Erinnerung $M$ orientierbar $\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow\exists\omega\in\Omega^{\dim M}(M)$ mit $\omega(p)\neq0\forall p\in M$ ($\omega$ heißt dann Volumenform)
Für $(2.)\Rightarrow(1.)$ brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei $\mathcal A$ ein Atlas wie in $(2)$:
$$
\mathcal A =\{(U_\alpha, x_\alpha)\mathrel| \alpha\in\mathcal A \}, \quad U_\alpha\text{ überdecken } M
$$
$\Rightarrow\exists(\varphi_k)_{k\in\mathbb N}$ eine Teilung der Eins aufgefasst an $U_\alpha$ ($\forall k\in\mathbb N \exists\alpha_k \in\mathcal A$ s.d. $\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$)
%TODO Bilchen überschneidende Hügel
Definiere die $n$-Form ($n=\dim M$)
$$
\omega_k(p) :=\varphi_k(p)\intd x^1_{\alpha_k}\wedge\ldots\wedge\diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M
Sei $\Omega^n (M)\ni\omega:=\sum_{k\in\mathbb N}\omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem $p\in M$ wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins.
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung $\{ U_\alpha\}$ von $M$ existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins $\{\varphi_j \}_{j\in\mathbb N}$ die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h. $\forall j\in\mathbb N \exists\alpha$ mit $\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$)
Erinnerung: Teilung der Eins
„Teilung der Eins“ heißt $\varphi_k \subset C^\infty(M, [0,1])$ mit
$$
\sum_{k\in\mathbb N}\varphi_k(p)=1, \quad\forall p\in M
$$
endlich $\forall p \Leftrightarrow\forall p\in M$ heißt nur in endlich vielen von $\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$
Beweis:
%TODO Bilchen: Langos, mit wellen
1. Ziel:
Schreibe $M=\bigcup_{k\in\mathbb N} A_k$, s.d. $A_k$ kompakt, $\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$. $M$ ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu $\mathbb R^n$), zweitabzählbar $\Rightarrow\exists(Z_i)_{i\in\mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit $\overline{Z_i}$ kompakt.
Sei $A_{0} :=\overline{Z_0}\Rightarrow A_0$ kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben $A_k$ kompakt. Sei $i_k\in\mathbb N$ minimal mit
$$
A_k \subset Z_0\cup Z_1\cup\ldots\cup Z_{i_k}
$$
($i_k$ existiert, da $\bigcup Z_i = M\cup A_k$ kompakt)
4. $V_p \subset\operatorname{int} A_{k+2}\setminus A_{k-1}$ für gewisses $k\in\mathbb N$
Dann gilt: $\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset\mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1}\setminus\operatorname{A_k}}$ ist eine Überdeckung von $A_{k+1}\setminus\operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt. $\Rightarrow$ diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung $\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$
$$
\{P_{i,j}\}_{k\in\mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k}
$$
ist eine Überdeckung von $M$, die abzählbar ist, untergeordnet der $\{U_\alpha\}$ ist (jedes $P_{i,k}$ liegt in einem $U_\alpha$). Wir können sie also als $\{V_j\}_{j\in\mathbb N}$ umnummerieren.
Nach Konstruktion gilt: jedes $Q_j$ ist enthalten in einem $V_{p_j}$ zu einer Karte $(V_{pj}, x_{pj})$ mit:
$$
x_{pj}(v_{pj})= B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j)= B(0,1)
$$
Sei $\theta\colon\mathbb R^n \to[0,1]$ glatt mit der Eigenschaft
1. $\theta(u)=1$, $\lVert u \rVert < 1$
2. $\theta(u)=0$, $\lVert u \rVert > 2$
(Siehe Übung 24)
%TODO rundes Trapez
Sei
$$
\psi_j(p) :=
\begin{cases}
\theta\circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\
0, &\text{sonst}
\end{cases}
$$
Nach Konstruktion gilt:
$$
\psi_j\in C^\infty(M, [0,1])
$$
Behauptung:
$\forall p\in M$ sind nur endlich viele $\psi_j(p)\neq0$. Wenn $p\in A_k$ mit $\psi_j(p)\neq0$
$\Rightarrow p_j \in A_{k-1}\cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$
$\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$
Nun ist $\varphi_j :=\frac{\psi_j}{\sum_{j\in\mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins.
