edit-this-file.tex 9 KB
Newer Older
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
1
Compiled on \today
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74

* Erinnerungen an WS

Wir studieren Mannigfaltigkeiten (Mfg).

$\approx$ topologische Räume, die lokal wie $\mathbb R^n$ aussehen + glatte ~Strukturen~ von glatten Abbildungen zu sprechen.

Konkret: um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ zusammen mit einer Karte $x\colon U\to \mathbb R^n$

%Bild 1

Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Analysis auch auf $M$ zu verstehen.

~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)

1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
  %TODO %TYPO: remove space here
  $$
    T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
    \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
  $$
  
  Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung!
  
  %Bild 2
  
  $\pi \colon TM \to M$ ist glatt
  $v\in T_pM \mapsto p$
  
  Nutzen: wir verstehen „wirklich“, was Ableitungen sind
  
  Früher: 
  $$
    f\in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb R^n) &\rightsquigarrow& D_pf \in \mathbb M_{n\times m} (\mathbb R)
    \\&& Df \in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb M_{n\times m}(\mathbb R))
  $$
  
  Jetzt in Diffgeo:
  
  $$1
  f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear}
  $$1
  
  %Bild 3
  
2. ODEs als Flüsse von Vektorfeldern
  %Bild 4
  
  Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi \circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p) \in T_pM$)
  Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes)
  
  s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE
  $$1
    \dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
  $$1
  lässt

3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$
  
  $(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra.
  
  Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften:
  
    1. $[X,Y] = -[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$
    2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$:
    $$
      [X, [Y,Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X,Y]] = 0
    $$
    
  Beispiele:
    1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra
    2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B] = AB - BA$ ist eine Lie-Algebra
  
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
75
  Verbindung zwischen a) und b)%ref
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
  -- Lie-Gruppen
  Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt.
  
  $G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow \operatorname{Lie}(G) = 2(G) = \{ X\in \Gamma(TG) \ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p} = D_pLg} X = X \} = \{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \}$
  
  $\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$.
  
  Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum
  $\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$
 
  %TODO %TYPO vertical space
  $$
    Lg \colon G &\to& G\\
    h &\mapsto& g\cdot h
  $$

  Satz $G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)$
  
  $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)$
  
  Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren!
  
  $$1
    (\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])
  $$1
  
  Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$.
  $$1
    [A,B] = AB - BA
  $$1
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
106
107

%DATE 2019-04-02
Harry Fuchs's avatar
Harry Fuchs committed
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309

* 1. Übung

Differential einer Abbildung

$$1
  f\colon \mathbb R^n  \to \mathbb R^n
$$1

$$
p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear})
\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)}
$$

$$
  \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i
  \\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
    \begin{matrix}
      i = \overline{1, m} \\
      j = \overline{1, n}
    \end{matrix}}
$$

$$
  f\colon M\to N
$$
$$
  p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear}
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&
  \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)})
$$

$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$

\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}

%TODO vertical line

TODO Bildchen %TODO

$$
  M &\overset f\to& N
  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}&
  \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
  \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f
$$

Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear

%TODO vertical line

** Beispiel

$$1
  G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C)
$$1

$$
  &\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot]
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\
  &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C)
  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\}
$$

Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$

$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$

$$
  \dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
  \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0
$$

Also:

$$
  T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \}
$$

Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte:
$$
  \gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right)
\\  \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX}
\\  \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n)
\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X
$$
wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit

%Hinweis nur mündlich:
$$
  D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A))
$$

$$
  G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R)
  \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Wir haben gesehen:
$$
  \exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\
  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\
  &X& \mapsto \exp(X)
$$

$$
  \gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX)
$$

$$
  \dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t))
$$

wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist

$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$

Ausführlicher:

$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$

$$
  X\in T_1G \rightsquigarrow
  \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} }
  = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R)
$$

Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann:
$$
  \dot A(t) = A(t)\cdot X
$$

$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$

%TODO vertical line

$$
  x &\mapsto& A\cdot x
  \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear}
  \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m
  \\
  \\ f\colon V &\to& W \text{ linear}
$$

mit Übung 28 %TODO ref
$p\in V$:


\begin{center}
  \begin{tikzcd}
  T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
  V \arrow[r, "f"]                                      & W
  \end{tikzcd}
\end{center}

%TODO vertical line
%TODO das war das mündliche Zeug

$$
  \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}
$$

$$
  \det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R
$$

$$
  D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R
  \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A)
$$

$$
  \det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2)
$$

Determinante ist Konjugationsinvariant

$$1
  \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1})
$$1

Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit:

$$
  \det (1+tA)
  &=&
    \left|\begin{matrix}
      1+t\lambda_1& & \\
      & \ddots & \\
      && 1+t\lambda_n
    \end{matrix}\right|
  \\&=&
    (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n)
  \\&=&
    1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2)
  \\&=&
    1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)
$$