2019-12-05

diffgeoIII/edit-this-file.tex

@@ -2231,9 +2231,187 @@ $$
       \rightarrow \text{ erzeugen } \operatorname{SO}(3)
     $$
 
-TODO 2019-12-05
+%2019-12-05
+
+Letztes Mal:
+
+$$
+  \operatorname{SU}(2) \xrightarrow[2:1]{\psi} \operatorname{SO}(3), \quad \operatorname{Ker}(\psi)=\{\pm 1\}
+$$%TODO content 2:1
+
+$$
+  \mathfrak{su}(2) &=& \langle u_1, u_2, u_3 \rangle
+  \\ \left[u_1, u_2\right] = 2u_3
+  \\ \left[u_2, u_3\right] = 2u_1
+  \\ \left[u_3, u_1\right] = 2u_2
+$$
+
+$$
+  \mathfrak{su}(3) &=& \langle L_x, L_y, L_z \rangle
+  \left[L_x, L_y\right] = L_z
+$$
+
+Fazit:
+
+$$
+  \mathfrak{su}(2) = \cong \mathfrak{so}(3)\quad \text{ als Lie-Algebren}
+$$
+
+$$
+  D_1\psi &=& \psi_* \colon \mathfrak{su}(2) \to \mathfrak{so}(3)
+  \\ u_{1/2} &\mapsto& L_1
+  \\ u_{2/2} &\mapsto& L_2
+  \\ u_{3/2} &\mapsto& L_3
+$$
+
+$$
+  \psi_* (u_3) &=& \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0}\psi(e^{tu_3})
+  \\&=& \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0} \left(\begin{matrix} \cos 2t & -\sin 2t & 0\\\sin 2t & \cos 2t & 0\\0&0&1 \end{matrix}\right)
+  \\&=& 2L_z
+$$
+(analog für $u_1$, $u_2$)
+
+insbesondere gibt es unterschiedliche Lie-Gruppen, die isomorphe Lie-Algebren haben.
+
+noch einfacheres Beispiel: $(\R, +)$ und $(U(1), \cdot)$ sind nicht isomorph aber $\operatorname{Lie}(\R, +)\cong \operatorname{Lie}(U(1), \cdot)\cong \R$
+
+$$
+  \begin{cases} \R & \xrightarrow{\psi} U(1) \\ t & \mapsto e^{2\pi it} \end{cases}
+$$
+
+$$
+  \operatorname{Ker} \psi = \mathbb Z, \quad U(1)\cong\R/\mathbb Z
+$$
+
+$$
+  \mathbb R &:& \text{Schraube}
+  \\\psi &:& \text{Projektion von Schraube auf Kreis}
+$$
+TODO Bildchen 29
+
+Die Lie-Algebra weiß nur was lokal los ist und sieht nicht, dass $U(1)$ ein Kreis ist und $R$ ins unendliche geht.
+
+$$
+  \operatorname{SU}(2) &\cong& S^3
+  \\ \left(\begin{matrix} \alpha & \beta\\\gamma&\delta \end{matrix}\right) &\mapsto& (\alpha, \gamma)\in \mathbb C^2 \cong \R^4
+$$
+
+$$
+  \operatorname{SU}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{matrix}\right)\in M_2(\mathbb C)\ \middle|\ \begin{matrix} \lvert\alpha\rvert^2 + \lvert \gamma\rvert^2 = 1,&\overline\alpha\beta + \overline \gamma\delta = 0\\\lvert\beta\rvert^2 + \lvert\delta\rvert^2 = 1,&\alpha\delta - \beta\gamma = 1 \end{matrix} \right\}
+$$
+
+Injektivität:
+
+$$
+  \left(\begin{matrix} \alpha\\\gamma \end{matrix}\right) \perp \left(\begin{matrix} \beta\\\gamma \end{matrix}\right)
+$$
+
+$\left(\begin{matrix} \beta\\\gamma \end{matrix}\right)$ ist schon eindeutig, da orthogonal und Richtung kommt aus Determinante.
+
+$$
+  \operatorname{SU}(2)/\{ \pm i \} = \operatorname{SO}(3)
+$$
+
+** Frage
+
+#+BEGIN_QUOTE
+Was ist $S^3/\{ \pm \id \}$?
+#+END_QUOTE
+
+TODO Bildchen 30
+
+der Projektive Raum!
+
+** Intermezzo: projektiver Raum
+
+$$
+  \R \mathbb P^n \overset{\text{diffgeo}}{:=} S^n / \{ \pm \id \}\quad \text{Mannigfaltigkeit, kompakt}
+$$
+
+Sei ein $\mathbb K$ ein Körper. Der ($n$-dimensionale) \emph{projektive Raum} über $\mathbb K$
+
+$$
+  \mathbb K \mathbb P^n &=& \mathbb P^n(\mathbb K) := \left\{ x\ \middle|\ x \text{ ist $1$-dimensionaler Unteraum in }\mathbb K^{n+1} \right\}
+  \\&\cong& (\mathbb K^{n+1}\setminus\{0\})/\sim
+  \\&=& \{ \left[ x_0, \ldots, x_n \right]\ |\ \left[ \lambda x_0, \ldots, \lambda x_n \right] = [x_0, \ldots, x_n] \}
+  \\&=& \left[ x_0, \ldots, x_n ]\right]
+$$
+
+mit
+
+$$
+  v\sim w &:\Leftrightarrow& \exists \lambda \in \mathbb K : v = \lambda w
+  \\(\mathbb K^{n+1}\setminus\{0\})/\sim &\xrightarrow{\cong}& \left\{ x\ \middle|\ x \text{ ist $1$-dimensionaler Unteraum in }\mathbb K^{n+1} \right\}
+  \\{[v]}&\mapsto&\{\lambda v\ |\ \lambda \in \mathbb K\}
+$$
+
+$$
+  \mathbb K \mathbb P^n &=& \{ \left[ [x_0 : \ldots : x_{n-1} : 1] \right]\ |\ x_0, \ldots, x_{n-1} \in \mathbb K \} \mathrel{\dot\cup} \{ [x_0 : \ldots : x_{n-1}]\ |\ [x_0 : \ldots x_{n-1}] \in \mathbb K \mathbb P^{n-1} \}
+  \\&=& \mathbb K^n \cup \mathbb K\mathbb P^{n-1}, \quad \mathbb K \mathbb P^0 = \{*\}
+$$
+
+$$
+  \mathbb R \mathbb P^1 = S^1/\{ \pm \id \} \cong S^1 \cong \R \mathrel{\dot\cup} \{*\}
+$$
+
+$$
+  \mathbb C\mathbb P^1 = \mathbb C \mathrel{\dot{cup}} \{ \infty \} \cong S^2 \quad \text{Riemannsphäre}
+$$
+
+TODO Bildchen 31
+
+$$
+  \R\mathbb P^2 = \R^2 \mathrel{\dot\cup} \mathbb R\mathbb P^1
+$$
+
+TODO Bildchen 32
+
+Also gilt:
+
+$$
+  \operatorname{SO}(3) \cong \R\mathbb P^3
+$$
+
+Im folgenden sei $M$ ein Mannigfaltigkeit, zusammenhängend, $x_0 \in M$ beliebig.
+
+** Definition: Schleifen, Homotopien
+
+- Eine \emph{Schleife} $\gamma:[0,1]\to M$ an $x_0$ ist eine stetige Abbildung
+  $$
+    \gamma(0) = \gamma(1) = x_0
+  $$
+  TODO Bildchen 33
+- Eine Schleife $\gamma\colon [0,1]\to M$ heißt \emph{nullhomotop} oder \emph{zusammenziehbar}, wenn
+  $$
+    \exists H: [0,1]\times[0,1] \to M
+  $$
+  mit
+  $$
+    H(0,t) &=& \gamma(t)
+    \\H(1, t)&=& x_0
+  $$
+  $H$ heißt \emph{Homotopie}
+
+** Definition: einfach zusammenhängend
+
+$M$ heißt einfach zusammenhängend, wenn alle Schleifen zusammenziehbar sind.
+
+** Beispiel
+
+- $\R$ ist einfach zusammenhängend.
+- $S^n$ ist einfach zusammenhängend, $n\geqslant 2$
+- $\R^n\setminus\{0\}$, $S^1\cong U(1)$ nicht einfach zusammenhängend
+
+** Satz: Lie-Algebra $\rightsquigarrow$ Lie-Gruppe
+
+Zu jeder (endliche dimensionalen) Lie-Algebra $\mathfrak g$ existiert eine eindeutige bestimmte einfach zusammenhängende Lie-Gruppe $G$ mit
+$$
+  \operatorname{Lie}\cong \mathfrak g
+$$
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 TODO 2019-12-19
 TODO 2019-12-20
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