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%TODO alles mit ??

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* Erinnerungen an WS

Wir studieren Mannigfaltigkeiten (Mfg).

$\approx$ topologische Räume, die lokal wie $\mathbb R^n$ aussehen + glatte ~Strukturen~ von glatten Abbildungen zu sprechen.

Konkret: um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ zusammen mit einer Karte $x\colon U\to \mathbb R^n$

%Bild 1

Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Analysis auch auf $M$ zu verstehen.

~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)

1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
  %TODO %TYPO: remove space here
  $$
    T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
    \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
  $$
  
  Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung!
  
  %Bild 2
  
  $\pi \colon TM \to M$ ist glatt
  $v\in T_pM \mapsto p$
  
  Nutzen: wir verstehen „wirklich“, was Ableitungen sind
  
  Früher: 
  $$
    f\in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb R^n) &\rightsquigarrow& D_pf \in \mathbb M_{n\times m} (\mathbb R)
    \\&& Df \in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb M_{n\times m}(\mathbb R))
  $$
  
  Jetzt in Diffgeo:
  
  $$1
  f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear}
  $$1
  
  %Bild 3
  
2. ODEs als Flüsse von Vektorfeldern
  %Bild 4
  
  Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi \circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p) \in T_pM$)
  Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes)
  
  s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE
  $$1
    \dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
  $$1
  lässt

3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$
  
  $(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra.
  
  Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften:
  
    1. $[X,Y] = -[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$
    2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$:
    $$
      [X, [Y,Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X,Y]] = 0
    $$
    
  Beispiele:
    1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra
    2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B] = AB - BA$ ist eine Lie-Algebra
  
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  Verbindung zwischen a) und b)%ref
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  -- Lie-Gruppen
  Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt.
  
  $G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow \operatorname{Lie}(G) = 2(G) = \{ X\in \Gamma(TG) \ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p} = D_pLg} X = X \} = \{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \}$
  
  $\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$.
  
  Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum
  $\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$
 
  %TODO %TYPO vertical space
  $$
    Lg \colon G &\to& G\\
    h &\mapsto& g\cdot h
  $$

  Satz $G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)$
  
  $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)$
  
  Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren!
  
  $$1
    (\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])
  $$1
  
  Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$.
  $$1
    [A,B] = AB - BA
  $$1
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106 107

%DATE 2019-04-02
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* Übung 1
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Differential einer Abbildung

$$1
  f\colon \mathbb R^n  \to \mathbb R^n
$$1

$$
p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear})
\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)}
$$

$$
  \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i
  \\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
    \begin{matrix}
      i = \overline{1, m} \\
      j = \overline{1, n}
    \end{matrix}}
$$

$$
  f\colon M\to N
$$
$$
  p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear}
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&
  \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)})
$$

$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$

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142
\begin{center}
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143 144 145
\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}
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146
\end{center}
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%TODO vertical line

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%2019-??-??

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TODO Bildchen %TODO

$$
  M &\overset f\to& N
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}&
  \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
  \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f
$$

Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear

%TODO vertical line

** Beispiel

$$1
  G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C)
$$1

$$
  &\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot]
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\
  &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C)
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\}
$$

Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$

$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$

$$
  \dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0
$$

Also:

$$
  T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \}
$$

Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte:
$$
  \gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right)
\\  \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX}
\\  \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n)
\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X
$$
wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit

%Hinweis nur mündlich:
$$
  D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A))
$$

$$
  G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R)
  \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Wir haben gesehen:
$$
  \exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\
  &X& \mapsto \exp(X)
$$

$$
  \gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX)
$$

$$
  \dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t))
$$

wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist

$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$

Ausführlicher:

$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$

$$
  X\in T_1G \rightsquigarrow
  \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} }
  = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann:
$$
  \dot A(t) = A(t)\cdot X
$$

$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$

%TODO vertical line

$$
  x &\mapsto& A\cdot x
  \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear}
  \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m
  \\
  \\ f\colon V &\to& W \text{ linear}
$$

mit Übung 28 %TODO ref
$p\in V$:


\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
  V \arrow[r, "f"]                                      & W
  \end{tikzcd}
\end{center}

%TODO vertical line
%TODO das war das mündliche Zeug

$$
  \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}
$$

$$
  \det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R
$$

$$
  D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R
  \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A)
$$

$$
  \det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2)
$$

Determinante ist Konjugationsinvariant

$$1
  \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1})
$$1

Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit:

$$
  \det (1+tA)
  &=&
    \left|\begin{matrix}
      1+t\lambda_1& & \\
      & \ddots & \\
      && 1+t\lambda_n
    \end{matrix}\right|
  \\&=&
    (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n)
  \\&=&
    1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2)
  \\&=&
    1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)
$$
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314 315 316 317 318 319 320


* Integration auf Mannigfaltigkeiten

Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs

%TODO schöner
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321
\begin{center}
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322 323 324 325 326
\begin{tikzcd}
 \arrow[rr, "U", no head]  &  & \mathbb R^n                                        \\
                           &             & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\
 \arrow[rr, "V"', no head] &             & \mathbb R^n                                       
\end{tikzcd}
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327
\end{center}
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328 329 330 331 332 333 334

Betrachte $n=1$:

$U$, $V \subseteq \mathbb R$ offenen Intervalle. $\alpha\colon \underbrace{U}_{=(a,b)} \to V$ Diffeo ($=$ strikt monotone glatte Fkt.)

Transformationsformel:
$$
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335
  \int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\intd t = \int_{a}^{b}f(t)\intd t
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336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454
$$

„Mnemonik“:
$$
  \intd v = v'(u)\intd u
$$

$f\colon V\to \mathbb R$
$$
  \int_{U}(\alpha^*(f))(u)\alpha'(u)\intd u = \int_V f(v)\intd v \neq \int_V \alpha^*(f)(t) \intd t
$$

In $\mathbb R^n$:

$$
\int_U \alpha^*(t)(\det D_u\alpha)\intd_{u_1}\cdots\intd_{u_n} = \int_V f(v) \intd_{v_1}\dotsm\intd_{v_n}
$$

$$
\alpha \colon &U& \to V \text{ Diffeo}
\\ &(u_1,\dotsc,u_n)& \mapsto (v_1, \dotsc, v_n)
$$

$v=v(u)$
$$
\int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
$$

$$
  \intd v_1
  = \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1 
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2
$$

$$
  \intd v_2
  = \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1 
  + \frac{\partial v_2 }{\partial u_2 }\intd u_2 
$$

$$
  \intd v_1 \intd v_2
  = \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_1 \intd u_1}
  + \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2}
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2
  + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_2 \intd u_1
  =: (*)
$$

$$
  = \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
  = \int_U f(v(u))
%   \left%TODO overcome boxes
  \Bigg
  (
    \underbrace{
      \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 } \frac{\partial v_2}{\partial u_2} - \frac{\partial v_1}{\partial u_2}\frac{\partial v_2}{\partial u_1}
    }_{
      \underset{
        \begin{subarray}{c}
          \text{sollte}\\
          (*)\text{ sein}
        \end{subarray}
      }{=} \det \left(
      \begin{matrix}
        \frac{\partial v_1}{\partial u_1} & \frac{\partial u_1}{\partial u_2}
        \\ \frac{\partial v_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_2}  
      \end{matrix}\right)
    }
  \Bigg
%   \right
  )
  \intd u_1 \intd u_2
$$

Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten:

$$
  \intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0
  \\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0
$$

Erkenntniss:

Koordinatenfrei werden nicht Funktionen, sondern sogenannte Differentialformen integriert. Eine $n$-Differentialform auf $\mathbb R^n$ ist (informell) ein Ausdruck
$$
  \omega = f(x) \intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_n
$$
mit den Rechenregeln: wenn $x=x(y)$ mit $y = (y_1,\dotsc,y_n)$ dann transformiert sich der Ausdruck zu 

$$
  f(x(y))
  \left(
    \frac{\partial x_1}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_1}{\partial y_n}\intd y_n
    \wedge \ldots \wedge
    \frac{\partial x_n}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_n}{\partial y_n}\intd y_n
  \right)
$$

und es gilt:

$$
 T^*M \ni \intd y_i \wedge \intd y_j = -\intd y_j \wedge \intd y_i,\ \ \ \ i,j = 1,\ldots, n
$$

folglich ist $\int \omega$ unabhängig von Koordinaten.

Ziel:

* Das Tensorprodukt

ausgehend von einem Vektoraum $V(= T_pM, T_p^*M)$ einen Kalkühl zu entwickeln, welcher die Interpretation von Ausdrücken wie $\intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_k$ mit Rechenregeln $\intd x_i \wedge \intd x_j = \intd x_j \wedge \intd x_i$ erlaubt.

Das wird durch Theorie von Tensorprodukten und multiliniearen (z.B. $\det\colon \underbrace{\mathbb R^n \times \ldots \times \mathbb R^n}_{n\text{-mal}} \to \mathbb R$) Abbildungen gemacht

Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1 \times \ldots \times V_n \to W$. Es reicht diese Idee für bilineare Abbildungen zu realisieren. (dann wiederholt man es)

** Definition: Tensorprodukt

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455
Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f \colon V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\otimes W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
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456 457 458 459 460 461 462 463

\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f", dashed] \\
                                          & Z                                             
\end{tikzcd}
\end{center}

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464
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\otimes W$
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465

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466
Wenn $V\otimes W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
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467 468 469 470 471

Beweis:

\begin{center}
\begin{tikzcd}
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472
V \times W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] &  \                                 \\
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473
                                          & (V\otimes W)_2                                  &  \arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
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474 475 476
\end{tikzcd}
\end{center}

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477
Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_1$ liefert $f_1\colon (V\otimes W)_1 \to (V\otimes W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$.
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478

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479
Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_2$ liefert $f_2\colon (V\otimes W)_2 \to (V\otimes W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.
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480

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481
Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte:
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482 483 484

\begin{center}
\begin{tikzcd}
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485
V\otimes W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_1"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, dashed, "\bar f"] \\
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486
                                               & (V\otimes W)_2                    
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487 488 489
\end{tikzcd}
\end{center}

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490
$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$:
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491 492 493 494 495 496 497 498 499

$$
  (f_2\circ f_1)\circ i_1 &=& i_1
  \\ {\operatorname{id}} \circ i_1 &=& i_1
$$
Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein:
$$
  f_2\circ f_1 = \bar f = \operatorname{id}
$$
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500
Also $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also ist $f_1$ ein Isomorphismus.
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501

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502
** Existenz von $V \otimes W$
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503

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504
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
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505 506

Definition:
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507 508
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der (bis auf Isomorphie eindeutige)
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$ (ohne Beweis). Er ist isomorph zum Raum der formalen Linearkombination von $X$:
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509 510

$$
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511 512 513 514 515 516
  \mathcal F_{\mathbb R}(X) &\cong& \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viele } x\in X \}
  \\ x &\mapsto& \eins_x
  \\ \eins_x &=& x \mapsto \begin{cases}
  1, & y = x \\
  0, & y \neq x
\end{cases}
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517 518
$$

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519 520
Definiere:

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521
$$
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522
  V\otimes W &:=&
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523
  {
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524 525 526
    \mathcal F_{\mathbb R}(V\times W)
  }/\underbrace{
    \left\langle\left\{
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527
      \begin{subarray}{l}
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528 529 530 531
        {(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)},
        \\ {(v, w_1+w_2)} -{(v,w_1)} -{(v,w_2)},
        \\ {(\lambda v, w)} - \lambda{(v,w)},
        \\ {(v, \lambda w)} - \lambda{(v,w)}
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532
      \end{subarray}
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533
    \mathrel{\Bigg |}
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534 535 536 537 538 539 540
      \begin{subarray}{l}
        v_1, v_2, v\in V,
        \\w_1, w_2, w\in W,
        \\ \lambda \in \mathbb R
      \end{subarray}
    \right\}\right\rangle
  }_{:=\langle\ldots\rangle}
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541 542
  \\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{%TODO \middle
  |} f \in \mathcal F_{\mathbb R} (V\times W)\right\}
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543 544 545 546
$$

$$
  \langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot), \quad \eins = \text{Indikatorfunktion}
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547 548 549 550
$$

Sei
$$
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551
  i \colon &V\times W& \to V\otimes W
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552
  \\ &(v,w)& \mapsto \left[{(v,w)}\right] =: v\otimes w
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553 554 555 556 557
$$

Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:

$$
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558 559 560 561 562
  (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w
  \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2
  \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$

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563 564 565 566
§Begründung:
§$$
§  v_1\otimes w + v_2 \otimes w
§  &=& [(v_1,w)] + [(v_2, w)]
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567 568 569 570 571
§  \\&=& {(v_1,w)} + \langle\ldots\rangle + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§  \\&=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§  \\&\overset{\langle\ldots\rangle \text{ ist UV}}=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \left(\ \left({(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)} \right) + \langle\ldots\rangle\ \right)
§  \\&=& {(v_1+v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§  \\&=& \left[{(v_1+v_2, w)}\right]
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572 573
§  \\&=& (v_1+v_2)\otimes w
§$$
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574

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575
%2019-04-10
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576 577 578 579 580 581 582 583 584

wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$)

Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$. 
($e'=0$, $e'\in E'$) %TODO ?

Entsprechend ist

$$
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585 586
  V\otimes W
§  &=&\{f+\langle\ldots \rangle \mathrel | f \in \mathcal F(V\times W) \}
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587 588
§  \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n  \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{%TODO\middle
|} (v,w)_i\in V\times W, \lambda_i\in\mathbb R, i\in \mathbb \{1,\ldots,n\}, n\in \mathbb N \right\}
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589 590 591 592
§  \\&=& \operatorname{span}\{ \eins_{(v,w)} + \langle\ldots\rangle\mathrel | (v,w)\in V\times W \}
%   \\&=& \operatorname{span}\{ [\eins_{(v,w)}] \mathrel | v\in V, w\in W \}
§  \\
  &=& \operatorname{span}\{ v\otimes w \mathrel| v\in V, w\in W \}
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593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620
$$

mit den Relationen:
$$
  (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w
  \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2
  \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$

** Lemma

Die angegebene Konstruktion von $V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft.

Beweis:

Sei $f\colon V\times W \to Z$ gegeben, bilinear

Definiere

$$
  \hat f\colon V\times W &\to& Z,\ \ \ \ \text{linear}
  \\ \sum_{i=1}^k \lambda_i(v_i, w_i) &\mapsto& \sum_{i=1}^k \lambda_i f(v_i, w_i)
$$

Behauptung: $\hat f$ induziert eine lineare Abbildung $\bar f$
$$
  \bar f\colon V\otimes W &\to& Z
  \\ (v\otimes w) &\mapsto& \hat f((v,w))
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621
§  \\ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \eins_{(v,w)_i} \right) &\mapsto& \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left((v,w)_i\right)
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622 623 624 625 626 627
$$

Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben %TODO ref 
im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B.

$$
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628 629 630 631 632
§  && \bar f(\eins_{(v_1 + v_2, w)} -\eins_{(v_1, w)} -\eins_{(v_2, w)})
§  \\
  &
§  =
  & \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) )
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633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673
  \\ &\overset{\text{Def. } \hat f}{=}& f(v_1 + v_2, w) - f(v_1, w) - f(v_2, w)
  \\ &\overset{\text{Bilinearität von } f}=& 0
$$

$\Rightarrow$ $\bar f$ erfüllt dann $\bar f(v\otimes w) = f(v,w) \Rightarrow V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft.

** Homomorphismen und Dualräume: (Erinnerung aus LAAG)

$V$, $W$ Vektorräume $\rightsquigarrow Hom(V,W) = \{ f\colon V\to W\ |\ f \text{ linear } \}$ ist selbst ein Vektoraum, wenn $V$, $W$ endlichdimensional $\Rightarrow \operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V,W) = \operatorname{dim}V \cdot \operatorname{dim} W$ ($\operatorname{Hom}(V,W) \cong \mathbb{M}(m\times n, \mathbb R)$, wenn $V\cong \mathbb R^n$, $W\cong \mathbb R^m$) 

$V^* := \operatorname{Hom}(V, \mathbb R)$ ist dann der Dualraum von $V$. Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$ ist, dann gibt es die duale Basis $\{ \alpha_j \}_{j=1}^n \subset V^*$ mit: $\alpha_j(e_i) := \delta_{ij} = \begin{cases} 1,  & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}$

Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^{**}$, $v\mapsto (\alpha \mapsto \alpha(v))$ ein Isomorphismus

** Proposition

$W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann:

$$
  \operatorname{dim} W\otimes V^* = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V = \operatorname{dim} W \otimes V
$$

Mehr: wenn $\{ f_j \}^m_{j=1}$ und $\{ e_i \}^n_{i=1}$ Basen in $W$ bzw. $V$ sind. Dann ist $\{ f_j \otimes e_i \}_{i=1,\dotsc, n; j=1,\dotsc, m}$ eine Basis in $W\otimes V$

Beweis:

Sei $L\colon W\times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha) \mapsto (\theta_{w,\alpha} \colon v \mapsto \alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang} 1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$)

$L$ ist bilinear, weil:

$$
  && (L(w_1 + \lambda w_2, \alpha_1 + \mu\alpha_2))(v)
  \\&=& (\alpha_1 + \mu\alpha_2)(v)\cdot(w_1 + \lambda w_2)
  \\&=& \underbrace{ \alpha_1(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_1)(v)}
  + \underbrace{ \mu \alpha_2(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_2)(v)}
  + \lambda \underbrace{ \alpha_1(v)w_2 }_{L(w_2, \alpha_1)(v)}
  + \mu\lambda \underbrace{ \alpha_2(v)\cdot w_2 }_{L(w_2, \alpha_2)(v)}
$$

Nach der universellen Eigenschaft vom Tensorprodukt bekommen wir eine lineare Abbildung

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674
$$
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675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759
  \bar L \colon W\otimes V^* &\to& \operatorname{Hom}(V,W)
  \\ w\otimes \alpha &\mapsto& \theta_{w,\alpha}
$$

$\bar L$ ist ein Isomorphismus: geben wir das Inverse an. Sei $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis on $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n$ die duale Basis in $V^*$. Definiere

$$
  \varphi \colon \operatorname{Hom}(V,W) &\to& W\otimes V^*
  \\ T &\mapsto& \sum_{i=1}^n T(e_i) \otimes \alpha_i
$$

$$
  \varphi \circ \bar L(w\otimes \alpha) &=& \varphi(\theta_{w,\alpha})
  \\&=& \sum_{w,\alpha} (e_i) \otimes \alpha_i
  \\&=& \sum_{i=1}^{n} \alpha(e_i)w\otimes \alpha_i
  \\&=& w\otimes \left( \sum_{i=1}^{n}\alpha(e_i)\cdot \alpha_i \right)
  \\&=& w\otimes \alpha
  \\&\Rightarrow& \varphi \circ \bar L = \operatorname{id}
$$

$$
  (\bar L\circ \varphi(T)(v)) 
  &=& \sum_{i=1}^{n} \theta_{T(e_i), \alpha_i}(v)
  \\&=& \sum_{i=1}^{n}\alpha_i(v)T(e_i)
  \\&=& T\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i (v) e_i\right)
  \\&=& T(v) 
  \\&\Rightarrow& \bar L \circ \varphi = \operatorname{id}
$$

$W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operatorname{dim} W\otimes V = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V \Rightarrow \{ f_j \otimes e_i \}$ ist eine Basis.

** Korollar

Wenn $X$, $Y$ endliche Mengen sind, dann gilt:

$$
  \mathcal F(X\times Y) \cong \mathcal{F}(X) \otimes \mathcal{F}(Y)
$$

Erinnerung: hier gilt $\mathcal F(X) = \{ f\colon X \to \mathbb R \}$ mit punktweisen Operationen

** Korollar

$W\otimes V \cong V\otimes W$, $W\otimes(V\otimes Z) = (W\otimes V)\otimes Z$

Bemerkung: Es gilt auch ohne Einschränkung auf Dimensionen

** Definition Tensor

Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (zum Vektoraum $V$) ist ein Element des Vektoraumes

$$
  T_{r,s}(V) := V \underbrace{ \otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}}
$$

Bemerkung: Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n \subset V^*$ duale Basis. $\rightsquigarrow$

$$
  \{ e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_r} \ |\ i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \}
$$

ist eine Basis in $T_{r,s}$ (Beweis: wende induktiv die Proposition an).

$\Rightarrow$ jedes $T\in T_{r,s}(V)$ ist darstellbar also

$$
  T= \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} } T_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1,\ldots,i_r} (e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s})
$$

Beispiel $T_{1,1} (V) = V\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{End}(V)$ d.h., elemente von $T_{1,1}$ kann man als lineare Abbildung von $V$ nach $V$ interpretieren. Multilinear heißt linear in jeder Komponente. Sei
$$
  M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{ V\times \ldots \times V }_{s\text{-mal}} \times \underbrace{ V^* \times \ldots \times V^* }_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$

** Proposition

$T_{r,s}(V)$ ist kanonisch isomorph zu $M_{s,r} (V)$

** Korollar

$$
  \operatorname{Bil}(V) = \{ b\colon V\times V \to \mathbb R \text{ biliniear} \} \cong V^*\otimes V^*
$$

Insbesondere ist ein Skalarpodukt auf $V$ ein Tensor vom Typ $(0,2)$ Notation $g_{i,j}$ für Koordinaten einer Metrik ist konstant mit Tensorprodukten.
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760

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%2019-04-16

* Tensorprodukte von Vektorräumen

$$
  && \operatorname{Hom} (V\otimes \underbrace W_{ \mathbb R }) \cong \operatorname{Bil}(V\times W, \underbrace Z_{\mathbb R})
  \\&\overset{\text{Induktion}}\Rightarrow& \operatorname{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_n, Z) \cong \{ f\colon V_1\times\ldots\otimes V_n \to Z \ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$

Letzes mal:

$$
  T_{r,s} (V) := \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{s\text{-mal}}
$$

$$
  M_{s,r} := \{ f\colon \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$

** Proposition

%TODO kan. ?
$$1
  T_{r,s}(V) \overset{kan.}\cong M_{s,r}(V)
$$1

Beweis:

Nach obigen Eigenschaften gilt:

$$
M_{s,r} &\cong& \operatorname{Hom}(T_{s,r}(V), \mathbb R) \cong t_{s,r}(V)^* = (V^*\otimes\ldots\otimes V^* \otimes V \otimes \ldots \otimes V)^*
\\&\overset{?}\cong& \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*}_{s\text{-mal}}
$$

Wir wollen also zeigen: $W$, $Z$ zwei Vektoräume, wollen zeigen, dass $W^* \cong Z$ ($W=T_{s,r}(V)$, $Z=T_{r,s}(V)$)

Def./Erinnerung:

Eine nichtsinguläre Paarung zwischen $W$, $Z$ ist eine bilineare Abbildung $\beta\colon W\times Z \to \mathbb R$ mit

- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall Z\in Z \Rightarrow w = 0$
- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall w\in W \Rightarrow Z = 0$

Übung:

Wenn $W$, $Z$ endlichdimensional, $(w_i)^n_{i=1}$, $(z_i)_{i=1}^m$ Basen in $W$ bzw. $Z$ dann ist
$\beta$ nichtsingulär
$\Leftrightarrow (\beta(w_i, z_j))_{ \begin{subarray}{l} i=1, \ldots, n \\ j=1, \ldots, m \end{subarray} }$ nicht ausgeartet ist $\Rightarrow n = m$

$\beta$ gibt einen Isomorphismus $\hat \beta \colon Z \to W^*$

Beispiel:

$W = Z$, euklidischer Raum mit Skalarpodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$

$$
  \beta (W,Z) = \langle \cdot, \cdot \rangle
$$

Alos: Wir betrachten eine nichtsinguläre Paarung
$$
  \beta_i \colon T_{s,r}(V) \times T_{r,s}(V) \to \mathbb R
$$

Definiere
$$
  && \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*)
  \\&=& \Pi_{i=1}^r v_i^*(u_i) \cdot \Pi_{j=1}^s u_j^* (v_j)_s \text{ bilinear fortgesetzt }
$$

** Tensorprodukte von Vektorräumen

Zu zeigen ist, dass $\beta$ nicht ausgeartet ist. Dazu sei $0\neq t \in T_{r,s}(V)$, wir suchen $t^*\in T_{s,r}(V)$ mit $\beta(t^*, t) \neq 0$

Sei $(e_i)_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $(\alpha)_{j=1}^n$ die Dualbasis in $V^*$

Dann gilt:

$$
  t = \sum_{ \begin{subarray}{l} {i_1,\ldots, i_r \in \{ 1,\ldots, n \}} \\ {j_1,\ldots j_s \in \{ 1,\ldots, n \}} \end{subarray}} t_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}
  e_{i_1}\otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1}\otimes \ldots \otimes  \alpha_{j_s}
$$

$D_a t \neq 0$, ist eins von den Koeffizienten $\neq 0$:

$$
  0\neq t_{j_1 \cdots j_s}^{i_1 \cdot i_r} = \beta (\alpha_{i_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{i_r}\otimes e_{j_1}\otimes \ldots \otimes e_{j_s}, t)
$$

Bemerkung: Die Paarung zwischen $T_{r,s}$ mal $T_{s,r}$ wird gelegentlich einfach durch $\langle \cdot, \cdot \rangle$ oder $(\cdot, \cdot)$ bezeichnet.

Beispiel $V = T_p M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$, dann hat $V=T_p M$ eine Basis $\{ \frac{\partial}{\partial x_i} \}_{i=1}^n$

$V^* = T^*_pM$ bekommt die duale Basis $\{ \mathrm d x^i \}_{i=1}^n$

Erinnerung:
$\mathrm d x^i (\underbrace{T_p M} (v):= v(x^i) )$, daher $d x^i(\frac{\partial}{\partial x^j}) = \frac{\partial}{\partial x^j} (x^i) = \delta_{ij}$

%TODO \intd s
Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest)

1. $t_{ij} = \intd x^i \otimes \intd x^j \in V^* \otimes V^* = T_{0,2}(V) \cong T_{0,2}(V) \cong \operatorname{Bil}(V\times V, \mathbb R)$

  $$
    t_{ij} &=& (\intd x^i \otimes \intd x^j )(v,w)
    \\&=& \intd x^i(v)\cdot \intd x^j(w)
    \\&=& v(x^i)\cdot w(x^j),\ v,w\in T_p M
  $$

Beispiel:

$$
  g := \sum_{i=1}^{n} \intd x^i \otimes \intd x^i
$$

ist auch eine Biliniarform auf $T_pM$. Wenn $M = \mathbb R^n$, $p$ beliebig, dann ist $g$ das Standardskalarprodukt auf $T_p \mathbb R^n \cong \mathbb R^n$

$$
  g\left(\frac{\partial}{\partial x^k}, \frac{\partial}{\partial x^l}\right)
  &=& \sum_{i=1}^n
    \underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right) }_{=\delta_{ik}}
    \underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^l}\right) }_{=\delta_{il}}
  \\&=& \delta_{kl} + \delta_{lk}
  \\&=& \delta_{kl}
$$

** Äußere Potenzen, äußere Algebra

Errinnerung:

für Integrationstheorie wollen wir die Rechenregeln
$$
  d_x^i \wedge \intd x^j = - \intd x^j \wedge \intd x^i
$$

Beobachtung:
Tensoren kann man miteinander multiplizieren. Es gibt eine kanonische bilineare Abbildung

$$
  (\underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}}) \times \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{l\text{-mal}} \to \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{(k+l)\text{-mal}}
  \\ ((v_1 \otimes \ldots \otimes v_k), (v_{k+1}\otimes \ldots \otimes v_{k+l})) \mapsto (v_1 \otimes \ldots \otimes v_{k+l})
$$

Notation:

$$
  V^{\otimes k} :=
  \begin{cases}
    \underbrace{V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}}  & k > 0 \\
    \mathbb R & k = 0
\end{cases}
$$

$$
  T(V) := \bigoplus_{k=0}^\infty V^{\otimes k}
$$

heißt die Tensoralgebra von $V$

Multiplikation: $t\in V^{\otimes r}$, $t'\in V^{\otimes s}$

$$
  t\cdot t' := t\otimes t' \in V^{\otimes (r+s)}
$$

definiert eine Multiplikation auf $T(V)$

In $T(V)$ gelten die Relationen $v\otimes v = 0$ nicht.

Diese wollen wir erzwingen.

Sei $Z(V) = \langle v\otimes v | v \in V \rangle$ das Ideal in $T(V)$ erzeugt von Elementen der Form $v\otimes v$

Notation:

$$
  I_r(V) := I(V) \cap V^{\otimes r}, I(V) = \bigoplus_{r=0}^\infty I_n (V) \text{ (kleine Übung) }
$$

Multiplikation wird durch $\bigwedge$ bezeichnet. nach Konstruktion gilt $v_1\wedge \ldots \wedge v_k = [v_1\otimes \ldots \otimes v_k]$

** Definition

$$
  \bigwedge (V) := T(V) / I(V)
$$
heißt äußere Algebra von $V$

Nach Konstruktion und Eigenschaft von $I(V)$ gilt

$$
  \bigwedge (V) = \bigoplus_{r=0}^\infty \underbrace{ \bigwedge^r (V) }_{V^{op?} / I_r(V}
$$

1. $\wedge^0 V \cong \mathbb R$, weil $I_0(V) = \{0\}$
2. $\wedge^1 V \cong V$, weil $I_1(V) = \{0\}$

** Proposition

Sei $(e_1, \ldots, e_n)$ eine Basis in $V$. Dann ist

$$
  \{ e_{i_1}\wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ k \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leqslant n \}
$$

eine Basis von $\bigwedge^k(V)$ ($\leftarrow$ $k$-te äußere Potenz)

Insbesondere gilt:
$$
  \bigwedge^k(V) = \binom{n}{k},\ \ \ 0\leqslant k \leqslant n,\ \ \ \wedge_k (V) = \{0\},\ \ \ k>n
$$

** Äußere Potenzen, äußere Algebra

Beweis

Nach Konstruktion gilt: $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$, daher spannt

$$
  \{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < i_k \leqslant n \}
$$

den Raum $\bigwedge^kV$. Wir brauchen also zu zeigen, dass

$$
  \sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} = 0
$$

Sei $I=(i_1,\ldots, i_k)$ $1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n$ fixiert.

Sei $J = \{ 1,\ldots n \} \setminus I = (j_1, \ldots, j_{n-k})$ $1\leqslant j_1 < \ldots < j_{k} \leqslant n$

Betrachte das Element $e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k}$ und multipliziere es an $(*)$:

$$
  \pm \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_1\wedge\ldots \wedge e_n = 0
$$

Alle anderen Terme verschwinden, weil eine Vektor im Produkt doppelt vorkommt.
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%2019-04-17

Gestern:

$$
  \bigwedge (V) = T(V) / I(V)
$$

$I(V) = \langle v\otimes v\ |\ v\in V \rangle$ Ideal erzeugt durch $v\otimes v$

$$
  = \left\{ \sum_{i=1}^k t_i \otimes v_i \otimes v_i z_i \ \middle|\ t_i, t'_i \in T(V), v_i \in V \right\}
$$

$$
  [\underbrace{ v_1\otimes \ldots \otimes v_n }_{\in T(V)}] =: i v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \in \bigwedge (V)
$$

nach Konstruktion gilt $v\wedge v = 0$, $v'\in V$ (daraus folgt: $v \wedge w = -w \wedge w$, $v$, $w \in V$, $0= (v+w)\wedge (v+w) = \underbrace{v\wedge v}_{=0} + v\wedge w + w\wedge v + \underbrace{w \wedge w}_{=0} = v\wedge w + w\wedge v$)

Das Bild von $V^{\otimes k}$ in $\bigwedge (V)$ heißt $\bigwedge^k(V)$ -- die Elemente der Länge $k$,

$$
  \bigwedge^k (V) = \left\{ \sum_{i=1}^{k} v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \middle| v_{i_l} \in V \right\}
$$

** Proposition

Wenn $(e_i)^n_{i=1}$ eine Basis von $V$ ist, ist $\{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant u \}$ eine Basis von $\bigwedge^k(V)$; insbesondere $\dim \bigwedge_k(V) = \binom{n}{k}$, $0\leqslant k\leqslant n$, $\bigwedge^k(V) = \{0\}$ für $k> n$

Beweis:

Wir haben die Aussage darauf reduziert, dass in $\bigwedge_k(V)$ $e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0$
$\longrightarrow$ Reduktion für $k=2$, $n=4$. wird behauptet, dass $\{ e_1\wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_1\wedge e_n, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4 \}$ linear unabhängig sind. Wenn nicht $\exists \alpha_{ij}$:

$$
  \alpha_{12}e_1\wedge e_2 + \alpha_{13}e_1\wedge e_j + \alpha_{14} e_1\wedge e_4 + \ldots = 0
$$

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1041
$\rightarrow \alpha_{13} e_1e_3\wedge e_2\wedge e_4 = 0 = -\alpha_{13}(e_1\wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)$
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$$
  e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0 \Leftrightarrow e_1\otimes \ldots \otimes e_n \notin I(V)
$$

Wenn

$$
  v &=& \sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i
  \\ v\otimes v &=& \sum_{i,j = 1}^{n} \lambda_i \lambda_j e_i \otimes e_j
  \\ &=& \sum_{i=1}^{n} \lambda_i^2 e_i \otimes e_i + \sum_{i,j = 1\atop i<y}^{n} \lambda_i\lambda_j (e_i\otimes e_j + e_j \otimes e_i)
$$

Sei $x\in I_n(V) = I(V)\cap V^{\operatorname{op}}$. Aus der obigen Rechnung folgt: Wenn man $x$ in der Tensorbasis ausdrückt.

$$
  x = \sum_{1\leqslant i_{1}, \ldots, i_n \leqslant n} x^{i_1, \ldots, i_n} e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_n}
$$

dann gilt: wenn alle $i_j$'s verschieden sind, so gilt

$$
  x^{i_1,\ldots,i_j,i_{j+1},\ldots,l_n} = x^{i_1, \ldots, i_{j+1}, i_j, \ldots, i_n}
$$

Bei $e_1\otimes \ldots \otimes e_n$ ist der Koeffizient $x^{1,2,\ldots, n} = 1$ alle anderen $0 \Rightarrow e_1 \otimes \ldots \otimes e_n \notin I_n(V)$

Bemerkung:

Jede lineare Abbildung $f\colon V \to V$ induziert eine lineare Abbildung
$$
  \bigwedge f\colon \bigwedge V &\to& \bigwedge V
  \\ (v_1\wedge \ldots \wedge v_k) &\mapsto& (f(v_1)\wedge \ldots \wedge f(v_k))
$$

Insbesondere bekommt man die Abbildung ($\dim V = n$) $\bigwedge_n f \colon \underbrace{\bigwedge^n V}_{\cong R} \overset{\det f}\longrightarrow \underbrace{ \bigwedge^n V }_{ \cong R }$

$$
  \bigwedge (g\circ f) = \bigwedge g \circ \bigwedge f &\Rightarrow& \det (g\circ f) = \det (g) \cdot \det (f)
  \\ && \det(\operatorname{id}) = 1
$$

Die explizite Formel ergibt sich daraus, dass $e_1\wedge \ldots \wedge e_n$ ein Basisvektor in $\bigwedge^n V$ ist. $\rightsquigarrow$

$$
  f(e_1\wedge \ldots \wedge e_n) = f(e_1) \wedge \ldots \wedge f(e_n) = \ldots\ \text{ (Leibnitz-Formel) } e_1\wedge \ldots \wedge e_n
$$

$[f_{ij}] = M_{\xi}^{\xi} (f)$

$$
  f(e_i) = \sum_{j=1}^{n} f_{ij} e_j
$$

$$
  f(e_1\wedge \ldots \wedge e_n) &=& \sum_{j_1,\ldots, j_n = 1}^n f_{1,j_1} \cdots f_{n,j_n} e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{j_n}
  \\&=& \sum_{j=(j_1, \ldots, j_1) \in S_n} f_{1,j_1} \cdots f_{n,j_n} \operatorname{sign}(j) e_1\wedge\ldots\wedge e_n
$$

Letzes Mal:

$$
  \text{Tensoren vom Typ $(n,s)$ } \mathrel{\hat=} T_{r,s} (V) \cong M_{s,r}(V) \mathrel{\hat=} \text{ lineare Abbildungen } V^{\otimes s}\otimes(V^*)^{\otimes r} \to \mathbb R
$$

Nächstes Ziel:

Interpretiere $\bigwedge^k V^*$ als gewisse multiliniear Abbildung $V^k \to \mathbb R$

$$
  \bigwedge^k V^* &=& (V^*)^{\otimes k} / I_k(V^*)
  \\ (V^*)^{\otimes k} = \{ f\colon V^k \to \mathbb R \ |\ f \text{ multilinieare Abbildung } \}
$$

$$
  I_k(V^*) = I(V^*) \wedge (V^*)^{\otimes k}
$$

$I(V^*) = \{ \sum t\otimes \alpha \otimes \alpha \otimes t' \}$, erzeugt durch $\{ \alpha \otimes \alpha\ |\ \alpha \in V^* \}$

$$
  (\alpha \otimes \alpha)(v_1\otimes v_2) = \alpha (v_1)\alpha(v_2) = (\alpha \otimes \alpha)(v_2, v_1)
$$

** Definition

Eine multiliniear Abbildung $m\colon \underbrace{ V^{k} }_{= V\times \ldots \times V} \to \mathbb R$ ($= m\colon V^{\otimes k}\to \mathbb R$) heißt alternierend, wenn

$$
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1131
  m(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots, v_k) = 0\ \text{ für alle } v\in V
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$$

$\Leftrightarrow m$ verschwindet, wenn zwei (beliebige) $V$ gerade gleich sind)

** Beispiel

$\det (\mathbb R^n)^n \to \mathbb R$ ist eine alternierende Abbildung. Wenn $m\colon V^{\otimes k} \to \mathbb R$ alternierend, dann gilt

$$
  m|_{I_k(V)} = 0
$$
(nach Definition von $I_k(V)$)

$\longrightarrow$ $m$ definiert eine Abbildung

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1147
%TODO check \lbrack
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1148 1149
$$
  \overline{m} \colon \bigwedge^kV &\to& \mathbb R
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1150
  \\ \lbrack v_1\wedge\ldots\wedge v_n \rbrack \mapsto m(v_1\otimes \ldots \otimes v_n)
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1151 1152 1153 1154 1155
$$

** Proposition

$$
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1156
  \bigwedge^k V^* \cong \left(\bigwedge^k V\right)^* \cong A_k(V) = \{ m\colon V^k \to \mathbb R \text{ alternierend } \}
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$$

Beweis:

Wie gerade gesehen, definiert jedes $m\in A_k \in (V)$ ein Element $\overline m \in \left(\bigwedge^k\right)^*$, $m\mapsto \overline m$ ist offensichtlich linear. Umgekehrt: jedes $\overline m\colon \bigwedge^k V \to \mathbb R$ definiert eine multilinieare Abbildung
$$
  m\colon V\times \ldots \times V &\to& \mathbb R
  \\ (v_1,\ldots, v_k) &\mapsto& \overline{m}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)
$$

sie ist alternierend, weil

$$
  v_1 \wedge \ldots \wedge v \wedge \ldots \wedge v \wedge \ldots \wedge v_k = 0
$$

Zum Iso %TODO ??
$\bigwedge^k V^* \cong (\bigwedge^k V)^*$: wir brauchen eine nichtsinguläre bilineare Paarung $\bigwedge^kV^*\times\bigwedge^kV\to \mathbb R$ (die für $K=1$ offensichtlich ist)

$$
  V^*\times V &\to& \mathbb R
  (\alpha, v) \mapsto \alpha(v)
$$

Man definiert die Paarung so:

$$
  (\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_k, v_1\wedge\ldots\wedge v_k) \mapsto \det(\alpha_i(v_j))_{i,j=1}^k
$$

Die Paarung ist nicht ausgeartet, denn: in $\bigwedge^k V$ haben wir nach der Wahl einer Basis $e_1, \ldots, e_n \in V$ die Basis

$$
  \{ e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\ |\ (1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n) \} (*)
$$

Wenn $e_1^*, \ldots, e_n^* \in V$ dual zu $e_1, \ldots, e_n$, dann ist

$$
  \{ e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^* \ |\ 1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n \}
$$

dual zu $(*)$ bezüglich der Paarung:

$$
  (e_i^*(e_j))_{i,j = 1}^k =
  \left(\begin{matrix}
    1 & & \\
     & \ddots & \\
     && 1
  \end{matrix}\right)
$$

wenn aber $(i_1,\ldots, i_k) \neq (j_1,\ldots j_k)$, dann ist

$$
  (e_{il}^*(e_{jl})) =
  \left(\begin{matrix}
    1 &&&& \\
     & \ddots &&& \\
     &&0&&  \\
     &&&\ddots& \\
     &&&& 1
  \end{matrix}\right)
$$

$\Rightarrow$ $\det = 0$

%TODO missing

** Bemerkung
Unter der Identifikation aus der Proposition bekommen wir die Rechenregeln

$$
  (\alpha_1\wedge\ldots \wedge \alpha_k)(v_1,\ldots, v_k) = \det(\alpha_i(v_j))_{i,j = 1}^k
$$

Insbesondere gilt für $k=2$:

$$
  \alpha_1 \wedge \alpha_2(v_1, v_2) = \alpha_1(v_1)\alpha_2(v_2) - \alpha_1(v_2)\alpha_2(v_1)
$$
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1239 1240 1241 1242 1243 1244 1245 1246 1247 1248 1249 1250 1251 1252 1253 1254 1255 1256 1257 1258 1259 1260 1261 1262 1263 1264 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 1272 1273 1274 1275

%2019-04-23

%TODO missing exercise

%2019-04-24

* Differentialformen

\begin{center}
\begin{tikzcd}
TM \arrow[d, "\pi"]     & T^*M \arrow[d, "\pi"]    \\
M \arrow[d, no head]    & M \arrow[d, no head]     \\
\text{Tangentialbündel} & \text{Kotangentialbüdel}
\end{tikzcd}
\end{center}

Geometrisch: über jedem Punkt $p$ hängt $T_pM$ tzw, $T^*_pM$ und

$$
  TM = \bigsqcup_{p\in M} T_pM, \quad T^*M = \bigsqcup_{p\in M} T^*_pM
$$

** Idee

man macht punktweise Konstruktion wie Tensorprodukt, äußere Potenzen etc. mit $T_pM$ bzw. $T_p^*M$ und bekommt „Bündel“, die ähnlich wie $TM/T^*M$ angegeben, aber etwas kompliziert sind

** Definition

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein $k$-dimensionales Vektorbündel $E$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer glatten Abbildung $\pi\colon
E\to M$ ($\pi$ heißt Bündelprojektion) mit folgenden Eigenschaften:

 * (1) $\forall p\in M$ ist $E_p := \pi^{-1}p$ ein $(R)$-Vektoraum von $k$. 
 * (2) [lokale Trivialität] $\forall p\in M \exists U \ni p$ offen mit
    $$
      E|_U := \pi^{-1}(U) \overset{\overset{\psi}{\underset{\text{diffeomorph}}\cong}}\longrightarrow U \times \mathbb R^k
    $$
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1276
    sodass $\forall q\in U$, $\forall v_1$, $v_2 \in E_q = \pi^{-1}(q)$, $\forall \lambda \in \mathbb R$ gilt: ($\pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \colon U\times \mathbb R^k \to \mathbb R^k$ Projektion)%TODO ??
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1277 1278
    
    $$
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1279
      \pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1 + \lambda v_2) = \pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1) + \lambda\cdot\pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_2)
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1280 1281 1282 1283 1284 1285 1286 1287 1288 1289 1290 1291 1292 1293 1294 1295 1296 1297 1298 1299 1300 1301 1302 1303 1304 1305 1306 1307 1308 1309 1310 1311 1312 1313 1314 1315 1316 1317 1318 1319 1320 1321 1322 1323 1324 1325 1326 1327 1328 1329 1330 1331 1332 1333 1334
    $$
    
    (die Vektorraumoperation auf $E_q$ entsprechen den auf $\mathbb R^k$ durch $\psi$)

** Bemerkung

Über jeder Mannigfaltigkeit existiert das triviale Vektorbündel der Dimension $k$:
$$
  E:= \underbrace{ M\times \mathbb R^k }_{=\mathbb R^k} \overset{\pi}\longrightarrow M
$$

Die Bedingung (2) verlangt gerade dass ein Vektorbündel $E$ lokal (d.h. über $U$) trivial sein muss (= isomorph zum trivialen Bündel)
  
** Beispiel
  $TM$, $T_pM$ sind Vektorbündel über $M$. Eig. (2) kamen von dem Beweis, dass $TM$, $T^*M$ Mannigfaltigkeiten sind.
  
** Erinnerung

Wenn $V$ ein Vektorraum ist,
$$
  T_{r,s}(V) := \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}}
$$

VR von Tensor von Typ $(r,s)$

Definiere jetzt

$$
  T_{r,s} (\underbrace{ M }_{\text{Mannigfaltigkeit}}) = \bigsqcup_{p\in M}T_{r,s}(T_pM)
$$

$T_{r,s}(M)$ heißt Vektorbündel von Tensoren vom Typ $(r,s)$ über $M$.

Analog:

$$
  \bigwedge^k (TM) &:=& \bigsqcup_{p\in M} \bigwedge_k(T_pM)
  \\ \bigwedge^k (T^*M) &=& \bigsqcup_{p\in M} \bigwedge^k(T_p^*M)
$$

heißen äußere Potenzen von $TM$ bzw. $T^*M$; entsprechend sind $\bigwedge^*(TM)$, $\bigwedge^*(T^*M)$ definiert.

** Proposition
$$
  T_{r,s}(M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^k(T^M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^*(T^*M)
$$
sind Vektorbündel über $M$.

Beweis: (Für $T_{r,s}$ andere analog)

 - Eigenschaft 1) ist klar:
   $$
     \pi^{-1} (p) = T_{r,s} (T_pM)
   $$
   ist ein Vektorraum
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1335 1336 1337 1338
 - Eigenschaft 2) Sei $(U,x)$ eine Karte um $p\in M$. Auf $U$ existiert kanonische Vektorfelder $\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \in \Gamma (TU)$ s.d für alle

    $q\in M: \left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_q,\ldots,\left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_q \in T_qM$
 eine Basis mit Dualbasis $(\intd x^1)(q), \ldots, (\intd x^n)(q) \in T_q^* M$
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1339 1340 1341 1342

Entsprechend gilt $\forall q\in M$:

$$
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1343 1344 1345 1346 1347 1348 1349 1350 1351 1352 1353
  \left\{
    \left.
      \frac{\partial}{\partial x^{i_1}}
    \right|_{q}
    \otimes \ldots \otimes
    \left.
      \frac{\partial}{\partial x^{i_r}}
    \right|_{q}
  \otimes \intd x^{j_1}(q) \otimes \ldots
  \otimes \intd x^{j_s} (q) \mathrel{%TODO\middle
  |} i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1, \ldots, n \} \right\}
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1354 1355 1356 1357 1358 1359 1360 1361 1362 1363 1364 1365 1366 1367 1368 1369 1370 1371 1372 1373 1374 1375 1376 1377 1378 1379 1380 1381 1382 1383 1384 1385 1386 1387 1388 1389 1390 1391 1392 1393 1394 1395 1396 1397 1398 1399 1400 1401 1402 1403 1404 1405 1406 1407 1408 1409 1410 1411 1412 1413 1414 1415 1416 1417 1418 1419 1420 1421 1422 1423 1424 1425 1426 1427
$$

ist eine Basis von $T_{r,s} (T_q M)$. Entsprechend haben wir für jedes $q\in U$ eine Koordinatenabbildung

$$
  \varphi_q\colon T_{r,s}(T_qM) \overset{\cong}\longrightarrow \mathbb R^{n^{r+s}}
$$

die jedem $t\in T_{r,s