From 224982ad5ba5bc457983b222969bb2a6032def41 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Harry Fuchs Date: Fri, 10 Apr 2020 07:17:10 +0200 Subject: [PATCH] 2020-01-31 --- diffgeoIII/custom.tex | 35 ++++++-- diffgeoIII/edit-this-file.tex | 165 +++++++++++++++++++++++++++++++++- 2 files changed, 192 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/diffgeoIII/custom.tex b/diffgeoIII/custom.tex index 8abbdf8..361370c 100644 --- a/diffgeoIII/custom.tex +++ b/diffgeoIII/custom.tex @@ -1,6 +1,7 @@ %alexeev-custom \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,amscd,stmaryrd} \usepackage{thmtools} +\usepackage{easybmat} \theoremstyle{definition} \newtheorem{Def}{Definition}[section]% @@ -12,14 +13,19 @@ \newtheorem{Satz}[Def]{Satz}% \newtheorem{Kor}[Def]{Korollar} \theoremstyle{remark} -\newtheorem{Motivation}[Def]{Motivation}% -\newtheorem{Notation}[Def]{Notation}% -\newtheorem{Idee}[Def]{Idee}% -\newtheorem{Frage}[Def]{Frage}% -\newtheorem{Bem}[Def]{Bemerkung}% -\newtheorem{Ueb}[Def]{Übung}% -\newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiel}% \newtheorem*{Bsp*}{Beispiel}% +\newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiel}% +\newtheorem{Ueb}[Def]{Übung}% +\newtheorem{Bem}[Def]{Bemerkung}% +\newtheorem{Frage}[Def]{Frage}% +\newtheorem{Antwort}[Def]{Antwort}% +\newtheorem{Idee}[Def]{Idee}% +\newtheorem{Notation}[Def]{Notation}% +\newtheorem{Motivation}[Def]{Motivation}% +\newtheorem{Erinnerung}[Def]{Erinnerung}% +\newtheorem{Folgerung}[Def]{Folgerung}% +\newtheorem{Behauptung}[Def]{Behauptung}% +\newtheorem{Fazit}[Def]{Fazit}% % \usepackage[german]{certus} @@ -66,3 +72,18 @@ \newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{ “ } \\ & #1 & \\ \text{ „ } && \end{array} } \newcommand{ \wlw }{\wedge\ldots\wedge} + +%https://tex.stackexchange.com/questions/102460/underbraces-in-matrix-divided-in-blocks +\newcommand\undermat[2]{% + \makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace{\phantom{% + \begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{ #1 }}$}#2} + +\newcommand\realSmashL[1]{\smash{\mathllap{#1}}} +\newcommand\realSmashC[1]{\smash{\mathclap{#1}}} +\newcommand\realSmashR[1]{\smash{\mathrlap{#1}}} +\newcommand\smashedUnderbrace[2]{\underbrace{#1}_{#2}} +\newcommand\actualSmashUnderbrace[2]{% + \realSmashR{\underbrace{#1}_{\realSmashC{#2}}} \phantom{#1}} +\newcommand\reboxSmashedUnderbraces[1]{% + {\renewcommand{\smashedUnderbrace}{\actualSmashUnderbrace}#1}% + \vphantom{#1}} diff --git a/diffgeoIII/edit-this-file.tex b/diffgeoIII/edit-this-file.tex index 21ce5d7..766228f 100644 --- a/diffgeoIII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoIII/edit-this-file.tex @@ -5,7 +5,6 @@ % ref %TODO Nummerierung -TODO 2020-01-31 TODO 2020-02-06 TODO 2020-02-07 @@ -3935,3 +3934,167 @@ $$(f^*(\diffd\varphi))(X) = \diffd\varphi(f_*X) = (f_*X)(\varphi) = X(f^*\varphi) = \diffd(f^*\varphi)(X) \Rightarrow \text{für \Omega^0(N)}$$ Beobachtung: $\Omega^*(M)$ ist durch $\Omega^0(M)$, $\wedge$, $\diffd$ erzeugt [lokal folgt das aus Koordinatenausdrücken] $\Rightarrow$ wenn $f^*$ auf $\Omega^0(N)$ mit $\diffd$ kommutiert und Produkte respektiert, dann kommutiert es mit $\diffd$ auch auf ganz $\Omega^*(M)$ + +%2020-01-30 Übung + +%2020-01-31 + +* Symplektische Formen + +$V$ Vektorraum, $\omega\in\bw^2\bw^*$ schiefsymmetrische Bilinearform. + +\begin{Frage} + Was ist die kanonische Gestalt einer schiefsymmetrischen Bilinearform? +\end{Frage} + +\begin{Erinnerung} + $b\in V^*\otimes V^*$, $\rightsquigarrow \exists$ Basis $\mathcal E$, sodass: + $$+ & + M_{\mathcal E}(b) + =A + = + \reboxSmashedUnderbraces{\left( + \begin{matrix} + \smashedUnderbrace{ + \begin{matrix} + 1 &&\\& \ddots &\\&& 1 + \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 + \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 + \end{matrix} + }{r_{+}} + & + \smashedUnderbrace{ + \begin{matrix} + \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 + \\ -1 &&\\& \ddots &\\&& -1 + \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 + \end{matrix} + }{r_{-}} + & + \smashedUnderbrace{ + \begin{matrix} + \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 + \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 + \\ 0 &&\\& \ddots &\\&& 0 + \end{matrix} + }{r_{0}} + \end{matrix} + \right)} + & +$$ +\end{Erinnerung} +$(r_{+}, r_{-}, r_0)$ ist \emph{Signatur} von $b$. Transformation $\Rightarrow S^TAS$ + +\begin{Bsp} + $$+ q(x) = b(x,x) = x_1^2 + 10 x_1x_2 - 3x_2^2 + 6x_2x_3+x_3^2 +$$ + $$+ \left[\begin{matrix} 1 & 5 & 0 \\ 5 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}\right] + \Rightarrow + \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -28 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}\right] + \Rightarrow + \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -27 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] + \Rightarrow + \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right] +$$ +\end{Bsp} + +Wie ist es mit schiefsymmetrischen Formen? +$$+ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} =: J +$$ +Sei $\omega\in \bw^2V^*$. Dann gibt es eine Basis $\mathcal E$ von $V$, sodass: +$$+ M_{\mathcal E}(\omega) = \begin{pmatrix} J &&&&&\\&\ddots&&&&\\&&J&&&\\&&&0&&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0 \end{pmatrix} +$$ +- (0) Induktion über $\dim V$ +- (1) $\omega=0 \Rightarrow$ fertig +- (2) $\omega\neq 0 \Rightarrow v_1, v_2: \omega(v_1, v_2) = 1\Rightarrow \omega(v_2, v_1)= -1$, $\omega(v_1, v_2)= \omega(v_2, v_2)=0$ + $$+ \Rightarrow \operatorname{span}(v_1, v_2) =: U\subseteq V +$$ + $\omega|_U$ hat Matrix $J$ in der Basis $v_1$, $v_2$ + $$+ U^\perp := \{ u\in V\mathrel| \omega(u,v) = 0\forall v\in U \} = \{ u\in V\mathrel|\omega(v_2, u) = 0 \} +$$ + zu zeigen: $V = U\oplus U^\perp$ + - $u\in U\cap U^\perp \Rightarrow u = \alpha v_1 + \beta v_2$, $0=\omega(u,v_1) = -\beta$, $0=\omega(u,v_2)=\alpha$ + $\Rightarrow u=0 \Rightarrow U\cap U^\perp = \{0\}$ + - $\dim U^\perp \geqslant \dim V-\dim U \Rightarrow \Rightarrow \dim U^\perp + \dim U\geqslant V$, ($\dim U^\perp$ durch 2 lineare Gleichungen bestimmt) $\rightsquigarrow$ Wende Induktionsvorraussetzung auf $U^\perp$ an. + +\begin{Folgerung} + Wenn $\omega$ nicht ausgeartet ist, ist $\dim V = 2k$ +\end{Folgerung} + +\begin{Def} + Eine \emph{Symplektische Form} auf $V$ ist eine nicht ausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform $\omega\in\bw^2 V$. + Eine Basis $\mathcal E = (e_1, f_1, e_2, f_2, \ldots, e_k, f_k)$ mit $M_{\mathcal E}(\omega) = \operatorname{diag}(J,\ldots, J)$ heißt \emph{Symplektische Basis}. +\end{Def} + +\begin{Ueb} + Sei $\omega\in \bw^2V$, $\dim V = 2k$. $\omega$ ist symplektische Form $\Leftrightarrow$ $\omega^k = \underbrace{\omega\wedge {\overset{\scriptscriptstyle{k\text{-mal}}}\ldots}\wedge\omega}_{\in \bw^{2k}V \cong \mathbb R} \neq0$ +\end{Ueb} + +- „ $\Rightarrow$ “ $\omega$ symplektisch $\rightsquigarrow e_1, f_1, \ldots, e_k, f_k$ symplektisch + $$+ \omega = \sum_{i=1}^k e_i^k \wedge f_i^* \Rightarrow \omega^k = e_1^* \wedge f_1^* \wedge\ldots\wedge e_k^* \wedge f_k^* \cdot k! \neq 0 +$$ +- „ $\Leftarrow$ “ $\omega$ ausgeartet $\Rightarrow \omega = \sum_{i=1}^r e_i^* \wedge f_i^*$, \$r