@@ -1641,7 +1641,7 @@ Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega = P\intd x + Q \intd y$
$$
\intd\omega&=&\left(\frac{\partial P}{\partial x}\intd x +\frac{\partial P}{\partial y}\intd y \right)\wedge\intd x
\\&+&\left(\frac{\partial Q}{\partial x}\intd x +\frac{\partialP}{\partial y}\intd y \right)\wedge\intd y
\\&+&\left(\frac{\partial Q}{\partial x}\intd x +\frac{\partialG}{\partial y}\intd y \right)\wedge\intd y
\\(&=&\intd P\wedge\intd x +\intd Q \wedge dy)
\\&=&\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\intd x \wedge\intd y
$$
...
...
@@ -2396,3 +2396,237 @@ $\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$
$\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$
Nun ist $\varphi_j :=\frac{\psi_j}{\sum_{j\in\mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins.
%2019-05-21
letzes Mal: Beweis des Satzes über Existenz einer Teilung der Eins.
* Satz
Jede Mannigfaltigkeit $M$ ist parakompakt. d.h. für jede Überdeckung $\{ U_\alpha\}$ von $M$ existiert eine untergeordnete Teilung der Eins $\{\varphi_k \}$ (sogar abzählbar)
Standardanwendungmuster: haben eine Konstruktion innerhalb der Karte $(U,x)$ Um eine Konstruktion global auf $M$ zu bekommen, machen wir es innerhalb jeder Karte $\{ U_\alpha\}=\{(U,x)\mathrel| (U,x)\text{ Karte}\}$ und verkleben es mit Hilfe der Teilung der Eins.
(Beispiel: Existenz von orientierten Karten $\Leftrightarrow$ Orientierbarkeit)
Beweis: $\omega_1$, $\omega_2$ Volumenform $\Rightarrow$$\exists f\in C^\infty(M)$ nirgends verschwindend mit $\omega_1= f\cdot\omega_2$ (weil $\dim\bigwedge^n T^*_p M =1$)
Wenn $M$ zshgoh. ?? $\Rightarrow$$f>0$ oder $f<0$
** Definition
Zwei Volumenformen $\omega_1$, $\omega_2$ definieren die gleiche Orientierung von $M$, wenn $\omega_1= f\cdot\omega_2$ für ein $f\in C^\infty(M, (0,\infty))$
$M$ heißt orientiert, wenn eine entsprechende Äquivalenzklasse von Volumenformen fixiert ist.
** Definition
Die Standardorientierung von $[0,1]^n$ ist gegeben durch die Äquivalenzklasse von $\diffd u^1\wedge\ldots\wedge u^n$
** Definition
Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, von Dimension $n$, $\omega$ eine entsprechende Volumenform:
Ein $n$-Würfel $c\colon[0,1]^n \to M$ heißt orientiert, wenn $c^*\omega= f(u)\cdot\diffd u^1\wedge\ldots\wedge\diffd u^n$ mit $f(u)>0$$\forall u\in[0,1]^n$
** Lemma (Koordinateninvarianz der Integration)
Sei $\omega\in\Omega^n(M)$$(\dim M=n)$, $c_1$, $c_2\colon[0,1]^n \to M$ orientierte Würfel. Dann gilt: wenn $\operatorname{supp}\omega\subseteq c_1\left([0,1]^n \right)\cap\left([0,1]^n \right)$, gilt
$$
\int_{c_1}\omega=\int_{c_2}\omega
$$
Beweis:
Betrachte die Verknüpfung $c^{-1}_2\circ c_1\colon[0,1]^n\to[0,1]^n$
Sei $\omega\in\Omega^n (M)$ ($n =\dim(M)$) eine $n$-Form s.d. $\exists c\colon[0,1]^n\to M$ orientiert mit $\operatorname{supp}\omega\subseteq c\left([0,1]^n \right)$
Definiere:
$$
\int_M \omega :=\int_c \omega
$$
%TODO Bildchen: Hase I
%TODO irgendwann später verändertes Bildchen
Nach dem Lemma ist es wohldefiniert
Bemerkung:
Insbesondere ist $\int_M \omega$ nur definiert, wenn $M$ orientiert ist.
** Definition
Sei $\omega\in Omega^n(M)$ mit kompakten Träger. Sei jetzt $\{ U_\alpha\}_\alpha$ eine Überdeckung von $M$ durch offene Mengen, s.d. für jedes $\alpha$ ein orientierter Würfel $c_\alpha\colon[0,1]^n\to M$ existiert mit $U_\alpha\supseteq c_\alpha([0,1]^n)$
(solche Überdeckung existiert z.B. weil man die Karten betrachten kann)
Sei $\{\varphi_k \}_{k\in\mathbb N}$ die untergeordnete Teilung der Eins.
Nach den üblichen Eigenschaften des Integrals gilt:
$$
\int_M (\omega_1+\omega_2)=\int_M \omega_1+\int_M \omega_2, \quad\int_M \lambda\omega=\lambda\int_M \omega, \quad\lambda\in\mathbb R
$$
wenn $\omega= f\cdot\operatorname{vol}$ mit $f\geqslant0$, gilt
$$
\int_M \omega\geqslant0
$$
** Bemerkung
Folgende Beobachtung erleichtern die Integration
1. Auf $M$ ist der Begriff einer Nullmenge wohldefiniert: $A\subseteq M$ ist ene Nullmengem, wenn $x(A\cap U)\subseteq\mathbb R^n$ eine Nullmenge für jede Kante $(U,x)$. Wie in $\mathbb R^n$ ignoriert man Nullmengen bei Integration.
2. Wenn $M$ bis auf eine Nullmenge durch endlich viele Karten überdeckt wird. Kann man Integration ohne Teilung der Eins durchführen:
$$
M =\bigsqcup_{i=1}^k U_i \cup\underbrace{A}_{\text{Nullmenge}}
$$
dann gilt:
$$
\int_M \omega=\sum_{i=1}^k \int_{\underbrace{ U_i }_{\text{das kann man in Koordinaten ausrechnen}}}\omega
$$
%TODO Bildchen Schuppen dragon
Beweis:
Nach (1) kann man $A$ bei Integration ignorieren, $U_i \subset M$ sind selbst Mannigfaltigkeiten. Wähle jetzt Teilung der Eins $\psi_{i,l}$ für $U_i$'s, dann gilt:
Der Rand $\partial M$ besteht genau aus den Punkten, deren Umgebung unter einer Karte nach $H^n$ geschickt wird. Eine differenzierbare Struktur definiert man wie bei normalen Mannigfaltigkeiten.
Beispiel:
$M=\overline B(0,1)\subseteq\mathbb R^n$ ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M = S^{n-1}$
%TODO Bilchen Kugel
** Beweis:
$\partial M$ ist eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n-1$: wann $p\in\partial M$, ist $U\cap\partial M$ eine Umgebung von $p$ in $\partial M$