Beobachtung: $\Omega^*(M)$ ist durch $\Omega^0(M)$, $\wedge$, $\diffd$ erzeugt [lokal folgt das aus Koordinatenausdrücken] $\Rightarrow$ wenn $f^*$ auf $\Omega^0(N)$ mit $\diffd$ kommutiert und Produkte respektiert, dann kommutiert es mit $\diffd$ auch auf ganz $\Omega^*(M)$
- $u\in U\cap U^\perp\Rightarrow u =\alpha v_1+\beta v_2$, $0=\omega(u,v_1)=-\beta$, $0=\omega(u,v_2)=\alpha$
$\Rightarrow u=0\Rightarrow U\cap U^\perp=\{0\}$
- $\dim U^\perp\geqslant\dim V-\dim U \Rightarrow\Rightarrow\dim U^\perp+\dim U\geqslant V$, ($\dim U^\perp$ durch 2 lineare Gleichungen bestimmt) $\rightsquigarrow$ Wende Induktionsvorraussetzung auf $U^\perp$ an.
\begin{Folgerung}
Wenn $\omega$ nicht ausgeartet ist, ist $\dim V =2k$
\end{Folgerung}
\begin{Def}
Eine \emph{Symplektische Form} auf $V$ ist eine nicht ausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform $\omega\in\bw^2 V$.
Eine Basis $\mathcal E =(e_1, f_1, e_2, f_2, \ldots, e_k, f_k)$ mit $M_{\mathcal E}(\omega)=\operatorname{diag}(J,\ldots, J)$ heißt \emph{Symplektische Basis}.
\end{Def}
\begin{Ueb}
Sei $\omega\in\bw^2V$, $\dim V =2k$. $\omega$ ist symplektische Form $\Leftrightarrow$$\omega^k =\underbrace{\omega\wedge{\overset{\scriptscriptstyle{k\text{-mal}}}\ldots}\wedge\omega}_{\in\bw^{2k}V \cong\mathbb R}\neq0$
($\operatorname{Pf}$ ist die Pfaffsche Determinante)
--
$W$ Vektoraum über $\mathbb C$. Sei $\langle\cdot, \cdot\rangle$ Skalarprodukt auf $W$.
\emph{Reelifizierung}$W_\R$ von $W\rightsquigarrow$ betrachte als Vektorraum über $\R$$\dim_\R W_\R=2\cdot\dim_{\mathbb C}W$.
\begin{Frage}
\end{Frage}
- Welche Struktur gibt es auf $W_R$?
- Wie erkennt man, dass ein $\R$-Vektorraum eine Reelifizierung eines $\mathbb C$-Vektoraums ist?
\begin{Antwort}
Von $W$ vererbt $W_\R$ die Multiplikation mit $i$ als $\R$-lineare Abbildung:
\end{Antwort}
\begin{Def}
Eine \emph{komplexe Struktur}$I$ auf einem $\R$-Vektoraum $V$ ust eine $\R$-lineare Abbildung $I\colon V\to V$ mit $I^2=-\id_V$.
Insbesondere hat $W_R$ eine komplexe Struktur ($I(\omega) := i\cdot\omega$). Das Skalarprodukt von $W$ gibt auf $W_\R$ zwei Strukturen
$$
g(v,w) :=\Re\langle v,w \rangle
\\\omega(v,w)=\Im\langle v,w \rangle
$$
$g$ ist symetrische Bilinearform, $\omega$ ist eine schiefsymmetrische Bilinearform
\end{Def}
$$
g(Iv, w)= i\omega(Iv,w)=\langle iv, w \rangle= i\langle v, w \rangle= i(g(v,w)+ i\omega(v,w))
\\&=&-\omega(v,w)+ ig(v,w)
$$
$\Rightarrow$
$$
\Rightarrow g(Iv, w)&=&-\omega(v,w)\quad\quad(*)
\\\omega(Iv, w)&=& g(v,w)\quad\quad(**)
$$
\begin{Behauptung}
$g$ ist Skalarprodukt, $\omega$ ist symplektische Form:
$$
g(v,v)=\langle v, v\rangle\geqslant0, \quad=0\Leftrightarrow v =0
$$
$I$ invertierbar ($I^4=\id_V$), $g$ nicht ausgeartet
\end{Behauptung}
$$
\omega(v,w)=0\forall w \Rightarrow g(Iv, w)=0\forall w \Rightarrow Iv =0\overset{I \text{invertierbar}} v=0
$$
\begin{Fazit}
Aus dem Skalarprodukt auf $W$ ist ein Tripel $(I,g,\omega)$ auf $W_\R$ entsanden, welches Kompatibilitätsbedingungen $(*)$, $(**)$ erfüllt, \emph{Köhler-Tripel}.
