%alexeev-custom %alexeev-custom \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,amscd,stmaryrd} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,amscd,stmaryrd} \usepackage{thmtools} \usepackage{thmtools} \usepackage{easybmat} \theoremstyle{definition} \theoremstyle{definition} \newtheorem{Def}{Definition}[section]% \newtheorem{Def}{Definition}[section]% ... @@ -12,14 +13,19 @@ ... @@ -12,14 +13,19 @@ \newtheorem{Satz}[Def]{Satz}% \newtheorem{Satz}[Def]{Satz}% \newtheorem{Kor}[Def]{Korollar} \newtheorem{Kor}[Def]{Korollar} \theoremstyle{remark} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Motivation}[Def]{Motivation}% \newtheorem{Notation}[Def]{Notation}% \newtheorem{Idee}[Def]{Idee}% \newtheorem{Frage}[Def]{Frage}% \newtheorem{Bem}[Def]{Bemerkung}% \newtheorem{Ueb}[Def]{Übung}% \newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiel}% \newtheorem*{Bsp*}{Beispiel}% \newtheorem*{Bsp*}{Beispiel}% \newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiel}% \newtheorem{Ueb}[Def]{Übung}% \newtheorem{Bem}[Def]{Bemerkung}% \newtheorem{Frage}[Def]{Frage}% \newtheorem{Antwort}[Def]{Antwort}% \newtheorem{Idee}[Def]{Idee}% \newtheorem{Notation}[Def]{Notation}% \newtheorem{Motivation}[Def]{Motivation}% \newtheorem{Erinnerung}[Def]{Erinnerung}% \newtheorem{Folgerung}[Def]{Folgerung}% \newtheorem{Behauptung}[Def]{Behauptung}% \newtheorem{Fazit}[Def]{Fazit}% % \usepackage[german]{certus} % \usepackage[german]{certus} ... @@ -66,3 +72,18 @@ ... @@ -66,3 +72,18 @@ \newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{ “ } \\ & #1 & \\ \text{ „ } && \end{array} } \newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{ “ } \\ & #1 & \\ \text{ „ } && \end{array} } \newcommand{ \wlw }{\wedge\ldots\wedge} \newcommand{ \wlw }{\wedge\ldots\wedge} %https://tex.stackexchange.com/questions/102460/underbraces-in-matrix-divided-in-blocks \newcommand\undermat[2]{% \makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace{\phantom{% \begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{ #1 }}$}#2} \newcommand\realSmashL[1]{\smash{\mathllap{#1}}} \newcommand\realSmashC[1]{\smash{\mathclap{#1}}} \newcommand\realSmashR[1]{\smash{\mathrlap{#1}}} \newcommand\smashedUnderbrace[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand\actualSmashUnderbrace[2]{% \realSmashR{\underbrace{#1}_{\realSmashC{#2}}} \phantom{#1}} \newcommand\reboxSmashedUnderbraces[1]{% {\renewcommand{\smashedUnderbrace}{\actualSmashUnderbrace}#1}% \vphantom{#1}}
 ... @@ -5,7 +5,6 @@ ... @@ -5,7 +5,6 @@ % ref % ref %TODO Nummerierung %TODO Nummerierung TODO 2020-01-31 TODO 2020-02-06 TODO 2020-02-06 TODO 2020-02-07 TODO 2020-02-07 ... @@ -3935,3 +3934,167 @@ $$... @@ -3935,3 +3934,167 @@$$ (f^*(\diffd\varphi))(X) = \diffd\varphi(f_*X) = (f_*X)(\varphi) = X(f^*\varphi) = \diffd(f^*\varphi)(X) \Rightarrow \text{für $\Omega^0(N)$} (f^*(\diffd\varphi))(X) = \diffd\varphi(f_*X) = (f_*X)(\varphi) = X(f^*\varphi) = \diffd(f^*\varphi)(X) \Rightarrow \text{für $\Omega^0(N)$}  Beobachtung: $\Omega^*(M)$ ist durch $\Omega^0(M)$, $\wedge$, $\diffd$ erzeugt [lokal folgt das aus Koordinatenausdrücken] $\Rightarrow$ wenn $f^*$ auf $\Omega^0(N)$ mit $\diffd$ kommutiert und Produkte respektiert, dann kommutiert es mit $\diffd$ auch auf ganz $\Omega^*(M)$ Beobachtung: $\Omega^*(M)$ ist durch $\Omega^0(M)$, $\wedge$, $\diffd$ erzeugt [lokal folgt das aus Koordinatenausdrücken] $\Rightarrow$ wenn $f^*$ auf $\Omega^0(N)$ mit $\diffd$ kommutiert und Produkte respektiert, dann kommutiert es mit $\diffd$ auch auf ganz $\Omega^*(M)$ %2020-01-30 Übung %2020-01-31 * Symplektische Formen $V$ Vektorraum, $\omega\in\bw^2\bw^*$ schiefsymmetrische Bilinearform. \begin{Frage} Was ist die kanonische Gestalt einer schiefsymmetrischen Bilinearform? \end{Frage} \begin{Erinnerung} $b\in V^*\otimes V^*$, $\rightsquigarrow \exists$ Basis $\mathcal E$, sodass: $$& M_{\mathcal E}(b) =A = \reboxSmashedUnderbraces{\left( \begin{matrix} \smashedUnderbrace{ \begin{matrix} 1 &&\\& \ddots &\\&& 1 \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 \end{matrix} }{r_{+}} & \smashedUnderbrace{ \begin{matrix} \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 \\ -1 &&\\& \ddots &\\&& -1 \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 \end{matrix} }{r_{-}} & \smashedUnderbrace{ \begin{matrix} \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 \\ \phantom1 &&\\& \phantom\ddots &\\&& \phantom1 \\ 0 &&\\& \ddots &\\&& 0 \end{matrix} }{r_{0}} \end{matrix} \right)} &$$ \end{Erinnerung} $(r_{+}, r_{-}, r_0)$ ist \emph{Signatur} von $b$. Transformation $\Rightarrow S^TAS$ \begin{Bsp} $$q(x) = b(x,x) = x_1^2 + 10 x_1x_2 - 3x_2^2 + 6x_2x_3+x_3^2$$ $$\left[\begin{matrix} 1 & 5 & 0 \\ 5 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}\right] \Rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -28 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}\right] \Rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -27 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \Rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right]$$ \end{Bsp} Wie ist es mit schiefsymmetrischen Formen? $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} =: J$$ Sei $\omega\in \bw^2V^*$. Dann gibt es eine Basis $\mathcal E$ von $V$, sodass: $$M_{\mathcal E}(\omega) = \begin{pmatrix} J &&&&&\\&\ddots&&&&\\&&J&&&\\&&&0&&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0 \end{pmatrix}$$ - (0) Induktion über $\dim V$ - (1) $\omega=0 \Rightarrow$ fertig - (2) $\omega\neq 0 \Rightarrow v_1, v_2: \omega(v_1, v_2) = 1\Rightarrow \omega(v_2, v_1)= -1$, $\omega(v_1, v_2)= \omega(v_2, v_2)=0$ $$\Rightarrow \operatorname{span}(v_1, v_2) =: U\subseteq V$$ $\omega|_U$ hat Matrix $J$ in der Basis $v_1$, $v_2$ $$U^\perp := \{ u\in V\mathrel| \omega(u,v) = 0\forall v\in U \} = \{ u\in V\mathrel|\omega(v_2, u) = 0 \}$$ zu zeigen: $V = U\oplus U^\perp$ - $u\in U\cap U^\perp \Rightarrow u = \alpha v_1 + \beta v_2$, $0=\omega(u,v_1) = -\beta$, $0=\omega(u,v_2)=\alpha$ $\Rightarrow u=0 \Rightarrow U\cap U^\perp = \{0\}$ - $\dim U^\perp \geqslant \dim V-\dim U \Rightarrow \Rightarrow \dim U^\perp + \dim U\geqslant V$, ($\dim U^\perp$ durch 2 lineare Gleichungen bestimmt) $\rightsquigarrow$ Wende Induktionsvorraussetzung auf $U^\perp$ an. \begin{Folgerung} Wenn $\omega$ nicht ausgeartet ist, ist $\dim V = 2k$ \end{Folgerung} \begin{Def} Eine \emph{Symplektische Form} auf $V$ ist eine nicht ausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform $\omega\in\bw^2 V$. Eine Basis $\mathcal E = (e_1, f_1, e_2, f_2, \ldots, e_k, f_k)$ mit $M_{\mathcal E}(\omega) = \operatorname{diag}(J,\ldots, J)$ heißt \emph{Symplektische Basis}. \end{Def} \begin{Ueb} Sei $\omega\in \bw^2V$, $\dim V = 2k$. $\omega$ ist symplektische Form $\Leftrightarrow$ $\omega^k = \underbrace{\omega\wedge {\overset{\scriptscriptstyle{k\text{-mal}}}\ldots}\wedge\omega}_{\in \bw^{2k}V \cong \mathbb R} \neq0$ \end{Ueb} - „ $\Rightarrow$ “ $\omega$ symplektisch $\rightsquigarrow e_1, f_1, \ldots, e_k, f_k$ symplektisch $$\omega = \sum_{i=1}^k e_i^k \wedge f_i^* \Rightarrow \omega^k = e_1^* \wedge f_1^* \wedge\ldots\wedge e_k^* \wedge f_k^* \cdot k! \neq 0$$ - „ $\Leftarrow$ “ $\omega$ ausgeartet $\Rightarrow \omega = \sum_{i=1}^r e_i^* \wedge f_i^*$, \$r