[\underbrace{ v_1\otimes\ldots\otimes v_n }_{\in T(V)}]=: i v_1\wedge\ldots\wedge v_n \in\bigwedge(V)
$$
nach Konstruktion gilt $v\wedge v =0$, $v'\in V$ (daraus folgt: $v \wedge w =-w \wedge w$, $v$, $w \in V$, $0=(v+w)\wedge(v+w)=\underbrace{v\wedge v}_{=0}+ v\wedge w + w\wedge v +\underbrace{w \wedge w}_{=0}= v\wedge w + w\wedge v$)
Das Bild von $V^{\otimes k}$ in $\bigwedge(V)$ heißt $\bigwedge^k(V)$ -- die Elemente der Länge $k$,
$$
\bigwedge^k (V)=\left\{\sum_{i=1}^{k} v_{i_1}\wedge\ldots\wedge v_{i_k}\middle| v_{i_l}\in V \right\}
$$
** Proposition
Wenn $(e_i)^n_{i=1}$ eine Basis von $V$ ist, ist $\{ e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\ |\ 1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant u \}$ eine Basis von $\bigwedge^k(V)$; insbesondere $\dim\bigwedge_k(V)=\binom{n}{k}$, $0\leqslant k\leqslant n$, $\bigwedge^k(V)=\{0\}$ für $k> n$
Beweis:
Wir haben die Aussage darauf reduziert, dass in $\bigwedge_k(V)$$e_1\wedge\ldots\wedge e_n \neq0$
$\longrightarrow$ Reduktion für $k=2$, $n=4$. wird behauptet, dass $\{ e_1\wedge e_2, e_1\wedge e_3, e_1\wedge e_n, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4\}$ linear unabhängig sind. Wenn nicht $\exists\alpha_{ij}$:
Insbesondere bekommt man die Abbildung ($\dim V = n$) $\bigwedge_n f \colon\underbrace{\bigwedge^n V}_{\cong R}\overset{\det f}\longrightarrow\underbrace{\bigwedge^n V }_{\cong R }$
$$
\bigwedge(g\circ f)=\bigwedge g \circ\bigwedge f &\Rightarrow&\det(g\circ f)=\det(g)\cdot\det(f)
\\&&\det(\operatorname{id})=1
$$
Die explizite Formel ergibt sich daraus, dass $e_1\wedge\ldots\wedge e_n$ ein Basisvektor in $\bigwedge^n V$ ist. $\rightsquigarrow$
\text{Tensoren vom Typ $(n,s)$ }\mathrel{\hat=} T_{r,s}(V)\cong M_{s,r}(V)\mathrel{\hat=}\text{ lineare Abbildungen } V^{\otimes s}\otimes(V^*)^{\otimes r}\to\mathbb R
$$
Nächstes Ziel:
Interpretiere $\bigwedge^k V^*$ als gewisse multiliniear Abbildung $V^k \to\mathbb R$
$$
\bigwedge^k V^*&=&(V^*)^{\otimes k}/ I_k(V^*)
\\(V^*)^{\otimes k}=\{ f\colon V^k \to\mathbb R \ |\ f \text{ multilinieare Abbildung }\}
$$
$$
I_k(V^*)= I(V^*)\wedge(V^*)^{\otimes k}
$$
$I(V^*)=\{\sum t\otimes\alpha\otimes\alpha\otimes t' \}$, erzeugt durch $\{\alpha\otimes\alpha\ |\ \alpha\in V^*\}$
Wie gerade gesehen, definiert jedes $m\in A_k \in(V)$ ein Element $\overline m \in\left(\bigwedge^k\right)^*$, $m\mapsto\overline m$ ist offensichtlich linear. Umgekehrt: jedes $\overline m\colon\bigwedge^k V \to\mathbb R$ definiert eine multilinieare Abbildung