2019-05-21

diffgeoII/edit-this-file.tex

@@ -1641,7 +1641,7 @@ Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega = P\intd x + Q \intd y$
 
 $$
   \intd \omega &=& \left( \frac{\partial P}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd x
-  \\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
+  \\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial G}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
   \\(&=& \intd P\wedge \intd x + \intd Q \wedge dy)
   \\&=& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x \wedge \intd y
 $$
@@ -2396,3 +2396,237 @@ $\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$
 $\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$
 
 Nun ist $\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins.
+
+%2019-05-21
+
+letzes Mal: Beweis des Satzes über Existenz einer Teilung der Eins.
+
+* Satz
+
+Jede Mannigfaltigkeit $M$ ist parakompakt. d.h. für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine untergeordnete Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}$ (sogar abzählbar)
+
+Standardanwendungmuster: haben eine Konstruktion innerhalb der Karte $(U,x)$ Um eine Konstruktion global auf $M$ zu bekommen, machen wir es innerhalb jeder Karte $\{ U_\alpha \} = \{ (U,x) \mathrel| (U,x) \text{ Karte} \}$ und verkleben es mit Hilfe der Teilung der Eins.
+
+(Beispiel: Existenz von orientierten Karten $\Leftrightarrow$ Orientierbarkeit)
+
+Erinnerung: $M$ orientierbar $\overset{\det}\Leftrightarrow$ $\exists$ Volumenform (nirgends verschwindent) $\omega \in \Omega^{\dim M}(M)$
+
+Beweis: $\omega_1$, $\omega_2$ Volumenform $\Rightarrow$ $\exists f\in C^\infty(M)$ nirgends verschwindend mit $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ (weil $\dim \bigwedge^n T^*_p M =1$)
+
+Wenn $M$ zshgoh. ?? $\Rightarrow$ $f>0$ oder $f<0$
+
+** Definition
+
+Zwei Volumenformen $\omega_1$, $\omega_2$ definieren die gleiche Orientierung von $M$, wenn $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ für ein $f\in C^\infty(M, (0,\infty))$
+
+$M$ heißt orientiert, wenn eine entsprechende Äquivalenzklasse von Volumenformen fixiert ist.
+
+** Definition
+
+Die Standardorientierung von $[0,1]^n$ ist gegeben durch die Äquivalenzklasse von $\diffd u^1\wedge \ldots\wedge u^n$
+
+** Definition
+
+Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, von Dimension $n$, $\omega$ eine entsprechende Volumenform:
+
+Ein $n$-Würfel $c\colon[0,1]^n \to M$ heißt orientiert, wenn $c^*\omega = f(u)\cdot \diffd u^1\wedge \ldots\wedge \diffd u^n$ mit $f(u)>0$ $\forall u\in [0,1]^n$
+
+** Lemma (Koordinateninvarianz der Integration)
+
+Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ $(\dim M=n)$, $c_1$, $c_2\colon[0,1]^n \to M$ orientierte Würfel. Dann gilt: wenn $\operatorname{supp}\omega\subseteq c_1\left( [0,1]^n \right)\cap \left( [0,1]^n \right)$, gilt
+
+$$
+  \int_{c_1} \omega = \int_{c_2}\omega
+$$
+
+Beweis:
+
+Betrachte die Verknüpfung $c^{-1}_2\circ c_1\colon [0,1]^n\to [0,1]^n$
+
+Sie ist orientierungserhaltend
+
+$$
+  \int_{c_2} \omega \overset{ \text{Invarianz*} }= \int_{c_2\circ c_2^{-1}\circ c_1} \omega = \int_{c_1}\omega
+$$
+%TODO *
+*der Integration ?? orientierter Abbildungen
+
+** Definition
+
+Sei $\omega\in \Omega^n (M)$ ($n = \dim(M)$) eine $n$-Form s.d. $\exists c\colon[0,1]^n\to M$ orientiert mit $\operatorname{supp}\omega\subseteq c\left( [0,1]^n \right)$
+
+Definiere:
+
+$$
+  \int_M \omega := \int_c \omega
+$$
+
+%TODO Bildchen: Hase I
+%TODO irgendwann später verändertes Bildchen
+Nach dem Lemma ist es wohldefiniert
+
+Bemerkung:
+
+Insbesondere ist $\int_M \omega$ nur definiert, wenn $M$ orientiert ist.
+
+** Definition
+
+Sei $\omega \in Omega^n(M)$ mit kompakten Träger. Sei jetzt $\{ U_\alpha \}_\alpha$ eine Überdeckung von $M$ durch offene Mengen, s.d. für jedes $\alpha$ ein orientierter Würfel $c_\alpha\colon[0,1]^n\to M$ existiert mit $U_\alpha \supseteq c_\alpha([0,1]^n)$
+(solche Überdeckung existiert z.B. weil man die Karten betrachten kann)
+
+Sei $\{ \varphi_k \}_{k\in \mathbb N}$ die untergeordnete Teilung der Eins.
+
+Wir definieren:
+
+$$
+  \int_M \omega := \sum_{k\in N} \underbrace{ \int_M \varphi_K \cdot \omega}_{\text{(vorherige Definition)}}
+$$
+
+Beachte:
+
+die Summe (oben) hat stets nur endlich viele Terme.
+
+Bemerkung:
+
+$\int_M \omega$ ist wohldefiniert: wenn $\{ V_\beta \}$ eine andere Überdeckung mit entsprechender Teilung der Eins $\{ \psi_l \}$ ist, gilt:
+
+$$
+  \underbrace{ \sum_{k\in \mathbb N}\int_{M} \varphi_k \cdot \omega} &=& \sum_{k\in \mathbb N}\sum_{l\in \mathbb N} \int_M \varphi_k \psi_l \cdot \omega
+  \\&\overset{\text{Summen endlich}}=& \sum_{l\in\mathbb N}\sum_{k\in \mathbb N} \int_M \psi_l \varphi_k\cdot \omega
+  \\&=& \underbrace{ \sum_{l\in\mathbb N} \int_M \psi_l \cdot \omega }
+$$
+
+Nach den üblichen Eigenschaften des Integrals gilt:
+
+$$
+  \int_M (\omega_1+\omega_2) = \int_M \omega_1 + \int_M \omega_2, \quad \int_M \lambda \omega = \lambda \int_M \omega, \quad \lambda \in \mathbb R
+$$
+
+wenn $\omega = f\cdot \operatorname{vol}$ mit $f\geqslant0$, gilt
+
+$$
+  \int_M \omega \geqslant 0
+$$
+
+** Bemerkung
+
+Folgende Beobachtung erleichtern die Integration
+ 1. Auf $M$ ist der Begriff einer Nullmenge wohldefiniert: $A\subseteq M$ ist ene Nullmengem, wenn $x(A\cap U) \subseteq \mathbb R^n$ eine Nullmenge für jede Kante $(U,x)$. Wie in $\mathbb R^n$ ignoriert man Nullmengen bei Integration.
+
+ 2. Wenn $M$ bis auf eine Nullmenge durch endlich viele Karten überdeckt wird. Kann man Integration ohne Teilung der Eins durchführen:
+  $$
+    M = \bigsqcup_{i=1}^k U_i \cup \underbrace{A}_{\text{Nullmenge}}
+  $$
+  dann gilt:
+  
+  $$
+    \int_M \omega = \sum_{i=1}^k \int_{ \underbrace{ U_i }_{ \text{das kann man in Koordinaten ausrechnen} } }\omega
+  $$
+
+%TODO Bildchen Schuppen dragon
+
+Beweis:
+
+Nach (1) kann man $A$ bei Integration ignorieren, $U_i \subset M$ sind selbst Mannigfaltigkeiten. Wähle jetzt Teilung der Eins $\psi_{i,l}$ für $U_i$'s, dann gilt:
+
+$$
+  \int_M \omega &\overset{(1)}=& \sum_{i=1}^k \sum_{l\in \mathbb N} \int_M\psi_{i,l} \omega
+  \\&=& \sum_{i=1}^k \int_{U_i} \omega
+$$
+
+Beispiel:
+
+$M=S^1$, 
+
+%TODO Bildchen: nurn Kreis
+
+$$
+  x^{-1} \colon (0,2\pi) \to S^1, \quad \theta \mapsto (\cos \theta, \sin \theta)
+$$
+
+$$
+  U:= x^{-1}\colon((0,2\pi)) = S^1 \setminus \{ \underbrace{ (1,0) }_{\text{Nullmenge}} \}
+$$
+
+D.h. wenn $\omega \in \Omega^1(S^1)$, gilt $\omega|_U = f(\theta)\intd \theta$
+
+$$
+  \rightsquigarrow_{S'} \omega = \int_0^{2\pi} f(\theta)\intd \theta
+$$
+
+Analog:
+
+jedes $\omega\in \Omega^2(S^2)$  hat die Gestalt
+
+$$
+  \omega = f(\theta, \varphi) \intd \theta\wedge\diffd \varphi
+$$
+
+in sphärischen Koordinaten,
+
+$$
+  \int_{S^2} &=& \int_{S^2} f(\theta,\varphi)\intd\theta \wedge \intd \varphi
+  \\&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\pi} f(\theta, \varphi) \intd \theta \intd \varphi 
+$$
+
+Nächstes Ziel:
+
+Stokes-Formel:
+
+Errinnerung:
+
+lokale Version:
+
+$$
+  \int_c\diffd\omega = \int_{\partial c}\omega
+$$
+
+globale Version:
+
+$$
+  \int_M\diffd\omega = \int_{\partial M} \omega
+$$
+
+hier brauchen wir Mannigfaltigkeit mit Rand zu verstehen
+
+Bemerkung:
+
+Wir werden $\partial M = \emptyset$ zulassen (Mannigfaltigkeit ohne Rand)
+
+** Definition
+
+Eine topologische $n$-Mannigfaltigkeit mit Rand $(M,\partial)$ ist ein zweitabzählbarer Hausdorffraum $M$ mit der Eigenschaft:
+
+für jedes $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ und einen Homöirphismus
+
+$$
+  x\colon U\to x(U)
+$$
+
+wobei $x(U)$ eine offene Teilmenge in $\mathbb R^n$ oder
+
+$$
+  H^n := \{ u\in \mathbb R^n \mathrel| u^n \geqslant 0 \}
+$$
+
+und $x(p)=0$
+
+Der Rand $\partial M$ besteht genau aus den Punkten, deren Umgebung unter einer Karte nach $H^n$ geschickt wird. Eine differenzierbare Struktur definiert man wie bei normalen Mannigfaltigkeiten.
+
+Beispiel:
+
+$M=\overline B(0,1) \subseteq\mathbb R^n$ ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M = S^{n-1}$
+
+%TODO Bilchen Kugel
+
+** Beweis:
+
+$\partial M$ ist eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n-1$: wann $p\in \partial M$, ist $U\cap \partial M$ eine Umgebung von $p$ in $\partial M$
+
+$$
+  x\colon (U\cap \partial M) \to x(U\cap \partial M) \subset \partial H^n = \mathbb R^{n-1}
+$$
+
+ist eine Karte für $\partial M$ an $p$
+
+Nächstes mal: um der Stokes-Formel Sinn zu geben werden wir für orientiertes $M$ eine Orientierung auf $\partial M$ angeben.