Commit 1fa989f7 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-12-05

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...@@ -2231,9 +2231,187 @@ $$ ...@@ -2231,9 +2231,187 @@ $$
\rightarrow \text{ erzeugen } \operatorname{SO}(3) \rightarrow \text{ erzeugen } \operatorname{SO}(3)
$$ $$
TODO 2019-12-05 %2019-12-05
Letztes Mal:
$$
\operatorname{SU}(2) \xrightarrow[2:1]{\psi} \operatorname{SO}(3), \quad \operatorname{Ker}(\psi)=\{\pm 1\}
$$%TODO content 2:1
$$
\mathfrak{su}(2) &=& \langle u_1, u_2, u_3 \rangle
\\ \left[u_1, u_2\right] = 2u_3
\\ \left[u_2, u_3\right] = 2u_1
\\ \left[u_3, u_1\right] = 2u_2
$$
$$
\mathfrak{su}(3) &=& \langle L_x, L_y, L_z \rangle
\left[L_x, L_y\right] = L_z
$$
Fazit:
$$
\mathfrak{su}(2) = \cong \mathfrak{so}(3)\quad \text{ als Lie-Algebren}
$$
$$
D_1\psi &=& \psi_* \colon \mathfrak{su}(2) \to \mathfrak{so}(3)
\\ u_{1/2} &\mapsto& L_1
\\ u_{2/2} &\mapsto& L_2
\\ u_{3/2} &\mapsto& L_3
$$
$$
\psi_* (u_3) &=& \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0}\psi(e^{tu_3})
\\&=& \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0} \left(\begin{matrix} \cos 2t & -\sin 2t & 0\\\sin 2t & \cos 2t & 0\\0&0&1 \end{matrix}\right)
\\&=& 2L_z
$$
(analog für $u_1$, $u_2$)
insbesondere gibt es unterschiedliche Lie-Gruppen, die isomorphe Lie-Algebren haben.
noch einfacheres Beispiel: $(\R, +)$ und $(U(1), \cdot)$ sind nicht isomorph aber $\operatorname{Lie}(\R, +)\cong \operatorname{Lie}(U(1), \cdot)\cong \R$
$$
\begin{cases} \R & \xrightarrow{\psi} U(1) \\ t & \mapsto e^{2\pi it} \end{cases}
$$
$$
\operatorname{Ker} \psi = \mathbb Z, \quad U(1)\cong\R/\mathbb Z
$$
$$
\mathbb R &:& \text{Schraube}
\\\psi &:& \text{Projektion von Schraube auf Kreis}
$$
TODO Bildchen 29
Die Lie-Algebra weiß nur was lokal los ist und sieht nicht, dass $U(1)$ ein Kreis ist und $R$ ins unendliche geht.
$$
\operatorname{SU}(2) &\cong& S^3
\\ \left(\begin{matrix} \alpha & \beta\\\gamma&\delta \end{matrix}\right) &\mapsto& (\alpha, \gamma)\in \mathbb C^2 \cong \R^4
$$
$$
\operatorname{SU}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{matrix}\right)\in M_2(\mathbb C)\ \middle|\ \begin{matrix} \lvert\alpha\rvert^2 + \lvert \gamma\rvert^2 = 1,&\overline\alpha\beta + \overline \gamma\delta = 0\\\lvert\beta\rvert^2 + \lvert\delta\rvert^2 = 1,&\alpha\delta - \beta\gamma = 1 \end{matrix} \right\}
$$
Injektivität:
$$
\left(\begin{matrix} \alpha\\\gamma \end{matrix}\right) \perp \left(\begin{matrix} \beta\\\gamma \end{matrix}\right)
$$
$\left(\begin{matrix} \beta\\\gamma \end{matrix}\right)$ ist schon eindeutig, da orthogonal und Richtung kommt aus Determinante.
$$
\operatorname{SU}(2)/\{ \pm i \} = \operatorname{SO}(3)
$$
** Frage
#+BEGIN_QUOTE
Was ist $S^3/\{ \pm \id \}$?
#+END_QUOTE
TODO Bildchen 30
der Projektive Raum!
** Intermezzo: projektiver Raum
$$
\R \mathbb P^n \overset{\text{diffgeo}}{:=} S^n / \{ \pm \id \}\quad \text{Mannigfaltigkeit, kompakt}
$$
Sei ein $\mathbb K$ ein Körper. Der ($n$-dimensionale) \emph{projektive Raum} über $\mathbb K$
$$
\mathbb K \mathbb P^n &=& \mathbb P^n(\mathbb K) := \left\{ x\ \middle|\ x \text{ ist $1$-dimensionaler Unteraum in }\mathbb K^{n+1} \right\}
\\&\cong& (\mathbb K^{n+1}\setminus\{0\})/\sim
\\&=& \{ \left[ x_0, \ldots, x_n \right]\ |\ \left[ \lambda x_0, \ldots, \lambda x_n \right] = [x_0, \ldots, x_n] \}
\\&=& \left[ x_0, \ldots, x_n ]\right]
$$
mit
$$
v\sim w &:\Leftrightarrow& \exists \lambda \in \mathbb K : v = \lambda w
\\(\mathbb K^{n+1}\setminus\{0\})/\sim &\xrightarrow{\cong}& \left\{ x\ \middle|\ x \text{ ist $1$-dimensionaler Unteraum in }\mathbb K^{n+1} \right\}
\\{[v]}&\mapsto&\{\lambda v\ |\ \lambda \in \mathbb K\}
$$
$$
\mathbb K \mathbb P^n &=& \{ \left[ [x_0 : \ldots : x_{n-1} : 1] \right]\ |\ x_0, \ldots, x_{n-1} \in \mathbb K \} \mathrel{\dot\cup} \{ [x_0 : \ldots : x_{n-1}]\ |\ [x_0 : \ldots x_{n-1}] \in \mathbb K \mathbb P^{n-1} \}
\\&=& \mathbb K^n \cup \mathbb K\mathbb P^{n-1}, \quad \mathbb K \mathbb P^0 = \{*\}
$$
$$
\mathbb R \mathbb P^1 = S^1/\{ \pm \id \} \cong S^1 \cong \R \mathrel{\dot\cup} \{*\}
$$
$$
\mathbb C\mathbb P^1 = \mathbb C \mathrel{\dot{cup}} \{ \infty \} \cong S^2 \quad \text{Riemannsphäre}
$$
TODO Bildchen 31
$$
\R\mathbb P^2 = \R^2 \mathrel{\dot\cup} \mathbb R\mathbb P^1
$$
TODO Bildchen 32
Also gilt:
$$
\operatorname{SO}(3) \cong \R\mathbb P^3
$$
Im folgenden sei $M$ ein Mannigfaltigkeit, zusammenhängend, $x_0 \in M$ beliebig.
** Definition: Schleifen, Homotopien
- Eine \emph{Schleife} $\gamma:[0,1]\to M$ an $x_0$ ist eine stetige Abbildung
$$
\gamma(0) = \gamma(1) = x_0
$$
TODO Bildchen 33
- Eine Schleife $\gamma\colon [0,1]\to M$ heißt \emph{nullhomotop} oder \emph{zusammenziehbar}, wenn
$$
\exists H: [0,1]\times[0,1] \to M
$$
mit
$$
H(0,t) &=& \gamma(t)
\\H(1, t)&=& x_0
$$
$H$ heißt \emph{Homotopie}
** Definition: einfach zusammenhängend
$M$ heißt einfach zusammenhängend, wenn alle Schleifen zusammenziehbar sind.
** Beispiel
- $\R$ ist einfach zusammenhängend.
- $S^n$ ist einfach zusammenhängend, $n\geqslant 2$
- $\R^n\setminus\{0\}$, $S^1\cong U(1)$ nicht einfach zusammenhängend
** Satz: Lie-Algebra $\rightsquigarrow$ Lie-Gruppe
Zu jeder (endliche dimensionalen) Lie-Algebra $\mathfrak g$ existiert eine eindeutige bestimmte einfach zusammenhängende Lie-Gruppe $G$ mit
$$
\operatorname{Lie}\cong \mathfrak g
$$
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TODO 2019-12-13 TODO 2019-12-13
TODO 2019-12-19 TODO 2019-12-19
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