2019-06-25

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@@ -3753,3 +3753,222 @@ $\varphi \equiv 1$ auf einer Umgebung von $N$, $\varphi \equiv 0$ auf $M\setminu
 Dann gilt: $\varphi\colon v\in \Omega^{k-1}(M,N)$, $\omega - \diffd(\varphi v) \in \Omega^k_c (M\setminus N)$
 
 $\Rightarrow \sigma = \varphi v$ funktioniert und der Beweis ist fertig.
+
+%2019-06-25
+
+$N\subseteq M$ Untermannigfaltigkeit, $N$ kompakt
+
+$\Rightarrow$ l.e.S.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+ \arrow[r] &[-10pt] \ldots \arrow[r] &[-10pt] {H^k(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] H^k(M) \arrow[r] &[-10pt] H^k(N) \arrow[r] &[-10pt] {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] \ldots \\
+           &     {}             &                              {}                       &        {}          &        {}          & H^{k+1}_c(M\setminus N)                                 {}&       {}
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+** Proposition
+
+$$
+  H_c^k(\mathbb R^n) \cong
+  \begin{cases}
+  0,  & k\neq n\\
+  \mathbb R, & k=n
+\end{cases}
+$$
+
+Beweis:
+
+ * $k=0$
+  $$
+    H_c^0(\mathbb R^n) \cong 0
+  $$
+  weil es keine kompakt getragenen konstanten Funktionen gibt. (für alle $n\in\mathbb N$)
+ * $n=1$, $k=1$
+  $$
+    H_c^1(\mathbb R) \cong \ker \diffd / \operatorname{im} \diffd = \Omega^1_c (\mathbb R) / \operatorname{im} \diffd
+  $$
+  \begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  \Omega_c^0(\mathbb R) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \arrow[r, "\diffd"] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\diffd"] & 0 \\
+  C_c^\infty(\mathbb R)                                                &                                           &  
+  \end{tikzcd}
+  \end{center}
+
+  Sei $\omega = \varphi(x)\intd x \in \Omega_c^1(\mathbb R)$. $\omega\in\operatorname{im}\diffd\Leftrightarrow\omega=\diffd f=f'(x)\intd x$ für ein $f\in C_c^\infty(\mathbb R)$
+  
+  TODO Bildchen%TODO Bildchen
+  
+  $$
+    f(x) = \int_\alpha^x \varphi(t) \intd t
+    \\ \Rightarrow f(\beta) = \int_\alpha^\beta \varphi(t) \intd t = 0
+  $$
+  $\lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \operatorname{supp}\varphi, \operatorname{supp}f$%TODO table
+  
+  Aus der Rechnung folgt: $f$ kompakt getragen 
+  $$
+    \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} = \varphi(x) \intd x = \int_{\mathbb R} \omega = 0
+  $$
+  Also:
+  $$
+    \omega \in \operatorname{im} \diffd \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} \omega = 0
+  $$
+  Wir haben also eine kurze exakte Sequenz
+  \begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  0 \arrow[r] & \Omega_c^\infty(\mathbb R) \arrow[r] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\int_{\mathbb R}"] & \mathbb R \arrow[r] & 0
+  \end{tikzcd}
+  \end{center}
+  $\Rightarrow H_c^1(\mathbb R) \cong \mathbb R$
+  
+ * Für $n\geqslant 2$ benutzen wir Induktion und die l.e.S für $M=S^n$, $N=S^{n-1}$, $M\setminus N \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$.
+  $M\setminus N$ sind zwei Kreisscheiben $\Rightarrow S^1\cup S^1 \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$
+  
+  
+  
+  TODO%TODO missing part
+  
+  
+  Am Ende steht:
+  \begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+    0 \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & H_c^n(\mathbb R^n)^{\oplus 2} \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & 0
+  \end{tikzcd}
+  \end{center}
+  exakt.
+  
+  $\overset{?}\Rightarrow H_c^n(\mathbb R) \cong \mathbb R$
+  weil
+  \begin{tikzcd}
+  0 \arrow[r] & V \arrow[r] & W \arrow[r] & \underbrace{V'}_{\cong W/V} \arrow[r] & 0
+  \end{tikzcd}
+  kurze exakt Sequenz
+  $\Rightarrow \dim W = \dim V + \dim V'$
+
+** Bemerkung
+  $$
+    H_c^n(\mathbb R^n) = \mathbb R\cdot \lbrack\omega\rbrack
+  $$
+  wobei $\omega = \varphi(\lVert x \rVert)\intd x^1\wedge \ldots \wedge \diffd x^n$ mit $\varphi$:
+  TODO Bilchen %TODO
+  
+** Satz
+
+Sei $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Dann gilt:
+$$
+  H^n(M) \cong \mathbb R, \quad n=\dim M
+$$
+
+Beweis:
+Erinnerung: wenn $\omega$ eine Volumenform $\Rightarrow\int_M \omega \neq 0$, andereseits: wenn $\omega = \intd \alpha \in \Omega^n(M)$
+$$
+\Rightarrow \int_M \omega = \int_M \intd \alpha = \int_\emptyset \alpha = 0
+$$
+Da $M$ kompakt, $\exists\,\{ U_i \}_{i=1}^N$ eine offene Überdeckung mit untergeordneter Teilung der Eins $\{ \varphi_i \}_{i=1}^N$ sodass $U_i \cong \mathbb R^n$.
+
+Definiere die Abbildung
+$$
+  \Psi \colon \Omega^n(M) &\to& \mathbb R^N
+  \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} & &
+  \\ \omega &\mapsto& \left( \int_M \varphi_1 \cdot \omega, \ldots, \int_M \varphi_N \cdot \omega \right)
+$$
+
+$\Psi$ linear:
+$$
+  V := \{ \psi (\diffd \alpha) \mathrel | \alpha \in \Omega^{n-1}(M) \} \subseteq \mathbb R^N
+$$
+Untervektorraum
+
+Behauptung:
+$$
+  \Psi(\omega) \in V \Leftrightarrow \omega \mathrel\text{exakt}
+$$
+
+$\Leftarrow$ Definition von $V$
+
+$\Rightarrow$ $\Psi(\omega) \in V \Rightarrow \exists \alpha \in \Omega^{n-1}(M)$ mit $\Psi(\omega - \diffd \alpha) = 0$
+
+$\int_{U_i}\varphi_i \cdot (\omega-\diffd \alpha)=\Rightarrow \int_M \varphi_i \cdot (\omega -\diffd \alpha) = 0$, $i=1,\ldots, N$
+
+$U_i \cong \mathbb R^n \Rightarrow \varphi_i\cdot(\omega -\diffd \alpha)$ exakt (nach vorheriger Proposition)
+
+$\Rightarrow \exists \alpha_i \in \Omega_c^{n-1}(U_i)$ mit $\rho_i\cdot(\omega -\diffd \alpha) = \diffd \alpha_i$
+
+TODO missing
+%TODO missing
+
+Nun ist $V\subset \mathbb R^N$ durch ein LGS gegeben:
+$$
+  V = \{ x\in \mathbb R^N \mathrel| C_x = 0 \},\quad C\in \mathbb R^{m\times N}
+$$
+
+Das heißt:
+$$
+  \omega \mathrel{\text{text}} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^N \int_M c_{jk} \rho_k \cdot \omega = 0, \quad j=1,\ldots, m
+$$
+
+Behauptung:
+$$
+  \sum_{k=1}^N c_{jk} \rho_k
+$$
+
+ist eine konstante Funktion $\forall j = 1, \ldots, m$:
+
+Wenn nicht:
+$$
+  \exists i \in \{ 1,\ldots, N \} \exists \omega \in \Omega_c^n(U_i)
+$$
+
+so dass
+$$
+  \int_M \omega = 0
+$$
+aber
+$$
+  \int \sum_{k=1}^{N} c_{jk} \rho_k \omega = \int_{U_i} c_{ji} \rho \varphi_i \omega \neq 0
+$$
+$\Rightarrow \omega$ nicht exakt $\lightning$
+
+TODO missing%TODO missing
+
+* Metrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
+
+** Definition
+
+Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine Riemansche Metrik auf $M$ ist eine symetrische positiv definite Bilinearform $g\in \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$
+Das heißt $\forall p\in M$ ist $g_p\in T_p^*M \otimes T^*_p M\cong \operatorname{Bil}(T_pM)$ mit $g_p$ ist ein Skalarpodukt
+
+Pseudo-Riemansche Metrik: das Gleiche mit „nicht ausgeartet“ statt „pos. definit“/„Skalarpodukt“
+
+** Tensoralgebra im Präsenz von $g$
+
+ 1. Da $g$ nicht ausgeartet ist, definiert es musikalische Isomorphismen
+  $$
+    \flat \colon TM &\to& T^*M
+    \\ \sharp \colon T^*M &\to& TM
+    \\ v^\flat (\omega) &:=& g(v,w), \quad v,w \in T_pM
+    \\ \sharp &=& \flat^{-1}
+  $$
+
+  Beispiel: $f\in C^\infty(M)$, $\operatorname{grad}(f) := (\diffd f)^\sharp$
+  
+ 2. $\ast$-Operation auf Differentialformen
+  Erinnerung:
+  $$
+    B_x \intd y\wedge\diffd z + B_y \intd z \wedge \diffd x + \ldots
+  $$
+  $$
+    \lbrack\ast (e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k}) \rbrack \wedge \left(e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k} \right) = e_1\wedge\ldots\wedge e_n
+  $$
+  z.B.:
+  $$
+    \ast (B_x \intd y \wedge \diffd z) = B_x\intd x
+  $$
+  
+  $$
+    X&\in& \Gamma(T\mathbb R^3)
+    \\ X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3)
+    \\ \diffd X^\flat &\in& \Omega^2(\mathbb R^3)
+    \\ \ast \diffd X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3)
+    \\ \operatorname{rot} X &=& (\ast \diffd X^\flat)^\sharp
+  $$