Commit 06175c42 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-11-28

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in 9 minutes and 45 seconds
...@@ -406,7 +406,7 @@ $$ ...@@ -406,7 +406,7 @@ $$
TODO Bildchen 10 TODO Bildchen 10
NEU: (Alternativ Beweis zum letzten Beweis): NEU: (Alternativbeweis zum letzten Beweis):
Zudem sei $\sqrt{\varrho}\in C^\infty(\R)$, $\sqrt{1-p}\in C^\infty(\R)$. (das kriegt man wenn man statt $\varrho$, $\varrho^2$ nimmt oder mit Taylor) Zudem sei $\sqrt{\varrho}\in C^\infty(\R)$, $\sqrt{1-p}\in C^\infty(\R)$. (das kriegt man wenn man statt $\varrho$, $\varrho^2$ nimmt oder mit Taylor)
...@@ -967,6 +967,7 @@ $$ ...@@ -967,6 +967,7 @@ $$
$$ $$
Trick: Benutze wieder die Abschneidefunktion $\tilde\varrho\colon U\to [{0,1}]$ mit $\varrho-1$ in einer Umgebung von $p$, $\operatorname{supp} \varrho$ kompakt und sodass $\hat \partial(\tilde \varrho) = 0$ [siehe Beweis für $M=\mathbb R^n$ ] Trick: Benutze wieder die Abschneidefunktion $\tilde\varrho\colon U\to [{0,1}]$ mit $\varrho-1$ in einer Umgebung von $p$, $\operatorname{supp} \varrho$ kompakt und sodass $\hat \partial(\tilde \varrho) = 0$ [siehe Beweis für $M=\mathbb R^n$ ]
%TOOD closing bracket
$$ $$
\Rightarrow \hat \partial(f) = \hat \partial( \tilde\varrho f) \Rightarrow \hat \partial(f) = \hat \partial( \tilde\varrho f)
...@@ -1894,5 +1895,186 @@ Die Abbildung $\xi \mapsto X_\xi$ ist invers zu $ev_1$: ...@@ -1894,5 +1895,186 @@ Die Abbildung $\xi \mapsto X_\xi$ ist invers zu $ev_1$:
- $(\mathbb C^{\times}, \cdot)$: $(L_z)_* = z$ - $(\mathbb C^{\times}, \cdot)$: $(L_z)_* = z$
TODO Bildchen 28 TODO Bildchen 28
TODO 2019-11-28 %TODO 2019-11-28
Letztes Mal: linksinvariante Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe eingeführt.
$X\in \Gamma(TG)$ ist linksinvariant, wenn:
$$
\forall g\in G : (L_g)_* X = X
\\\left.\right[\underbrace{(L_g)_* X(h) }_{\in T_{gh}} = \underbrace{X(gh)}_{\in T_{gh}G}, g,h\in G\left.\right]
$$
%TODO left and right bracket
Sei $\mathbb K \in \{\R, \mathbb C\}$, $G\trianglelefteq\operatorname{GL}(n, \mathbb K)\overset{\text{offen}}\subseteq \mathbb K^{n^2}$. Wir benutzen die Einträge der Matrix als Koordinaten. D.h. $X\in \Gamma(TG)$ wird eindeutig beschrieben durch eine Funktion
$$
\hat X \colon G \to \mathbb M_n(\mathbb K)
$$
welche $\hat X$ entsprechen linksvinvarianten Vektorfeldern?
Erinnerung: wenn $X$ linksinvariant ist, ist es eindeutig durch $X(1)\in T_1G$ bestimmt $\rightsquigarrow \hat X$ ist eindeutig durch
$$
\hat X(1) =: A\in \mathbb M_n(\mathbb K)
$$
bestimmt.
$$
\hat X(g) = (L_g)_* \hat X(1) = (Lg)_*A = g\cdot A
$$
da $Lg$ Matrizenmultiplikation von links $(g\in \operatorname{GL}(n,K))$
$$
L_g \colon \begin{cases} \mathbb M_n (\mathbb K)&\to \mathbb M_n(\mathbb K)\\Y&\mapsto g Y \end{cases}
$$
linear: $(L_g)_*=g$
Fazit:
linksinvariante Vektorfelder sind alle von der Form $\hat X(g)=gA$
$$
A\in T_1G \subseteq T_1 \operatorname{GL}(n, \mathbb K) \cong \mathbb M_n(\mathbb K)
$$
* Lie-Algebren
** Erinnerung/Übung
$$
\Gamma(TM) \cong \operatorname{Der}(C^\infty(M)) && [4]
\\ \delta_1, \delta_2 \in \operatorname{Der}(A) \Rightarrow [\delta_1, \delta_2] \in \operatorname{Der}(A) && [2]
\\ \left[ \delta_1, [ \delta_2, \delta_3 ] \right] + \left[\delta_2,[\delta_3, \delta_1]\right] + \left[\delta_3,[\delta_1,\delta_2]\right] && \text{(Jacobi-Identität)}
$$
%
** Definition
Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]\colon V\times V\to V$, die Jacobi-Identität erfüllt:
$$
\left[v_1, [v_2, v_3]\right] + \left[v_2, [v_3, v_1]\right] + \left[v_3, [v_1, v_2]\right] &=& 0 \quad\quad (v_1, v_2, v_3\in V)
$$
** Beispiele
1. $\mathbb M_n(\mathbb K)$, $[A,B] = AB-BA$ ist eine Lie-Algebra
2. $A$ assoziative $\mathbb K$-Algebra $[a,b] := ab-ba$
3. [Übung 2] $\operatorname{Der}(A)$ ist eine Lie-Algebra, wenn $A$ eine assoziative Algebra (mit Einselement) ist.
4. $\Gamma(TM)\cong\operatorname{Der}(C^\infty(M))$ ist eine Lie-Algebra
Lemma:
Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $X$, $Y\in\Gamma(TG)$ linksinvariant. Dann ist $[X,Y]$ auch linksinvariant
Beweis:
Sei $Z\in\Gamma(TG)$, $\varphi\in C^\infty(G)$.
$$
[[(L_g)_*Z](\varphi)](\underbrace{h}_{=gk}) &\overset?=& [ \underbrace{[(L_g)_*(Z)](h)}_{\in T_hG} ](\varphi)
\\&=& [(L_g)_*(Z(g^{-1}h))](\varphi)
\\&=& (Z( \underbrace{ g^{-1}h) }_{=:k} )(L_g^*\varphi)
$$
%TODO questionmark
$$
L_g^*[(L_g)_*Z)(\varphi)](k) &=& (L_g^*(\psi))(k)
\\&=& [\underbrace{[(L_g)_* Z](\varphi)}_{=:\psi, \text{ Funktion}}](L_g(k))
\\&=& (Z(k))(L_g^*\varphi)
$$
$$
\Rightarrow && L_g^*[((L_g)_*Z)(\varphi)] = Z(L_g^*\varphi)
\\\Rightarrow && (L_g)_x Z = L_{g^{-1}}^* \circ Z\circ L_g^*
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
C^\infty(M) \arrow[r, "\cong"']\arrow[r, "L_g^*"]\arrow[d, "Z"'] & C^\infty(M)\arrow[d, "?\quad \text{ hier steht } (L_g^*)Z"]
\\ C^\infty(M) & \arrow[l, "L_g^*"']\arrow[l, "\cong"] C^\infty(M)
\end{tikzcd}
\end{center}
Weiter:
$$
((L_g)_*[X,Y])(\varphi) &=& (L_{g^{-1}}^* \circ [X,Y] \circ L_g^*)(\varphi)
\\&=& L_{g^{-1}}^*([X,Y](L_g^*(\varphi)))
\\&=& L_{g^{-1}}^*(X(Y(L_g^*\varphi)) -Y(X(L_g^*\varphi)))
\\&=& L_{g^{-1}}^*[(X\circ L_{g}^*\circ \underbrace{L_{g^{-1}}^*\circ X\circ L_{g}^*}_{=(L_{g})_*Y =Y})(\varphi) - (Y\circ L_{g}^* \circ \underbrace{ L_{g^{-1}}^* \circ X \circ L_{g}^*}_{=(L_g)_* X = X})(\varphi)]
\\&=& (\underbrace{L_{g^{-1}}^* \circ X \circ L_{g}^*}_{=(L_g)_* X = X})(Y(\varphi)) - ( \underbrace{ L_{g^{-1}}^* \circ Y \circ L_{g}^* }_{=(L_g)_* Y = Y} )(X(\varphi))
\\&=& (X\circ Y)(\varphi) - (Y\circ X)(\varphi) = [X,Y](\varphi)
$$
5. Die linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe:
Vorrsicht!
$$
(L_g)_* Z\in \Gamma (TG), \quad \text{ wenn } Z\in \Gamma(TG)
$$
Das funktioniert nur weil $L_g \colon G\to G$ ein Diffeomorphismus ist.
Wenn $f\colon M\to N$ irgendeine glatte Abbildung ist
$$
X\in \Gamma(TM) \to f_* X
$$
kein Vektorfeld, ($X \leftarrow$ Objekt unbekannter Natur :-) )
$$
f_* X(n) \overset{?!}= f_* (X(f^{-1}(n))) \quad \leftarrow \text{iA. nicht wohldefiniert}
$$
** Definition
Sei $G$ eine Lie-Gruppe. Die Lie-Algebra von $G$ gennant $\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$ (Fraktur $g$) ist die Lie-Algebra der linksinvarianten Vektorfelder auf $G$.
** Erinnerung
$$
\mathfrak g \xrightarrow[ev_1]{\cong} T_1 G \Rightarrow \dim \mathfrak g = \dim G
$$
Sei $G\trianglelefteq \operatorname{GL}(n, \mathbb K)$ eine Lie-Untergruppe. Dann ist
$$
\mathfrak g&\cong T_1G\subseteq T_1 \operatorname{GL}(n, \mathbb K)\cong & \mathbb M_n(\mathbb K)
\\\hat X_A(g)=gA&\mapsto&A
$$
** Proposition
Die obige Abbildung identifiziert $(g, [\cdot, \cdot])$ mit einer Lie-Untergruppe von $(\mathbb M_n(\mathbb K), \underbrace{[\cdot, \cdot]}_{\text{Kommutator von Matrizen}})$
Beweis:
Seien $X$, $Y\in \mathfrak{g}$. Diese Vektorfelder, in Koordinaten geschrieben, entsprechen
$$
\hat X \colon g\mapsto gA \text{ bzw. } \hat Y\colon g\mapsto gB
$$
Wir wollen $\widehat{[X,Y]}$ berechnen:
%TODO Chaos an der Tafel
TODO Chaos an der Tafel
$$
[X,Y] &=& \sum_{i,j,k,l} \left[ (gA)_{ij} \frac{\partial}{\partial g^{ij}}, (gB)_{kl} \frac{\partial}{\partial g^{kl}} \right]
\\ &=& \widehat{[X,Y]} = X(\hat Y) - Y(\hat X)
\\ &=& X(\hat Y)_l = X(Y_l) = \sum_{i=1}^k X_i \frac{\partial Y_l}{\partial x^i}
\\ &=& Y(\hat X)_l = \ldots
\\ && \rightarrow \text{ Übung 3 }
$$
$$
X = \sum_{i,j = 1}^n (gA)_{ij} \frac{\partial}{\partial g^{ij}} \quad \text{ Übung 3 }
$$
%TODO Chaos ende
$$
[X(\hat Y) -Y(\hat X)](g) &=& [X(\hat Y) - Y(\hat X)](g)
\\&=& (Dg\hat Y)(\hat X(g)) - (D_g \hat X)(\hat Y(g))
\\&\overset{Dg(\hat Y)=Dg(g\mapsto gB)=\text{ Rechtsmultiplikation mit } B}=&
\hat X(g) \cdot B - \hat Y(g)\cdot A
\\&=& g(AB - BA)
$$
$$
\Rightarrow \widehat{[X,Y]}(1) = AB -BA = [A,B]_{[\mathbb M_n(K)]}
$$
TODO 2019-11-29 TODO 2019-11-29
TODO 2019-12-05
TODO 2019-12-12
TODO 2019-12-13
TODO 2019-12-19
TODO 2019-12-20
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