)
\\  \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX}
\\  \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n)
\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X
$$
wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit

%Hinweis nur mündlich:
$$
  D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A))
$$

$$
  G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R)
  \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Wir haben gesehen:
$$
  \exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\
  &X& \mapsto \exp(X)
$$

$$
  \gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX)
$$

$$
  \dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t))
$$

wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist

$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$

Ausführlicher:

$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$

$$
  X\in T_1G \rightsquigarrow
  \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} }
  = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann:
$$
  \dot A(t) = A(t)\cdot X
$$

$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$

%TODO vertical line

$$
  x &\mapsto& A\cdot x
  \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear}
  \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m
  \\
  \\ f\colon V &\to& W \text{ linear}
$$

mit Übung 28 %TODO ref
$p\in V$:


\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
  V \arrow[r, "f"]                                      & W
  \end{tikzcd}
\end{center}

%TODO vertical line
%TODO das war das mündliche Zeug

$$
  \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}
$$

$$
  \det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R
$$

$$
  D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R
  \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A)
$$

$$
  \det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2)
$$

Determinante ist Konjugationsinvariant

$$1
  \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1})
$$1

Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit:

$$
  \det (1+tA)
  &=&
    \left|\begin{matrix}
      1+t\lambda_1& & \\
      & \ddots & \\
      && 1+t\lambda_n
    \end{matrix}\right|
  \\&=&
    (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n)
  \\&=&
    1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2)
  \\&=&
    1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)
$$
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* Integration auf Mannigfaltigkeiten

Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs

%TODO schöner
\begin{tikzcd}
 \arrow[rr, "U", no head]  &  & \mathbb R^n                                        \\
                           &             & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\
 \arrow[rr, "V"', no head] &             & \mathbb R^n                                       
\end{tikzcd}

Betrachte $n=1$:

$U$, $V \subseteq \mathbb R$ offenen Intervalle. $\alpha\colon \underbrace{U}_{=(a,b)} \to V$ Diffeo ($=$ strikt monotone glatte Fkt.)

Transformationsformel:
$$
  \int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\,\mathrm d t = \int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm dt
$$

„Mnemonik“:
$$
  \intd v = v'(u)\intd u
$$

$f\colon V\to \mathbb R$
$$
  \int_{U}(\alpha^*(f))(u)\alpha'(u)\intd u = \int_V f(v)\intd v \neq \int_V \alpha^*(f)(t) \intd t
$$

In $\mathbb R^n$:

$$
\int_U \alpha^*(t)(\det D_u\alpha)\intd_{u_1}\cdots\intd_{u_n} = \int_V f(v) \intd_{v_1}\dotsm\intd_{v_n}
$$

$$
\alpha \colon &U& \to V \text{ Diffeo}
\\ &(u_1,\dotsc,u_n)& \mapsto (v_1, \dotsc, v_n)
$$

$v=v(u)$
$$
\int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
$$

$$
  \intd v_1
  = \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1 
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2
$$

$$
  \intd v_2
  = \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1 
  + \frac{\partial v_2 }{\partial u_2 }\intd u_2 
$$

$$
  \intd v_1 \intd v_2
  = \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_1 \intd u_1}
  + \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2}
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_2 \intd u_1
  =: (*)
$$

$$
  = \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
  = \int_U f(v(u))
%   \left%TODO overcome boxes
  \Bigg
  (
    \underbrace{
      \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 } \frac{\partial v_2}{\partial u_2} - \frac{\partial v_1}{\partial u_2}\frac{\partial v_2}{\partial u_1}
    }_{
      \underset{
        \begin{subarray}{c}
          \text{sollte}\\
          (*)\text{ sein}
        \end{subarray}
      }{=} \det \left(
      \begin{matrix}
        \frac{\partial v_1}{\partial u_1} & \frac{\partial u_1}{\partial u_2}
        \\ \frac{\partial v_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_2}  
      \end{matrix}\right)
    }
  \Bigg
%   \right
  )
  \intd u_1 \intd u_2
$$

Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten:

$$
  \intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0
  \\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0
$$

Erkenntniss:

Koordinatenfrei werden nicht Funktionen, sondern sogenannte Differentialformen integriert. Eine $n$-Differentialform auf $\mathbb R^n$ ist (informell) ein Ausdruck
$$
  \omega = f(x) \intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_n
$$
mit den Rechenregeln: wenn $x=x(y)$ mit $y = (y_1,\dotsc,y_n)$ dann transformiert sich der Ausdruck zu 

$$
  f(x(y))
  \left(
    \frac{\partial x_1}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_1}{\partial y_n}\intd y_n
    \wedge \ldots \wedge
    \frac{\partial x_n}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_n}{\partial y_n}\intd y_n
  \right)
$$

und es gilt:

$$
 T^*M \ni \intd y_i \wedge \intd y_j = -\intd y_j \wedge \intd y_i,\ \ \ \ i,j = 1,\ldots, n
$$

folglich ist $\int \omega$ unabhängig von Koordinaten.

Ziel:

* Das Tensorprodukt

ausgehend von einem Vektoraum $V(= T_pM, T_p^*M)$ einen Kalkühl zu entwickeln, welcher die Interpretation von Ausdrücken wie $\intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_k$ mit Rechenregeln $\intd x_i \wedge \intd x_j = \intd x_j \wedge \intd x_i$ erlaubt.

Das wird durch Theorie von Tensorprodukten und multiliniearen (z.B. $\det\colon \underbrace{\mathbb R^n \times \ldots \times \mathbb R^n}_{n\text{-mal}} \to \mathbb R$) Abbildungen gemacht

Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1 \times \ldots \times V_n \to W$. Es reicht diese Idee für bilineare Abbildungen zu realisieren. (dann wiederholt man es)

** Definition: Tensorprodukt

Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\oplus W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)

\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f", dashed] \\
                                          & Z                                             
\end{tikzcd}
\end{center}

** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\oplus W$

Wenn $V\oplus W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.

Beweis:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
V + W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\oplus W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] &  \                                 \\
                                          & (V\oplus W)_2                                  &  \arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
\end{tikzcd}
\end{center}

Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_1$ liefert $f_1\colon (V\oplus W)_1 \to (V\oplus W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$.

Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_2$ liefert $f_2\colon (V\oplus W)_2 \to (V\oplus W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.

Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte z.B.: $f_1\circ f_2$

\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\oplus W \arrow[r, "i_2"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\oplus W)_2 \arrow[d, "f_1\circ f_2"] & \                   \\
\                                             & (V\oplus W)_2                           & \  \arrow[u, "id"']
\end{tikzcd}
\end{center}

Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\oplus W)_2$ ist $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\oplus W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$

** Existenz von $V \oplus W$

Idee: $V\oplus W$ soll von Ausdrücken der Form $v\oplus w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\oplus w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.

Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (re­elle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.

$$
  \mathcal F_{\mathbb R}(X) \cong \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viel } x \}
$$

$$
  V\oplus W := \nicefrac
  {
    \mathcal F(V\times W)
  }{
    \left\langle
    \begin{subarray}{l}
      (v_1+v_2, w) -(v_1,w) -(v_2,w), v_1, v_2 \in V, w\in W \\
      (v, w_1+w_2) -(v,w_1) -(v,w_2), v \in V, w_1, w_2\in W \\
      \left.
      \begin{subarray}{l}
        (\lambda v, w) - \lambda(v,w) \\
        (v, \lambda w) - \lambda(v,w) \\
      \end{subarray}
      \right\}
      v \in V, w\in W, \lambda \in \mathbb R
    \end{subarray} \right\rangle
    }
$$

Sei
$$
  i \colon &V\times W& \to V\oplus W
  \\ &(v,w)& \mapsto [(v,w)] =: v\oplus w
$$

Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:

$$
  (v_1+v_2)\oplus w &:=& v_1\oplus w + v_2 \oplus w
  \\ v\oplus (w_1 + w_2) &:=& v\oplus w_1 + v\oplus w_2
  \\ \lambda(v\oplus w) &=& v\oplus \lambda w = \lambda v\oplus w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$