Sei $\omega=\varphi(x)\intd x \in\Omega_c^1(\mathbb R)$. $\omega\in\operatorname{im}\diffd\Leftrightarrow\omega=\diffd f=f'(x)\intd x$ für ein $f\in C_c^\infty(\mathbb R)$
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$$
f(x)=\int_\alpha^x \varphi(t)\intd t
\\\Rightarrow f(\beta)=\int_\alpha^\beta\varphi(t)\intd t =0
Da $M$ kompakt, $\exists\,\{ U_i \}_{i=1}^N$ eine offene Überdeckung mit untergeordneter Teilung der Eins $\{\varphi_i \}_{i=1}^N$ sodass $U_i \cong\mathbb R^n$.