Liebe Gitlab-Nutzer, lieber Gitlab-Nutzer, es ist nun möglich sich mittels des ZIH-Logins/LDAP an unserem Dienst anzumelden. Ein Anmelden über dieses erzeugt ein neues Konto. Das alte Konto ist über den Reiter "Standard" erreichbar. Die Administratoren

Dear Gitlab user, it is now possible to log in to our service using the ZIH login/LDAP. Logging in via this will create a new account. The old account can be accessed via the "Standard" tab. The administrators

Commit 0f81bf68 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs
Browse files

2019-05-15

parent a1b73ddc
Pipeline #2273 passed with stage
in 28 minutes and 43 seconds
......@@ -139,9 +139,11 @@ $$
$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}
\end{center}
%TODO vertical line
......@@ -316,11 +318,13 @@ $$
Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs
%TODO schöner
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\
& & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\
\arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n
\end{tikzcd}
\end{center}
Betrachte $n=1$:
......@@ -2191,3 +2195,204 @@ weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\pa
$p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen )
$\Rightarrow \mathcal A$ orientiert
%2019-05-14
* Übung 3
\begin{center}
\begin{tikzcd}
N=\mathbb R^n \arrow[rr, "f"] \arrow[rr, "\begin{subarray}{l}y^1=f_1(x)\\ y^2=f_2(x) \end{subarray}"'] & & N=\mathbb R^m \\
{x^1,\ldots, x^n} & & {y^1,\ldots, y^m}
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
\varphi \colon N\to \mathbb R \quad (\varphi = \varphi(y^1,\ldots, y^n))
$$
$$
(f^*\varphi)(x) = \varphi(f(x)) = \varphi(f^1(x), \ldots, f^n(x))
$$
(Index, keine Potenz)
$$
f^*y^1 = f^1, \quad f^*y^k = f^k
$$
$1$-Formen Zurückziehen
$$
f^*(\diffd y^1) &\in& \Omega^1(M)
\\f^*(\diffd y^1)&=&\sum_{i=1}^m \omega_i \diffd x^i
\\\omega_i &=& (f^*(\diffd y^1))\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)
\\&=& \diffd y^1\left(f_* \frac{\partial}{\partial x_i}\right)
\\&\overset{(*)}=& \diffd y^1\underbrace{ \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f^j}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial}{\partial y^1} \right) }_{=Df(e_1)}
\\&=& \frac{\partial f^1}{\partial x^i}
\\&\Rightarrow& f^* (\diffd y^1)
\\&=& \sum_{j=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i
\\&=& \diffd f^1
\\&=& \underbrace{\sum_{i=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i}_{\text{„Differentialform“}}
$$
** Beispiel
$m=2$, $n=3$, $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3$
$$
(\xi, \eta) &\mapsto& (\xi^2, -2\xi\eta, \eta^3)
\\ w &=& x\diffd x - 3xyz\diffd y + zx\diffd z \in \Omega^1(\mathbb R^3)
$$
$$
f^* \omega = \xi ^2 \ldots %TODO missing part
$$
%TODO finish Übung
%2019-05-15
** Vorlesung
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent
1. $M$ ist orientierbar
2. $\exists \mathcal A$, einen Atlas für $M$, s.d.
$\forall (U,x), (V,y) \in \mathcal A$ gilt:
$$
\det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V)
$$
Beweis:%TODO reference
$(1.) \Rightarrow (2.)$ letzes Mal erbracht.
Erinnerung $M$ orientierbar $\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ mit $\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$ ($\omega$ heißt dann Volumenform)
Für $(2.) \Rightarrow (1.)$ brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei $\mathcal A$ ein Atlas wie in $(2)$:
$$
\mathcal A = \{ (U_\alpha, x_\alpha) \mathrel| \alpha \in \mathcal A \}, \quad U_\alpha \text{ überdecken } M
$$
$\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$ eine Teilung der Eins aufgefasst an $U_\alpha$ ($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$ s.d. $\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$)
%TODO Bilchen überschneidende Hügel
Definiere die $n$-Form ($n=\dim M$)
$$
\omega_k(p) := \varphi_k(p) \intd x^1_{\alpha_k} \wedge \ldots \wedge \diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M
$$
$$
\varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k})
$$
%TODO Bilchen one bump
Sei $\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem $p\in M$ wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins.
$\omega$ verschwindet nirgends, weil: $\forall p\in \operatorname{supp} \varphi_k$
$$
\omega(p) \left( \frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}} \right)
= \underbrace{ \varphi_k(p) }_{>0} + \sum_{k'\in \mathbb N\atop k' \neq k} \underbrace{ \omega_{k'}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}}\right) }_{\geqslant 0,\ \neq 0}
$$
$$
\omega_k(p)(\ldots) &\overset{\operatorname{supp}\varphi_{k'}\in U_{\alpha_{k'}}}=& \varphi_{k'}(p) \cdot \det D_{x_{\alpha_k(p)}}\left( x'_{\alpha_k} \circ x^{-1}_{\alpha_k} \right)
\\&>& 0
$$
** Satz: Existenz der Teilung der Eins
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins $\{ \varphi_j \}_{j\in \mathbb N}$ die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h. $\forall j\in \mathbb N \exists \alpha$ mit $\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$)
Erinnerung: Teilung der Eins
„Teilung der Eins“ heißt $\varphi_k \subset C^\infty (M, [0,1])$ mit
$$
\sum_{k\in \mathbb N} \varphi_k(p) = 1, \quad \forall p\in M
$$
endlich $\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$ heißt nur in endlich vielen von $\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$
Beweis:
%TODO Bilchen: Langos, mit wellen
1. Ziel:
Schreibe $M=\bigcup_{k\in \mathbb N} A_k$, s.d. $A_k$ kompakt, $\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$. $M$ ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu $\mathbb R^n$), zweitabzählbar $\Rightarrow \exists (Z_i)_{i\in \mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit $\overline{Z_i}$ kompakt.
Sei $A_{0} := \overline{Z_0} \Rightarrow A_0$ kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben $A_k$ kompakt. Sei $i_k\in \mathbb N$ minimal mit
$$
A_k \subset Z_0 \cup Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i_k}
$$
($i_k$ existiert, da $\bigcup Z_i = M\cup A_k$ kompakt)
Setze
$$
A_{k+1} := \overline {Z_0} \cup \overline {Z_1} \cup \overline {Z_{i_k}} \cup \overline {Z_{k+1}}
$$
$A_k$ aufsteigend, $\bigcup_k \operatorname{int} A_k = M$, da $\bigcup_k Z_k = M$ Setze außerdem $A_{-1} := \emptyset$, dan gilt:
$$
M= \bigcup{k\in \mathbb N} A_k \setminus (\operatorname{int} A_{k-1})
$$
$\forall p \in M: \exists (V_p, x_p)$ Karte mit:
1. $x_p(p) = 0\in \mathbb R^n$
2. $V_p \subset U_\alpha$
3. $x_p(v_p) = B(3,0) \subset \mathbb R^n$
4. $V_p \subset \operatorname{int} A_{k+2} \setminus A_{k-1}$ für gewisses $k\in \mathbb N$
Dann gilt: $\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset \mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1} \setminus \operatorname{A_k}}$ ist eine Überdeckung von $A_{k+1} \setminus \operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt. $\Rightarrow$ diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung $\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$
$$
\{P_{i,j}\}_{k\in \mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k}
$$
ist eine Überdeckung von $M$, die abzählbar ist, untergeordnet der $\{U_\alpha\}$ ist (jedes $P_{i,k}$ liegt in einem $U_\alpha$). Wir können sie also als $\{V_j\}_{j\in \mathbb N}$ umnummerieren.
Nach Konstruktion gilt: jedes $Q_j$ ist enthalten in einem $V_{p_j}$ zu einer Karte $(V_{pj}, x_{pj})$ mit:
$$
x_{pj}(v_{pj}) = B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j) = B(0,1)
$$
Sei $\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$ glatt mit der Eigenschaft
1. $\theta(u) = 1$, $\lVert u \rVert < 1$
2. $\theta(u) = 0$, $\lVert u \rVert > 2$
(Siehe Übung 24)
%TODO rundes Trapez
Sei
$$
\psi_j(p) :=
\begin{cases}
\theta \circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\
0, & \text{sonst}
\end{cases}
$$
Nach Konstruktion gilt:
$$
\psi_j\in C^\infty(M, [0,1])
$$
Behauptung:
$\forall p\in M$ sind nur endlich viele $\psi_j(p) \neq 0$. Wenn $p\in A_k$ mit $\psi_j(p) \neq 0$
$\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$
$\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$
Nun ist $\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins.
Markdown is supported
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment