Liebe Gitlab-Nutzer, lieber Gitlab-Nutzer, es ist nun möglich sich mittels des ZIH-Logins/LDAP an unserem Dienst anzumelden. Ein Anmelden über dieses erzeugt ein neues Konto. Das alte Konto ist über den Reiter "Standard" erreichbar. Die Administratoren

Dear Gitlab user, it is now possible to log in to our service using the ZIH login/LDAP. Logging in via this will create a new account. The old account can be accessed via the "Standard" tab. The administrators

Commit 22cd998c authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs
Browse files

2019-05-21

parent 0f81bf68
Pipeline #2324 passed with stage
in 19 minutes and 40 seconds
......@@ -1641,7 +1641,7 @@ Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega = P\intd x + Q \intd y$
$$
\intd \omega &=& \left( \frac{\partial P}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd x
\\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
\\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial G}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
\\(&=& \intd P\wedge \intd x + \intd Q \wedge dy)
\\&=& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x \wedge \intd y
$$
......@@ -2396,3 +2396,237 @@ $\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$
$\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$
Nun ist $\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins.
%2019-05-21
letzes Mal: Beweis des Satzes über Existenz einer Teilung der Eins.
* Satz
Jede Mannigfaltigkeit $M$ ist parakompakt. d.h. für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine untergeordnete Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}$ (sogar abzählbar)
Standardanwendungmuster: haben eine Konstruktion innerhalb der Karte $(U,x)$ Um eine Konstruktion global auf $M$ zu bekommen, machen wir es innerhalb jeder Karte $\{ U_\alpha \} = \{ (U,x) \mathrel| (U,x) \text{ Karte} \}$ und verkleben es mit Hilfe der Teilung der Eins.
(Beispiel: Existenz von orientierten Karten $\Leftrightarrow$ Orientierbarkeit)
Erinnerung: $M$ orientierbar $\overset{\det}\Leftrightarrow$ $\exists$ Volumenform (nirgends verschwindent) $\omega \in \Omega^{\dim M}(M)$
Beweis: $\omega_1$, $\omega_2$ Volumenform $\Rightarrow$ $\exists f\in C^\infty(M)$ nirgends verschwindend mit $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ (weil $\dim \bigwedge^n T^*_p M =1$)
Wenn $M$ zshgoh. ?? $\Rightarrow$ $f>0$ oder $f<0$
** Definition
Zwei Volumenformen $\omega_1$, $\omega_2$ definieren die gleiche Orientierung von $M$, wenn $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ für ein $f\in C^\infty(M, (0,\infty))$
$M$ heißt orientiert, wenn eine entsprechende Äquivalenzklasse von Volumenformen fixiert ist.
** Definition
Die Standardorientierung von $[0,1]^n$ ist gegeben durch die Äquivalenzklasse von $\diffd u^1\wedge \ldots\wedge u^n$
** Definition
Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, von Dimension $n$, $\omega$ eine entsprechende Volumenform:
Ein $n$-Würfel $c\colon[0,1]^n \to M$ heißt orientiert, wenn $c^*\omega = f(u)\cdot \diffd u^1\wedge \ldots\wedge \diffd u^n$ mit $f(u)>0$ $\forall u\in [0,1]^n$
** Lemma (Koordinateninvarianz der Integration)
Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ $(\dim M=n)$, $c_1$, $c_2\colon[0,1]^n \to M$ orientierte Würfel. Dann gilt: wenn $\operatorname{supp}\omega\subseteq c_1\left( [0,1]^n \right)\cap \left( [0,1]^n \right)$, gilt
$$
\int_{c_1} \omega = \int_{c_2}\omega
$$
Beweis:
Betrachte die Verknüpfung $c^{-1}_2\circ c_1\colon [0,1]^n\to [0,1]^n$
Sie ist orientierungserhaltend
$$
\int_{c_2} \omega \overset{ \text{Invarianz*} }= \int_{c_2\circ c_2^{-1}\circ c_1} \omega = \int_{c_1}\omega
$$
%TODO *
*der Integration ?? orientierter Abbildungen
** Definition
Sei $\omega\in \Omega^n (M)$ ($n = \dim(M)$) eine $n$-Form s.d. $\exists c\colon[0,1]^n\to M$ orientiert mit $\operatorname{supp}\omega\subseteq c\left( [0,1]^n \right)$
Definiere:
$$
\int_M \omega := \int_c \omega
$$
%TODO Bildchen: Hase I
%TODO irgendwann später verändertes Bildchen
Nach dem Lemma ist es wohldefiniert
Bemerkung:
Insbesondere ist $\int_M \omega$ nur definiert, wenn $M$ orientiert ist.
** Definition
Sei $\omega \in Omega^n(M)$ mit kompakten Träger. Sei jetzt $\{ U_\alpha \}_\alpha$ eine Überdeckung von $M$ durch offene Mengen, s.d. für jedes $\alpha$ ein orientierter Würfel $c_\alpha\colon[0,1]^n\to M$ existiert mit $U_\alpha \supseteq c_\alpha([0,1]^n)$
(solche Überdeckung existiert z.B. weil man die Karten betrachten kann)
Sei $\{ \varphi_k \}_{k\in \mathbb N}$ die untergeordnete Teilung der Eins.
Wir definieren:
$$
\int_M \omega := \sum_{k\in N} \underbrace{ \int_M \varphi_K \cdot \omega}_{\text{(vorherige Definition)}}
$$
Beachte:
die Summe (oben) hat stets nur endlich viele Terme.
Bemerkung:
$\int_M \omega$ ist wohldefiniert: wenn $\{ V_\beta \}$ eine andere Überdeckung mit entsprechender Teilung der Eins $\{ \psi_l \}$ ist, gilt:
$$
\underbrace{ \sum_{k\in \mathbb N}\int_{M} \varphi_k \cdot \omega} &=& \sum_{k\in \mathbb N}\sum_{l\in \mathbb N} \int_M \varphi_k \psi_l \cdot \omega
\\&\overset{\text{Summen endlich}}=& \sum_{l\in\mathbb N}\sum_{k\in \mathbb N} \int_M \psi_l \varphi_k\cdot \omega
\\&=& \underbrace{ \sum_{l\in\mathbb N} \int_M \psi_l \cdot \omega }
$$
Nach den üblichen Eigenschaften des Integrals gilt:
$$
\int_M (\omega_1+\omega_2) = \int_M \omega_1 + \int_M \omega_2, \quad \int_M \lambda \omega = \lambda \int_M \omega, \quad \lambda \in \mathbb R
$$
wenn $\omega = f\cdot \operatorname{vol}$ mit $f\geqslant0$, gilt
$$
\int_M \omega \geqslant 0
$$
** Bemerkung
Folgende Beobachtung erleichtern die Integration
1. Auf $M$ ist der Begriff einer Nullmenge wohldefiniert: $A\subseteq M$ ist ene Nullmengem, wenn $x(A\cap U) \subseteq \mathbb R^n$ eine Nullmenge für jede Kante $(U,x)$. Wie in $\mathbb R^n$ ignoriert man Nullmengen bei Integration.
2. Wenn $M$ bis auf eine Nullmenge durch endlich viele Karten überdeckt wird. Kann man Integration ohne Teilung der Eins durchführen:
$$
M = \bigsqcup_{i=1}^k U_i \cup \underbrace{A}_{\text{Nullmenge}}
$$
dann gilt:
$$
\int_M \omega = \sum_{i=1}^k \int_{ \underbrace{ U_i }_{ \text{das kann man in Koordinaten ausrechnen} } }\omega
$$
%TODO Bildchen Schuppen dragon
Beweis:
Nach (1) kann man $A$ bei Integration ignorieren, $U_i \subset M$ sind selbst Mannigfaltigkeiten. Wähle jetzt Teilung der Eins $\psi_{i,l}$ für $U_i$'s, dann gilt:
$$
\int_M \omega &\overset{(1)}=& \sum_{i=1}^k \sum_{l\in \mathbb N} \int_M\psi_{i,l} \omega
\\&=& \sum_{i=1}^k \int_{U_i} \omega
$$
Beispiel:
$M=S^1$,
%TODO Bildchen: nurn Kreis
$$
x^{-1} \colon (0,2\pi) \to S^1, \quad \theta \mapsto (\cos \theta, \sin \theta)
$$
$$
U:= x^{-1}\colon((0,2\pi)) = S^1 \setminus \{ \underbrace{ (1,0) }_{\text{Nullmenge}} \}
$$
D.h. wenn $\omega \in \Omega^1(S^1)$, gilt $\omega|_U = f(\theta)\intd \theta$
$$
\rightsquigarrow_{S'} \omega = \int_0^{2\pi} f(\theta)\intd \theta
$$
Analog:
jedes $\omega\in \Omega^2(S^2)$ hat die Gestalt
$$
\omega = f(\theta, \varphi) \intd \theta\wedge\diffd \varphi
$$
in sphärischen Koordinaten,
$$
\int_{S^2} &=& \int_{S^2} f(\theta,\varphi)\intd\theta \wedge \intd \varphi
\\&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\pi} f(\theta, \varphi) \intd \theta \intd \varphi
$$
Nächstes Ziel:
Stokes-Formel:
Errinnerung:
lokale Version:
$$
\int_c\diffd\omega = \int_{\partial c}\omega
$$
globale Version:
$$
\int_M\diffd\omega = \int_{\partial M} \omega
$$
hier brauchen wir Mannigfaltigkeit mit Rand zu verstehen
Bemerkung:
Wir werden $\partial M = \emptyset$ zulassen (Mannigfaltigkeit ohne Rand)
** Definition
Eine topologische $n$-Mannigfaltigkeit mit Rand $(M,\partial)$ ist ein zweitabzählbarer Hausdorffraum $M$ mit der Eigenschaft:
für jedes $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ und einen Homöirphismus
$$
x\colon U\to x(U)
$$
wobei $x(U)$ eine offene Teilmenge in $\mathbb R^n$ oder
$$
H^n := \{ u\in \mathbb R^n \mathrel| u^n \geqslant 0 \}
$$
und $x(p)=0$
Der Rand $\partial M$ besteht genau aus den Punkten, deren Umgebung unter einer Karte nach $H^n$ geschickt wird. Eine differenzierbare Struktur definiert man wie bei normalen Mannigfaltigkeiten.
Beispiel:
$M=\overline B(0,1) \subseteq\mathbb R^n$ ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M = S^{n-1}$
%TODO Bilchen Kugel
** Beweis:
$\partial M$ ist eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n-1$: wann $p\in \partial M$, ist $U\cap \partial M$ eine Umgebung von $p$ in $\partial M$
$$
x\colon (U\cap \partial M) \to x(U\cap \partial M) \subset \partial H^n = \mathbb R^{n-1}
$$
ist eine Karte für $\partial M$ an $p$
Nächstes mal: um der Stokes-Formel Sinn zu geben werden wir für orientiertes $M$ eine Orientierung auf $\partial M$ angeben.
Markdown is supported
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment