Commit 224982ad authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2020-01-31

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%alexeev-custom
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,amscd,stmaryrd}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{easybmat}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Def}{Definition}[section]%
......@@ -12,14 +13,19 @@
\newtheorem{Satz}[Def]{Satz}%
\newtheorem{Kor}[Def]{Korollar}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Motivation}[Def]{Motivation}%
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\newtheorem*{Bsp*}{Beispiel}%
\newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiel}%
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% \usepackage[german]{certus}
......@@ -66,3 +72,18 @@
\newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{} \\ & #1 & \\ \text{} && \end{array} }
\newcommand{ \wlw }{\wedge\ldots\wedge}
%https://tex.stackexchange.com/questions/102460/underbraces-in-matrix-divided-in-blocks
\newcommand\undermat[2]{%
\makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace{\phantom{%
\begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{ #1 }}$}#2}
\newcommand\realSmashL[1]{\smash{\mathllap{#1}}}
\newcommand\realSmashC[1]{\smash{\mathclap{#1}}}
\newcommand\realSmashR[1]{\smash{\mathrlap{#1}}}
\newcommand\smashedUnderbrace[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand\actualSmashUnderbrace[2]{%
\realSmashR{\underbrace{#1}_{\realSmashC{#2}}} \phantom{#1}}
\newcommand\reboxSmashedUnderbraces[1]{%
{\renewcommand{\smashedUnderbrace}{\actualSmashUnderbrace}#1}%
\vphantom{#1}}
......@@ -5,7 +5,6 @@
% ref
%TODO Nummerierung
TODO 2020-01-31
TODO 2020-02-06
TODO 2020-02-07
......@@ -3935,3 +3934,167 @@ $$
(f^*(\diffd\varphi))(X) = \diffd\varphi(f_*X) = (f_*X)(\varphi) = X(f^*\varphi) = \diffd(f^*\varphi)(X) \Rightarrow \text{für $\Omega^0(N)$}
$$
Beobachtung: $\Omega^*(M)$ ist durch $\Omega^0(M)$, $\wedge$, $\diffd$ erzeugt [lokal folgt das aus Koordinatenausdrücken] $\Rightarrow$ wenn $f^*$ auf $\Omega^0(N)$ mit $\diffd$ kommutiert und Produkte respektiert, dann kommutiert es mit $\diffd$ auch auf ganz $\Omega^*(M)$
%2020-01-30 Übung
%2020-01-31
* Symplektische Formen
$V$ Vektorraum, $\omega\in\bw^2\bw^*$ schiefsymmetrische Bilinearform.
\begin{Frage}
Was ist die kanonische Gestalt einer schiefsymmetrischen Bilinearform?
\end{Frage}
\begin{Erinnerung}
$b\in V^*\otimes V^*$, $\rightsquigarrow \exists$ Basis $\mathcal E$, sodass:
$$
&
M_{\mathcal E}(b)
=A
=
\reboxSmashedUnderbraces{\left(
\begin{matrix}
\smashedUnderbrace{
\begin{matrix}
1 &&\\& \ddots &\\&& 1
\\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1
\\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1
\end{matrix}
}{r_{+}}
&
\smashedUnderbrace{
\begin{matrix}
\phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1
\\ -1 &&\\& \ddots &\\&& -1
\\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1
\end{matrix}
}{r_{-}}
&
\smashedUnderbrace{
\begin{matrix}
\phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1
\\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1
\\ 0 &&\\& \ddots &\\&& 0
\end{matrix}
}{r_{0}}
\end{matrix}
\right)}
&
$$
\end{Erinnerung}
$(r_{+}, r_{-}, r_0)$ ist \emph{Signatur} von $b$. Transformation $\Rightarrow S^TAS$
\begin{Bsp}
$$
q(x) = b(x,x) = x_1^2 + 10 x_1x_2 - 3x_2^2 + 6x_2x_3+x_3^2
$$
$$
\left[\begin{matrix} 1 & 5 & 0 \\ 5 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}\right]
\Rightarrow
\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -28 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}\right]
\Rightarrow
\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -27 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]
\Rightarrow
\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right]
$$
\end{Bsp}
Wie ist es mit schiefsymmetrischen Formen?
$$
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} =: J
$$
Sei $\omega\in \bw^2V^*$. Dann gibt es eine Basis $\mathcal E$ von $V$, sodass:
$$
M_{\mathcal E}(\omega) = \begin{pmatrix} J &&&&&\\&\ddots&&&&\\&&J&&&\\&&&0&&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0 \end{pmatrix}
$$
- (0) Induktion über $\dim V$
- (1) $\omega=0 \Rightarrow$ fertig
- (2) $\omega\neq 0 \Rightarrow v_1, v_2: \omega(v_1, v_2) = 1\Rightarrow \omega(v_2, v_1)= -1$, $\omega(v_1, v_2)= \omega(v_2, v_2)=0$
$$
\Rightarrow \operatorname{span}(v_1, v_2) =: U\subseteq V
$$
$\omega|_U$ hat Matrix $J$ in der Basis $v_1$, $v_2$
$$
U^\perp := \{ u\in V\mathrel| \omega(u,v) = 0\forall v\in U \} = \{ u\in V\mathrel|\omega(v_2, u) = 0 \}
$$
zu zeigen: $V = U\oplus U^\perp$
- $u\in U\cap U^\perp \Rightarrow u = \alpha v_1 + \beta v_2$, $0=\omega(u,v_1) = -\beta$, $0=\omega(u,v_2)=\alpha$
$\Rightarrow u=0 \Rightarrow U\cap U^\perp = \{0\}$
- $\dim U^\perp \geqslant \dim V-\dim U \Rightarrow \Rightarrow \dim U^\perp + \dim U\geqslant V$, ($\dim U^\perp$ durch 2 lineare Gleichungen bestimmt) $\rightsquigarrow$ Wende Induktionsvorraussetzung auf $U^\perp$ an.
\begin{Folgerung}
Wenn $\omega$ nicht ausgeartet ist, ist $\dim V = 2k$
\end{Folgerung}
\begin{Def}
Eine \emph{Symplektische Form} auf $V$ ist eine nicht ausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform $\omega\in\bw^2 V$.
Eine Basis $\mathcal E = (e_1, f_1, e_2, f_2, \ldots, e_k, f_k)$ mit $M_{\mathcal E}(\omega) = \operatorname{diag}(J,\ldots, J)$ heißt \emph{Symplektische Basis}.
\end{Def}
\begin{Ueb}
Sei $\omega\in \bw^2V$, $\dim V = 2k$. $\omega$ ist symplektische Form $\Leftrightarrow$ $\omega^k = \underbrace{\omega\wedge {\overset{\scriptscriptstyle{k\text{-mal}}}\ldots}\wedge\omega}_{\in \bw^{2k}V \cong \mathbb R} \neq0$
\end{Ueb}
- „ $\Rightarrow$$\omega$ symplektisch $\rightsquigarrow e_1, f_1, \ldots, e_k, f_k$ symplektisch
$$
\omega = \sum_{i=1}^k e_i^k \wedge f_i^* \Rightarrow \omega^k = e_1^* \wedge f_1^* \wedge\ldots\wedge e_k^* \wedge f_k^* \cdot k! \neq 0
$$
- „ $\Leftarrow$$\omega$ ausgeartet $\Rightarrow \omega = \sum_{i=1}^r e_i^* \wedge f_i^*$, $r<k \overset{\text{Schubfachprinzip}}\Rightarrow \omega^k = 0$
Wenn $B^* = (v_1^*, \ldots, v_{2k}^*)$ irgendeine Basis von $V^*$, die die Orientierung festlegt, gilt:
$$
\omega^k = k! \operatorname{Pf} (M_B(\omega)) v_1^*\wedge\ldots\wedge v_{2k}^*
$$
($\operatorname{Pf}$ ist die Pfaffsche Determinante)
--
$W$ Vektoraum über $\mathbb C$. Sei $\langle\cdot, \cdot\rangle$ Skalarprodukt auf $W$.
\emph{Reelifizierung} $W_\R$ von $W\rightsquigarrow$ betrachte als Vektorraum über $\R$ $\dim_\R W_\R = 2\cdot \dim_{\mathbb C}W$.
\begin{Frage}
\end{Frage}
- Welche Struktur gibt es auf $W_R$?
- Wie erkennt man, dass ein $\R$-Vektorraum eine Reelifizierung eines $\mathbb C$-Vektoraums ist?
\begin{Antwort}
Von $W$ vererbt $W_\R$ die Multiplikation mit $i$ als $\R$-lineare Abbildung:
\end{Antwort}
\begin{Def}
Eine \emph{komplexe Struktur} $I$ auf einem $\R$-Vektoraum $V$ ust eine $\R$-lineare Abbildung $I\colon V\to V$ mit $I^2= -\id_V$.
Insbesondere hat $W_R$ eine komplexe Struktur ($I(\omega) := i\cdot \omega$). Das Skalarprodukt von $W$ gibt auf $W_\R$ zwei Strukturen
$$
g(v,w) := \Re \langle v,w \rangle
\\ \omega(v,w) = \Im \langle v,w \rangle
$$
$g$ ist symetrische Bilinearform, $\omega$ ist eine schiefsymmetrische Bilinearform
\end{Def}
$$
g(Iv, w) = i\omega(Iv,w) = \langle iv, w \rangle = i\langle v, w \rangle = i(g(v,w) + i\omega(v,w))
\\&=& -\omega(v,w) + ig(v,w)
$$
$\Rightarrow$
$$
\Rightarrow g(Iv, w) &=& -\omega(v,w) \quad\quad (*)
\\ \omega(Iv, w) &=& g(v,w) \quad\quad (**)
$$
\begin{Behauptung}
$g$ ist Skalarprodukt, $\omega$ ist symplektische Form:
$$
g(v,v) = \langle v, v\rangle\geqslant 0, \quad = 0\Leftrightarrow v = 0
$$
$I$ invertierbar ($I^4 = \id_V$), $g$ nicht ausgeartet
\end{Behauptung}
$$
\omega(v,w) = 0 \forall w \Rightarrow g(Iv, w) = 0 \forall w \Rightarrow Iv = 0 \overset{I \text{invertierbar}} v=0
$$
\begin{Fazit}
Aus dem Skalarprodukt auf $W$ ist ein Tripel $(I,g,\omega)$ auf $W_\R$ entsanden, welches Kompatibilitätsbedingungen $(*)$, $(**)$ erfüllt, \emph{Köhler-Tripel}.
\end{Fazit}
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