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2019-10-25

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\\&=&\left( \sum_{i=1}^n \xi^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p \right)(\varphi)
$$
* Definition Derivation
* Definition: Derivation
Sei $p\in \mathbb R^n$. Eine Derivation an $p$ ist $\partial \colon C^\infty(\mathbb R^n)\xrightarrow{\text{linear}} \mathbb R$ mit
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f|_{U'} \colon U' \xrightarrow{\cong}V'
$$
ein Diffeomorphismus ist, das heißt glatte Abbildung mit glatter Inversen, d.h. $f\colon U'\to V'$ glatt, bijektiv, $f^{-1}\colon V'\to U'$ glatt
ein Diffeomorphismus ist, das heißt glatte Abbildung mit glatter Inversen, d.h. $f\colon U'\to V'$ glatt, bijektiv, $f^{-1}\colon V'\to U'$ glatt.
%2019-10-25
Wir wollen jetzt Abbildungen $f\colon U\subseteq\R^n\to V\subseteq\R^m$ haben,
$$
D_pf \colon \underbrace{T_pU}_{\cong \R^n} \to \underbrace{T_pV}_{\cong \R^m} \text{ linear}
$$
$\rightsquigarrow$ Was ist „bestmögliche“ Bedingung an $D_pf$, die schönes über $f$ impliziert?
Die „richtige“ Bedingung an $D_pf$ ist, „vollen Rang“ zu haben, das heißt:
$$
\rg(D_pf) = \min \{m,n\}
$$
$\rightsquigarrow$ Es gibt zwei Varianten dieser Bedingung:
1. $n\leqslant m$, $\rg(D_pf)=n \Leftrightarrow n\leqslant m$, $D_pf$ injektiv
Beispiel: $\iota\colon \R^n\hookrightarrow \R^m$, $n\leqslant m$, die Einbettung in die $n$ ersten Koordinaten.
2. $n\geqslant m$, $\rg(D_pf)=m \Leftrightarrow n\geqslant m$, $D_pf$ surjektiv
Beispiel: $\pi\colon \R^n\twoheadrightarrow \R^m$, $m\leqslant n$, Projektion auf die $m$ letzten Koordinaten.
* Satz: Satz über implizite Funktionen
(ist quasi ein Analogon zu einer ähnlichen Aussage aus der linearen Algebra)
Sei $f\colon U\subseteq\R^n\to V\subseteq\R^m$, $U$, $V$ offen, $0\in U$, $f(0)=0\in V$.
1. Wenn $n\leqslant m$, $\rg D_pf = n$, dann existiert eine offene Umgebung $V'\subseteq V$, $0\in V'$ und ein Diffeomorphismus $g\colon V'\subseteq \R^m\to V'' \subseteq\R^m$, $g(0)=0$ mit $g\circ f|^{V'} = \iota$, d.h. nach einem Koordinatewechsel $g$ wird $f$ zur kanonischen Einbettung $\iota$.
2. Wenn $n\geqslant m$, $\rg(D_pf) =m$, dann existiert eine offene Umgebung $U'\subseteq U$, $0\in U'$ und ein Diffeomorphismus $h\colon U'' \to U'$, $h(0)=0$ mit $f\circ h=\pi$ (dort wo $g\circ f$ definiert ist)
Beweis:
Hauptidee: $\rg(D_0f)$ maximal $\Rightarrow \rg(D_0f)$ konstant in Umgebung der $0$
1. ohne Einschränkung
$$
D_pf = \left[\begin{matrix} \frac{A}{*} \end{matrix}\right] \in \Mat_{m\times n}(\R), \quad \det A \neq 0
$$
(permutiere Koordinaten in $\R^m$)
Dann folgt: $D_xf = \left[\begin{matrix} \frac{A(x)}{*} \end{matrix}\right]$, $\det A(x)\neq 0$ in Umgebung von $0$
Definiere:
$$
\begin{cases}
U\times \R^{m-n}\to \R^m
\\ (x_1,\ldots x_n, x_{n+1}, \ldots, x_m) \mapsto f(x_1,\ldots, x_n) + (0,\ldots, 0, x_{n+1}, \ldots, x_m)
\end{cases}
$$
$$
D_0F =
\begin{bmatrix}
\begin{array}{c|c}
A & 0 \\
\hline
* & \eins
\end{array}
\end{bmatrix}
$$
Aus dem Satz über inverse Finktionen folgt $F$ lokal invertierbar mit lokaler Inversen $g$
$$
g\circ f = g\circ F \circ \iota - \iota
$$
2. Beweis ist Übung
* Intermezzo: Topologische Räume
** Definition: Topologischer Raum
Ein topologischer Raum $(X,\tau)$ ist ein Paar aus einer Menge $X$ und einem System $\tau$ von Teilmengen von $X$ ($\mathrel{\hat=}$ „offene Mengen“) mit
1. $\emptyset$, $X\in \pi$
2. $(U_i)_{i\in I}\subseteq \tau \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i \in \tau$
3. $U_1, \ldots, U_n\in \tau \Rightarrow \bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau$
Beispiel:
1. $(X,d)$ metrischer Raum $\Rightarrow \tau_d := \{ U\subseteq X\ |\ \forall x\in U \exists r> 0 \colon B_r(x) \subseteq U \}$ die durch $d$ induzierte Topologie
2. $(\R^n, d_2(x,y) = \lVert x-y \rVert_2) \rightsquigarrow (\R^n, \tau_{d_2})$
2. $(\R^n, d_2(x,y) = \lVert x-y \rVert_1) \rightsquigarrow (\R^n, \tau_{d_2})$
Es gilt $\tau_{d_2} = \tau_{d_1}$, da alle Normen äquivalent (vgl. Analysis4)
** Definition: Hausdorff-Raum
Ein topologischer Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn
$$
\forall x, y \in X, x\neq y : \exists U_x, U_y \mathrel\text{offen} : U_x \cap U_y = \emptyset
$$
TODO Bildchen 12
** Definition: kompakter Hausdorff-Raum
Ein Hausdorff-Raum $(X,\tau)$ heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt, d.h.
$$
\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq X, U_i {\text{ offen }} \Rightarrow \exists i_1, \ldots, i_n \in I \mathrel{\text{mit}} \bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq X
$$
** Definition: Basis einer Topologie
Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum. Ein System $\mathcal B\subseteq \tau$ von offenen Mengen heißt Basis der Topologie $\tau$, falls jedes $U\in \tau$ als Vereinigung $U=\bigcup_{i\in I}B_i$, $B_i\in \mathcal B$ dargestellt werden kann.
** Definition: 2. Abzählbarkeitsaxiom
Ein topologischer Raum ist zweitabzählbar bzw. erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom, wenn es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.
Beispiel:
Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{ \underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in \mathbb Q^n, r\in \mathbb Q_{>0} \}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.
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\newcommand{ \diffd }{ \mathrm d }
\newcommand{ \intd }{ \,\diffd }
\newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
\newcommand{ \rg }{ \operatorname{rg} }
\newcommand{ \Mat }{ \operatorname{Mat} }
\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
\newcommand{ \R }{ \mathbb R }
......
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