diff --git a/diffgeoII/edit-this-file.tex b/diffgeoII/edit-this-file.tex index ac95d746708ed3ab7f8a478dd6f1bfe206c2e908..ab3fcbe3908a4a441be731e203141b1fa608f674 100644 --- a/diffgeoII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoII/edit-this-file.tex @@ -3753,3 +3753,222 @@ $\varphi \equiv 1$ auf einer Umgebung von $N$, $\varphi \equiv 0$ auf $M\setminu Dann gilt: $\varphi\colon v\in \Omega^{k-1}(M,N)$, $\omega - \diffd(\varphi v) \in \Omega^k_c (M\setminus N)$ $\Rightarrow \sigma = \varphi v$ funktioniert und der Beweis ist fertig. + +%2019-06-25 + +$N\subseteq M$ Untermannigfaltigkeit, $N$ kompakt + +$\Rightarrow$ l.e.S. + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + \arrow[r] &[-10pt] \ldots \arrow[r] &[-10pt] {H^k(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] H^k(M) \arrow[r] &[-10pt] H^k(N) \arrow[r] &[-10pt] {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] \ldots \\ + & {} & {} & {} & {} & H^{k+1}_c(M\setminus N) {}& {} +\end{tikzcd} +\end{center} + +** Proposition + +$$ + H_c^k(\mathbb R^n) \cong + \begin{cases} + 0, & k\neq n\\ + \mathbb R, & k=n +\end{cases} +$$ + +Beweis: + + * $k=0$ + $$ + H_c^0(\mathbb R^n) \cong 0 + $$ + weil es keine kompakt getragenen konstanten Funktionen gibt. (für alle $n\in\mathbb N$) + * $n=1$, $k=1$ + $$ + H_c^1(\mathbb R) \cong \ker \diffd / \operatorname{im} \diffd = \Omega^1_c (\mathbb R) / \operatorname{im} \diffd + $$ + \begin{center} + \begin{tikzcd} + \Omega_c^0(\mathbb R) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \arrow[r, "\diffd"] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\diffd"] & 0 \\ + C_c^\infty(\mathbb R) & & + \end{tikzcd} + \end{center} + + Sei $\omega = \varphi(x)\intd x \in \Omega_c^1(\mathbb R)$. $\omega\in\operatorname{im}\diffd\Leftrightarrow\omega=\diffd f=f'(x)\intd x$ für ein $f\in C_c^\infty(\mathbb R)$ + + TODO Bildchen%TODO Bildchen + + $$ + f(x) = \int_\alpha^x \varphi(t) \intd t + \\ \Rightarrow f(\beta) = \int_\alpha^\beta \varphi(t) \intd t = 0 + $$ + $\lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \operatorname{supp}\varphi, \operatorname{supp}f$%TODO table + + Aus der Rechnung folgt: $f$ kompakt getragen + $$ + \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} = \varphi(x) \intd x = \int_{\mathbb R} \omega = 0 + $$ + Also: + $$ + \omega \in \operatorname{im} \diffd \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} \omega = 0 + $$ + Wir haben also eine kurze exakte Sequenz + \begin{center} + \begin{tikzcd} + 0 \arrow[r] & \Omega_c^\infty(\mathbb R) \arrow[r] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\int_{\mathbb R}"] & \mathbb R \arrow[r] & 0 + \end{tikzcd} + \end{center} + $\Rightarrow H_c^1(\mathbb R) \cong \mathbb R$ + + * Für $n\geqslant 2$ benutzen wir Induktion und die l.e.S für $M=S^n$, $N=S^{n-1}$, $M\setminus N \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$. + $M\setminus N$ sind zwei Kreisscheiben $\Rightarrow S^1\cup S^1 \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$ + + + + TODO%TODO missing part + + + Am Ende steht: + \begin{center} + \begin{tikzcd} + 0 \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & H_c^n(\mathbb R^n)^{\oplus 2} \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & 0 + \end{tikzcd} + \end{center} + exakt. + + $\overset{?}\Rightarrow H_c^n(\mathbb R) \cong \mathbb R$ + weil + \begin{tikzcd} + 0 \arrow[r] & V \arrow[r] & W \arrow[r] & \underbrace{V'}_{\cong W/V} \arrow[r] & 0 + \end{tikzcd} + kurze exakt Sequenz + $\Rightarrow \dim W = \dim V + \dim V'$ + +** Bemerkung + $$ + H_c^n(\mathbb R^n) = \mathbb R\cdot \lbrack\omega\rbrack + $$ + wobei $\omega = \varphi(\lVert x \rVert)\intd x^1\wedge \ldots \wedge \diffd x^n$ mit $\varphi$: + TODO Bilchen %TODO + +** Satz + +Sei $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Dann gilt: +$$ + H^n(M) \cong \mathbb R, \quad n=\dim M +$$ + +Beweis: +Erinnerung: wenn $\omega$ eine Volumenform $\Rightarrow\int_M \omega \neq 0$, andereseits: wenn $\omega = \intd \alpha \in \Omega^n(M)$ +$$ +\Rightarrow \int_M \omega = \int_M \intd \alpha = \int_\emptyset \alpha = 0 +$$ +Da $M$ kompakt, $\exists\,\{ U_i \}_{i=1}^N$ eine offene Überdeckung mit untergeordneter Teilung der Eins $\{ \varphi_i \}_{i=1}^N$ sodass $U_i \cong \mathbb R^n$. + +Definiere die Abbildung +$$ + \Psi \colon \Omega^n(M) &\to& \mathbb R^N + \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} & & + \\ \omega &\mapsto& \left( \int_M \varphi_1 \cdot \omega, \ldots, \int_M \varphi_N \cdot \omega \right) +$$ + +$\Psi$ linear: +$$ + V := \{ \psi (\diffd \alpha) \mathrel | \alpha \in \Omega^{n-1}(M) \} \subseteq \mathbb R^N +$$ +Untervektorraum + +Behauptung: +$$ + \Psi(\omega) \in V \Leftrightarrow \omega \mathrel\text{exakt} +$$ + +$\Leftarrow$ Definition von $V$ + +$\Rightarrow$ $\Psi(\omega) \in V \Rightarrow \exists \alpha \in \Omega^{n-1}(M)$ mit $\Psi(\omega - \diffd \alpha) = 0$ + +$\int_{U_i}\varphi_i \cdot (\omega-\diffd \alpha)=\Rightarrow \int_M \varphi_i \cdot (\omega -\diffd \alpha) = 0$, $i=1,\ldots, N$ + +$U_i \cong \mathbb R^n \Rightarrow \varphi_i\cdot(\omega -\diffd \alpha)$ exakt (nach vorheriger Proposition) + +$\Rightarrow \exists \alpha_i \in \Omega_c^{n-1}(U_i)$ mit $\rho_i\cdot(\omega -\diffd \alpha) = \diffd \alpha_i$ + +TODO missing +%TODO missing + +Nun ist $V\subset \mathbb R^N$ durch ein LGS gegeben: +$$ + V = \{ x\in \mathbb R^N \mathrel| C_x = 0 \},\quad C\in \mathbb R^{m\times N} +$$ + +Das heißt: +$$ + \omega \mathrel{\text{text}} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^N \int_M c_{jk} \rho_k \cdot \omega = 0, \quad j=1,\ldots, m +$$ + +Behauptung: +$$ + \sum_{k=1}^N c_{jk} \rho_k +$$ + +ist eine konstante Funktion $\forall j = 1, \ldots, m$: + +Wenn nicht: +$$ + \exists i \in \{ 1,\ldots, N \} \exists \omega \in \Omega_c^n(U_i) +$$ + +so dass +$$ + \int_M \omega = 0 +$$ +aber +$$ + \int \sum_{k=1}^{N} c_{jk} \rho_k \omega = \int_{U_i} c_{ji} \rho \varphi_i \omega \neq 0 +$$ +$\Rightarrow \omega$ nicht exakt $\lightning$ + +TODO missing%TODO missing + +* Metrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten + +** Definition + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine Riemansche Metrik auf $M$ ist eine symetrische positiv definite Bilinearform $g\in \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$ +Das heißt $\forall p\in M$ ist $g_p\in T_p^*M \otimes T^*_p M\cong \operatorname{Bil}(T_pM)$ mit $g_p$ ist ein Skalarpodukt + +Pseudo-Riemansche Metrik: das Gleiche mit „nicht ausgeartet“ statt „pos. definit“/„Skalarpodukt“ + +** Tensoralgebra im Präsenz von $g$ + + 1. Da $g$ nicht ausgeartet ist, definiert es musikalische Isomorphismen + $$ + \flat \colon TM &\to& T^*M + \\ \sharp \colon T^*M &\to& TM + \\ v^\flat (\omega) &:=& g(v,w), \quad v,w \in T_pM + \\ \sharp &=& \flat^{-1} + $$ + + Beispiel: $f\in C^\infty(M)$, $\operatorname{grad}(f) := (\diffd f)^\sharp$ + + 2. $\ast$-Operation auf Differentialformen + Erinnerung: + $$ + B_x \intd y\wedge\diffd z + B_y \intd z \wedge \diffd x + \ldots + $$ + $$ + \lbrack\ast (e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k}) \rbrack \wedge \left(e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k} \right) = e_1\wedge\ldots\wedge e_n + $$ + z.B.: + $$ + \ast (B_x \intd y \wedge \diffd z) = B_x\intd x + $$ + + $$ + X&\in& \Gamma(T\mathbb R^3) + \\ X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3) + \\ \diffd X^\flat &\in& \Omega^2(\mathbb R^3) + \\ \ast \diffd X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3) + \\ \operatorname{rot} X &=& (\ast \diffd X^\flat)^\sharp + $$