1. Wenn $n\leqslant m$, $\rg D_pf = n$, dann existiert eine offene Umgebung $V'\subseteq V$, $0\in V'$ und ein Diffeomorphismus $g\colon V'\subseteq\R^m\to V'' \subseteq\R^m$, $g(0)=0$ mit $g\circ f|^{V'}=\iota$, d.h. nach einem Koordinatewechsel $g$ wird $f$ zur kanonischen Einbettung $\iota$.
2. Wenn $n\geqslant m$, $\rg(D_pf)=m$, dann existiert eine offene Umgebung $U'\subseteq U$, $0\in U'$ und ein Diffeomorphismus $h\colon U'' \to U'$, $h(0)=0$ mit $f\circ h=\pi$ (dort wo $g\circ f$ definiert ist)
Beweis:
Hauptidee: $\rg(D_0f)$ maximal $\Rightarrow\rg(D_0f)$ konstant in Umgebung der $0$
1. ohne Einschränkung
$$
D_pf =\left[\begin{matrix}\frac{A}{*}\end{matrix}\right]\in\Mat_{m\times n}(\R), \quad\det A \neq0
$$
(permutiere Koordinaten in $\R^m$)
Dann folgt: $D_xf =\left[\begin{matrix}\frac{A(x)}{*}\end{matrix}\right]$, $\det A(x)\neq0$ in Umgebung von $0$
Aus dem Satz über inverse Finktionen folgt $F$ lokal invertierbar mit lokaler Inversen $g$
$$
g\circ f = g\circ F \circ\iota-\iota
$$
2. Beweis ist Übung
* Intermezzo: Topologische Räume
** Definition: Topologischer Raum
Ein topologischer Raum $(X,\tau)$ ist ein Paar aus einer Menge $X$ und einem System $\tau$ von Teilmengen von $X$ ($\mathrel{\hat=}$ „offene Mengen“) mit
Es gilt $\tau_{d_2}=\tau_{d_1}$, da alle Normen äquivalent (vgl. Analysis4)
** Definition: Hausdorff-Raum
Ein topologischer Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn
$$
\forall x, y \in X, x\neq y : \exists U_x, U_y \mathrel\text{offen} : U_x \cap U_y =\emptyset
$$
TODO Bildchen 12
** Definition: kompakter Hausdorff-Raum
Ein Hausdorff-Raum $(X,\tau)$ heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt, d.h.
$$
\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq X, U_i {\text{ offen }}\Rightarrow\exists i_1, \ldots, i_n \in I \mathrel{\text{mit}}\bigcup_{k=1}^n U_{i_k}\supseteq X
$$
** Definition: Basis einer Topologie
Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum. Ein System $\mathcal B\subseteq\tau$ von offenen Mengen heißt Basis der Topologie $\tau$, falls jedes $U\in\tau$ als Vereinigung $U=\bigcup_{i\in I}B_i$, $B_i\in\mathcal B$ dargestellt werden kann.
** Definition: 2. Abzählbarkeitsaxiom
Ein topologischer Raum ist zweitabzählbar bzw. erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom, wenn es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.
Beispiel:
Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{\underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in\mathbb Q^n, r\in\mathbb Q_{>0}\}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.