diff --git a/diffgeoII/edit-this-file.tex b/diffgeoII/edit-this-file.tex index 6c4cabce32ee42127a45e1380c04fe76393067ca..fdab453b86c17f52df7cb0042bd9e3980f570d4d 100644 --- a/diffgeoII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoII/edit-this-file.tex @@ -1,4587 +1,4787 @@ -%TODO alles mit ?? - -* Erinnerungen an WS - -Wir studieren Mannigfaltigkeiten (Mfg). - -$\approx$ topologische Räume, die lokal wie $\mathbb R^n$ aussehen + glatte ~Strukturen~ von glatten Abbildungen zu sprechen. - -Konkret: um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ zusammen mit einer Karte $x\colon U\to \mathbb R^n$ - -%Bild 1 - -Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Analysis auch auf $M$ zu verstehen. - -~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!) - -1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren. - $$ - T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \} - \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \} - $$ - - Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung! - - %TODO Bild 2 - TODO Bild - - $\pi \colon TM \to M$ ist glatt - $v\in T_pM \mapsto p$ - - Nutzen: wir verstehen „wirklich“, was Ableitungen sind - - Früher: - $$ - f\in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb R^n) &\rightsquigarrow& D_pf \in \mathbb M_{n\times m} (\mathbb R) - \\&& Df \in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb M_{n\times m}(\mathbb R)) - $$ - - Jetzt in Diffgeo: - $$1 - f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear} - $$1 - - %Bild 3 - -2. ODEs als Flüsse von Vektorfeldern - %Bild 4 - - Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi \circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p) \in T_pM$) - Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes) - - s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE - $$ - \dot \gamma(t) = X(\gamma(t)) - $$ - lässt - -3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$ - - $(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra. - - Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften: - - 1. $[X,Y] = -[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$ - 2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$: - $$ - [X, [Y,Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X,Y]] = 0 - $$ - - Beispiele: - 1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra - 2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B] = AB - BA$ ist eine Lie-Algebra - - Verbindung zwischen a) und b)%ref - -- Lie-Gruppen - Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt. - - $G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow \operatorname{Lie}(G) = 2(G) = \{ X\in \Gamma(TG) \ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p} = D_pLg} X = X \} = \{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \}$ - - $\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$. - - Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum - $\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$ - $$ - Lg \colon G &\to& G\\ - h &\mapsto& g\cdot h - $$ - - Satz - $$ - G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R) - \\ \operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R) - $$ - - - Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren! - $$ - (\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot]) - $$ - - Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$. - $$ - [A,B] = AB - BA - $$ - -%DATE 2019-04-02 - -* Übung 1 - -Differential einer Abbildung -$$ - f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n -$$ - -$$ -p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear}) -\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)} -$$ - -$$ - \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i - \\ D_pf &\underset{\text{als Matrix}}{=}& \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{ - \begin{matrix} - i = \overline{1, m} \\ - j = \overline{1, n} - \end{matrix}} -$$ -$$ - f\colon M\to N -$$ -$$ - p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear} - \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}& - \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)}) -$$ - -$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$ - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R -\end{tikzcd} -\end{center} - -TODO%TODO vertical line - -%2019-??-?? - -TODO Bildchen TODO%TODO - -$$ - M &\overset f\to& N - \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}& - \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}TODO%TODO letzes Wort nicht verstanden - \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f -$$ - -Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist -$$ - \underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R -$$ -linear - -** Beispiel - -$$1 - G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C) -$$1 - -$$ - &\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot] - \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\ - &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C) - \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\ - \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\} -$$ - -Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$ - -$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$ - -$$ - \dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\ - &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\ - \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0 -$$ - -Also: - -$$ - T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \} -$$ - -Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte: -$$ - \gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right) -\\ \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX} -\\ \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n) -\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X -$$ -wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit - -%Hinweis nur mündlich: -$$ - D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A)) -$$ - -$$ - G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R) - \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R) -$$ - -Wir haben gesehen: -$$ - \exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\ - &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\ - &X& \mapsto \exp(X) -$$ - -$$ - \gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX) -$$ - -$$ - \dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t)) -$$ - -wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist - -$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$ - -Ausführlicher: - -$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$ - -$$ - X\in T_1G \rightsquigarrow - \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} } - = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R) -$$ - -Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann: -$$ - \dot A(t) = A(t)\cdot X -$$ - -$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$ - -TODO%TODO vertical line - -$$ - x &\mapsto& A\cdot x - \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear} - \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m - \\ - \\ f\colon V &\to& W \text{ linear} -$$ - -mit Übung 28 TODO%TODO ref -$p\in V$: - - -\begin{center} - \begin{tikzcd} - T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\ - V \arrow[r, "f"] & W - \end{tikzcd} -\end{center} - -TODO%TODO vertical line -TODO%TODO das war das mündliche Zeug - -$$ - \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} -$$ - -$$ - \det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R -$$ - -$$ - D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R - \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A) -$$ - -$$ - \det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2) -$$ - -Determinante ist Konjugationsinvariant - -$$1 - \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1}) -$$1 - -Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit: - -$$ - \det (1+tA) - &=& - \left|\begin{matrix} - 1+t\lambda_1& & \\ - & \ddots & \\ - && 1+t\lambda_n - \end{matrix}\right| - \\&=& - (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n) - \\&=& - 1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2) - \\&=& - 1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2) -$$ - - -* Integration auf Mannigfaltigkeiten - -Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs - -TODO%TODO schöner - -\begin{center} -\begin{tikzcd} - \arrow[rr, "U"'{name=links}, no head] & {} & \mathbb R^n\\ - {} & {} & \\ - \arrow[rr, "V"{name=rechts}, no head] & {} & \mathbb R^n \arrow[from=links, to=rechts, "\alpha \colon U\overset{\cong} \longrightarrow V \text{ Diffeo}"] -\end{tikzcd} -\end{center} - -Betrachte $n=1$: - -$U$, $V \subseteq \mathbb R$ offenen Intervalle. $\alpha\colon \underbrace{U}_{=(a,b)} \to V$ Diffeo ($=$ strikt monotone glatte Fkt.) - -Transformationsformel: -$$ - \int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\intd t = \int_{a}^{b}f(t)\intd t -$$ - -„Mnemonik“: -$$ - \intd v = v'(u)\intd u -$$ - -$f\colon V\to \mathbb R$ -$$ - \int_{U}(\alpha^*(f))(u)\alpha'(u)\intd u = \int_V f(v)\intd v \neq \int_V \alpha^*(f)(t) \intd t -$$ - -In $\mathbb R^n$: - -$$ -\int_U \alpha^*(t)(\det D_u\alpha)\intd_{u_1}\cdots\intd_{u_n} = \int_V f(v) \intd_{v_1}\dotsm\intd_{v_n} -$$ - -$$ -\alpha \colon &U& \to V \text{ Diffeo} -\\ &(u_1,\dotsc,u_n)& \mapsto (v_1, \dotsc, v_n) -$$ - -$v=v(u)$ -$$ -\int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2 -$$ - -$$ - \intd v_1 - = \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1 - + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2 -$$ -$$ - \intd v_2 - = \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1 - + \frac{\partial v_2 }{\partial u_2 }\intd u_2 -$$ - -$$ - \intd v_1 \intd v_2 - = \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_1 \intd u_1} - + \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2} - + \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2 - + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_2 \intd u_1 - =: (*) -$$ - -$$ - = \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2 - = \int_U f(v(u)) -% \leftTODO%TODO overcome boxes - \Bigg - ( - \underbrace{ - \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 } \frac{\partial v_2}{\partial u_2} - \frac{\partial v_1}{\partial u_2}\frac{\partial v_2}{\partial u_1} - }_{ - \underset{ - \begin{subarray}{c} - \text{sollte}\\ - (*)\text{ sein} - \end{subarray} - }{=} \det \left( - \begin{matrix} - \frac{\partial v_1}{\partial u_1} & \frac{\partial u_1}{\partial u_2} - \\ \frac{\partial v_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_2} - \end{matrix}\right) - } - \Bigg -% \right - ) - \intd u_1 \intd u_2 -$$ - -Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten: -$$ - \intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0 - \\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0 -$$ - -Erkenntniss: - -Koordinatenfrei werden nicht Funktionen, sondern sogenannte Differentialformen integriert. Eine $n$-Differentialform auf $\mathbb R^n$ ist (informell) ein Ausdruck -$$ - \omega = f(x) \intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_n -$$ -mit den Rechenregeln: wenn $x=x(y)$ mit $y = (y_1,\dotsc,y_n)$ dann transformiert sich der Ausdruck zu - -$$ - f(x(y)) - \left( - \frac{\partial x_1}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_1}{\partial y_n}\intd y_n - \wedge \ldots \wedge - \frac{\partial x_n}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_n}{\partial y_n}\intd y_n - \right) -$$ - -und es gilt: - -$$ - T^*M \ni \intd y_i \wedge \intd y_j = -\intd y_j \wedge \intd y_i,\ \ \ \ i,j = 1,\ldots, n -$$ - -folglich ist $\int \omega$ unabhängig von Koordinaten. - -Ziel: - -* Das Tensorprodukt - -ausgehend von einem Vektoraum $V(= T_pM, T_p^*M)$ einen Kalkühl zu entwickeln, welcher die Interpretation von Ausdrücken wie $\intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_k$ mit Rechenregeln $\intd x_i \wedge \intd x_j = \intd x_j \wedge \intd x_i$ erlaubt. - -Das wird durch Theorie von Tensorprodukten und multiliniearen (z.B. $\det\colon \underbrace{\mathbb R^n \times \ldots \times \mathbb R^n}_{n\text{-mal}} \to \mathbb R$) Abbildungen gemacht - -Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1 \times \ldots \times V_n \to W$. Es reicht diese Idee für bilineare Abbildungen zu realisieren. (dann wiederholt man es) - -** Definition: Tensorprodukt - -Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f \colon V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\otimes W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften) - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f", dashed] \\ - & Z -\end{tikzcd} -\end{center} - -** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\otimes W$ - -Wenn $V\otimes W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus. - -Beweis: - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -V \times W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] & \ \\ - & (V\otimes W)_2 & \arrow[u, "\exists!f_2", dashed] -\end{tikzcd} -\end{center} - -Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_1$ liefert $f_1\colon (V\otimes W)_1 \to (V\otimes W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$. - -Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_2$ liefert $f_2\colon (V\otimes W)_2 \to (V\otimes W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$. - -Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte: - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -V\otimes W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_1"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, dashed, "\bar f"] \\ - & (V\otimes W)_2 -\end{tikzcd} -\end{center} - -$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$: - -$$ - (f_2\circ f_1)\circ i_1 &=& i_1 - \\ {\operatorname{id}} \circ i_1 &=& i_1 -$$ -Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein: -$$ - f_2\circ f_1 = \bar f = \operatorname{id} -$$ -Also $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also ist $f_1$ ein Isomorphismus. - -** Existenz von $V \otimes W$ - -Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein. - -Definition: -Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der (bis auf Isomorphie eindeutige) -(reelle) Vektoraum mit Basis $X$ (ohne Beweis). Er ist isomorph zum Raum der formalen Linearkombination von $X$: - -$$ - \mathcal F_{\mathbb R}(X) &\cong& \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viele } x\in X \} - \\ x &\mapsto& \eins_x - \\ \eins_x &=& x \mapsto \begin{cases} - 1, & y = x \\ - 0, & y \neq x -\end{cases} -$$ - -Definiere: - -$$ - V\otimes W &:=& - { - \mathcal F_{\mathbb R}(V\times W) - }/\underbrace{ - \left\langle\left\{ - \begin{subarray}{l} - {(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)}, - \\ {(v, w_1+w_2)} -{(v,w_1)} -{(v,w_2)}, - \\ {(\lambda v, w)} - \lambda{(v,w)}, - \\ {(v, \lambda w)} - \lambda{(v,w)} - \end{subarray} - \mathrel{\Bigg |} - \begin{subarray}{l} - v_1, v_2, v\in V, - \\w_1, w_2, w\in W, - \\ \lambda \in \mathbb R - \end{subarray} - \right\}\right\rangle - }_{:=\langle\ldots\rangle} - \\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{TODO%TODO \middle - |} f \in \mathcal F_{\mathbb R} (V\times W)\right\} -$$ - -$$ - \langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot), \quad \eins = \text{Indikatorfunktion} -$$ - -Sei -$$ - i \colon &V\times W& \to V\otimes W - \\ &(v,w)& \mapsto \left[{(v,w)}\right] =: v\otimes w -$$ - -Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten: - -$$ - (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w - \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2 - \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R -$$ - -§Begründung: -§$$ -§ v_1\otimes w + v_2 \otimes w -§ &=& [(v_1,w)] + [(v_2, w)] -§ \\&=& {(v_1,w)} + \langle\ldots\rangle + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle -§ \\&=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle -§ \\&\overset{\langle\ldots\rangle \text{ ist UV}}=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \left(\ \left({(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)} \right) + \langle\ldots\rangle\ \right) -§ \\&=& {(v_1+v_2, w)} + \langle\ldots\rangle -§ \\&=& \left[{(v_1+v_2, w)}\right] -§ \\&=& (v_1+v_2)\otimes w -§$$ - -%2019-04-10 - -wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$) - -Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$. -($e'=0$, $e'\in E'$) TODO%TODO ? - -Entsprechend ist - -$$ - V\otimes W -§ &=&\{f+\langle\ldots \rangle \mathrel | f \in \mathcal F(V\times W) \} -§ \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{TODO%TODO\middle -|} (v,w)_i\in V\times W, \lambda_i\in\mathbb R, i\in \mathbb \{1,\ldots,n\}, n\in \mathbb N \right\} -§ \\&=& \operatorname{span}\{ \eins_{(v,w)} + \langle\ldots\rangle\mathrel | (v,w)\in V\times W \} -% \\&=& \operatorname{span}\{ [\eins_{(v,w)}] \mathrel | v\in V, w\in W \} -§ \\ - &=& \operatorname{span}\{ v\otimes w \mathrel| v\in V, w\in W \} -$$ - -mit den Relationen: -$$ - (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w - \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2 - \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R -$$ - -** Lemma - -Die angegebene Konstruktion von $V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft. - -Beweis: - -Sei $f\colon V\times W \to Z$ gegeben, bilinear - -Definiere - -$$ - \hat f\colon V\times W &\to& Z,\ \ \ \ \text{linear} - \\ \sum_{i=1}^k \lambda_i(v_i, w_i) &\mapsto& \sum_{i=1}^k \lambda_i f(v_i, w_i) -$$ - -Behauptung: $\hat f$ induziert eine lineare Abbildung $\bar f$ -$$ - \bar f\colon V\otimes W &\to& Z - \\ (v\otimes w) &\mapsto& \hat f((v,w)) -§ \\ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \eins_{(v,w)_i} \right) &\mapsto& \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left((v,w)_i\right) -$$ - -Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben TODO%TODO ref -im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B. - -$$ -§ && \bar f(\eins_{(v_1 + v_2, w)} -\eins_{(v_1, w)} -\eins_{(v_2, w)}) -§ \\ - & -§ = - & \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) ) - \\ &\overset{\text{Def. } \hat f}{=}& f(v_1 + v_2, w) - f(v_1, w) - f(v_2, w) - \\ &\overset{\text{Bilinearität von } f}=& 0 -$$ - -$\Rightarrow$ $\bar f$ erfüllt dann $\bar f(v\otimes w) = f(v,w) \Rightarrow V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft. - -** Homomorphismen und Dualräume: (Erinnerung aus LAAG) - -$V$, $W$ Vektorräume $\rightsquigarrow Hom(V,W) = \{ f\colon V\to W\ |\ f \text{ linear } \}$ ist selbst ein Vektoraum, wenn $V$, $W$ endlichdimensional $\Rightarrow \operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V,W) = \operatorname{dim}V \cdot \operatorname{dim} W$ ($\operatorname{Hom}(V,W) \cong \mathbb{M}(m\times n, \mathbb R)$, wenn $V\cong \mathbb R^n$, $W\cong \mathbb R^m$) - -$V^* := \operatorname{Hom}(V, \mathbb R)$ ist dann der Dualraum von $V$. Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$ ist, dann gibt es die duale Basis $\{ \alpha_j \}_{j=1}^n \subset V^*$ mit: $\alpha_j(e_i) := \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}$ - -Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^{**}$, $v\mapsto (\alpha \mapsto \alpha(v))$ ein Isomorphismus - -** Proposition - -$W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann: -$$ - \operatorname{dim} W\otimes V^* = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V = \operatorname{dim} W \otimes V -$$ - -Mehr: wenn $\{ f_j \}^m_{j=1}$ und $\{ e_i \}^n_{i=1}$ Basen in $W$ bzw. $V$ sind. Dann ist $\{ f_j \otimes e_i \}_{i=1,\dotsc, n; j=1,\dotsc, m}$ eine Basis in $W\otimes V$ - -Beweis: - -Sei $L\colon W\times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha) \mapsto (\theta_{w,\alpha} \colon v \mapsto \alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang} 1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$) - -$L$ ist bilinear, weil: -$$ - && (L(w_1 + \lambda w_2, \alpha_1 + \mu\alpha_2))(v) - \\&=& (\alpha_1 + \mu\alpha_2)(v)\cdot(w_1 + \lambda w_2) - \\&=& \underbrace{ \alpha_1(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_1)(v)} - + \underbrace{ \mu \alpha_2(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_2)(v)} - + \lambda \underbrace{ \alpha_1(v)w_2 }_{L(w_2, \alpha_1)(v)} - + \mu\lambda \underbrace{ \alpha_2(v)\cdot w_2 }_{L(w_2, \alpha_2)(v)} -$$ - -Nach der universellen Eigenschaft vom Tensorprodukt bekommen wir eine lineare Abbildung - -$$ - \bar L \colon W\otimes V^* &\to& \operatorname{Hom}(V,W) - \\ w\otimes \alpha &\mapsto& \theta_{w,\alpha} -$$ - -$\bar L$ ist ein Isomorphismus: geben wir das Inverse an. Sei $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis on $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n$ die duale Basis in $V^*$. Definiere - -$$ - \varphi \colon \operatorname{Hom}(V,W) &\to& W\otimes V^* - \\ T &\mapsto& \sum_{i=1}^n T(e_i) \otimes \alpha_i -$$ - -$$ - \varphi \circ \bar L(w\otimes \alpha) &=& \varphi(\theta_{w,\alpha}) - \\&=& \sum_{w,\alpha} (e_i) \otimes \alpha_i - \\&=& \sum_{i=1}^{n} \alpha(e_i)w\otimes \alpha_i - \\&=& w\otimes \left( \sum_{i=1}^{n}\alpha(e_i)\cdot \alpha_i \right) - \\&=& w\otimes \alpha - \\&\Rightarrow& \varphi \circ \bar L = \operatorname{id} -$$ - -$$ - (\bar L\circ \varphi(T)(v)) - &=& \sum_{i=1}^{n} \theta_{T(e_i), \alpha_i}(v) - \\&=& \sum_{i=1}^{n}\alpha_i(v)T(e_i) - \\&=& T\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i (v) e_i\right) - \\&=& T(v) - \\&\Rightarrow& \bar L \circ \varphi = \operatorname{id} -$$ - -$W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operatorname{dim} W\otimes V = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V \Rightarrow \{ f_j \otimes e_i \}$ ist eine Basis. - -** Korollar - -Wenn $X$, $Y$ endliche Mengen sind, dann gilt: -$$ - \mathcal F(X\times Y) \cong \mathcal{F}(X) \otimes \mathcal{F}(Y) -$$ - -Erinnerung: hier gilt $\mathcal F(X) = \{ f\colon X \to \mathbb R \}$ mit punktweisen Operationen - -** Korollar - -$W\otimes V \cong V\otimes W$, $W\otimes(V\otimes Z) = (W\otimes V)\otimes Z$ - -Bemerkung: Es gilt auch ohne Einschränkung auf Dimensionen - -** Definition Tensor - -Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (zum Vektoraum $V$) ist ein Element des Vektoraumes -$$ - T_{r,s}(V) := V \underbrace{ \otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}} -$$ - -Bemerkung: Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n \subset V^*$ duale Basis. $\rightsquigarrow$ - -$$ - \{ e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_r} \ |\ i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \} -$$ - -ist eine Basis in $T_{r,s}$ (Beweis: wende induktiv die Proposition an). - -$\Rightarrow$ jedes $T\in T_{r,s}(V)$ ist darstellbar also -$$ - T= \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} } T_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1,\ldots,i_r} (e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s}) -$$ - -Beispiel $T_{1,1} (V) = V\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{End}(V)$ d.h., elemente von $T_{1,1}$ kann man als lineare Abbildung von $V$ nach $V$ interpretieren. Multilinear heißt linear in jeder Komponente. Sei -$$ - M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{ V\times \ldots \times V }_{s\text{-mal}} \times \underbrace{ V^* \times \ldots \times V^* }_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \} -$$ - -** Proposition - -$T_{r,s}(V)$ ist kanonisch isomorph zu $M_{s,r} (V)$ - -** Korollar - -$$ - \operatorname{Bil}(V) = \{ b\colon V\times V \to \mathbb R \text{ biliniear} \} \cong V^*\otimes V^* -$$ - -Insbesondere ist ein Skalarpodukt auf $V$ ein Tensor vom Typ $(0,2)$ Notation $g_{i,j}$ für Koordinaten einer Metrik ist konstant mit Tensorprodukten. - -%2019-04-16 - -* Tensorprodukte von Vektorräumen - -$$ - && \operatorname{Hom} (V\otimes \underbrace W_{ \mathbb R }) \cong \operatorname{Bil}(V\times W, \underbrace Z_{\mathbb R}) - \\&\overset{\text{Induktion}}\Rightarrow& \operatorname{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_n, Z) \cong \{ f\colon V_1\times\ldots\otimes V_n \to Z \ |\ f \text{ multiliniear } \} -$$ - -Letzes mal: -$$ - T_{r,s} (V) := \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{s\text{-mal}} -$$ -$$ - M_{s,r} := \{ f\colon \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \} -$$ - -** Proposition - -TODO%TODO kan. ? -$$1 - T_{r,s}(V) \overset{kan.}\cong M_{s,r}(V) -$$1 - -Beweis: - -Nach obigen Eigenschaften gilt: -$$ -M_{s,r} &\cong& \operatorname{Hom}(T_{s,r}(V), \mathbb R) \cong t_{s,r}(V)^* = (V^*\otimes\ldots\otimes V^* \otimes V \otimes \ldots \otimes V)^* -\\&\overset{?}\cong& \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*}_{s\text{-mal}} -$$ - -Wir wollen also zeigen: $W$, $Z$ zwei Vektoräume, wollen zeigen, dass $W^* \cong Z$ ($W=T_{s,r}(V)$, $Z=T_{r,s}(V)$) - -Def./Erinnerung: - -Eine nichtsinguläre Paarung zwischen $W$, $Z$ ist eine bilineare Abbildung $\beta\colon W\times Z \to \mathbb R$ mit - -- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall Z\in Z \Rightarrow w = 0$ -- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall w\in W \Rightarrow Z = 0$ - -Übung: - -Wenn $W$, $Z$ endlichdimensional, $(w_i)^n_{i=1}$, $(z_i)_{i=1}^m$ Basen in $W$ bzw. $Z$ dann ist -$\beta$ nichtsingulär -$\Leftrightarrow (\beta(w_i, z_j))_{ \begin{subarray}{l} i=1, \ldots, n \\ j=1, \ldots, m \end{subarray} }$ nicht ausgeartet ist $\Rightarrow n = m$ - -$\beta$ gibt einen Isomorphismus $\hat \beta \colon Z \to W^*$ - -Beispiel: - -$W = Z$, euklidischer Raum mit Skalarpodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$ -$$ - \beta (W,Z) = \langle \cdot, \cdot \rangle -$$ - -Alos: Wir betrachten eine nichtsinguläre Paarung -$$ - \beta_i \colon T_{s,r}(V) \times T_{r,s}(V) \to \mathbb R -$$ - -Definiere -$$ - {}& & \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*) - \\&=& \Pi_{i=1}^r v_i^*(u_i) \cdot \Pi_{j=1}^s u_j^* (v_j)_s \text{ bilinear fortgesetzt } -$$ - -** Tensorprodukte von Vektorräumen - -Zu zeigen ist, dass $\beta$ nicht ausgeartet ist. Dazu sei $0\neq t \in T_{r,s}(V)$, wir suchen $t^*\in T_{s,r}(V)$ mit $\beta(t^*, t) \neq 0$ - -Sei $(e_i)_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $(\alpha)_{j=1}^n$ die Dualbasis in $V^*$ - -Dann gilt: -$$ - t = \sum_{ \begin{subarray}{l} {i_1,\ldots, i_r \in \{ 1,\ldots, n \}} \\ {j_1,\ldots j_s \in \{ 1,\ldots, n \}} \end{subarray}} t_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r} - e_{i_1}\otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s} -$$ - -$D_a t \neq 0$, ist eins von den Koeffizienten $\neq 0$: -$$ - 0\neq t_{j_1 \cdots j_s}^{i_1 \cdot i_r} = \beta (\alpha_{i_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{i_r}\otimes e_{j_1}\otimes \ldots \otimes e_{j_s}, t) -$$ - -Bemerkung: Die Paarung zwischen $T_{r,s}$ mal $T_{s,r}$ wird gelegentlich einfach durch $\langle \cdot, \cdot \rangle$ oder $(\cdot, \cdot)$ bezeichnet. - -Beispiel $V = T_p M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$, dann hat $V=T_p M$ eine Basis $\{ \frac{\partial}{\partial x_i} \}_{i=1}^n$ - -$V^* = T^*_pM$ bekommt die duale Basis $\{ \mathrm d x^i \}_{i=1}^n$ - -Erinnerung: -$\mathrm d x^i (\underbrace{T_p M} (v):= v(x^i) )$, daher $d x^i(\frac{\partial}{\partial x^j}) = \frac{\partial}{\partial x^j} (x^i) = \delta_{ij}$ - -TODO%TODO \intd s -Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest) - -1. $t_{ij} = \intd x^i \otimes \intd x^j \in V^* \otimes V^* = T_{0,2}(V) \cong T_{0,2}(V) \cong \operatorname{Bil}(V\times V, \mathbb R)$ - - $$ - t_{ij} &=& (\intd x^i \otimes \intd x^j )(v,w) - \\&=& \intd x^i(v)\cdot \intd x^j(w) - \\&=& v(x^i)\cdot w(x^j),\ v,w\in T_p M - $$ - -Beispiel: -$$ - g := \sum_{i=1}^{n} \intd x^i \otimes \intd x^i -$$ - -ist auch eine Biliniarform auf $T_pM$. Wenn $M = \mathbb R^n$, $p$ beliebig, dann ist $g$ das Standardskalarprodukt auf $T_p \mathbb R^n \cong \mathbb R^n$ -$$ - g\left(\frac{\partial}{\partial x^k}, \frac{\partial}{\partial x^l}\right) - &=& \sum_{i=1}^n - \underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right) }_{=\delta_{ik}} - \underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^l}\right) }_{=\delta_{il}} - \\&=& \delta_{kl} + \delta_{lk} - \\&=& \delta_{kl} -$$ - -** Äußere Potenzen, äußere Algebra - -Errinnerung: - -für Integrationstheorie wollen wir die Rechenregeln -$$ - d_x^i \wedge \intd x^j = - \intd x^j \wedge \intd x^i -$$ - -Beobachtung: -Tensoren kann man miteinander multiplizieren. Es gibt eine kanonische bilineare Abbildung - -$$ - (\underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}}) \times \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{l\text{-mal}} \to \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{(k+l)\text{-mal}} - \\ ((v_1 \otimes \ldots \otimes v_k), (v_{k+1}\otimes \ldots \otimes v_{k+l})) \mapsto (v_1 \otimes \ldots \otimes v_{k+l}) -$$ - -Notation: -$$ - V^{\otimes k} := - \begin{cases} - \underbrace{V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}} & k > 0 \\ - \mathbb R & k = 0 -\end{cases} -$$ -$$ - T(V) := \bigoplus_{k=0}^\infty V^{\otimes k} -$$ - -heißt die Tensoralgebra von $V$ - -Multiplikation: $t\in V^{\otimes r}$, $t'\in V^{\otimes s}$ -$$ - t\cdot t' := t\otimes t' \in V^{\otimes (r+s)} -$$ - -definiert eine Multiplikation auf $T(V)$ - -In $T(V)$ gelten die Relationen $v\otimes v = 0$ nicht. - -Diese wollen wir erzwingen. - -Sei $Z(V) = \langle v\otimes v | v \in V \rangle$ das Ideal in $T(V)$ erzeugt von Elementen der Form $v\otimes v$ - -Notation: -$$ - I_r(V) := I(V) \cap V^{\otimes r}, I(V) = \bigoplus_{r=0}^\infty I_n (V) \text{ (kleine Übung) } -$$ - -Multiplikation wird durch $\bigwedge$ bezeichnet. nach Konstruktion gilt $v_1\wedge \ldots \wedge v_k = [v_1\otimes \ldots \otimes v_k]$ - -** Definition - -$$ - \bigwedge (V) := T(V) / I(V) -$$ -heißt äußere Algebra von $V$ - -Nach Konstruktion und Eigenschaft von $I(V)$ gilt -$$ - \bigwedge (V) = \bigoplus_{r=0}^\infty \underbrace{ \bigwedge^r (V) }_{V^{op?} / I_r(V} -$$ - -1. $\wedge^0 V \cong \mathbb R$, weil $I_0(V) = \{0\}$ -2. $\wedge^1 V \cong V$, weil $I_1(V) = \{0\}$ - -** Proposition - -Sei $(e_1, \ldots, e_n)$ eine Basis in $V$. Dann ist -$$ - \{ e_{i_1}\wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ k \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leqslant n \} -$$ - -eine Basis von $\bigwedge^k(V)$ ($\leftarrow$ $k$-te äußere Potenz) - -Insbesondere gilt: -$$ - \bigwedge^k(V) = \binom{n}{k},\ \ \ 0\leqslant k \leqslant n,\ \ \ \wedge_k (V) = \{0\},\ \ \ k>n -$$ - -** Äußere Potenzen, äußere Algebra - -Beweis - -Nach Konstruktion gilt: $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$, daher spannt -$$ - \{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < i_k \leqslant n \} -$$ - -den Raum $\bigwedge^kV$. Wir brauchen also zu zeigen, dass -$$ - \sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} = 0 -$$ - -Sei $I=(i_1,\ldots, i_k)$ $1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n$ fixiert. - -Sei $J = \{ 1,\ldots n \} \setminus I = (j_1, \ldots, j_{n-k})$ $1\leqslant j_1 < \ldots < j_{k} \leqslant n$ - -Betrachte das Element $e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k}$ und multipliziere es an $(*)$: -$$ - \pm \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_1\wedge\ldots \wedge e_n = 0 -$$ - -Alle anderen Terme verschwinden, weil eine Vektor im Produkt doppelt vorkommt. - -%2019-04-17 - -Gestern: -$$ - \bigwedge (V) = T(V) / I(V) -$$ -$I(V) = \langle v\otimes v\ |\ v\in V \rangle$ Ideal erzeugt durch $v\otimes v$ -$$ - = \left\{ \sum_{i=1}^k t_i \otimes v_i \otimes v_i z_i \ \middle|\ t_i, t'_i \in T(V), v_i \in V \right\} -$$ -$$ - [\underbrace{ v_1\otimes \ldots \otimes v_n }_{\in T(V)}] =: i v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \in \bigwedge (V) -$$ - -nach Konstruktion gilt $v\wedge v = 0$, $v'\in V$ (daraus folgt: $v \wedge w = -w \wedge w$, $v$, $w \in V$, $0= (v+w)\wedge (v+w) = \underbrace{v\wedge v}_{=0} + v\wedge w + w\wedge v + \underbrace{w \wedge w}_{=0} = v\wedge w + w\wedge v$) - -Das Bild von $V^{\otimes k}$ in $\bigwedge (V)$ heißt $\bigwedge^k(V)$ -- die Elemente der Länge $k$, -$$ - \bigwedge^k (V) = \left\{ \sum_{i=1}^{k} v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \middle| v_{i_l} \in V \right\} -$$ - -** Proposition - -Wenn $(e_i)^n_{i=1}$ eine Basis von $V$ ist, ist $\{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant u \}$ eine Basis von $\bigwedge^k(V)$; insbesondere $\dim \bigwedge_k(V) = \binom{n}{k}$, $0\leqslant k\leqslant n$, $\bigwedge^k(V) = \{0\}$ für $k> n$ - -Beweis: - -Wir haben die Aussage darauf reduziert, dass in $\bigwedge_k(V)$ $e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0$ -$\longrightarrow$ Reduktion für $k=2$, $n=4$. wird behauptet, dass $\{ e_1\wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_1\wedge e_n, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4 \}$ linear unabhängig sind. Wenn nicht $\exists \alpha_{ij}$: -$$ - \alpha_{12}e_1\wedge e_2 + \alpha_{13}e_1\wedge e_j + \alpha_{14} e_1\wedge e_4 + \ldots = 0 -$$ -$\rightarrow \alpha_{13} e_1e_3\wedge e_2\wedge e_4 = 0 = -\alpha_{13}(e_1\wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)$ -$$ - e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0 \Leftrightarrow e_1\otimes \ldots \otimes e_n \notin I(V) -$$ - -Wenn - -$$ - v &=& \sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i - \\ v\otimes v &=& \sum_{i,j = 1}^{n} \lambda_i \lambda_j e_i \otimes e_j - \\ &=& \sum_{i=1}^{n} \lambda_i^2 e_i \otimes e_i + \sum_{i,j = 1\atop i0$: - -$$ - f^* \omega &=& (\omega_I \circ f) f^*(\intd x^{i_1}) \wedge \ldots \wedge f^*(\intd x^{i_k}) - \\&=& (\omega_I \circ f) \intd (f^*(x^{i_1})) \wedge \ldots \wedge \intd (f^*(x^{i_k})) -$$ - -TODO%TODO missing - -* Integration von Differentialform - -Idee: wir können in $\mathbb R^n$ integrieren also führen wir die Situation auf Mannigfaltigkeit darauf zurück. - -Der $k$-Würfel in $\mathbb R^n$ ist $[0,1]^k \subset \mathbb R^k$ - -Definition: - -Sei $\omega = f \intd u^1 \wedge \ldots \wedge \intd u^k$ eine Differentialform auf $[0,1]^k$ (Errinnerung: d.h dass (e) eigentlich auf einer offenen Umgebung $V\supseteq [0,1]^k$ definiert ist) - -Definiere -$$ - \intd_{[0,1]^k} \omega := \intd_{[0,1]^k} f(u) \intd u^1 \cdots \intd u^k -$$ - -Definition: - -Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine glatte Abbildung $e\colon [0,1]^k \to M$ - -Definition: - -Sei $\omega\in \Omega^k (M)$ , $c\colon [0,1]^k \to M$ eine singulärer $k$-Würfel: - -$$ - \int_c \omega := \int_{[0,1^k]} c^*(\omega) -$$ - -%2019-05-07 - -* Integration von Differentialform - -** Definition - -Der $k$-Standardwürfel ist definiert als $[0,1]^k$ ($k\in \mathbb N$) - -$$ - [0,1]^0 := \{0\} -$$ - -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine (glatte) Abbildung $c\colon[0,1]^k \to M$ - -TODO%TODO Bilchen malwurf - -** Definition - -Sei $\omega = \underbrace{ f }_{\in C^\infty (\mathbb R^k)} \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^k$ eine $k$-Form von $\omega$ über $[0,1]^k$ ($[0,1]^k \subset \mathbb R^k$) ist definiert als - -$$ - \int_{[0,1]^0} \omega &:=& f(0) - \\ \int_{[0,1]^k} \omega &:=& \int_{[0,1]^k} f(u)\intd u^1 \cdots \intd u^k -$$ - -(Das Integral der Funktion $f$ auf der rechten Seite der Definition im Sinne der Analysis) - -** Definition - -Sei $\omega \in \Omega^k(M)$, $c\colon [0,1]^k \to M$ ein singulärer Würfel in $M$. Das Integral von $\omega$ über $c$ ist definiert als -$$ - \int_c \omega := \int_{[0,1]^k} c^* w -$$ - -** Beispiel - -Sei $M=\mathbb R^k$, $c\colon[0,1]^k \to \mathbb R^k$, ein singulärer Würfel mit $\operatorname{det} D_xc \neq 0 \forall x\in [0,1]^k$. (Bemerkung: Diese Bedingung erzwingt, dass $\operatorname{det} D_x c > 0 (\text{oder} <0) \forall x\in [0,1]$) - -Sei $\omega = f(u) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k \in \Omega^k(\mathbb R^k)$ -$$ - \int_c \omega &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega = \int_{[0,1]^k} f(c(x)) \operatorname{det} D_x c\,\diffd x^1\cdots \diffd x^k - \\ &\overset{\text{Transformationsformel}}=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd^1 u^1 \cdots \intd u^k - TODO%TODO missing -$$ - -$$ - + && \text{wenn $\det D_x c> 0$ } - \\ - && \text{wenn $\det D_x c >0$ }, \forall x \in [0,1]^k -$$ - -TODO%TODO Bildchen 2 - -$$ - c^* &=& \tilde f(x) \, \diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^k \in \Omega^k([0,1]^k) - \\ \tilde f (x) &=& (c^* \omega)(x) \left(\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^k}\right) - \\ &=& \omega(c(x)) \left( c_*\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, c_*\frac{\partial}{\partial x^k} \right) - \\ &=& f(c(x)) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd^k \left( D_x c\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, D_x c\frac{\partial}{\partial x^k} \right) - \\ &=& f(c(x)) \operatorname{det} \bigg( \underbrace{ \diffd u^i \bigg( \underbrace{ D_x c\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) }_{j\text{-te Spalte der Jacobi-Matrix}} \bigg) }_{i\text{-te Komponente}} \bigg)^k_{i,j = 1} - \\ &=& f(c(x)) \cdot \det D_x c - \\ &=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd u^1 \cdots \intd u^k -$$ - -** Lemma - -Das Integral von $\omega$ über einen singuläreren Würfel $c\colon [0,1]^k \to M$ ist parametrisierungsunabhängig: Wenn $F\colon [0,1]^k \to [0,1]^k$ ein Diffeomorphismus mit $\det D_x F > 0 \forall x\in [0,1]^k$, dann gilt: - -$$ - \int_{c\circ F} \omega = \int_c \omega, \quad \quad \forall\omega\in \Omega^k(M) -$$ - -Beweis: - -$$ - \int_{c\circ F} \omega &\overset{\text{Def.}}=& \int_{[0,1]^k} (c\circ F)^*\omega - \\ &=& \int_{[0,1]^k} F^* (c^* \omega) - \\ &\overset{\text{Def.}}=& \int_F c^*\omega - \\ &\overset{\text{Bsp.}}=& \int_{F([0,1]^k)} c^* \omega \left( \frac{\partial}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u^k} \right) \intd u^1 \cdots \intd u^k - \\ &\overset{ F([0,1]) = ?? [0,1]^k}=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega \left( \frac{\partial}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u^k} \right) \intd u^1, \ldots, \intd^k - \\ &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega - \\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \omega -$$ - -TODO%TODO Bilchen - -** Definition - -Sei $M$ eine Mfg., $k\in \mathbb N$. Eine $k$-Kette in $M$ ist ein Element des freien $\mathbb R$-Vektorraumes auf der Menge singulärerer $k$-Würfel in $M$, d.h. eine formale Linearkombination. - -$$ - \sum_{i=1}^{N} a_ic_i -$$ - -mit $a_i \in \mathbb R$, $c_i \colon [0,1]^k \to M$ singulärer $k$-Würfel. Für $\omega \in \Omega^k(M)$ definiere -$$ - \int_{\sum_{i=1}^N a_ic_i} &:=& \sum_{i=1}^N a_i \int_{c_i} \omega -$$ - -Sei $W_k := [0,1]^k$ der Standardwürfel in $\mathbb R^k$ - -$$ - \partial W_k = \bigcup_{i=0}^k W_{i,0} \cup \bigcup_{i=0}^k W_{i,1} -$$ - -$$ - W_{i,0} &=& \{ x\in W \mathrel | x = (x_1, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i+1}, \ldots, x_k) \} - \\&=& \{ x\in W \mathrel | x_i = 0 \} - \\&\cong& W_{k-1} -$$ - -$$ - W_{i,1} &=& \{ x\in W_k \mathrel| x_i = 1 \} - \\&\cong& W_{k-1} -$$ - -** Definition - -Sei $c\colon W_k \to M$ ein singulärer $k$-Würfel. Der Rand von $c$ ist die singuläre $(k-1)$-Kette - -TODO%TODO author of book might have done a mistake -$$ - \partial c &:=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c |_{W_{i,j}} -$$ - -$c|_{W_{i,j}}$ ist ein singulärer $(k-1)$-Würfel, weil $W_{i,j} \cong W_{k-1}$ wie oben - -** Beispiel - -$$ - k=0 &\Rightarrow& \partial c = 0 - \\ k=1 &\Rightarrow& \partial c = c|_{\{1\}} - c|_{\{0\}} - \\ k=2 &\Rightarrow& \partial c = -c|_{W_{1,0}} + c|_{W_{1,1}} - c|_{W_{2,1}} +c|_{W_{2,0}} -$$ - -TODO%TODO Bilchen (4) - -Es gilt $\partial(partial(c)) = 0$. ($k=1$ klar, $k=2$:) - -$$ - \partial(\partial(c)) = \cancel{ c|_{\{A\}} } - \xcancel{ c|_{\{D\}}} + \bcancel{ c|_{\{B\}} } -\cancel{c|_{\{A\}}} +c|_{\{C\}} -\bcancel{ c|_{\{B\}}} +\xcancel{c|_{\{D\}}} -c|_{\{C\}} -$$ - -Beweis: sie Walschap - -** Bemerkung/Übung: - -Für jeden singulären Würfel $c$ ($\Rightarrow$ für jede Kette) gilt $\partial^2(c) := \partial(\partial(c)) = 0$ - -** Beispiel - -Sei $c = \sum_{i=1}^N a_i c_i$ eine $1$-Kette in $\mathbb R$ $(c_i\colon [0,1] \to \mathbb R)$, $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ - -Dann gilt: - -$$ - \int_c \intd f = \int_{\partial c} f -$$ - -Beweis: - -Nach Linearität reicht es, dies für einen singulären $1$-Würfel $c\colon [0,1] \to \mathbb R$ zu zeigen. - -$$ - \int_c \intd f &=& \int_{[0,1]} c^* (\diffd f) - \\ &=& \int_{[0,1]} (f\circ c)' du - \\ &\overset{\text{Haupsatz der Diff/ und Int-Rechnung}}=& f(c(1)) - \\ &=& f(c(0)) -f(c(0)) - \\ &=& \int_{\partial c} f -$$ - -$$ - \intd f &=& f'(t) \diffd t - \\ c^* (diffd f) = \tilde f(u) \diffd u = (f\circ c)' \intd u - \\ \tilde f(u) &=& c^*(\diffd) (\frac{\partial}{\partial u}) - \\ &=& \diffd f(c_* \frac{\partial}{\partial u}) - \\ &=& f'(c'(u))\diffd t(c_* \frac{\partial}{\partial u}) - \\ &=& f'(c(u)) c'(u) -$$ - -** Nächstes Ziel - -Satz von Stokes: - - 1) lokale Form $\int_c \intd \omega = \int_{\partial c} \omega$ ($c$-$k$-Kette, $\omega \to (k-1)$-Form) - 2) Erweiterung der Integration auf Mannigfaltigkeit - -wenn $\operatorname{dim} M=n (+\ldots)$ für $\omega\in \Omega^n(M) \rightsquigarrow \int_M \omega$ und -$$ - \int_{\underbrace{ M }_{\text{Mannigfaltigkeit mit Rand}}} \intd \omega' = \int_{\partial M} \omega' -$$ - -%2019-05-08 - -* Integration von Differentialformen - -$M$ -- eine Mannigfaltigkeit, $\omega \in \Omega^k(M)$ - -$$ - c\colon [0,1]^k \to M -$$ - -singulärer $k$-Würfel - -$$ - \int_c \omega &:=& \int_{[0,1]^k} c^*\omega -$$ - -($c^*\omega \underbrace{\text{linear}}{=} f(u) \intd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k$) - -haben auch - -$$ - \partial c = \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j} -$$ - -$c_{i,j}$ ist Einschränkung von $c$ auf $W_{i,j} \leftarrow$ Randkomponente von $[0,1]^k$ - -TODO%TODO Bilchen - -$$ - \partial c = c|_{W_{1,1}} -c|_{W_{1,0}} +c|_{W_{2,0}} -c|_{W_{2,1}} -$$ - -** Satz von Stokes lokale Version - -$$ - \underbrace{ \text{Newton-Leibnitz}}_{k=1} \text- \underbrace{\text{Green}}_{k=2} \text- \underbrace{\text{Gauss-Ostragradisk}}_{k=3} \text - \underbrace{\text{Stokes-Poincaré}}_{k\in \mathbb N} -$$ - -Wenn $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$, $c\colon [0,1]^k \to M$ singulärer $k$-Würfel. - -Dann gilt: - -$$ - \int_c \intd \omega = \int_{\partial c} \omega -$$ - -Beweis: - -Zunächst $M = \mathbb R^k$, $c\colon[0,1]^k \hookrightarrow \mathbb R^k$ - -Für $k=2$: - -$$ - \omega &\in& \Omega^1([0,1]^2) - \\ \Rightarrow \omega(u) &=& f_1(u)\diffd u^2 + f_2(u) \diffd u^1, \quad u\in [0,1]^2, f_1, f_2 \in C^\infty\left( [0,1]^2 \right) -$$ - -Integrieren ist linear $\Rightarrow$ können $f_1(u)\diffd u^2$, $f_2(u)\diffd u^1$ separat behandeln - -$$ - \diffd (f_1(u) \diffd u^2) = \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd ^u1 \wedge \intd u^2 -$$ - -$$ - \int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \wedge \intd u^2 - &\overset{\text{Def.}}{=}& - \int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \intd u^2 - = \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \right] \intd u^2 - \\ &=& \int_0^1 (f_1 (1,u_2) - f_1(0,u_2)) \intd u^2 - \\&=& \int_{W_{1,1}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 + \int_{W_{2,0}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2 - \\&-& \int_{W_{2,1}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2 - \int_{W_{1,0}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 + - \\&=& \int_{\partial [0,1]^2} f_1 (u) \intd u^2 -$$ - -Für $f_2 (u) \diffd u^1 \rightsquigarrow \diffd (f_2(u) \diffd u_1) = -\frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2$ - -Dann bekommt man analog -$$ - -\int \frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2 = \int_{\partial [0,1]^2} f_2 (u) \diffd u^1 -$$ - -(beachte Vorzeichen bei Randkomponenten!) - -Im Allgemeinen (für $k\in \mathbb N$): jedes $\omega\in\Omega^{k-1}\left([0,1]^k\right)$ ist von der Form - -$$ - \omega(u) = \sum_{i=1}^k \underbrace{ f_2(u) }_{\in C^{\infty}\left( [0,1]^k \right) } \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^{i-1} \wedge \diffd u^{i+1} \wedge \ldots \wedge \diffd u^k -$$ - -Dach über $\diffd u^i$ heißt weglassen. - -$$ - \partial c = \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j} -$$ - -Wegen Linearität reicht es einen Summanden - -$$ - \omega_i = f_i (u) \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{ \diffd u^i } \wedge \ldots \wedge \diffd u^k -$$ - -zu betrachten - -$$ - \diffd \omega_i = (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^i \wedge \ldots \wedge \diffd u^k -$$ - -$$ - \int_{[0,1]^k} \diffd \omega_i &=& \int_{[0,1]^k} (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \intd u^1 \cdots \diffd u^k - \\&=& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, u^{i+1}, 1, u^{i+1}, \ldots, u^k) \diffd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^1 }\cdots \diffd u^k - \\&-& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, \ldots, u^{i-1}, 0, u^{i+1}, \ldots, u^k) \intd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^i } \cdots \diffd u^k - \\&(*)=& \sum_{l=1}^{k} \sum_{j=0}^{1} (-1)^{l+j} \int_{W_{l,j}} \omega_i = \int_{\partial c} \omega_i -$$ - -Beachte $(*)$ alle Summanden mit $l\neq i$ verschwinden (da ist eine der Variablen $u^1,\ldots, u^{i-1}, u^{i+1}, \ldots, u^k$ konstant) - -Allgemeiner Fall: - -$c\colon [0,1]^k \to M$, $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$ - -$c_{i,j} = c|_{W_{i,j}} \cong W_{k-1}$ - -$$ - \int_{\partial c} \omega - &=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^1 (-1)^{i+1} \int_{c_{i,j}} \omega - \\&\overset{\text{Def.}}=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} \int_{[0,1]^{k-1}} c_{i,j}^* \omega - \\&=& \int_{\partial[0,1]^k} c^* \omega - \\&\overset{\text{Stokes für } [0,1]^k \text{ eben bewiesen}}=& - \int_{[0,1]^k} \diffd (c^* \omega) - \\&\overset{\diffd c^* = c^* \diffd}=& \int_{[0,1]^k} c^* (\diffd \omega) - \\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \diffd \omega -$$ - -Errinnerung: - -Dann gilt: - -$$ - \int_{c\circ F} \omega &=& \int_c \omega, \quad \omega \in \Omega^k (M) -$$ - -Fazit: - -$\int \omega$ ist koordinatennabhängig, wenn man nur orientierungserhaltende Koordinatentransformation zulässt. - -** Definition - -Eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$ heißt \emph{orientierbar}, wenn $\exists \omega \in \Omega^n (M)$ mit $\omega(p) \neq 0$, $\forall p\in M$. - -** Bemerkung - -Die Wahl einer Volumenform $\omega$ definiert eine Orientierung von $T_p M$ für jedes $p\in M$ - -($(e_1,\ldots, e_n) \in T_pM$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow$ $\omega(e_1, \ldots, e_n) > 0$) - -($M$ ist also orientierbar, wenn man alle $T_pM$ konstant orientieren kann) - -** Bemerkung - -Innerhalb einer Karte $(U,x)$ existiert immer eine Volumenform $\diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n$ - -D.h. Orientierbarkeit hängt davon ab, ob man diese lokalen Volumenformen zu $\omega \in \Omega^n (M)$ „verkleben“ kann. Solche -„lokal-zu-global“-Fragen werden mit der Teilung der Eins behandelt - -** Definition - -$$ - \operatorname{supp} \varphi := \overline{ \{ x\in M \mathrel| \varphi(x) \neq 0 \} } -$$ - -** Definition - -Eine Teilung der Eins auf $M$ ist eine Familie $\{\varphi_\alpha\}_{\alpha \in A} \subset C^\infty (M, [0,1])$ - - 1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_\alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in \operatorname{supp} \varphi_\alpha$ - - 2. - $$ - \sum_{\alpha\in A} \varphi_{\alpha} (p) = 1, \forall p\in M - $$ - -TODO%TODO Bilchen: Zerlegung der 1 auf R, überschneidende Hügel - -** Satz - -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ eine Überdeckung von $M$. Dann existiert eine Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}_{k\in K}$ mit der Eigenschaft $\forall k\in K \exists \alpha \in A$ - -(die Teilung der Eins ist der Überdeckung untergeordnet) - -Die Menge $K$ kann sogar abzählbar gewählt werden. - -Beweis: wird nachgeliefert - -** Bemerkung - -Kurzfassung des Satzes: Mannigfaltigkeiten sind \emph{parakompakt} - -** Proposition - -$M$ ist orientierbar genau dann, wenn es einen Atlas - -$$ - \mathcal A = \{ (U, x) \} -$$ - -von $M$ gibt mit der Eigenschaft $\det D_{\xi} (y\circ x^{-1}) > 0, \xi \in x(U\cap V)$, für alle $(U,x)$, $(V,y) \in \mathcal A$ - -Beweis: - -Orientierbarkeit $\Rightarrow \exists \mathcal A$: - -Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ eine Volumenform - -$$ - \mathcal A := \left\{ \underbrace{ (U,x) }_{\text{Karte}} \ \middle |\ \omega\left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) > 0 \right\} -$$ - -Das ist ein Atlas (nimm beliebige $(U', x')$ und stelle zwei Koordinaten gegebenenfalls um) $\mathcal A$ erfüllt die Aussage des Satzes, weil wegen $(U,x)$, $(V,y)$ zwei Karten mit $U\cap V \neq \emptyset$ - -$$ - \Rightarrow \omega = f \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n = g \intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n -$$ - -auf $U\cap V$ mit $f$, $g\in C^\infty (U\cap V)$, $f(p) \neq 0$, $g(p)\neq 0$, $p \in U\cap V$, (weil $\omega \neq 0$) - -Es gilt: - -$$ - \intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n = \frac{f}{g} \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n -$$ - -und -$$ - h = \frac{f}{g} > 0 -$$ - -Andererseits gilt - -$$ - h(p) = \det D_p(y\circ x^{-1}) -$$ - -weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right)$, $g=\omega \left( \frac{\partial}{\partial y^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial y^n} \right)$ - -$p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen ) - -$\Rightarrow \mathcal A$ orientiert - -%2019-05-14 - -* Übung 3 - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -N=\mathbb R^n \arrow[rr, "f"] \arrow[rr, "\begin{subarray}{l}y^1=f_1(x)\\ y^2=f_2(x) \end{subarray}"'] & & N=\mathbb R^m \\ -{x^1,\ldots, x^n} & & {y^1,\ldots, y^m} -\end{tikzcd} -\end{center} - -$$ - \varphi \colon N\to \mathbb R \quad (\varphi = \varphi(y^1,\ldots, y^n)) -$$ - -$$ - (f^*\varphi)(x) = \varphi(f(x)) = \varphi(f^1(x), \ldots, f^n(x)) -$$ - -(Index, keine Potenz) - -$$ - f^*y^1 = f^1, \quad f^*y^k = f^k -$$ - -$1$-Formen Zurückziehen - -$$ - f^*(\diffd y^1) &\in& \Omega^1(M) - \\f^*(\diffd y^1)&=&\sum_{i=1}^m \omega_i \diffd x^i - \\\omega_i &=& (f^*(\diffd y^1))\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) - \\&=& \diffd y^1\left(f_* \frac{\partial}{\partial x_i}\right) - \\&\overset{(*)}=& \diffd y^1\underbrace{ \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f^j}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial}{\partial y^1} \right) }_{=Df(e_1)} - \\&=& \frac{\partial f^1}{\partial x^i} - \\&\Rightarrow& f^* (\diffd y^1) - \\&=& \sum_{j=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i - \\&=& \diffd f^1 - \\&=& \underbrace{\sum_{i=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i}_{\text{„Differentialform“}} -$$ - -** Beispiel - -$m=2$, $n=3$, $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3$ - -$$ - (\xi, \eta) &\mapsto& (\xi^2, -2\xi\eta, \eta^3) - \\ w &=& x\diffd x - 3xyz\diffd y + zx\diffd z \in \Omega^1(\mathbb R^3) -$$ - -$$ - f^* \omega = \xi ^2 \ldots TODO%TODO missing part -$$ - -TODO%TODO finish Übung - -%2019-05-15 - -** Vorlesung - -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent - - 1. $M$ ist orientierbar - 2. $\exists \mathcal A$, einen Atlas für $M$, s.d. - $\forall (U,x), (V,y) \in \mathcal A$ gilt: - $$ - \det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V) - $$ - -Beweis:TODO%TODO reference -$(1.) \Rightarrow (2.)$ letzes Mal erbracht. - -Erinnerung $M$ orientierbar $\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ mit $\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$ ($\omega$ heißt dann Volumenform) - -Für $(2.) \Rightarrow (1.)$ brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei $\mathcal A$ ein Atlas wie in $(2)$: -$$ - \mathcal A = \{ (U_\alpha, x_\alpha) \mathrel| \alpha \in \mathcal A \}, \quad U_\alpha \text{ überdecken } M -$$ - -$\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$ eine Teilung der Eins aufgefasst an $U_\alpha$ ($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$ s.d. $\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$) - -TODO%TODO Bilchen überschneidende Hügel - -Definiere die $n$-Form ($n=\dim M$) -$$ - \omega_k(p) := \varphi_k(p) \intd x^1_{\alpha_k} \wedge \ldots \wedge \diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M -$$ -$$ - \varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k}) -$$ - -TODO%TODO Bilchen one bump - -Sei $\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem $p\in M$ wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins. - -$\omega$ verschwindet nirgends, weil: $\forall p\in \operatorname{supp} \varphi_k$ - -$$ - \omega(p) \left( \frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}} \right) - = \underbrace{ \varphi_k(p) }_{>0} + \sum_{k'\in \mathbb N\atop k' \neq k} \underbrace{ \omega_{k'}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}}\right) }_{\geqslant 0,\ \neq 0} -$$ - -$$ - \omega_k(p)(\ldots) &\overset{\operatorname{supp}\varphi_{k'}\in U_{\alpha_{k'}}}=& \varphi_{k'}(p) \cdot \det D_{x_{\alpha_k(p)}}\left( x'_{\alpha_k} \circ x^{-1}_{\alpha_k} \right) - \\&>& 0 -$$ - -** Satz: Existenz der Teilung der Eins - -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins $\{ \varphi_j \}_{j\in \mathbb N}$ die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h. $\forall j\in \mathbb N \exists \alpha$ mit $\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$) - -Erinnerung: Teilung der Eins -„Teilung der Eins“ heißt $\varphi_k \subset C^\infty (M, [0,1])$ mit - -$$ - \sum_{k\in \mathbb N} \varphi_k(p) = 1, \quad \forall p\in M -$$ - -endlich $\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$ heißt nur in endlich vielen von $\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$ - -Beweis: - -TODO%TODO Bilchen: Langos, mit wellen - -1. Ziel: - -Schreibe $M=\bigcup_{k\in \mathbb N} A_k$, s.d. $A_k$ kompakt, $\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$. $M$ ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu $\mathbb R^n$), zweitabzählbar $\Rightarrow \exists (Z_i)_{i\in \mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit $\overline{Z_i}$ kompakt. - -Sei $A_{0} := \overline{Z_0} \Rightarrow A_0$ kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben $A_k$ kompakt. Sei $i_k\in \mathbb N$ minimal mit - -$$ - A_k \subset Z_0 \cup Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i_k} -$$ - -($i_k$ existiert, da $\bigcup Z_i = M\cup A_k$ kompakt) - -Setze - -$$ - A_{k+1} := \overline {Z_0} \cup \overline {Z_1} \cup \overline {Z_{i_k}} \cup \overline {Z_{k+1}} -$$ - -$A_k$ aufsteigend, $\bigcup_k \operatorname{int} A_k = M$, da $\bigcup_k Z_k = M$ Setze außerdem $A_{-1} := \emptyset$, dan gilt: - -$$ - M= \bigcup{k\in \mathbb N} A_k \setminus (\operatorname{int} A_{k-1}) -$$ - -$\forall p \in M: \exists (V_p, x_p)$ Karte mit: - - 1. $x_p(p) = 0\in \mathbb R^n$ - 2. $V_p \subset U_\alpha$ - 3. $x_p(v_p) = B(3,0) \subset \mathbb R^n$ - 4. $V_p \subset \operatorname{int} A_{k+2} \setminus A_{k-1}$ für gewisses $k\in \mathbb N$ - -Dann gilt: $\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset \mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1} \setminus \operatorname{A_k}}$ ist eine Überdeckung von $A_{k+1} \setminus \operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt. $\Rightarrow$ diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung $\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$ - -$$ - \{P_{i,j}\}_{k\in \mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k} -$$ - -ist eine Überdeckung von $M$, die abzählbar ist, untergeordnet der $\{U_\alpha\}$ ist (jedes $P_{i,k}$ liegt in einem $U_\alpha$). Wir können sie also als $\{V_j\}_{j\in \mathbb N}$ umnummerieren. - -Nach Konstruktion gilt: jedes $Q_j$ ist enthalten in einem $V_{p_j}$ zu einer Karte $(V_{pj}, x_{pj})$ mit: - -$$ - x_{pj}(v_{pj}) = B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j) = B(0,1) -$$ - -Sei $\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$ glatt mit der Eigenschaft - - 1. $\theta(u) = 1$, $\lVert u \rVert < 1$ - 2. $\theta(u) = 0$, $\lVert u \rVert > 2$ - -(Siehe Übung 24) - -TODO%TODO rundes Trapez - -Sei -$$ - \psi_j(p) := - \begin{cases} - \theta \circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\ - 0, & \text{sonst} - \end{cases} -$$ - -Nach Konstruktion gilt: -$$ - \psi_j\in C^\infty(M, [0,1]) -$$ -Behauptung: -\begin{center} -$\forall p\in M$ sind nur endlich viele $\psi_j(p) \neq 0$. Wenn $p\in A_k$ mit $\psi_j(p) \neq 0$ -\end{center} - -$\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$ -$\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$ - -Nun ist $\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins. - -%2019-05-21 - -letzes Mal: Beweis des Satzes über Existenz einer Teilung der Eins. - -* Satz - -Jede Mannigfaltigkeit $M$ ist parakompakt. d.h. für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine untergeordnete Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}$ (sogar abzählbar) - -Standardanwendungmuster: haben eine Konstruktion innerhalb der Karte $(U,x)$ Um eine Konstruktion global auf $M$ zu bekommen, machen wir es innerhalb jeder Karte $\{ U_\alpha \} = \{ (U,x) \mathrel| (U,x) \text{ Karte} \}$ und verkleben es mit Hilfe der Teilung der Eins. - -(Beispiel: Existenz von orientierten Karten $\Leftrightarrow$ Orientierbarkeit) - -Erinnerung: $M$ orientierbar $\overset{\det}\Leftrightarrow$ $\exists$ Volumenform (nirgends verschwindent) $\omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ - -Beweis: $\omega_1$, $\omega_2$ Volumenform $\Rightarrow$ $\exists f\in C^\infty(M)$ nirgends verschwindend mit $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ (weil $\dim \bigwedge^n T^*_p M =1$) - -Wenn $M$ zshgoh. ?? $\Rightarrow$ $f>0$ oder $f<0$ - -** Definition - -Zwei Volumenformen $\omega_1$, $\omega_2$ definieren die gleiche Orientierung von $M$, wenn $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ für ein $f\in C^\infty(M, (0,\infty))$ - -$M$ heißt orientiert, wenn eine entsprechende Äquivalenzklasse von Volumenformen fixiert ist. - -** Definition - -Die Standardorientierung von $[0,1]^n$ ist gegeben durch die Äquivalenzklasse von $\diffd u^1\wedge \ldots\wedge u^n$ - -** Definition - -Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, von Dimension $n$, $\omega$ eine entsprechende Volumenform: - -Ein $n$-Würfel $c\colon[0,1]^n \to M$ heißt orientiert, wenn $c^*\omega = f(u)\cdot \diffd u^1\wedge \ldots\wedge \diffd u^n$ mit $f(u)>0$ $\forall u\in [0,1]^n$ - -** Lemma (Koordinateninvarianz der Integration) - -Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ $(\dim M=n)$, $c_1$, $c_2\colon[0,1]^n \to M$ orientierte Würfel. Dann gilt: wenn $\operatorname{supp}\omega\subseteq c_1\left( [0,1]^n \right)\cap \left( [0,1]^n \right)$, gilt - -$$ - \int_{c_1} \omega = \int_{c_2}\omega -$$ - -Beweis: - -Betrachte die Verknüpfung $c^{-1}_2\circ c_1\colon [0,1]^n\to [0,1]^n$ - -Sie ist orientierungserhaltend - -$$ - \int_{c_2} \omega \overset{ \text{Invarianz*} }= \int_{c_2\circ c_2^{-1}\circ c_1} \omega = \int_{c_1}\omega -$$ -TODO%TODO * -*der Integration ?? orientierter Abbildungen - -** Definition - -Sei $\omega\in \Omega^n (M)$ ($n = \dim(M)$) eine $n$-Form s.d. $\exists c\colon[0,1]^n\to M$ orientiert mit $\operatorname{supp}\omega\subseteq c\left( [0,1]^n \right)$ - -Definiere: - -$$ - \int_M \omega := \int_c \omega -$$ - -TODO%TODO Bildchen: Hase I -TODO%TODO irgendwann später verändertes Bildchen -Nach dem Lemma ist es wohldefiniert - -Bemerkung: - -Insbesondere ist $\int_M \omega$ nur definiert, wenn $M$ orientiert ist. - -** Definition - -Sei $\omega \in Omega^n(M)$ mit kompakten Träger. Sei jetzt $\{ U_\alpha \}_\alpha$ eine Überdeckung von $M$ durch offene Mengen, s.d. für jedes $\alpha$ ein orientierter Würfel $c_\alpha\colon[0,1]^n\to M$ existiert mit $U_\alpha \supseteq c_\alpha([0,1]^n)$ -(solche Überdeckung existiert z.B. weil man die Karten betrachten kann) - -Sei $\{ \varphi_k \}_{k\in \mathbb N}$ die untergeordnete Teilung der Eins. - -Wir definieren: - -$$ - \int_M \omega := \sum_{k\in N} \underbrace{ \int_M \varphi_K \cdot \omega}_{\text{(vorherige Definition)}} -$$ - -Beachte: - -die Summe (oben) hat stets nur endlich viele Terme. - -Bemerkung: - -$\int_M \omega$ ist wohldefiniert: wenn $\{ V_\beta \}$ eine andere Überdeckung mit entsprechender Teilung der Eins $\{ \psi_l \}$ ist, gilt: - -$$ - \underbrace{ \sum_{k\in \mathbb N}\int_{M} \varphi_k \cdot \omega} &=& \sum_{k\in \mathbb N}\sum_{l\in \mathbb N} \int_M \varphi_k \psi_l \cdot \omega - \\&\overset{\text{Summen endlich}}=& \sum_{l\in\mathbb N}\sum_{k\in \mathbb N} \int_M \psi_l \varphi_k\cdot \omega - \\&=& \underbrace{ \sum_{l\in\mathbb N} \int_M \psi_l \cdot \omega } -$$ - -Nach den üblichen Eigenschaften des Integrals gilt: - -$$ - \int_M (\omega_1+\omega_2) = \int_M \omega_1 + \int_M \omega_2, \quad \int_M \lambda \omega = \lambda \int_M \omega, \quad \lambda \in \mathbb R -$$ - -wenn $\omega = f\cdot \operatorname{vol}$ mit $f\geqslant0$, gilt - -$$ - \int_M \omega \geqslant 0 -$$ - -** Bemerkung - -Folgende Beobachtung erleichtern die Integration - 1. Auf $M$ ist der Begriff einer Nullmenge wohldefiniert: $A\subseteq M$ ist ene Nullmengem, wenn $x(A\cap U) \subseteq \mathbb R^n$ eine Nullmenge für jede Kante $(U,x)$. Wie in $\mathbb R^n$ ignoriert man Nullmengen bei Integration. - - 2. Wenn $M$ bis auf eine Nullmenge durch endlich viele Karten überdeckt wird. Kann man Integration ohne Teilung der Eins durchführen: - $$ - M = \bigsqcup_{i=1}^k U_i \cup \underbrace{A}_{\text{Nullmenge}} - $$ - dann gilt: - - $$ - \int_M \omega = \sum_{i=1}^k \int_{ \underbrace{ U_i }_{ \text{das kann man in Koordinaten ausrechnen} } }\omega - $$ - -TODO%TODO Bildchen Schuppen dragon - -Beweis: - -Nach (1) kann man $A$ bei Integration ignorieren, $U_i \subset M$ sind selbst Mannigfaltigkeiten. Wähle jetzt Teilung der Eins $\psi_{i,l}$ für $U_i$'s, dann gilt: - -$$ - \int_M \omega &\overset{(1)}=& \sum_{i=1}^k \sum_{l\in \mathbb N} \int_M\psi_{i,l} \omega - \\&=& \sum_{i=1}^k \int_{U_i} \omega -$$ - -Beispiel: - -$M=S^1$, - -TODO%TODO Bildchen: nurn Kreis - -$$ - x^{-1} \colon (0,2\pi) \to S^1, \quad \theta \mapsto (\cos \theta, \sin \theta) -$$ - -$$ - U:= x^{-1}\colon((0,2\pi)) = S^1 \setminus \{ \underbrace{ (1,0) }_{\text{Nullmenge}} \} -$$ - -D.h. wenn $\omega \in \Omega^1(S^1)$, gilt $\omega|_U = f(\theta)\intd \theta$ - -$$ - \rightsquigarrow_{S'} \omega = \int_0^{2\pi} f(\theta)\intd \theta -$$ - -Analog: - -jedes $\omega\in \Omega^2(S^2)$ hat die Gestalt - -$$ - \omega = f(\theta, \varphi) \intd \theta\wedge\diffd \varphi -$$ - -in sphärischen Koordinaten, - -$$ - \int_{S^2} &=& \int_{S^2} f(\theta,\varphi)\intd\theta \wedge \intd \varphi - \\&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\pi} f(\theta, \varphi) \intd \theta \intd \varphi -$$ - -Nächstes Ziel: - -Stokes-Formel: - -Errinnerung: - -lokale Version: - -$$ - \int_c\diffd\omega = \int_{\partial c}\omega -$$ - -globale Version: - -$$ - \int_M\diffd\omega = \int_{\partial M} \omega -$$ - -hier brauchen wir Mannigfaltigkeit mit Rand zu verstehen - -Bemerkung: - -Wir werden $\partial M = \emptyset$ zulassen (Mannigfaltigkeit ohne Rand) - -** Definition - -Eine topologische $n$-Mannigfaltigkeit mit Rand $(M,\partial)$ ist ein zweitabzählbarer Hausdorffraum $M$ mit der Eigenschaft: - -für jedes $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ und einen Homöirphismus - -$$ - x\colon U\to x(U) -$$ - -wobei $x(U)$ eine offene Teilmenge in $\mathbb R^n$ oder - -$$ - H^n := \{ u\in \mathbb R^n \mathrel| u^n \geqslant 0 \} -$$ - -und $x(p)=0$ - -Der Rand $\partial M$ besteht genau aus den Punkten, deren Umgebung unter einer Karte nach $H^n$ geschickt wird. Eine differenzierbare Struktur definiert man wie bei normalen Mannigfaltigkeiten. - -Beispiel: - -$M=\overline B(0,1) \subseteq\mathbb R^n$ ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M = S^{n-1}$ - -TODO%TODO Bilchen Kugel - -** Beweis: - -$\partial M$ ist eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n-1$: wann $p\in \partial M$, ist $U\cap \partial M$ eine Umgebung von $p$ in $\partial M$ - -$$ - x\colon (U\cap \partial M) \to x(U\cap \partial M) \subset \partial H^n = \mathbb R^{n-1} -$$ - -ist eine Karte für $\partial M$ an $p$ - -Nächstes mal: um der Stokes-Formel Sinn zu geben werden wir für orientiertes $M$ eine Orientierung auf $\partial M$ angeben. - -%2019-05-28 - -letztes Mal: Mannigfaltigkeiten mit Rand - -Errinnerung: $(M, \partial M)$, modelliert auf $\mathbb R^n$ oder auf $H^n = \{x\in R^n \mathrel | x^n \geqslant 0 \}$ - -TODO%TODO Bild B1 - -$$ - M = \overline B (0,1) &\subset& \mathbb R^{n+1} - \\ \partial M &=& S^m \subseteq \mathbb R^{n+1} -$$ - -Beweis: - -$$ -\dim M = n \Rightarrow \dim \partial M = n-1 -$$ - -Ziel: - -$$ - \int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega\quad \forall \omega\in \Omega^k (M) -$$ - -TODO%TODO Bild B2 - -Errinnerung: eine glatte Funktion au $H^n$ ist per Definition die Einschränkung einer glatten Funktion von $\underbrace{ U }_{\mathbb R^n, \text{ offen}}\supseteq H^n$ - -Folglich ist $T_pH^n \cong T_p\mathbb R^n\quad\forall p\in \partial H^n = \mathbb R^{n-1}$ - -Daher gilt $T_pM$ hat Dimension $n$ selbst für Punkte auf -$\partial M$ -! - -(insbesondere $\neq T_p(\partial M)$) - -** Definition - -Sei $v \in T_p M$, $p\in \partial M$. $v$ heißt nach außen (bzw. nach innen) zeigend, wenn $v(x^n) < 0$ für jede Karte $(U,x)$ mit $x(p)=0$ - -TODO%TODO Bild B3 - -** Bemerkung - -Dies ist wohldefiniert, weil für jede andere Karte $(V,y)$ mit $y(p)=0$ gilt: - -$$ - D(y\circ x^{-1}) = \left[ TODO \right]TODO%TODO B4 -$$ - -(weil $y\circ x^{-1}\colon H^n \overset{Diffeo}\to H^n$) TODO%TODO Bilchen B5 - -$$ - \tilde x^{-1} = x^-1|_{\mathbb R^{n-1}} - \\ \tilde y^{-1} = y^{-1}|_{\mathbb R^{n-1}} -$$ -mit $\alpha > 0$ - -Wenn $M$ orientiert ist, bekommen wir auch eine Orientierung auf -$\partial M$: wenn $\{(U,x)\}$ ein orientierter Atlas von $M$ ist -$\Rightarrow \det D_{x(p)}(y\circ x^{-1}) > 0$, auch für $p\in \partial M$, was $\det D_0(y\circ x^{-1}) = \alpha \det D_0 (\tilde y \circ \tilde x^{-1})$ - -$\Rightarrow \{ (U\cap \partial M, \tilde x) \}$ ist ein orientierter Atlas für $\partial M$ - -** Geometrisch - -$v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p(\partial M)$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow v, v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p M$ positiv orientiert für jedes nach außen zeigende $v$ - -TODO%TODO Bilchen B6 - -Ziel: - -$$ -\int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega \quad \forall \omega\in \Omega^{n-1}(M) -$$ - -** Erinnerung - -$$ - \int_M \intd \omega = \sum_{k\in \mathbb N} \int_M \varphi_k \intd \omega, \quad (\varphi_k)_{k\in \mathbb N} \text{Teilung der Eins} -$$ - -s.d. -$$ - \operatorname{supp} \varphi_k \subset c([0,1]^n), c\colon [0,1]^n\to M\text{ positiv orientiert} -$$ - -Für eine Mannigfaltigkeit mit Rand gilt: Es gibt eine Überdeckung $U = \{U_i\}_i$ von $M$ mit der Eigenschaft: jedes $U_i \subseteq c([0,1]^n)$, wobei $c\colon[0,1]^n\to M$ orientierungserhaltend mit entweder - -$$ - c([0,1]^n) \subset M\partial M -$$ - -oder - -$$ - c([0,1]^n)\cap \partial M = c_{n,0}([0,1]^{n-1}) -$$ - -TODO%TODO Bildchen B7 - -($U$ existiert nach Definition von einer Mannigfaltigkeit mit Rand: (benutze Karten) - -** Notation - -Wenn $M$ orientiert ist, bezeichnen wir durch $-M$ die Mannigfaltigkeit $M$ mit Umgekehrter Orientierung (mit Volumenform $-\omega$ statt $\omega$) - -NB:TODO%TODO NB? - -$$ -\int_{-M} \alpha = - \int_M \alpha -$$ - -** Satz(Newton, Leibnitz, Green, Gauss, Poincaré) - -Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$, $\dim M = n$; sei $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$, $\operatorname{supp} \omega$ ist kompakt. Dann gilt: - -$$ - \int_M \intd \omega = \int_{\partial M}\omega_{.,} -$$ - -Beweis: - -Sei $U$ eine Überdeckung wie oben, $(\varphi_k)$ die untergeordnete Teilung der Eins, haben dann - -$$ - \int_M \intd \omega = \sum_{k\in \mathbb N}\int_M \varphi_k \cdot \diffd\omega - \\ \operatorname{supp} \varphi_k \subseteq \underbrace{U_{i_k}}_{\text{offen}} \subseteq c\left([0,1]^n\right) -$$ - -TODO%TODO Bilchen B8 - -Wenn $\omega \in \Omega^n(M)$ mit $\operatorname{supp}\omega \subseteq U_{i_k} \subseteq c\left([0,1]^n\right)$, $c([0,1]^n) \cap \partial M=\emptyset$ - -$\Rightarrow \operatorname{supp} \omega \cap \partial\left( c[0,1]^n \right) = \emptyset$ und - -$$ - \int_M \intd \omega \overset{\text{Def.}}= \int_c \intd \omega \overset{\text{lokale Version}}= \int_{\partial c}\omega = 0 -$$ - -Andererseits $\int_{\partial} \omega =0$, weil $\operatorname{supp} \omega \cap \partial M = \emptyset$ - -Wenn $\omega\in \Omega^n(M)$ mit $\operatorname{supp}\omega \subseteq U_{i_k} \subseteq c\left( [0,1]^n \right)$: - -$$ - c\left([0,1]^n\right)\cap \partial M = c_{n,0}\left( [0,1]^{n-1} \right) -$$ - -$$ - \int_M \intd \omega &=& \int_c \intd \omega - \\&\overset{\text{lokale Version}}=& \int_{\partial c} \omega - \\&=& \int_{(-1)^nc_{n,0}} \omega - \\&=& (-1)^n \int_{c_{n,0}} \omega - \\&\overset{\text{Vergleich von Orientierungen}}=& (-1)^n(-1)^n \int_{\partial M} \omega - \\&=& \int_{\partial M} \omega -$$ - -TODO%TODO Bildchen B9 - -$c$ orientiert $\Rightarrow \underbrace{ e_1 }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^1} \right)}, \ldots, \underbrace{ e_n }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^n} \right)}$ positiv orientiert. - -Orientierung auf dem Rand ist aber so definiert, dass $-e_n, e_1, \ldots, e_{n-1}$ positiv orientiert sein soll. - -** Im Allgemeinen - -($\omega \in \Omega^{n-1}(M)$ beliebig) - -$$ - \int_{\partial M} \omega &=& \int_{\partial M} \sum_k \varphi_k \cdot\omega - \\&=& \sum_k \int_{\partial M} \varphi_k \cdot \omega - \\&\overset{\operatorname{supp}(\varphi_k, \omega)\text{ in }U_{i_k}}=& \sum_k \int_M \intd (\varphi_k \omega) - \\&=& \sum_k \int_M \intd(\varphi_k \omega) - \\&=& \sum_k \int_M \intd \varphi_k\wedge\omega + \sum_k \int_M \varphi_k \intd \omega - \\&=& \int_M \intd\left(\underbrace{ \sum_k \varphi_k }_{=1} \right) \wedge \omega + \int_M\intd \omega - \\&=& \int_M \intd \omega -$$ - -(weil $\diffd (1)=0$) - -** Korollar - -Wenn $\partial M = \emptyset$, $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$, gilt - -$$ -\int_M \intd \omega = 0 -$$ - -Erinnerung: - -$$ - d\circ d = 0 -$$ - -$\Rightarrow$ wenn $\eta = \intd \omega \Rightarrow \intd \eta=0$, ($\overset{?}\Leftarrow$) - -** Definition - -$\eta \in \Omega^k(M)$ heißt: - - 1. geschlossen, wenn $\diffd \eta = 0$ - 2. exakt, wenn $\eta = \diffd \omega$ - -$\diffd^2 = 0$ heißt exakt $\Rightarrow$ geschlossen - -$\Leftarrow$ gilt im Allgemeinen nicht: - -** Beispiel - -$M=S^1$, $\omega = \diffd \theta$ (im lokelen Koordinaten) - -TODO%TODO Bildchen B10 - -$$ - \int_{S^1} \omega = \int_0^{2\pi} \intd \theta = 2\pi -$$ - -$\Rightarrow \nexists f \in \Omega^0 (S^1)$ mit $\omega = \diffd f$ - -** $\text{Beispiel}'$ - -$M$ kompakt, $\dim M = n$, ohne Rand, orientiert, $\omega\in \Omega^n(M)$ Volumenform - -$$ -0 < \int_M \omega,\quad \diffd \omega = 0 -$$ - -weil $\Omega^{n+1}(M) = 0$ $\Rightarrow \omega$ geschlossen, aber nicht exakt. - -** Definition - - - $B^k(M) := \{ \eta \in \Omega^k(M) \mathrel| \eta = \diffd \omega \}$ - - $Z^k(M) := \{ \eta \in \Omega^k(M) \mathrel| \eta = \diffd 0 \}$ - -$B^k(M) \nsubseteq Z^k(M)$, $H^k (M) := Z^k(M) / B^k (M)$ heißt ($k$-te) de Rham-Kohomologie von $M$ - -%2019-05-29 - -Gestern: - -Stokes: - -$$ - \int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega -$$ - -$$ - \langle [M], \diffd \omega \rangle = \langle [\partial M], \omega \rangle -$$ - -** Definition: Kozykel - -$$ - Z^k(M) = \{\omega\in\Omega^k(M)\mathrel| \diffd \omega = 0 \} -$$ - -heißen \emph{Kozykel} oder \emph{geschlossene Formen} - -** Definition: Koränder - -$$ - B^k(M) = \{ \omega \in \Omega^k(M)\mathrel| \omega = \diffd \eta \} -$$ - -heißen \emph{Koränder} oder \emph{exakte Formen}. - -Weil $\diffd^2 = 0$, gilt $B^k(M)\underbrace{\subseteq}_{\text{i.A. }\neq} Z^k(M)$ - -$$ - H^k(M) := Z^k(M)/K^k(M) -$$ - -heißt $k$-te de Rham-Kohomologie. $H^k(M)$ ist ein $\mathbb R$-Vektorraum und eine Wichtige Invariante von $M$. - -** Proposition - -Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert eine lineare Abbildung - -$$ - f^*\colon H^k(N) \to H^k(M) -$$ - -es gilt $(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$. - -** Bemerkung - -Sei $f^*\colon \Omega(N) \to \Omega^k(M)$ Pullback von Formen. Wir haben bewiesen, dass $f^*(\diffd \omega) = \diffd(f^*\omega)$, $\forall\omega\in \Omega^k(N)$ - -Es folgt: - -$$ - f^*(Z^k(N)) &\subseteq& Z^k(M) - \\ f^*(B^k(N)) &\subseteq& B^k(M) -$$ - -$\Rightarrow f^*$ induziert eine Abbildung $f^*\colon Z^k(N)/B^k(N) \to Z^k(M)/B^k(M)$ - -$$ - (f\circ g)^* = g^*\circ f^* -$$ - -gilt schon auf Formen. - -** Korollar - -$M\cong N \Rightarrow H^k(M)\cong H^k(N)\quad \forall k\geqslant 0$. Wie berechnet man $H^k(M)$? - - - $k=0$ - $H^0(M) = Z^0(M) = \{ \varphi \in C^\infty(M)\mathrel| d\varphi = 0 \}$ - $$ - \diffd \varphi = 0 \Rightarrow \varphi \text{ lokal konstant} - $$ - Also wenn $M$ zusammenhängend ist, gilt: $H^0(M) \cong \mathbb R$ - -** Definition - -$$ - b_k(M) := \dim_{\mathbb R} H^k(M) -$$ - -heißt $k$-te Bettizahl von $M$ - -** Beispiel - -$M=S^1$, $H^0(S^1)\cong\mathbb R$, $H^1(S^1) = ?$, $Z^1(S^1) = \Omega^1(S^1)$, weil $\dim S^1 = 1$ - -$$ - B^1(S^1) = \{ \omega\in \Omega^1\mathrel| \omega = \diffd \varphi \} -$$ - -$$ - \int_{S^1} \diffd \varphi \overset{\text{Stokes}}= \int_{\partial S^1} \varphi = \int_{\emptyset} \varphi = 0 -$$ - -Also gilt: - -$$ - \int_{S^1}\colon Z^1(S^1) \to \mathbb R, \quad \int_{S^1} \supseteq B^1(S^1) -$$ - -$\Rightarrow$ - -$$ - \int_{S^1} \colon H^1(S^1) &\to& \mathbb R - \\ \rotatebox[origin=c]{90}{$\in$} && - \\ \lbrack\omega\rbrack &\mapsto& \int_{S^1} \omega -$$ - -$$ - \int_{S^1} (\omega + \diffd \eta) = \int_{S^1} \omega + \int_{S^1}\underbrace{ \intd\eta }_{=0} = \int_{S^1}\omega -$$ - -$$ - \int_{S^1} \colon H^1(S^1) \to \mathbb R -$$ - -ist surjektiv: - -$$ - \int_{S^1} x\intd y -y\intd x = 2\pi -$$ - -Behauptung: - -Es ist auch injektiv, also ist $H^1(S^1)\cong \mathbb R$ - -Beweis: - -Haben zu zeigen: - -$$ - \int_{S^1}\omega = 0 \Rightarrow \omega = \diffd \varphi -$$ - -für eine Funktion $\varphi$ - -TODO%TODO Bildchen - -$$ - \omega = g(\theta)\diffd \theta -$$ - -in der Karte $(S^1\setminus \{(1,0)\}, \theta)$ - -$$ - \int_{S^1} = \int_0^{2\pi} g(\theta)\intd (\theta) = 0 -$$ - -$$ - \varphi(\theta) := \int_0^\theta g(\theta)\intd \theta, \quad \varphi\colon [0,2\pi] \to \mathbb R, \text{ text} -$$ - -erfüllt $\varphi(2\pi) = \varphi(0) = 0$ - -$\Rightarrow \varphi$ definiert eine glatte Funktion auf $S^1$ - -TODO%TODO B3 - -* Homotopie und Homotopieinvarianz von der de-Rahm-Kohomologie - -** Definition - -Seien $M_1$, $M_2$ Mannigfaltigkeiten, $f$, $g \colon M_1 \to M_2$ glatt Abbildung. $f$, $g$ heißen (glatt) homotop, wenn - -$$ - \exists H\colon M_1\times[0,1]\to M_2 -$$ - -glatt mit: - -$$ - H(p,0) &=& f(p) - \\ H(p,1) &=& g(p), \quad p\in M -$$ - -Bezeichung: - -$f$ homotop zu $g$ -$$ - f\simeq g -$$ - -** Definition - -Zwei Mannigfaltigkeiten $M$, $N$ heißen homotopiäquivalent, wenn $\exists f\colon M\to N$, $\exists g\colon N\to M$ mit $g\circ f \simeq \operatorname{id}_M$, $f\circ g \simeq \operatorname{id}_N$ - -Bezeichung: -$$ - M\simeq N -$$ - -** Definition - -$M$ heißt zusammenziehbar, wenn $M=\{*\}$ - -** Beispiel - -$\mathbb R^n$ ist zusammenziehbar - -$f\colon \mathbb R^n\to \{*\}$, konstant, $g\colon\{ * \}\to \mathbb R^n$, $*\mapsto 0$ - -$$ - f\circ g = \operatorname{id}_{\{*\}}, \quad g\circ f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n, x\mapsto 0 -$$ - -$$ - H\colon \mathbb R^n \times [0,1] \to \mathbb R^n, (x,t) -$$ - -$$ - \hat H\colon B(0,1)\times [0,1] \to B(0,1) - \\ (x,t) \mapsto (1-t)\cdot \frac{2}{\pi} \arctan(\lVert \psi(x) \rVert) \psi(x) - \\ (x,t) \mapsto (1-t)\cdot x -$$ - -Homotopie zwischen $\operatorname{id}_{B(0,1)}$ und $O\colon B(0,1)\to B(0,1)$, $x\mapsto 0$ - -$B(0,1)\cong \mathbb R^n$ - -$$ - x \mapsto x\cdot \tan \left(\lVert x \rVert \cdot \frac{\pi}{2}\right) -$$ - -$$ - \frac{2}{\pi} \operatorname{arctan}(\lVert y \rVert)y \mathrel{ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{0}{$ \mapsto $}} } y -$$ - -** Satz - -Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f$, $g \colon M\to N$ homotop. Dann gilt - -$$ - f^* = g^* \colon H^k(N) \to H^k(M) -$$ - -** Korollar - -$M\simeq \{*\} \Rightarrow H^k(M) = \begin{cases} 0, & k>0\\ \mathbb R, & k=0\end{cases}$ - -** Korollar - -$S^1$ ist nicht zusammenziehbar - -** Proposition - -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $N$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $k$, $i_0$, $i_1 \colon N\to M$ zwei Einbettungen . Wenn $i_1$, $i_2$ homotop sind, gilt: - -$$ - \int_{i_0(N)} \omega = \int_{i_1(N)} \omega -$$ -für jede geschlossene Form $\omega\in\Omega^k(M)$ - -Beweis: - -Sei $H\colon N\times[0,1]\to M$ eine Homotopie zwischen $i_1$ und $i_2$ - -$$ - 0&=& \int_{N\times [0,1]} H^*(\diffd \omega) - \\&=& \int_{N\times [0,1]} \intd (H^*\omega) - \\&\overset{\text{Stokes}}=& \int_{\partial (N\times [0,1])} H^* \omega - \\&=& \int_N H^*_1 \omega - \int_N H^*_0 \omega - \\&=& \int_{i_1(N)}\omega - \int_{i_0(N)} \omega -$$ - -%2019-06-04 - -* Gaußscher Integralsatz - -$M\subset \mathbb R^3$ beschränktes Gebiet, $\partial M\subset \mathbb R^3$ glatt orientiert durch $\nu\colon \partial M \to \mathbb R^3$ Normalenfeld - - - -$$ - L &\colon& M\to \mathbb R^3 \text{ glattes Vektorfeld } - \\ L&=&CL_x, Ly, Lz -$$ - -$$ - \int_{\partial M}\langle L, \nu\rangle \intd \underbrace{S}_{\text{ Flächenelement } } = \int_M \operatorname{div} L \intd x\intd y\intd z -$$ - -$$ - \operatorname{div} L = \frac{\partial L_x}{\partial x} + \frac{\partial L_y}{\partial y} + \frac{\partial L_z}{\partial z} -$$ - -Wenn $\partial M$ parametrisiert ist: - -$$ - x &=& x(u,v) - \\ y &=& y(u,v) - \\ z &=& z(u,v) -$$ - -$$ - \int_{\partial M} f(x,y,z) \intd S := \int_v f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \cdot \sqrt{\det G(u,v)} \intd u \intd v -$$ - -$$ - G(u,v) = (D_{(u,v)}\psi )^T D_{(u,v)} \psi -$$ - -die Gram-Matrix der Koordinatenbasis ($\psi\colon U \to \partial M$, $(u,v)\mapsto (x(u,v)\ldots )$) - -$$ - = \int f(x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \lVert e_u \times e_v \rVert \intd u \intd v -$$ - -Stokes: -$$ - \int_{\partial M} \omega = \int_M \intd \omega -$$ - -wollen: - -$$ - \diffd \omega = \operatorname{div} L \intd x \wedge \diffd y \wedge \diffd z -$$ - -$$ - \omega = L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd z + L_z \diffd x \wedge \diffd y -$$ - -$$ - \diffd \omega &=& \frac{\partial L_x}{\partial x} \intd x\wedge \diffd y \wedge \diffd z + \frac{\partial L_y}{\partial y} \intd y\wedge \diffd z \wedge \diffd x + \frac{\partial L_z}{\partial z} \intd z\wedge \diffd x \wedge \diffd y + 0 + \ldots + 0 - \\&=& (\operatorname{div}L) \intd x \wedge \diffd y \wedge \diffd z -$$ - -$$ - \int_{partial M} \omega &=& \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd x + L_z \intd x\wedge \diffd y - \\ &\overset{?}=& \int_{\partial M}\langle L, \nu \rangle\intd S -$$ - -$$ - \\&& \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z - \\&=& \int_U L_x (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \left[\frac{\partial y}{\partial u} \intd u + \frac{\partial y}{\partial v} \intd v \right]\wedge \left(\frac{\partial z}{\partial u} \intd u + \frac{\partial z}{\partial v}\intd v\right) - \\&=& \int_U L_x(u,v) \underbrace{ \left[ \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u} \right] }_{(e_u\times e_v)_x} \intd u\wedge \intd v - \\&=& \int_U L_x (u,v) \frac{(e_u\times e_v)_x}{\underbrace{ \lVert e_u \times e_v \rVert}_{\nu_x} } \lVert e_u \times e_v \rVert \intd u \wedge \diffd v - \\&=& \int_{\partial M} L_x \nu_x \intd S -$$ - -$M= \mathbb R^2 \setminus \{ 0 \}$ - -$$ - A = A_x \intd x + A_y \intd y \in \Omega^1 (M) -$$ - -$$ - F &:=& \diffd A - \\&=& \frac{\partial Ay}{\partial x} \intd x \wedge \intd y - \frac{\partial Ax}{\partial y} \intd x \wedge \intd y - \\&=& \left[ \frac{\partial Ay}{\partial x} -\frac{\partial A x}{\partial y} \right] \intd x \wedge \diffd y -$$ - -Wenn $F=0$ ($\Rightarrow A$ geschlossen) - -Frage: - - Ist $A$ exakt? - - Äquivalente Fragestellung: - $$ - H^1(M) &=& \{\text{geschlossene $1$-Form }\} / \{\text{ exakt $1$-Form } \} - \\&=& Z' / B' - \\&=& 0? - $$ - -$$ - H^1(M) = 0 \Leftrightarrow \text{jede geschlossene $1$-Form ist exakt} -$$ - -%TOOD Bildchen (2) - -$\Rightarrow H^1(\mathbb R^2 \setminus \{0\}) = H^1(S^1) = \mathbb R$ - -** Behauptung - -$\forall r> 0$ gilt: -$$ - \int_{\underbrace{\partial B(0,r)}_{r \cdot S^1} } A = \int_{\partial B(0,1)} A -$$ - -TODO%TODO Bilchen (3) - -$$ - N := \{ x\in \mathbb R^2 \mathrel| 1\leqslant \lVert x \rVert \leqslant r\}\quad (\text{bzw. } r\leqslant \lVert x \rVert \leqslant 1) -$$ - -$$ - \Rightarrow \partial N = (r \cdot S^1) \cup (-S^1) -$$ - -Stokes: - -$$ - 0 \overset{\diffd A = 0}= \int_{N} \intd A = \int_{r\cdot S'} A - \int_{S'} A -$$ - -Wenn $A= \diffd f$ : $\int_{S'} A = \int_{S'} \intd f \overset{\text{Stokes} }= \int_{\partial S'} f = \int_{\emptyset} f = 0$ - -$\Rightarrow \int_{S^1} A \neq 0$ $\Rightarrow A$ nicht exakt. (z.B. $A = \frac{x\intd y - y\intd x}{x^2 + y^2}$) ist geschlossen, aber nicht exakt - -$$ - T^* \mathbb R^n \cong \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (\underbrace{q^1, \ldots, q^n}_{\text{in } \mathbb R^n}, \underbrace{p^1, \ldots, p^n}_{\text{in } T_q^* \mathbb R^n}) -$$ - -$$ - \omega = \sum_{i=1}^n \diffd q^i \wedge \diffd p^i \in \Omega^2 (T^* \mathbb R^n) -$$ - - 1) $\diffd \omega = 0$ - 2) $\omega (\underbrace{ v}_{\equiv (a,p)\in T^* R^n}) \in \bigwedge ^2 T^*_v \mathbb R^n = \{ \alpha \mathrel| \alpha \colon T_v \mathbb R^n \times T_v \mathbb R^n \to \mathbb R \text{ bilinear, schiefsymetrisch }\}$ - -$$ - \frac{\partial}{\partial q^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial q^n}, \frac{\partial}{\partial p^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial p^n} -$$ -ist eine Basis von $T_v \mathbb R^n$. Wie sieht die Matrix von $\omega$ in dieser Basis aus? - -$$ - \omega &=& \sum_{i=1}^n(e^q_i)\wedge(e^p_i)^* - \\ \omega(e_i^q, e_j^q) &=& 0 = \omega(e_i^p, e_j^p) - \\ \omega(e_i^q, e_j^p) &=& \partial_{ij} -$$ - -$\Rightarrow \omega$ ist nicht ausgeartet (an jedem Punkt!) - -$\omega$ nicht ausgeartet $\Rightarrow$ definiert an jedem Punkt einen Isomorphismus -$$ - \hat \omega(v) \colon T_v^* \mathbb R^n \to T_v\mathbb R^n -$$ - -$$ - \hat \omega^{-1}(v) \colon T_v\mathbb R^n &\to& T^*_v \mathbb R^n - \\ \chi &\mapsto& (\eta \mapsto \omega(v)(\chi , \eta) ) - \\ \frac{}{q^i} e^q_i &\mapsto& (\eta \mapsto \omega(v) (e_q^i, \eta)) = \left(e_{i}^p\right)^* = \diffd p^i - \\ e_i^p &\mapsto& - \diffd q^1 -$$ - -$$ - \hat \omega\colon \Omega^1(T^* \mathbb R^n) &\to& \Gamma(T^* \mathbb R^n) - \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} && - \\ \alpha &\mapsto& (v\mapsto \hat \omega (\alpha(v)) ) -$$ - -Für jede Funktion $H \rightsquigarrow X_H := \hat \omega (\diffd H) -$ Vektorfeld auf $T^* \mathbb R^n$ - -** Behauptung - -Die Differentialgleichungen für den Fluss von $X_H$ - -$$ - \dot q_i &=& \frac{\partial H}{\partial p^i} - \\ \dot p_i &=& - \frac{\partial H}{\partial q^i} -$$ - -%2019-06-05 - -$$ - M = T^* \mathbb R^n = \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (a,p) -$$ - -$$ - \omega = \sum_{i=1}^n \diffd q^i \wedge \diffd p^i -$$ - -Gestern: - -$\omega$ ist nicht ausgeartet, $\diffd \omega = 0$ ($\Leftrightarrow \omega(q,p)$ eine nicht ausgeartete Bilinearform auf $TM$) - -** Definition - -Ein Paar $(M, \omega)$, wobei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine nicht ausgeartete geschlossene $2$-Form, heißt symplektische Mannigfaltigkeit. - -** Übung - -$(T^*N, \omega)$ ist symplektisch für jede Mannigfaltigkeit $N$ - -Fakt aus der linearen Algebra: wenn $(V, \beta)$ ein Vektorraum mit einer nicht ausgearteten Bilinearform $\beta$, definiert $\beta$ - -Isomorphismen - -$$ - \miso{V}{\sharp}{\flat}{V^*} -$$ -$$ - \\ v\mapsto (\omega \mapsto \beta(v,\omega)) -$$ -$\rightsquigarrow$ Musikalische Isomorphismen. (in Koordinaten: $\sharp$ „erhöht“ den Index, $\flat$ „senkt“ den Index) - -Wenn jetzt $(M,\omega)$ symplektisch ist, bekommt man $\forall m\in M\colon \miso{T_mM}{\sharp}{\flat}{T_m^*M}$ - -und entsprechend -$$ -\miso{\Gamma(TM)}{\sharp}{\flat}{\Omega'(M)} -$$ - -Gestern in Übung: für $M=T^*\mathbb R^n$ - -$$ - \left( \frac{\partial}{\partial q^i} \right)^\flat = \diffd p^i, \quad \left( \frac{\partial}{\partial p^i} \right)^\flat = -\diffd q^i - \\ \frac{\partial}{\partial q^i} = (\diffd p^i)^\sharp - \frac{\partial}{\partial p^i} = ( \diffd q^i )^\sharp -$$ - -Wenn $M$ symplektisch ist, $H \in C^\infty(M)$ - -$\Rightarrow \diffd H\in \Omega^1(M) \Rightarrow (\diffd H)^\sharp \in \Gamma(TM)$ - -$M= T^*\mathbb R^n : \diffd H = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} + \diffd q^i + \frac{\partial H}{\partial p^i} \diffd p^i \right)$ - -$$ - (\diffd H)^\sharp &=& \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial p^i} \frac{\partial}{\partial q^i} - \frac{\partial H}{\partial q^i} \frac{\partial}{\partial p^i} \right) -$$ -$\rightsquigarrow$ Hamilton-Vektorfeld zu $H$ - -Flussgleichung: -$$ - \dot q^i &=& \frac{\partial H}{p^i} - \\ \dot p^i &=& -\frac{\partial H}{\partial q^i} -$$ -$\rightsquigarrow$ Hamilton-Gleichung der Mechanik - -Zurück zur Vorlesung - -** Satz - -Sei $f$, $g \colon M \to N$ glatt, homotop. Dann gilt: - -$$ - f^* = g^* \colon H^k(N) \to H^k(M) \quad (k\in \mathbb N) -$$ - -** Korrolar -TODO%TODO homotopräg ?? -$\underset{\text{homotopräg.} }{ M\simeq N } \Rightarrow H^k(N) \cong H^k(M)$ $(k\in \mathbb N)$ - -** Korrolar -$M\simeq * \Rightarrow H^k(M) \cong \begin{cases} 0, & k>0\\ \mathbb R, & k=0 \end{cases}$ - -(diese Aussage heißt auch Poincaré-Lemma: Jede geschlossene $k$-Form ($k \geqslant 1$) auf einen zusammenziehbaren Raum ist exakt) - -Beweis: - -Sei $H \colon M\times [0,1]\to N$ die Homotopie zwischen $f$, $g$. Sei $h_t(m):= H(m,t)$, ($h_t\colon M\to N$), $t\in [0,1]$, $f=h_0$, $g=h_1$ - -Betrachte jetzt: - -$$ - h^*_t \colon H^k(N) \to H^k(M) -$$ - -Wir wollen zeigen $h^*_t$ ist unabhängig von $t\in [0,1]$. - -Dazu: Sei $\omega \in Z^k(N)$ (also $\omega\in \Omega^k(N)$, $\diffd \omega = 0$) - -Betrachte - -$$ - \Omega^k(M\times [0,1]) \ni H^* \omega = \omega_o(t) + \diffd t \wedge \omega_1(t) -$$ - -mit $\omega_0(t)\in\Omega^k(M)$, $\omega_1(t)\in \Omega^{k-1}(M)$, $t\in[0,1]$ - -$$ - \Omega^k(M) \ni h^*_t \omega = i_t^*\circ H^*\omega = \omega_0 (t) -$$ - -($i_t\colon M\cong M\times\{t\}\hookrightarrow M\times [0,1]$) - -Nun: $\diffd \omega = 0 \Rightarrow \diffd H^*\omega = H^*(\diffd \omega) = 0$ - -$$ - 0 = \diffd(H^* \omega) -$$ - -%Pause - -Frage: Was ist $H^k(S^2)$? - -TODO%TODO Bilchen B2 - -brauchen ein Verfahren, wie man aus der Kohomologie von $U$, $V$, $U\cap V$ die Kohomologie von $U\cap V$ ausrechnet - -Hier beginnt \emph{homologische Algebra} - -** homologische Algebra - -Wir haben bislang zu jeder Mannigfaltigkeit $M$ folgende Sequenz von Vektoräumen konstruiert: - -$$ -\begin{tikzcd} -\Omega^0(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^1(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^2(M) \arrow[r, "\diffd"] & \ldots -\end{tikzcd} -$$ - -mit $\diffd \circ \diffd (= \diffd^{n+1}\circ \diffd^n) = 0$. Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert - -$$ -\begin{tikzcd} -\Omega^0(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \Omega^1(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \Omega^2(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \ldots \\ -\Omega^0(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^1(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^2(M) \arrow[r, "\diffd"] & \ldots -\end{tikzcd} -$$ - -so dass die Diagramme kommutieren. -$$ - H^k = \operatorname{ker} \diffd^n / \operatorname{Im} \diffd^{n-1} \rightarrow \text{Kohomologie} -$$ - -** Definition - -Ein Kokettenkomplex $(C^n, \diffd^n)_{n\in \mathbb N, (n\in \mathbb Z)} = (C^*, \diffd)$ ist eine Sequenz von Vektorräumen $C^n$ zusammen mit Homoomorphismen -$$ - \diffd^{n+1}\circ \diffd^n = 0 -$$ -erfüllen. ($\Leftrightarrow \diffd \colon \bigoplus_n C^n \to \bigoplus_n C^n$ hat Grad $1$ und erfüllt $\diffd^2 = 0$) - -$d^n$'s heißen Differntiale von $C^*$ -$$ - H^k(C^*, \diffd) := \operatorname{ker}\diffd^{k+1} / \operatorname{Im} \diffd^k -$$ - -heißt $k$-te Kohomologiegruppe von $C^*$. - -** Beispiel - -$(\Omega^*(M), \diffd)$ ist ein Kokettenkomplex - -** Defition - -Eine (Ko-)Kettenabbildung ($=$ Homomorphismus von Kettenkomplexen) - -$f^* \colon (C^*, \diffd) \to (D^*, \diffd)$ ist eine Sequenz - -$f^n \colon C^n \to D^n$ von Homomorphismen mit - -$$ - f^n \circ \diffd^{n-1} = \diffd^n\circ f^n, \quad b\in\begin{matrix} \mathbb N \\ \mathbb Z \end{matrix} -$$ - -** Beispiel - -Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert eine Kettenabbildung $f^*\colon \Omega^*(N) \to \Omega^*(M)$ - -** Definition - -Ein Kokettenkomplex $(C^*, \diffd)_{k\in \begin{matrix} \mathbb N \\ \mathbb Z \end{matrix}}$ heißt exakt (exakte Sequenz) wenn $H^k(C^*, \diffd) = 0$, $k\in \mathbb Z$ - -$$ - (C^*, \diffd) \text{ exakt } \Leftrightarrow \operatorname{ker} \diffd^{n+1} = \operatorname{Im}\diffd ^n -$$ - -** Beispiel - -Eine kurze exakte Sequenz von Vektorräumen / abelscheen Gruppen ist ein exakter Kokettenkomplex ($=$ exakt Sequenz) - -\begin{tikzcd} -\ldots \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \big)\ 0 \arrow[r] & C^0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r] & C^2 \arrow[r] & 0\ \big( \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots -\end{tikzcd} - -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r, "0"] & C^0 \arrow[r, "\diffd^0"] \arrow[r, "i"'] & C^1 \arrow[r, "\diffd^1"] \arrow[r, "q"'] & C^2 \arrow[r, "0"] & 0 -\end{tikzcd} - -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & U \arrow[r] & V \arrow[r] & V/U \arrow[r] & 0 -\end{tikzcd} - - - 0: $\operatorname{ker} i = \operatorname{ker} \diffd^0 = \operatorname{Im} 0 = 0 \Leftrightarrow i$ injektiv - - 1: $\operatorname{ker} q = \operatorname{Im} i$ - - 2: $C^2 = \ker \diffd^2 = \ker 0= \operatorname{Im} \diffd^1 = \operatorname{Im} q \Leftrightarrow q \text{ surjektiv }$ - -Das heißt: $C^0 \cong i(C^0) \subseteq C^1$, $C^2 \cong C^1/i(C^0)$ - -** Beispiel - -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r, "\diffd"] & C^2 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots -\end{tikzcd} - -exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus - -** Bemerkung - -$H^*(C^*, \diffd)$ misst genau, inwiefern $(C^*, \diffd)$ nicht exakt an $C^k$ ist. - -%2019-06-18 - -** Definition: exakt an - -Kettenkomplex $(C^*, \diffd)$ ist \emph{exakt an} $C^k$, $k\in\mathbb Z$, wenn $H^k(C^*, \diffd) = 0$ ($\Leftrightarrow \ker \diffd^k = \operatorname{im} \diffd^{k-1}$) (für ein festes $k$) - -** Definition: kurze exakte Sequenz - -Eine kurze exakte Sequenz von \emph{Cokettenkomplexen} $(A_*, \diffd)$, $(B_*, \diffd)$, $(C_*, \diffd)$ ist eine Sequenz der Form - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0 -\end{tikzcd} -\end{center} - -wobei $i$, $q$ Cokettenabbildungen sind, sodass $i$ injektiv, $q$ surjektiv, $\operatorname{ker} q = \operatorname{Im} i$. - -Ist äquivalent zu $\forall k\in \mathbb Z$ ist -\begin{center} -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & A_k \arrow[r, "i_k"] & B_k \arrow[r, "q_k"] & C_k \arrow[r] & 0 -\end{tikzcd} -\end{center} -eine kurze exakte Sequenz. - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] \\ -A_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_k"] & A_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_{k+1}"] & A_{k+2} \arrow[d, "i_{k+2}"] \\ -B_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_k"] & B_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_{k+1}"] & B_{k+2} \arrow[d, "q_{k+2}"] \\ -C_k \arrow[r, "\diffd"] & C_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] & C_{k+2} -\end{tikzcd} -\end{center} - -** Beispiel - -($i_u^*$ Einschränkung der Form auf $U$, $\ker q$: Formen die auf $U\cap V$ übereinstimmen) - -Sei $M=U\cup V$, $U$ offen, $V$ offen, sodass $U\cap V$ offen. Dann ist - -\begin{center} - \begin{tikzcd} - 0 \arrow[r] & \Omega^* M \arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] &[+10pt] \Omega^* U \oplus \Omega^* V \arrow[r, "q"] & \Omega^* (U\cap V) \arrow[r] & 0 - \end{tikzcd} -\end{center} - -eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen ($i_u^*\colon U\hookrightarrow M$, $i_v\colon V\hookrightarrow M$) - -$$ - j^u\colon U\cap V &\hookrightarrow& U - \\j^v\colon U\cap V &\hookrightarrow& V - \\q&=& (j^u)^* - (j^v)^* -$$ - -$\rightsquigarrow q(\alpha, \beta) = \alpha|_{U\cap V} - \beta|_{U\cap V}$ - -** Satz: Hauptsatz der homologischen Algebra - -Sei - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0 -\end{tikzcd} -\end{center} - -eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen. Dann besteht eine lange exakt Sequenz der Cohomologiegruppen: - -TODO%TODO -% \begin{tikzcd} -% \arrow[r, "\diffd^*"] & { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"] -% & { {}} \arrow[llld, "\diffd^*", to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\ -% { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"] & { {}} \arrow[r, "\diffd^*"] & \ldots -% \end{tikzcd} - -\begin{center} -\begin{tikzcd} - H^{k-1}(C_*, \diffd) - \arrow[r, "\diffd^*"] - & - H^k(A_*, \diffd) - \arrow[r, "i_*"]\arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}] - & - H^k(B_*, \diffd) - \arrow[r, "q_*"] - & - H^k(C_*, \diffd) - \arrow[dlll, "\diffd^*"',rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] - \\ - H^{k+1}(A_*, \diffd) - \arrow[r, "i_*"] - & - H^{k+1}(B_*, \diffd) - \arrow[r, "q_*"] - & - H^k(C_*, \diffd) - \arrow[r, "\diffd^*"] - & - \ldots -\end{tikzcd} -\end{center} - -Hierbei sind -$$ - i_* \colon H^k(A_*) \to H^k(B_*) - \\ q_*\colon H^k(B_*) \to H^k(C_*) -$$ - -die durch $i$, $q$ induzierte Abbildung. - -Randabbildung $\diffd^*$ ist eine Abbildung, die durch $\diffd$ induziert ist (wird im Zuge des Beweises konstruiert). - -** Korollar: Mayer-Vietoris-Sequenz - -Sei $M = U\cap V$ und $U$, $V$ offen sowie $U\cap V$ offen. Dann besteht eine lange kurze exakte Sequenz: - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -\ldots\arrow[r, "\diffd^*"]& H^k(M)\arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] \arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]& H^k(U)\oplus H^k(V)\arrow[dll,"q_*",rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\H^k(U\cap V)\arrow[r, "\diffd^*"]& H^{k+1}(M)\arrow[r]& \ldots -\end{tikzcd} -\end{center} - -Beweis des Satzes: - -Wir haben die Randbedingungen $\diffd^*$ zu konstruiren und zu zeigen, dass die Sequenz in der Behauptung exakt ist. - -Technik: Diagrammjagt - -\begin{center} -\begin{tikzcd} - & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & & \\ - \arrow[r] & A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\ - \arrow[r] & B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\ - \arrow[r] & C_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d] & C_{k+2} \arrow[r] & \ldots \\ - & 0 & 0 & 0 & & -\end{tikzcd} -\end{center} - -\begin{center} -\begin{tikzcd} - \phantom{\alpha} & 0 \arrow[d, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] & \phantom{\alpha} \\ - \arrow[r, maps to] & \phantom{\alpha} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \delta' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \arrow[d, maps to] \\ - \arrow[r, maps to] & \gamma' \arrow[d, maps to] \arrow[r] & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \diffd \alpha' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] \\ - \arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & 0 \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \phantom{\alpha} \\ - & 0 & 0 & 0 & -\end{tikzcd} -\end{center} - -Wollen: -$$ - \diffd^*\colon H^k(C_*) &\to& H^{k+1}(A_*) - \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} && - \\ \lbrack\alpha\rbrack &\mapsto& \lbrack\beta\rbrack -$$ -wobei $\beta$ wie folgt konstruiert ist: -$\alpha \in c_k$, $\diffd \alpha = 0 \Rightarrow \exists \alpha' \in B_k$ mit $q(\alpha') = \alpha$ - -$q(\diffd \alpha') = 0$ (Diagramm kommutiert) $\Rightarrow \exists \beta \in A_{k+1}$ mit $i(\beta) = \diffd \alpha'$ - -Auch gilt: $(\diffd \beta) = \diffd(\diffd \alpha') = 0$, $i$ injektiv $\Rightarrow \diffd \beta = 0$ - -Konstruktion $\beta$ zu ende. - -$\diffd^*$ ist wohldefiniert, denn wenn $\alpha_1 = \alpha + \diffd \gamma$ ein Lift von $\gamma$ (existiert, weil $q$ surjektiv) - -$$ - \rightsquigarrow \diffd \alpha'_1 = \diffd \alpha' \checkmark -$$ - - 1. ? TODO%TODO - - 2. Wenn $\alpha''\in B_k$ ein anderer Lift von $\alpha$ (Elemente mit $q(\alpha'') = \alpha$) Dann gilt: - $$ - \alpha'' - \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta') - $$ - - $$ - &\Rightarrow& \diffd \alpha'' - \diffd \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta') - \\ &\Rightarrow& \lbrack \beta + \diffd \delta' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack - $$ - -Haben jetzt zu zeigen: exakte Sequenz - - - $q_* \circ i_* = (q\circ i)_* = 0$ - - $\diffd_* \circ q_* \lbrack \alpha' \rbrack = \diffd^* (\lbrack \alpha \rbrack) = 0$, weil $\diffd \alpha' = 0$ - weil $\alpha'$ geschlossene Form. anderes $\alpha'$ als oben, aber auch aus $B_k$ - - $(i_*\circ \diffd^*) (\lbrack \alpha \rbrack) = \lbrack i(\beta) \rbrack = \lbrack \diffd\alpha' \rbrack = 0$ - -(hier fangen wir mit geschlossenen Formen $\alpha'$ an und puschen das runter) - -$\Rightarrow$ die Sequenz ist ein Cokettenkomplex - -zu zeigen: - - - $\ker i_* \subseteq \operatorname{im}\diffd^*$ - - $\ker q_* \subseteq \operatorname{im}i_*$ - - $\ker d^* \subseteq \operatorname{im}q_*$ - -\begin{center} -\begin{tikzcd} - & \beta \arrow[r, maps to] & 0 \\ -A_{k-1} \arrow[d, "\gamma"] \arrow[r] & A_k \arrow[d, "\beta'"] \arrow[r] & A_{k+1} \arrow[d] \\ -B_{k-1} \arrow[d, "\gamma'"] \arrow[r] & B_k \arrow[d] \arrow[r] & B_{k+1} \arrow[d] \\ -C_{k-1} \arrow[r] & C_k \arrow[r] & C_{k+1} -\end{tikzcd} -\end{center} - -*** erster Punkt - -Sei $\lbrack \beta \rbrack \in \ker i_*$ ($\beta\in A_k$, $\diffd \beta = 0$) - -$\Rightarrow i(\beta) = \diffd \gamma$ - -Sei $q(\gamma) =: \gamma'$ - -$$ - \diffd \gamma' = q(\diffd \gamma) = q(\beta') = q(i(\beta)) = 0 - \\ \Rightarrow \lbrack \gamma' \rbrack \in H^{k-1} -$$ -Nach Konstruktion gilt $\diffd^*\lbrack \gamma' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack$ - -*** zweiter Punkt: Übung - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & A_k \arrow[r] \arrow[d] & A_{k+1} \arrow[d] \\ -B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & B_k \arrow[r] \arrow[d] & B_{k+1} \arrow[d] \\ -C_{k-1} \arrow[r] & C_k \arrow[r] & C_{k+1} -\end{tikzcd} -\end{center} - -\begin{center} -\begin{tikzcd} -{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \\ -{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha' \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \diffd \alpha \arrow[d, maps to] \\ -{} \arrow[r, maps to] & \alpha \arrow[r, maps to] & {} -\end{tikzcd} -\end{center} - -Sei $\alpha \in \ker \diffd^* \Rightarrow \beta = \diffd \gamma$ - -$$ - && \diffd (\alpha' - i(\gamma)) = \diffd \alpha' - \underbrace{ i(\underbrace{ \diffd \gamma }_{=\beta}) }_{\diffd \alpha'} = 0 - \\ \Rightarrow && \lbrack \alpha' -i(\gamma) \rbrack \in H^k(B_*), \quad q(\alpha' - i(\gamma)) = q(\alpha') = \alpha - \\ \Rightarrow \alpha \in \operatorname{im} q_* -$$ - -%2019-06-19 - -TODO%TODO Bilchen - -TODO%TODO Bilchen -$\leftarrow$ Spalten exakt ($\operatorname{ker} i = \operatorname{Im} q$, $i$ injektiv, $q$ surjektiv) - -Sei $[\alpha] \in H^k(B_*)$ mit $q_*([\alpha]) = 0$ - -D.h. $\alpha' := q(\alpha) = \diffd \beta$, $q$ surjektiv $\Rightarrow \exists \beta'$ mit $q(\beta') = \beta$ - -$$ - q''(\diffd \beta')= \diffd(q(\beta')) = \diffd \beta = \alpha' = q(\alpha) \Rightarrow q(\alpha -\diffd \beta') = 0 -$$ - -$$ - \Rightarrow \alpha- \diffd \beta' = i(\gamma) -$$ - -$$ - i(\diffd \gamma) = \diffd(i(\gamma )) = \diffd (\alpha - \diffd \beta') = \diffd \alpha = 0,\ i \text{ injektiv} -$$ - -$$ - \Rightarrow \diffd \gamma = 0 \Rightarrow [\gamma] \in H^k(A_*) -$$ - -$$ - i_*[\gamma] = [i(\gamma)] = [\alpha - \diffd\beta'] = [\alpha] \Rightarrow [\alpha] \in \operatorname{Im} i_* -$$ - -** Korollar: (Maquer-Vietoris) - -$M= U\cup V$, beide offen, $U\cap V$ offen - -% $\Rightarrow \exists$ l.e.S - -TODO%TODO -% \begin{center} -% \begin{tikzcd} -% \arrow[r, "\diffd^*"] & H^k(M) \arrow[rr, "i^*_v \oplus i^*_v"] & {} & H^k(V)\oplus H^k(V) \arrow[rr, "q_*"] & {} & H^k(U\cap V) \arrow[rr, "\diffd^*"] & {} & H^{k+1}(M) \arrow[r] & \ldots -% \end{tikzcd} -% \end{center} - -** Proposition (Kohomologie von Sphären) - -Sei - -$$ - S^d = \{ x\in \mathbb R^{d+1}\mathrel | \lVert x \rVert_2 = 1 \} -$$ - -die $d$-dimensionale Sphäre. Dann gilt: - -$$ - H^k(S^d) \cong \begin{cases} - \mathbb R, & k=0 \mathrel\text{oder} k=d \\ - 0, & \text{sonst} -\end{cases} -$$ - -*** Induktion -$d=1$ haben wir es schon ausgerechnet. Induktionsvoraussetzung. Sei die Behauptung richtig für Sphären von Dimension $\leqslant d-1$ - -TODO%TODO Bilchen - -$$ - S^d = U\cup V,\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel{\Bigg |} x_{d+1} > -\frac{1}{2} \right\},\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel{\Bigg |} x_{d+1} < \frac{1}{2} \right\} -$$ - -$$ - U\cap V \simeq S^{d-1},\quad U,V \cong \{*\}, \quad \text{explizite Homotopien - Übung} -$$ - -** Mayer-Vietoris-Sequenz - -\begin{tikzcd} - \arrow[r] & H^k(S^d) \arrow[r] & \underbrace{ H^k(V) }_{=0}\oplus \underbrace{ H^k(V) }_{=0} \arrow[r] & H^k(S^{d-1}) \arrow[r] & H^{k+1}(S^d) \arrow[r] & \underbrace{ H^{k+1}(V)\oplus H^{k+1}(V) }_{=0} \arrow[r] & \ldots -\end{tikzcd} - -($k\geqslant 1$) - -$\Rightarrow$ - -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & H^k(S^{d-1}) \arrow[r] & H^{k+1}(S^d) \arrow[r] & 0 -\end{tikzcd} - - -ist exakt $\Rightarrow$ - -TODO%TODO missing -TODO missing - -$N\subset M$, $M\setminus N$. Möchte die Zerlegung betrachten $M=N \cup (M\setminus N)$, $N$ abgeschlossen, $M$ offen. - -** Definition - -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, - -$$ - \Omega_c^k(M) := \{ \omega\in\Omega(M) \mathrel| \operatorname{supp} \omega \operatorname{kompakt} \} -$$ - -*** Bemerkung - -$M$ kompakt $\Rightarrow \Omega_c^k(M) = \Omega^k(M)$ - -*** Beweis - -$$ - \omega \in \Omega_c^k(M) \Rightarrow \diffd \omega \in \Omega_c^{k+1}(M) -$$ - -D.h. ($(\Omega_c^*(M), \diffd)$ ist auch ein Kokettenkomplex) - -$$ - \rightsquigarrow H^k_c(M) := H^k\left( ( \Omega^*_c(M), \diffd ) \right) -$$ - -heißt Kohomologie von $M$ mit kompakten Träger. - -Wiederum: - -$$ - M \text{ kompakt } \Rightarrow H^d(M) = H^k_c(M) \quad \forall k\in \mathbb N -$$ - -Sei $N\subset M$ eine Untermannigfaltigkeit, $i\colon N \hookrightarrow M$ die Inklusionsabbildung, - -$$ - i^*\colon \Omega^k(M) \to \Omega^k(N), \quad k\in \mathbb N -$$ - -die induzierte Abbildung auf Formen (= Einschränkung auf $N$), $\ker i^* =$ besteht aus Formen, die auf $N$ verschwinden, $i^*$ surjektiv - -$\Omega^*(M,N) := \{ \omega \in \Omega^*(M) \mathrel | i^* \omega = 0 \}$ - -\begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & {\Omega^*(M,N)} \arrow[r] & \Omega^*(M) \arrow[r] & \Omega^*(N) \arrow[r] & 0 -\end{tikzcd} - -$\uparrow$ ist eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen - -$\Rightarrow$ erhalten eine lange exakte Sequenz - -$H^k(M,N) := H^k(\Omega^*(M,N))$ = Kohomologie von $M$ relativ zu $N$, relative Kohomologie von $M$ bzgl. $N$ - -\begin{tikzcd} -\ldots \arrow[r] & {H^k(M,N)} \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] & \ldots -\end{tikzcd} - -*** Problem - -$H^k(M,N)$ ist mysteriös :-( . - -Lösung: gibt's für $N$ kompakt, was wir ab jetzt annehmen - -TODO%TODO Bilchen - -TODO%TODO Bilchen - -*** Beweis - -$\Omega^*_c(M\setminus N) \subseteq \Omega^*(M,N)$ - -Setze $C^k := \Omega^k(M,N) / \Omega_c^k (M\setminus N)$ - -$\rightsquigarrow$ kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen - -TODO%TODO Bilchen - -$\Rightarrow$ l.e.S. - -TODO%TODO Bildchen - -** Proposition $H^k(C^*) = 0$ für alle $k\in \mathbb N$ - -($\Rightarrow H^k_c(M\setminus N) \cong H^k(M,N)$) - -** Beweis - -Wir werden die folgende Zusatzaussage benutzen (Existenz einer tubularen Umgebung), wenn $N$ kompakt ist, dann $\exists T\subseteq M$ offen, $N\subseteq T$ und so dass -\begin{tikzcd} -N \arrow[r, "\sim", hook] & T -\end{tikzcd} -eine Homotopieäquivalenz - -Sei $[\omega] \in C^k$ mit $[\diffd \omega] = \diffd[\omega] = 0 \in C^{k+1}$ - -$\Rightarrow \diffd = \eta \in \Omega_c^{k+1}(M\setminus N)$ - -Wollen: $[\omega] = \diffd[\sigma]$, also wollen wir ein $\sigma \in \Omega^{k-1}(M,N)$ finden, sodass $\diffd\sigma - \omega \in \Omega_c^k(M\setminus N)$ - -Aus der Vorraussetzung an $T$ folgt: $\exists p\colon T\to N$, die eine Homotopieäquivalenz ist (sogar mit $p|_N = \operatorname{id}$) - -Betrachte jetzt die Form $\omega - p^*\omega$ auf $T$, da $N\simeq T$, gilt $H^k(T,N) = 0$, und deswegen ist $\omega - p^*\omega$ exakt, also -$$ - \exists v \in \Omega^{k-1}_c(T, N) -$$ -mit $\omega-p^*\omega = \diffd v$. Nun gilt: -$$ - p = i\circ p \Rightarrow p^* = p^*\circ i^* -$$ - -folglich gilt $p^*\omega = p^*\circ i^*(\omega) = 0 \Rightarrow \omega = \diffd v$ - -Sei $\varphi \in C^\infty(M, [0,1])$ eine Funktion mit: - -$\varphi \equiv 1$ auf einer Umgebung von $N$, $\varphi \equiv 0$ auf $M\setminus T$ - -Dann gilt: $\varphi\colon v\in \Omega^{k-1}(M,N)$, $\omega - \diffd(\varphi v) \in \Omega^k_c (M\setminus N)$ - -$\Rightarrow \sigma = \varphi v$ funktioniert und der Beweis ist fertig. - -%2019-06-25 - -$N\subseteq M$ Untermannigfaltigkeit, $N$ kompakt - -$\Rightarrow$ l.e.S. - -\begin{center} -\begin{tikzcd} - \arrow[r] &[-10pt] \ldots \arrow[r] &[-10pt] {H^k(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] H^k(M) \arrow[r] &[-10pt] H^k(N) \arrow[r] &[-10pt] {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] \ldots \\ - & {} & {} & {} & {} & H^{k+1}_c(M\setminus N) {}& {} -\end{tikzcd} -\end{center} - -** Proposition - -$$ - H_c^k(\mathbb R^n) \cong - \begin{cases} - 0, & k\neq n\\ - \mathbb R, & k=n -\end{cases} -$$ - -Beweis: - - * $k=0$ - $$ - H_c^0(\mathbb R^n) \cong 0 - $$ - weil es keine kompakt getragenen konstanten Funktionen gibt. (für alle $n\in\mathbb N$) - * $n=1$, $k=1$ - $$ - H_c^1(\mathbb R) \cong \ker \diffd / \operatorname{im} \diffd = \Omega^1_c (\mathbb R) / \operatorname{im} \diffd - $$ - \begin{center} - \begin{tikzcd} - \Omega_c^0(\mathbb R) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \arrow[r, "\diffd"] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\diffd"] & 0 \\ - C_c^\infty(\mathbb R) & & - \end{tikzcd} - \end{center} - - Sei $\omega = \varphi(x)\intd x \in \Omega_c^1(\mathbb R)$. $\omega\in\operatorname{im}\diffd\Leftrightarrow\omega=\diffd f=f'(x)\intd x$ für ein $f\in C_c^\infty(\mathbb R)$ - - TODO Bildchen%TODO Bildchen - - $$ - f(x) = \int_\alpha^x \varphi(t) \intd t - \\ \Rightarrow f(\beta) = \int_\alpha^\beta \varphi(t) \intd t = 0 - \\ \lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \begin{matrix} \operatorname{supp}\varphi \\ \operatorname{supp}f \end{matrix} - $$ - - Aus der Rechnung folgt: $f$ kompakt getragen - $$ - \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} = \varphi(x) \intd x = \int_{\mathbb R} \omega = 0 - $$ - Also: - $$ - \omega \in \operatorname{im} \diffd \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} \omega = 0 - $$ - Wir haben also eine kurze exakte Sequenz - \begin{center} - \begin{tikzcd} - 0 \arrow[r] & \Omega_c^\infty(\mathbb R) \arrow[r] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\int_{\mathbb R}"] & \mathbb R \arrow[r] & 0 - \end{tikzcd} - \end{center} - $\Rightarrow H_c^1(\mathbb R) \cong \mathbb R$ - - * Für $n\geqslant 2$ benutzen wir Induktion und die l.e.S für $M=S^n$, $N=S^{n-1}$, $M\setminus N \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$. - $M\setminus N$ sind zwei Kreisscheiben $\Rightarrow S^1\cup S^1 \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$ - - - - -% \begin{tikzcd} -% \arrow[r] & H_c^k(M\setminus N) \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & H_c^{k+1}(M\setminus N) \arrow[r] & \ldots -% \end{tikzcd} - TODO%TODO missing part - - - Am Ende steht: - \begin{center} - \begin{tikzcd} - 0 \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & H_c^n(\mathbb R^n)^{\oplus 2} \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & 0 - \end{tikzcd} - \end{center} - exakt. - - $\overset{?}\Rightarrow H_c^n(\mathbb R) \cong \mathbb R$ - weil - \begin{tikzcd} - 0 \arrow[r] & V \arrow[r] & W \arrow[r] & \underbrace{V'}_{\cong W/V} \arrow[r] & 0 - \end{tikzcd} - kurze exakt Sequenz - $\Rightarrow \dim W = \dim V + \dim V'$ - -** Bemerkung - $$ - H_c^n(\mathbb R^n) = \mathbb R\cdot \lbrack\omega\rbrack - $$ - wobei $\omega = \varphi(\lVert x \rVert)\intd x^1\wedge \ldots \wedge \diffd x^n$ mit $\varphi$: - TODO Bilchen %TODO - -** Satz - -Sei $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Dann gilt: -$$ - H^n(M) \cong \mathbb R, \quad n=\dim M -$$ - -Beweis: -Erinnerung: wenn $\omega$ eine Volumenform $\Rightarrow\int_M \omega \neq 0$, andereseits: wenn $\omega = \intd \alpha \in \Omega^n(M)$ -$$ -\Rightarrow \int_M \omega = \int_M \intd \alpha = \int_\emptyset \alpha = 0 -$$ -Da $M$ kompakt, $\exists\,\{ U_i \}_{i=1}^N$ eine offene Überdeckung mit untergeordneter Teilung der Eins $\{ \varphi_i \}_{i=1}^N$ sodass $U_i \cong \mathbb R^n$. - -Definiere die Abbildung -$$ - \Psi \colon \Omega^n(M) &\to& \mathbb R^N - \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} & & - \\ \omega &\mapsto& \left( \int_M \varphi_1 \cdot \omega, \ldots, \int_M \varphi_N \cdot \omega \right) -$$ - -$\Psi$ linear: -$$ - V := \{ \psi (\diffd \alpha) \mathrel | \alpha \in \Omega^{n-1}(M) \} \subseteq \mathbb R^N -$$ -Untervektorraum - -Behauptung: -$$ - \Psi(\omega) \in V \Leftrightarrow \omega \mathrel\text{exakt} -$$ - -$\Leftarrow$ Definition von $V$ - -$\Rightarrow$ $\Psi(\omega) \in V \Rightarrow \exists \alpha \in \Omega^{n-1}(M)$ mit $\Psi(\omega - \diffd \alpha) = 0$ - -$\int_{U_i}\varphi_i \cdot (\omega-\diffd \alpha)=\Rightarrow \int_M \varphi_i \cdot (\omega -\diffd \alpha) = 0$, $i=1,\ldots, N$ - -$U_i \cong \mathbb R^n \Rightarrow \varphi_i\cdot(\omega -\diffd \alpha)$ exakt (nach vorheriger Proposition) - -$\Rightarrow \exists \alpha_i \in \Omega_c^{n-1}(U_i)$ mit $\rho_i\cdot(\omega -\diffd \alpha) = \diffd \alpha_i$ - -TODO missing -%TODO missing - -Nun ist $V\subset \mathbb R^N$ durch ein LGS gegeben: -$$ - V = \{ x\in \mathbb R^N \mathrel| C_x = 0 \},\quad C\in \mathbb R^{m\times N} -$$ - -Das heißt: -$$ - \omega \mathrel{\text{text}} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^N \int_M c_{jk} \rho_k \cdot \omega = 0, \quad j=1,\ldots, m -$$ - -Behauptung: -$$ - \sum_{k=1}^N c_{jk} \rho_k -$$ - -ist eine konstante Funktion $\forall j = 1, \ldots, m$: - -Wenn nicht: -$$ - \exists i \in \{ 1,\ldots, N \} \exists \omega \in \Omega_c^n(U_i) -$$ - -so dass -$$ - \int_M \omega = 0 -$$ -aber -$$ - \int \sum_{k=1}^{N} c_{jk} \rho_k \omega = \int_{U_i} c_{ji} \rho \varphi_i \omega \neq 0 -$$ -$\Rightarrow \omega$ nicht exakt $\lightning$ - -TODO missing%TODO missing - -* Metrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten - -** Definition - -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine Riemansche Metrik auf $M$ ist eine symetrische positiv definite Bilinearform $g\in \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$ -Das heißt $\forall p\in M$ ist $g_p\in T_p^*M \otimes T^*_p M\cong \operatorname{Bil}(T_pM)$ mit $g_p$ ist ein Skalarpodukt - -Pseudo-Riemansche Metrik: das Gleiche mit „nicht ausgeartet“ statt „pos. definit“/„Skalarpodukt“ - -** Tensoralgebra im Präsenz von $g$ - - 1. Da $g$ nicht ausgeartet ist, definiert es musikalische Isomorphismen - $$ - \flat \colon TM &\to& T^*M - \\ \sharp \colon T^*M &\to& TM - \\ v^\flat (\omega) &:=& g(v,w), \quad v,w \in T_pM - \\ \sharp &=& \flat^{-1} - $$ - - Beispiel: $f\in C^\infty(M)$, $\operatorname{grad}(f) := (\diffd f)^\sharp$ - - 2. $\ast$-Operation auf Differentialformen - Erinnerung: - $$ - B_x \intd y\wedge\diffd z + B_y \intd z \wedge \diffd x + \ldots - $$ - $$ - \lbrack\ast (e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k}) \rbrack \wedge \left(e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k} \right) = e_1\wedge\ldots\wedge e_n - $$ - z.B.: - $$ - \ast (B_x \intd y \wedge \diffd z) = B_x\intd x - $$ - - $$ - X&\in& \Gamma(T\mathbb R^3) - \\ X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3) - \\ \diffd X^\flat &\in& \Omega^2(\mathbb R^3) - \\ \ast \diffd X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3) - \\ \operatorname{rot} X &=& (\ast \diffd X^\flat)^\sharp - $$ - -%2019-06-26 - -Riemansche Mannigfaltigkeit $(M, g)$, -$$ - g\in \Gamma(T^*M\otimes T^*M) -$$ -ein Skalarpodukt auf $T^*M$ - - 1. $g$ induziert „musikalische Isomorphismen“ - $$ - \flat \colon TM \to T^*M - \\ \sharp \colon T^*M \to TM - $$ - - 2. Hodge-Stern-Operator - Sei $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ ein orientierter euklidischer Vektoraum - - $\flat\colon V\to V^*$ ist ein Isomorphismus, $V^*$ auch orientiert (durch Dualbasen bzw. durch $\flat$) - -Wenn nun $n=\dim V\Rightarrow \bigwedge^n V^* \cong \mathbb R$; sei nun $e_1^*, \ldots, e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis in $V^*$. -$$ - \operatorname{vol} = \omega := e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* \in \bigwedge^n V^*, \quad \omega \neq 0, \text{weil } e_1^*, \ldots, e_n^* -$$ -eine Basis (Volumenform auf $V$) - -Beweis: - -$\omega$ hängt nicht von der Wahl einer positiv orientierten Orthonormalbasis (ONB) in $V^*$ ab. - -Dazu sei $f_1^*, \ldots, f_n^*\in V^*$ eine andere positiv orientierte Orthonormalbasis. - -$$ - f_1^*\wedge\ldots\wedge f_n^* &=& \underbrace{ \det M_F^\xi}_{\in SO(u), \text{ weil } \xi, F' \text{ONB, gleich orientiert} } \cdot e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* - \\ \Rightarrow \det M_F^\xi &=& 1 -$$ - -Geometrische Interpretation: -$$ - \omega(v_1, \ldots, v_n) = \underbrace{\pm}_{\text{je nach Orientierung}} \operatorname{vol} ( Spat ) -$$ -%TODO Spat Bildchen - -Wir definieren jetzt einen Operator - -$$ - \ast \colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge^{n-k}V^* -$$ - -Dazu: $\flat$, $\sharp$ induzieren auch Isomorphismen - -$$ - \flat \colon \bigwedge^k V \to \bigwedge^k V^* - \sharp \colon \bigwedge V^* \to \bigwedge^k V -$$ - -Dies definiert ein Skalarpodukt auf $\bigwedge^k V^*$: -$$ - \langle \alpha, \beta \rangle := \alpha(\beta^\sharp) -$$ - -Explizit: -wenn $\alpha = \alpha_1 \wedge \ldots \wedge \alpha_k$, $\beta = \beta_1\wedge\ldots\wedge\beta_k$ -$$ - \langle \alpha, \beta \rangle &=& \alpha(\beta^\sharp) - \\&=& \det(\alpha_i (\beta_j^\sharp))_{i,j = 1}^k - \\&=& \det (\langle \alpha_i, \beta_j \rangle_{V^*})_{i,j = 1}^k - \\&=& \det (\langle \alpha_i^\sharp, \beta_j^\sharp \rangle_V)_{i,j = 1}^k -$$ - -$\ast\colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge{n-k}V^*$ ist jetzt eindeutig durch folgende Eigenschaft bestimmt: - -$\forall \alpha, \beta \in \bigwedge^kV^*$ gilt - -$$ - \alpha \wedge \ast \beta = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \omega = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \operatorname{vol} -$$ - -Explizite Formel für $\ast$: sei $e_1^*,\ldots,e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Es gilt: - -$$ - \langle e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^*, e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^* \rangle = \det E = 1 -$$ -Es muss dann gelten: - -$$ - \left(e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^*\right) \wedge \ast \left( e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^* \right) = e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* -$$ - -** Beispiel - -$$ - \dim V = 4, \quad e_1^*, \ldots, e_4^* \quad ONB \text{ in } V^* -$$ - -$$ - \ast \underbrace{ 1 }_{\in \bigwedge^0V^*} = e_1^*\wedge \ldots \wedge e_4^* - \\ \ast e_1^* = e_2^* \wedge e_3^* \wedge - \\ TODO -$$ - -Wenn $(M, g)$ eine orientierte Riemansche Mannigfaltigkeit ist, ist $()$ - -%TODO missing -TODO missing - -D.h. auf einer Riemanschen Mannigfaltigkeit kann man einfach Funktionen integrieren - -$$ - \int_M f \text{ könnte man durch } \int_M f\cdot \operatorname{vol} \text{definieren} -$$ - -Dieses Integral kann man zur Aufstellung der Maßtheorie auf $M$ benutzen $\rightsquigarrow$ jede Riemansche Mannigfaltigkeit trägt ein kanonisches positives Maß. - -Expliziter Ausdruck für $\operatorname{vol}$: wenn $(U, x)$ eine Karte auf $M$ ist, bekommen wir durch eine Riemansche Metrik auf $x(U)$ ($=$ Ausdruck von $g$ in Koordinaten): - -$$ - g_{ij} := g\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right) -$$ - -sind Einträge der Gram-Matrix von $g$ in der Basis $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$ - -Wenn $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$ positiv orientiert ist, - -$$ - \operatorname{vol} \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) \overset{\text{LAAG}}= \sqrt{\det (g_{ij})^n_{i,j = i}} =: \sqrt{g} -$$ - -Der Hodge-Operator definiert ein Skalarpodukt auf $\Omega^k(M)$: - -$$ - \langle \alpha, \beta \rangle := \int_M \alpha \wedge \ast \beta = \int_M \langle\alpha(p), \beta(p)\rangle_{\bigwedge^k T^*_p M} \operatorname{vol} -$$ - -Durch Vervollständigung von $\Omega_c^k(M)$ bzgl $\langle \cdot, \cdot \rangle$ bekommen wir einen Hilbertraum - -$$ - L^2\left(\bigwedge^kT^*M\right) \text{ oder } \Omega_{(2)}^k (M) -$$ - -Somit wird $\diffd \colon \Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ zu einem Operator zwischen Räumen mit Skalarpodukt. - -Idee: studiere den adjungierten Operator $\diffd^*\colon \Omega^{k+1}(M) \to \Omega^k(M)$. $\diffd^*$ (wenn es existiert) muss durch die Bedingung - -$$ - \langle \diffd \alpha, \beta \rangle = \langle \alpha, \diffd^*\beta\rangle -$$ - -eindeutig festgelegt sein. - -** Beispiel - -$M=S^1$, $C^\infty(S^1) = \Omega^0(S^1) \overset\diffd\longrightarrow \Omega^1(S^1)$ - -$$ - \diffd f = f'(\theta)\diffd \theta -$$ - -$$ - \langle \diffd f, \underbrace{ \alpha }_{\alpha(\theta)\diffd\theta} \rangle &=& \int_{S^1}f'(\theta)\alpha(\theta)\diffd\theta - \\ &\overset{\text{positiv orientiert}}=& -\int_{S^1} f(\theta) \alpha'(\theta)\diffd \theta - \\ := \ldots \langle f, \diffd^*\alpha \rangle \Rightarrow (\diffd^*\alpha)(\theta) = -\alpha'(\theta) -$$ - -** Lemma - -Sei $\diffd\colon\Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ das Differential. Der adjungierte Operator $\diffd^* = \delta$ ist gegeben durch - -$$ - \diffd^* = (-1)^{k+1} \ast^{-1}\circ\operatorname{\diffd}\circ\operatorname\ast -$$ - -[Beachte $\ast^2 = \pm \operatorname{id}$, $\pm$ hängt von $n$, $k$ ab] - -** Beweis - -Seien $\alpha\in\Omega^k(M)$, $\beta\in \Omega_c^{k+1}(M)$. - -$$ - \langle \diffd \alpha, \beta\rangle &=& \int_M \diffd \alpha \wedge\ast\beta - \\&=& \int_M \diffd(\alpha\wedge\ast \beta) -(-1)^k\alpha\wedge\diffd(\ast \beta) - \\&\overset{\text{Stokes}}=& 0 +(-1)^{k+1}\int_M\alpha \wedge \ast(\ast^{-1}\diffd\ast\beta) - \\&=& \left\langle \alpha, (-1)^{k+1}\ast^{-1}\diffd\ast\beta\right\rangle -$$ - -** Definition - -Der Laplace-Operator auf $\Omega^k(M)$ ist definiert durch - -$$ - \Delta = \diffd^*\diffd + \diffd \diffd^* -$$ - -\begin{tikzcd} -\Omega^o \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] & \Omega^1 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \Omega^2 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \ldots \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] -\end{tikzcd} - -** Lemma: $\Delta$ erfüllt - - 1. $\Delta$ ist symetrische, positiv semidefinit: - 2. $\Delta$ kommutiert mit $\diffd$ und $\diffd^*$ - 3. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap \ker \diffd^*$ - 4. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap (\operatorname{im} d)^1$ - -Beweis: - 1. $\Delta^* = (\diffd^*\diffd)^* + (\diffd \diffd^*)^* = \Delta$, $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle = \langle \diffd \alpha, \diffd \alpha \rangle + \langle \diffd^*\alpha, \diffd^*\alpha \rangle \geqslant 0$ - 2. $\diffd \Delta = \diffd\diffd^* \diffd = \Delta \diffd$ wegen $\diffd^2 = 0$, analog für $\diffd^*$ - -%2019-07-02 -%TODO missing -missing 2019-07-02 - -%2019-07-03 - -%TODO Bildchen 1 -TODO Bildchen 1 - -** Satz: Brouwer - -$$ - &&f\colon D^2 \to D^2 \text{ stetig, [glatt]} - \\ &\Rightarrow& f \text{ hat einen Fixpunkt} - \\&& (\exists x\in D^2, f(x) = x) -$$ - -Beweis: durch Widerspruch: Sei $f\colon D^2\to D^2$ glatt mit $f(x)\neq x, \forall x\in D^2$ - -%TODO Bildchen 2 -TODO Bildchen 2 - -$$ - \varphi \colon D^2 &\to& \partial D^2 = S' - \\ x &\mapsto& y := \text{ Gerade } f(x) \to x \cap \partial D^2 - \\ \varphi \text{ ist glatt} - \\ \varphi|_{\partial D^2} = \operatorname{id} -$$ - +%TODO alles mit ?? + +* Erinnerungen an WS + +Wir studieren Mannigfaltigkeiten (Mfg). + +$\approx$ topologische Räume, die lokal wie $\mathbb R^n$ aussehen + glatte ~Strukturen~ von glatten Abbildungen zu sprechen. + +Konkret: um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ zusammen mit einer Karte $x\colon U\to \mathbb R^n$ + +%Bild 1 + +Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Analysis auch auf $M$ zu verstehen. + +~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!) + +1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren. + $$ + T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \} + \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \} + $$ + + Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung! + + %TODO Bild 2 + TODO Bild + + $\pi \colon TM \to M$ ist glatt + $v\in T_pM \mapsto p$ + + Nutzen: wir verstehen „wirklich“, was Ableitungen sind + + Früher: + $$ + f\in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb R^n) &\rightsquigarrow& D_pf \in \mathbb M_{n\times m} (\mathbb R) + \\&& Df \in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb M_{n\times m}(\mathbb R)) + $$ + + Jetzt in Diffgeo: + $$1 + f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear} + $$1 + + %Bild 3 + +2. ODEs als Flüsse von Vektorfeldern + %Bild 4 + + Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi \circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p) \in T_pM$) + Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes) + + s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE + $$ + \dot \gamma(t) = X(\gamma(t)) + $$ + lässt + +3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$ + + $(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra. + + Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften: + + 1. $[X,Y] = -[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$ + 2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$: + $$ + [X, [Y,Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X,Y]] = 0 + $$ + + Beispiele: + 1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra + 2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B] = AB - BA$ ist eine Lie-Algebra + + Verbindung zwischen a) und b)%ref + -- Lie-Gruppen + Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt. + + $G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow \operatorname{Lie}(G) = 2(G) = \{ X\in \Gamma(TG) \ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p} = D_pLg} X = X \} = \{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \}$ + + $\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$. + + Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum + $\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$ + $$ + Lg \colon G &\to& G\\ + h &\mapsto& g\cdot h + $$ + + Satz + $$ + G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R) + \\ \operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R) + $$ + + + Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren! + $$ + (\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot]) + $$ + + Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$. + $$ + [A,B] = AB - BA + $$ + +%DATE 2019-04-02 + +* Übung 1 + +Differential einer Abbildung +$$ + f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n +$$ + +$$ +p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear}) +\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)} +$$ + +$$ + \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i + \\ D_pf &\underset{\text{als Matrix}}{=}& \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{ + \begin{matrix} + i = \overline{1, m} \\ + j = \overline{1, n} + \end{matrix}} +$$ +$$ + f\colon M\to N +$$ +$$ + p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear} + \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}& + \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)}) +$$ + +$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$ + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R +\end{tikzcd} +\end{center} + +TODO%TODO vertical line + +%2019-??-?? + +TODO Bildchen TODO%TODO + +$$ + M &\overset f\to& N + \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}& + \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}TODO%TODO letzes Wort nicht verstanden + \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f +$$ + +Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist +$$ + \underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R +$$ +linear + +** Beispiel + +$$1 + G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C) +$$1 + +$$ + &\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot] + \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\ + &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C) + \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\ + \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\} +$$ + +Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$ + +$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$ + +$$ + \dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\ + &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\ + \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0 +$$ + +Also: + +$$ + T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \} +$$ + +Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte: +$$ + \gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right) +\\ \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX} +\\ \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n) +\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X +$$ +wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit + +%Hinweis nur mündlich: +$$ + D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A)) +$$ + +$$ + G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R) + \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R) +$$ + +Wir haben gesehen: +$$ + \exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\ + &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\ + &X& \mapsto \exp(X) +$$ + +$$ + \gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX) +$$ + +$$ + \dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t)) +$$ + +wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist + +$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$ + +Ausführlicher: + +$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$ + +$$ + X\in T_1G \rightsquigarrow + \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} } + = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R) +$$ + +Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann: +$$ + \dot A(t) = A(t)\cdot X +$$ + +$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$ + +TODO%TODO vertical line + +$$ + x &\mapsto& A\cdot x + \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear} + \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m + \\ + \\ f\colon V &\to& W \text{ linear} +$$ + +mit Übung 28 TODO%TODO ref +$p\in V$: + + +\begin{center} + \begin{tikzcd} + T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\ + V \arrow[r, "f"] & W + \end{tikzcd} +\end{center} + +TODO%TODO vertical line +TODO%TODO das war das mündliche Zeug + +$$ + \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} +$$ + +$$ + \det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R +$$ + +$$ + D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R + \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A) +$$ + +$$ + \det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2) +$$ + +Determinante ist Konjugationsinvariant + +$$1 + \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1}) +$$1 + +Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit: + +$$ + \det (1+tA) + &=& + \left|\begin{matrix} + 1+t\lambda_1& & \\ + & \ddots & \\ + && 1+t\lambda_n + \end{matrix}\right| + \\&=& + (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n) + \\&=& + 1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2) + \\&=& + 1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2) +$$ + + +* Integration auf Mannigfaltigkeiten + +Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs + +TODO%TODO schöner + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + \arrow[rr, "U"'{name=links}, no head] & {} & \mathbb R^n\\ + {} & {} & \\ + \arrow[rr, "V"{name=rechts}, no head] & {} & \mathbb R^n \arrow[from=links, to=rechts, "\alpha \colon U\overset{\cong} \longrightarrow V \text{ Diffeo}"] +\end{tikzcd} +\end{center} + +Betrachte $n=1$: + +$U$, $V \subseteq \mathbb R$ offenen Intervalle. $\alpha\colon \underbrace{U}_{=(a,b)} \to V$ Diffeo ($=$ strikt monotone glatte Fkt.) + +Transformationsformel: +$$ + \int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\intd t = \int_{a}^{b}f(t)\intd t +$$ + +„Mnemonik“: +$$ + \intd v = v'(u)\intd u +$$ + +$f\colon V\to \mathbb R$ +$$ + \int_{U}(\alpha^*(f))(u)\alpha'(u)\intd u = \int_V f(v)\intd v \neq \int_V \alpha^*(f)(t) \intd t +$$ + +In $\mathbb R^n$: + +$$ +\int_U \alpha^*(t)(\det D_u\alpha)\intd_{u_1}\cdots\intd_{u_n} = \int_V f(v) \intd_{v_1}\dotsm\intd_{v_n} +$$ + +$$ +\alpha \colon &U& \to V \text{ Diffeo} +\\ &(u_1,\dotsc,u_n)& \mapsto (v_1, \dotsc, v_n) +$$ + +$v=v(u)$ +$$ +\int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2 +$$ + +$$ + \intd v_1 + = \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1 + + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2 +$$ +$$ + \intd v_2 + = \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1 + + \frac{\partial v_2 }{\partial u_2 }\intd u_2 +$$ + +$$ + \intd v_1 \intd v_2 + = \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_1 \intd u_1} + + \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2} + + \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2 + + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_2 \intd u_1 + =: (*) +$$ + +$$ + = \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2 + = \int_U f(v(u)) +% \leftTODO%TODO overcome boxes + \Bigg + ( + \underbrace{ + \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 } \frac{\partial v_2}{\partial u_2} - \frac{\partial v_1}{\partial u_2}\frac{\partial v_2}{\partial u_1} + }_{ + \underset{ + \begin{subarray}{c} + \text{sollte}\\ + (*)\text{ sein} + \end{subarray} + }{=} \det \left( + \begin{matrix} + \frac{\partial v_1}{\partial u_1} & \frac{\partial u_1}{\partial u_2} + \\ \frac{\partial v_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_2} + \end{matrix}\right) + } + \Bigg +% \right + ) + \intd u_1 \intd u_2 +$$ + +Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten: +$$ + \intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0 + \\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0 +$$ + +Erkenntniss: + +Koordinatenfrei werden nicht Funktionen, sondern sogenannte Differentialformen integriert. Eine $n$-Differentialform auf $\mathbb R^n$ ist (informell) ein Ausdruck +$$ + \omega = f(x) \intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_n +$$ +mit den Rechenregeln: wenn $x=x(y)$ mit $y = (y_1,\dotsc,y_n)$ dann transformiert sich der Ausdruck zu + +$$ + f(x(y)) + \left( + \frac{\partial x_1}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_1}{\partial y_n}\intd y_n + \wedge \ldots \wedge + \frac{\partial x_n}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_n}{\partial y_n}\intd y_n + \right) +$$ + +und es gilt: + +$$ + T^*M \ni \intd y_i \wedge \intd y_j = -\intd y_j \wedge \intd y_i,\ \ \ \ i,j = 1,\ldots, n +$$ + +folglich ist $\int \omega$ unabhängig von Koordinaten. + +Ziel: + +* Das Tensorprodukt + +ausgehend von einem Vektoraum $V(= T_pM, T_p^*M)$ einen Kalkühl zu entwickeln, welcher die Interpretation von Ausdrücken wie $\intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_k$ mit Rechenregeln $\intd x_i \wedge \intd x_j = \intd x_j \wedge \intd x_i$ erlaubt. + +Das wird durch Theorie von Tensorprodukten und multiliniearen (z.B. $\det\colon \underbrace{\mathbb R^n \times \ldots \times \mathbb R^n}_{n\text{-mal}} \to \mathbb R$) Abbildungen gemacht + +Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1 \times \ldots \times V_n \to W$. Es reicht diese Idee für bilineare Abbildungen zu realisieren. (dann wiederholt man es) + +** Definition: Tensorprodukt + +Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f \colon V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\otimes W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften) + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f", dashed] \\ + & Z +\end{tikzcd} +\end{center} + +** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\otimes W$ + +Wenn $V\otimes W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus. + +Beweis: + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +V \times W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] & \ \\ + & (V\otimes W)_2 & \arrow[u, "\exists!f_2", dashed] +\end{tikzcd} +\end{center} + +Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_1$ liefert $f_1\colon (V\otimes W)_1 \to (V\otimes W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$. + +Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_2$ liefert $f_2\colon (V\otimes W)_2 \to (V\otimes W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$. + +Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte: + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +V\otimes W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_1"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, dashed, "\bar f"] \\ + & (V\otimes W)_2 +\end{tikzcd} +\end{center} + +$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$: + +$$ + (f_2\circ f_1)\circ i_1 &=& i_1 + \\ {\operatorname{id}} \circ i_1 &=& i_1 +$$ +Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein: +$$ + f_2\circ f_1 = \bar f = \operatorname{id} +$$ +Also $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also ist $f_1$ ein Isomorphismus. + +** Existenz von $V \otimes W$ + +Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein. + +Definition: +Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der (bis auf Isomorphie eindeutige) +(reelle) Vektoraum mit Basis $X$ (ohne Beweis). Er ist isomorph zum Raum der formalen Linearkombination von $X$: + +$$ + \mathcal F_{\mathbb R}(X) &\cong& \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viele } x\in X \} + \\ x &\mapsto& \eins_x + \\ \eins_x &=& x \mapsto \begin{cases} + 1, & y = x \\ + 0, & y \neq x +\end{cases} +$$ + +Definiere: + +$$ + V\otimes W &:=& + { + \mathcal F_{\mathbb R}(V\times W) + }/\underbrace{ + \left\langle\left\{ + \begin{subarray}{l} + {(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)}, + \\ {(v, w_1+w_2)} -{(v,w_1)} -{(v,w_2)}, + \\ {(\lambda v, w)} - \lambda{(v,w)}, + \\ {(v, \lambda w)} - \lambda{(v,w)} + \end{subarray} + \mathrel{\Bigg |} + \begin{subarray}{l} + v_1, v_2, v\in V, + \\w_1, w_2, w\in W, + \\ \lambda \in \mathbb R + \end{subarray} + \right\}\right\rangle + }_{:=\langle\ldots\rangle} + \\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{TODO%TODO \middle + |} f \in \mathcal F_{\mathbb R} (V\times W)\right\} +$$ + +$$ + \langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot), \quad \eins = \text{Indikatorfunktion} +$$ + +Sei +$$ + i \colon &V\times W& \to V\otimes W + \\ &(v,w)& \mapsto \left[{(v,w)}\right] =: v\otimes w +$$ + +Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten: + +$$ + (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w + \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2 + \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R +$$ + +§Begründung: +§$$ +§ v_1\otimes w + v_2 \otimes w +§ &=& [(v_1,w)] + [(v_2, w)] +§ \\&=& {(v_1,w)} + \langle\ldots\rangle + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle +§ \\&=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle +§ \\&\overset{\langle\ldots\rangle \text{ ist UV}}=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \left(\ \left({(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)} \right) + \langle\ldots\rangle\ \right) +§ \\&=& {(v_1+v_2, w)} + \langle\ldots\rangle +§ \\&=& \left[{(v_1+v_2, w)}\right] +§ \\&=& (v_1+v_2)\otimes w +§$$ + +%2019-04-10 + +wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$) + +Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$. +($e'=0$, $e'\in E'$) TODO%TODO ? + +Entsprechend ist + +$$ + V\otimes W +§ &=&\{f+\langle\ldots \rangle \mathrel | f \in \mathcal F(V\times W) \} +§ \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{TODO%TODO\middle +|} (v,w)_i\in V\times W, \lambda_i\in\mathbb R, i\in \mathbb \{1,\ldots,n\}, n\in \mathbb N \right\} +§ \\&=& \operatorname{span}\{ \eins_{(v,w)} + \langle\ldots\rangle\mathrel | (v,w)\in V\times W \} +% \\&=& \operatorname{span}\{ [\eins_{(v,w)}] \mathrel | v\in V, w\in W \} +§ \\ + &=& \operatorname{span}\{ v\otimes w \mathrel| v\in V, w\in W \} +$$ + +mit den Relationen: +$$ + (v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w + \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2 + \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R +$$ + +** Lemma + +Die angegebene Konstruktion von $V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft. + +Beweis: + +Sei $f\colon V\times W \to Z$ gegeben, bilinear + +Definiere + +$$ + \hat f\colon V\times W &\to& Z,\ \ \ \ \text{linear} + \\ \sum_{i=1}^k \lambda_i(v_i, w_i) &\mapsto& \sum_{i=1}^k \lambda_i f(v_i, w_i) +$$ + +Behauptung: $\hat f$ induziert eine lineare Abbildung $\bar f$ +$$ + \bar f\colon V\otimes W &\to& Z + \\ (v\otimes w) &\mapsto& \hat f((v,w)) +§ \\ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \eins_{(v,w)_i} \right) &\mapsto& \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left((v,w)_i\right) +$$ + +Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben TODO%TODO ref +im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B. + +$$ +§ && \bar f(\eins_{(v_1 + v_2, w)} -\eins_{(v_1, w)} -\eins_{(v_2, w)}) +§ \\ + & +§ = + & \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) ) + \\ &\overset{\text{Def. } \hat f}{=}& f(v_1 + v_2, w) - f(v_1, w) - f(v_2, w) + \\ &\overset{\text{Bilinearität von } f}=& 0 +$$ + +$\Rightarrow$ $\bar f$ erfüllt dann $\bar f(v\otimes w) = f(v,w) \Rightarrow V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft. + +** Homomorphismen und Dualräume: (Erinnerung aus LAAG) + +$V$, $W$ Vektorräume $\rightsquigarrow Hom(V,W) = \{ f\colon V\to W\ |\ f \text{ linear } \}$ ist selbst ein Vektoraum, wenn $V$, $W$ endlichdimensional $\Rightarrow \operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V,W) = \operatorname{dim}V \cdot \operatorname{dim} W$ ($\operatorname{Hom}(V,W) \cong \mathbb{M}(m\times n, \mathbb R)$, wenn $V\cong \mathbb R^n$, $W\cong \mathbb R^m$) + +$V^* := \operatorname{Hom}(V, \mathbb R)$ ist dann der Dualraum von $V$. Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$ ist, dann gibt es die duale Basis $\{ \alpha_j \}_{j=1}^n \subset V^*$ mit: $\alpha_j(e_i) := \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}$ + +Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^{**}$, $v\mapsto (\alpha \mapsto \alpha(v))$ ein Isomorphismus + +** Proposition + +$W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann: +$$ + \operatorname{dim} W\otimes V^* = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V = \operatorname{dim} W \otimes V +$$ + +Mehr: wenn $\{ f_j \}^m_{j=1}$ und $\{ e_i \}^n_{i=1}$ Basen in $W$ bzw. $V$ sind. Dann ist $\{ f_j \otimes e_i \}_{i=1,\dotsc, n; j=1,\dotsc, m}$ eine Basis in $W\otimes V$ + +Beweis: + +Sei $L\colon W\times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha) \mapsto (\theta_{w,\alpha} \colon v \mapsto \alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang} 1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$) + +$L$ ist bilinear, weil: +$$ + && (L(w_1 + \lambda w_2, \alpha_1 + \mu\alpha_2))(v) + \\&=& (\alpha_1 + \mu\alpha_2)(v)\cdot(w_1 + \lambda w_2) + \\&=& \underbrace{ \alpha_1(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_1)(v)} + + \underbrace{ \mu \alpha_2(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_2)(v)} + + \lambda \underbrace{ \alpha_1(v)w_2 }_{L(w_2, \alpha_1)(v)} + + \mu\lambda \underbrace{ \alpha_2(v)\cdot w_2 }_{L(w_2, \alpha_2)(v)} +$$ + +Nach der universellen Eigenschaft vom Tensorprodukt bekommen wir eine lineare Abbildung + +$$ + \bar L \colon W\otimes V^* &\to& \operatorname{Hom}(V,W) + \\ w\otimes \alpha &\mapsto& \theta_{w,\alpha} +$$ + +$\bar L$ ist ein Isomorphismus: geben wir das Inverse an. Sei $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis on $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n$ die duale Basis in $V^*$. Definiere + +$$ + \varphi \colon \operatorname{Hom}(V,W) &\to& W\otimes V^* + \\ T &\mapsto& \sum_{i=1}^n T(e_i) \otimes \alpha_i +$$ + +$$ + \varphi \circ \bar L(w\otimes \alpha) &=& \varphi(\theta_{w,\alpha}) + \\&=& \sum_{w,\alpha} (e_i) \otimes \alpha_i + \\&=& \sum_{i=1}^{n} \alpha(e_i)w\otimes \alpha_i + \\&=& w\otimes \left( \sum_{i=1}^{n}\alpha(e_i)\cdot \alpha_i \right) + \\&=& w\otimes \alpha + \\&\Rightarrow& \varphi \circ \bar L = \operatorname{id} +$$ + +$$ + (\bar L\circ \varphi(T)(v)) + &=& \sum_{i=1}^{n} \theta_{T(e_i), \alpha_i}(v) + \\&=& \sum_{i=1}^{n}\alpha_i(v)T(e_i) + \\&=& T\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i (v) e_i\right) + \\&=& T(v) + \\&\Rightarrow& \bar L \circ \varphi = \operatorname{id} +$$ + +$W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operatorname{dim} W\otimes V = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V \Rightarrow \{ f_j \otimes e_i \}$ ist eine Basis. + +** Korollar + +Wenn $X$, $Y$ endliche Mengen sind, dann gilt: +$$ + \mathcal F(X\times Y) \cong \mathcal{F}(X) \otimes \mathcal{F}(Y) +$$ + +Erinnerung: hier gilt $\mathcal F(X) = \{ f\colon X \to \mathbb R \}$ mit punktweisen Operationen + +** Korollar + +$W\otimes V \cong V\otimes W$, $W\otimes(V\otimes Z) = (W\otimes V)\otimes Z$ + +Bemerkung: Es gilt auch ohne Einschränkung auf Dimensionen + +** Definition Tensor + +Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (zum Vektoraum $V$) ist ein Element des Vektoraumes +$$ + T_{r,s}(V) := V \underbrace{ \otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}} +$$ + +Bemerkung: Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n \subset V^*$ duale Basis. $\rightsquigarrow$ + +$$ + \{ e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_r} \ |\ i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \} +$$ + +ist eine Basis in $T_{r,s}$ (Beweis: wende induktiv die Proposition an). + +$\Rightarrow$ jedes $T\in T_{r,s}(V)$ ist darstellbar also +$$ + T= \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} } T_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1,\ldots,i_r} (e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s}) +$$ + +Beispiel $T_{1,1} (V) = V\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{End}(V)$ d.h., elemente von $T_{1,1}$ kann man als lineare Abbildung von $V$ nach $V$ interpretieren. Multilinear heißt linear in jeder Komponente. Sei +$$ + M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{ V\times \ldots \times V }_{s\text{-mal}} \times \underbrace{ V^* \times \ldots \times V^* }_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \} +$$ + +** Proposition + +$T_{r,s}(V)$ ist kanonisch isomorph zu $M_{s,r} (V)$ + +** Korollar + +$$ + \operatorname{Bil}(V) = \{ b\colon V\times V \to \mathbb R \text{ biliniear} \} \cong V^*\otimes V^* +$$ + +Insbesondere ist ein Skalarpodukt auf $V$ ein Tensor vom Typ $(0,2)$ Notation $g_{i,j}$ für Koordinaten einer Metrik ist konstant mit Tensorprodukten. + +%2019-04-16 + +* Tensorprodukte von Vektorräumen + +$$ + && \operatorname{Hom} (V\otimes \underbrace W_{ \mathbb R }) \cong \operatorname{Bil}(V\times W, \underbrace Z_{\mathbb R}) + \\&\overset{\text{Induktion}}\Rightarrow& \operatorname{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_n, Z) \cong \{ f\colon V_1\times\ldots\otimes V_n \to Z \ |\ f \text{ multiliniear } \} +$$ + +Letzes mal: +$$ + T_{r,s} (V) := \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{s\text{-mal}} +$$ +$$ + M_{s,r} := \{ f\colon \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \} +$$ + +** Proposition + +TODO%TODO kan. ? +$$1 + T_{r,s}(V) \overset{kan.}\cong M_{s,r}(V) +$$1 + +Beweis: + +Nach obigen Eigenschaften gilt: +$$ +M_{s,r} &\cong& \operatorname{Hom}(T_{s,r}(V), \mathbb R) \cong t_{s,r}(V)^* = (V^*\otimes\ldots\otimes V^* \otimes V \otimes \ldots \otimes V)^* +\\&\overset{?}\cong& \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*}_{s\text{-mal}} +$$ + +Wir wollen also zeigen: $W$, $Z$ zwei Vektoräume, wollen zeigen, dass $W^* \cong Z$ ($W=T_{s,r}(V)$, $Z=T_{r,s}(V)$) + +Def./Erinnerung: + +Eine nichtsinguläre Paarung zwischen $W$, $Z$ ist eine bilineare Abbildung $\beta\colon W\times Z \to \mathbb R$ mit + +- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall Z\in Z \Rightarrow w = 0$ +- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall w\in W \Rightarrow Z = 0$ + +Übung: + +Wenn $W$, $Z$ endlichdimensional, $(w_i)^n_{i=1}$, $(z_i)_{i=1}^m$ Basen in $W$ bzw. $Z$ dann ist +$\beta$ nichtsingulär +$\Leftrightarrow (\beta(w_i, z_j))_{ \begin{subarray}{l} i=1, \ldots, n \\ j=1, \ldots, m \end{subarray} }$ nicht ausgeartet ist $\Rightarrow n = m$ + +$\beta$ gibt einen Isomorphismus $\hat \beta \colon Z \to W^*$ + +Beispiel: + +$W = Z$, euklidischer Raum mit Skalarpodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$ +$$ + \beta (W,Z) = \langle \cdot, \cdot \rangle +$$ + +Alos: Wir betrachten eine nichtsinguläre Paarung +$$ + \beta_i \colon T_{s,r}(V) \times T_{r,s}(V) \to \mathbb R +$$ + +Definiere +$$ + {}& & \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*) + \\&=& \Pi_{i=1}^r v_i^*(u_i) \cdot \Pi_{j=1}^s u_j^* (v_j)_s \text{ bilinear fortgesetzt } +$$ + +** Tensorprodukte von Vektorräumen + +Zu zeigen ist, dass $\beta$ nicht ausgeartet ist. Dazu sei $0\neq t \in T_{r,s}(V)$, wir suchen $t^*\in T_{s,r}(V)$ mit $\beta(t^*, t) \neq 0$ + +Sei $(e_i)_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $(\alpha)_{j=1}^n$ die Dualbasis in $V^*$ + +Dann gilt: +$$ + t = \sum_{ \begin{subarray}{l} {i_1,\ldots, i_r \in \{ 1,\ldots, n \}} \\ {j_1,\ldots j_s \in \{ 1,\ldots, n \}} \end{subarray}} t_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r} + e_{i_1}\otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s} +$$ + +$D_a t \neq 0$, ist eins von den Koeffizienten $\neq 0$: +$$ + 0\neq t_{j_1 \cdots j_s}^{i_1 \cdot i_r} = \beta (\alpha_{i_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{i_r}\otimes e_{j_1}\otimes \ldots \otimes e_{j_s}, t) +$$ + +Bemerkung: Die Paarung zwischen $T_{r,s}$ mal $T_{s,r}$ wird gelegentlich einfach durch $\langle \cdot, \cdot \rangle$ oder $(\cdot, \cdot)$ bezeichnet. + +Beispiel $V = T_p M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$, dann hat $V=T_p M$ eine Basis $\{ \frac{\partial}{\partial x_i} \}_{i=1}^n$ + +$V^* = T^*_pM$ bekommt die duale Basis $\{ \mathrm d x^i \}_{i=1}^n$ + +Erinnerung: +$\mathrm d x^i (\underbrace{T_p M} (v):= v(x^i) )$, daher $d x^i(\frac{\partial}{\partial x^j}) = \frac{\partial}{\partial x^j} (x^i) = \delta_{ij}$ + +TODO%TODO \intd s +Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest) + +1. $t_{ij} = \intd x^i \otimes \intd x^j \in V^* \otimes V^* = T_{0,2}(V) \cong T_{0,2}(V) \cong \operatorname{Bil}(V\times V, \mathbb R)$ + + $$ + t_{ij} &=& (\intd x^i \otimes \intd x^j )(v,w) + \\&=& \intd x^i(v)\cdot \intd x^j(w) + \\&=& v(x^i)\cdot w(x^j),\ v,w\in T_p M + $$ + +Beispiel: +$$ + g := \sum_{i=1}^{n} \intd x^i \otimes \intd x^i +$$ + +ist auch eine Biliniarform auf $T_pM$. Wenn $M = \mathbb R^n$, $p$ beliebig, dann ist $g$ das Standardskalarprodukt auf $T_p \mathbb R^n \cong \mathbb R^n$ +$$ + g\left(\frac{\partial}{\partial x^k}, \frac{\partial}{\partial x^l}\right) + &=& \sum_{i=1}^n + \underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right) }_{=\delta_{ik}} + \underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^l}\right) }_{=\delta_{il}} + \\&=& \delta_{kl} + \delta_{lk} + \\&=& \delta_{kl} +$$ + +** Äußere Potenzen, äußere Algebra + +Errinnerung: + +für Integrationstheorie wollen wir die Rechenregeln +$$ + d_x^i \wedge \intd x^j = - \intd x^j \wedge \intd x^i +$$ + +Beobachtung: +Tensoren kann man miteinander multiplizieren. Es gibt eine kanonische bilineare Abbildung + +$$ + (\underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}}) \times \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{l\text{-mal}} \to \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{(k+l)\text{-mal}} + \\ ((v_1 \otimes \ldots \otimes v_k), (v_{k+1}\otimes \ldots \otimes v_{k+l})) \mapsto (v_1 \otimes \ldots \otimes v_{k+l}) +$$ + +Notation: +$$ + V^{\otimes k} := + \begin{cases} + \underbrace{V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}} & k > 0 \\ + \mathbb R & k = 0 +\end{cases} +$$ +$$ + T(V) := \bigoplus_{k=0}^\infty V^{\otimes k} +$$ + +heißt die Tensoralgebra von $V$ + +Multiplikation: $t\in V^{\otimes r}$, $t'\in V^{\otimes s}$ +$$ + t\cdot t' := t\otimes t' \in V^{\otimes (r+s)} +$$ + +definiert eine Multiplikation auf $T(V)$ + +In $T(V)$ gelten die Relationen $v\otimes v = 0$ nicht. + +Diese wollen wir erzwingen. + +Sei $Z(V) = \langle v\otimes v | v \in V \rangle$ das Ideal in $T(V)$ erzeugt von Elementen der Form $v\otimes v$ + +Notation: +$$ + I_r(V) := I(V) \cap V^{\otimes r}, I(V) = \bigoplus_{r=0}^\infty I_n (V) \text{ (kleine Übung) } +$$ + +Multiplikation wird durch $\bigwedge$ bezeichnet. nach Konstruktion gilt $v_1\wedge \ldots \wedge v_k = [v_1\otimes \ldots \otimes v_k]$ + +** Definition + +$$ + \bigwedge (V) := T(V) / I(V) +$$ +heißt äußere Algebra von $V$ + +Nach Konstruktion und Eigenschaft von $I(V)$ gilt +$$ + \bigwedge (V) = \bigoplus_{r=0}^\infty \underbrace{ \bigwedge^r (V) }_{V^{op?} / I_r(V} +$$ + +1. $\wedge^0 V \cong \mathbb R$, weil $I_0(V) = \{0\}$ +2. $\wedge^1 V \cong V$, weil $I_1(V) = \{0\}$ + +** Proposition + +Sei $(e_1, \ldots, e_n)$ eine Basis in $V$. Dann ist +$$ + \{ e_{i_1}\wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ k \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leqslant n \} +$$ + +eine Basis von $\bigwedge^k(V)$ ($\leftarrow$ $k$-te äußere Potenz) + +Insbesondere gilt: +$$ + \bigwedge^k(V) = \binom{n}{k},\ \ \ 0\leqslant k \leqslant n,\ \ \ \wedge_k (V) = \{0\},\ \ \ k>n +$$ + +** Äußere Potenzen, äußere Algebra + +Beweis + +Nach Konstruktion gilt: $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$, daher spannt +$$ + \{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < i_k \leqslant n \} +$$ + +den Raum $\bigwedge^kV$. Wir brauchen also zu zeigen, dass +$$ + \sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} = 0 +$$ + +Sei $I=(i_1,\ldots, i_k)$ $1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n$ fixiert. + +Sei $J = \{ 1,\ldots n \} \setminus I = (j_1, \ldots, j_{n-k})$ $1\leqslant j_1 < \ldots < j_{k} \leqslant n$ + +Betrachte das Element $e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k}$ und multipliziere es an $(*)$: +$$ + \pm \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_1\wedge\ldots \wedge e_n = 0 +$$ + +Alle anderen Terme verschwinden, weil eine Vektor im Produkt doppelt vorkommt. + +%2019-04-17 + +Gestern: +$$ + \bigwedge (V) = T(V) / I(V) +$$ +$I(V) = \langle v\otimes v\ |\ v\in V \rangle$ Ideal erzeugt durch $v\otimes v$ +$$ + = \left\{ \sum_{i=1}^k t_i \otimes v_i \otimes v_i z_i \ \middle|\ t_i, t'_i \in T(V), v_i \in V \right\} +$$ +$$ + [\underbrace{ v_1\otimes \ldots \otimes v_n }_{\in T(V)}] =: i v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \in \bigwedge (V) +$$ + +nach Konstruktion gilt $v\wedge v = 0$, $v'\in V$ (daraus folgt: $v \wedge w = -w \wedge w$, $v$, $w \in V$, $0= (v+w)\wedge (v+w) = \underbrace{v\wedge v}_{=0} + v\wedge w + w\wedge v + \underbrace{w \wedge w}_{=0} = v\wedge w + w\wedge v$) + +Das Bild von $V^{\otimes k}$ in $\bigwedge (V)$ heißt $\bigwedge^k(V)$ -- die Elemente der Länge $k$, +$$ + \bigwedge^k (V) = \left\{ \sum_{i=1}^{k} v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \middle| v_{i_l} \in V \right\} +$$ + +** Proposition + +Wenn $(e_i)^n_{i=1}$ eine Basis von $V$ ist, ist $\{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant u \}$ eine Basis von $\bigwedge^k(V)$; insbesondere $\dim \bigwedge_k(V) = \binom{n}{k}$, $0\leqslant k\leqslant n$, $\bigwedge^k(V) = \{0\}$ für $k> n$ + +Beweis: + +Wir haben die Aussage darauf reduziert, dass in $\bigwedge_k(V)$ $e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0$ +$\longrightarrow$ Reduktion für $k=2$, $n=4$. wird behauptet, dass $\{ e_1\wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_1\wedge e_n, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4 \}$ linear unabhängig sind. Wenn nicht $\exists \alpha_{ij}$: +$$ + \alpha_{12}e_1\wedge e_2 + \alpha_{13}e_1\wedge e_j + \alpha_{14} e_1\wedge e_4 + \ldots = 0 +$$ +$\rightarrow \alpha_{13} e_1e_3\wedge e_2\wedge e_4 = 0 = -\alpha_{13}(e_1\wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)$ +$$ + e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0 \Leftrightarrow e_1\otimes \ldots \otimes e_n \notin I(V) +$$ + +Wenn + +$$ + v &=& \sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i + \\ v\otimes v &=& \sum_{i,j = 1}^{n} \lambda_i \lambda_j e_i \otimes e_j + \\ &=& \sum_{i=1}^{n} \lambda_i^2 e_i \otimes e_i + \sum_{i,j = 1\atop i0$: + +$$ + f^* \omega &=& (\omega_I \circ f) f^*(\intd x^{i_1}) \wedge \ldots \wedge f^*(\intd x^{i_k}) + \\&=& (\omega_I \circ f) \intd (f^*(x^{i_1})) \wedge \ldots \wedge \intd (f^*(x^{i_k})) +$$ + +TODO%TODO missing + +* Integration von Differentialform + +Idee: wir können in $\mathbb R^n$ integrieren also führen wir die Situation auf Mannigfaltigkeit darauf zurück. + +Der $k$-Würfel in $\mathbb R^n$ ist $[0,1]^k \subset \mathbb R^k$ + +Definition: + +Sei $\omega = f \intd u^1 \wedge \ldots \wedge \intd u^k$ eine Differentialform auf $[0,1]^k$ (Errinnerung: d.h dass (e) eigentlich auf einer offenen Umgebung $V\supseteq [0,1]^k$ definiert ist) + +Definiere +$$ + \intd_{[0,1]^k} \omega := \intd_{[0,1]^k} f(u) \intd u^1 \cdots \intd u^k +$$ + +Definition: + +Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine glatte Abbildung $e\colon [0,1]^k \to M$ + +Definition: + +Sei $\omega\in \Omega^k (M)$ , $c\colon [0,1]^k \to M$ eine singulärer $k$-Würfel: + +$$ + \int_c \omega := \int_{[0,1^k]} c^*(\omega) +$$ + +%2019-05-07 + +* Integration von Differentialform + +** Definition + +Der $k$-Standardwürfel ist definiert als $[0,1]^k$ ($k\in \mathbb N$) + +$$ + [0,1]^0 := \{0\} +$$ + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine (glatte) Abbildung $c\colon[0,1]^k \to M$ + +TODO%TODO Bilchen malwurf + +** Definition + +Sei $\omega = \underbrace{ f }_{\in C^\infty (\mathbb R^k)} \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^k$ eine $k$-Form von $\omega$ über $[0,1]^k$ ($[0,1]^k \subset \mathbb R^k$) ist definiert als + +$$ + \int_{[0,1]^0} \omega &:=& f(0) + \\ \int_{[0,1]^k} \omega &:=& \int_{[0,1]^k} f(u)\intd u^1 \cdots \intd u^k +$$ + +(Das Integral der Funktion $f$ auf der rechten Seite der Definition im Sinne der Analysis) + +** Definition + +Sei $\omega \in \Omega^k(M)$, $c\colon [0,1]^k \to M$ ein singulärer Würfel in $M$. Das Integral von $\omega$ über $c$ ist definiert als +$$ + \int_c \omega := \int_{[0,1]^k} c^* w +$$ + +** Beispiel + +Sei $M=\mathbb R^k$, $c\colon[0,1]^k \to \mathbb R^k$, ein singulärer Würfel mit $\operatorname{det} D_xc \neq 0 \forall x\in [0,1]^k$. (Bemerkung: Diese Bedingung erzwingt, dass $\operatorname{det} D_x c > 0 (\text{oder} <0) \forall x\in [0,1]$) + +Sei $\omega = f(u) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k \in \Omega^k(\mathbb R^k)$ +$$ + \int_c \omega &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega = \int_{[0,1]^k} f(c(x)) \operatorname{det} D_x c\,\diffd x^1\cdots \diffd x^k + \\ &\overset{\text{Transformationsformel}}=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd^1 u^1 \cdots \intd u^k + TODO%TODO missing +$$ + +$$ + + && \text{wenn $\det D_x c> 0$ } + \\ - && \text{wenn $\det D_x c >0$ }, \forall x \in [0,1]^k +$$ + +TODO%TODO Bildchen 2 + +$$ + c^* &=& \tilde f(x) \, \diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^k \in \Omega^k([0,1]^k) + \\ \tilde f (x) &=& (c^* \omega)(x) \left(\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^k}\right) + \\ &=& \omega(c(x)) \left( c_*\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, c_*\frac{\partial}{\partial x^k} \right) + \\ &=& f(c(x)) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd^k \left( D_x c\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, D_x c\frac{\partial}{\partial x^k} \right) + \\ &=& f(c(x)) \operatorname{det} \bigg( \underbrace{ \diffd u^i \bigg( \underbrace{ D_x c\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) }_{j\text{-te Spalte der Jacobi-Matrix}} \bigg) }_{i\text{-te Komponente}} \bigg)^k_{i,j = 1} + \\ &=& f(c(x)) \cdot \det D_x c + \\ &=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd u^1 \cdots \intd u^k +$$ + +** Lemma + +Das Integral von $\omega$ über einen singuläreren Würfel $c\colon [0,1]^k \to M$ ist parametrisierungsunabhängig: Wenn $F\colon [0,1]^k \to [0,1]^k$ ein Diffeomorphismus mit $\det D_x F > 0 \forall x\in [0,1]^k$, dann gilt: + +$$ + \int_{c\circ F} \omega = \int_c \omega, \quad \quad \forall\omega\in \Omega^k(M) +$$ + +Beweis: + +$$ + \int_{c\circ F} \omega &\overset{\text{Def.}}=& \int_{[0,1]^k} (c\circ F)^*\omega + \\ &=& \int_{[0,1]^k} F^* (c^* \omega) + \\ &\overset{\text{Def.}}=& \int_F c^*\omega + \\ &\overset{\text{Bsp.}}=& \int_{F([0,1]^k)} c^* \omega \left( \frac{\partial}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u^k} \right) \intd u^1 \cdots \intd u^k + \\ &\overset{ F([0,1]) = ?? [0,1]^k}=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega \left( \frac{\partial}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u^k} \right) \intd u^1, \ldots, \intd^k + \\ &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega + \\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \omega +$$ + +TODO%TODO Bilchen + +** Definition + +Sei $M$ eine Mfg., $k\in \mathbb N$. Eine $k$-Kette in $M$ ist ein Element des freien $\mathbb R$-Vektorraumes auf der Menge singulärerer $k$-Würfel in $M$, d.h. eine formale Linearkombination. + +$$ + \sum_{i=1}^{N} a_ic_i +$$ + +mit $a_i \in \mathbb R$, $c_i \colon [0,1]^k \to M$ singulärer $k$-Würfel. Für $\omega \in \Omega^k(M)$ definiere +$$ + \int_{\sum_{i=1}^N a_ic_i} &:=& \sum_{i=1}^N a_i \int_{c_i} \omega +$$ + +Sei $W_k := [0,1]^k$ der Standardwürfel in $\mathbb R^k$ + +$$ + \partial W_k = \bigcup_{i=0}^k W_{i,0} \cup \bigcup_{i=0}^k W_{i,1} +$$ + +$$ + W_{i,0} &=& \{ x\in W \mathrel | x = (x_1, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i+1}, \ldots, x_k) \} + \\&=& \{ x\in W \mathrel | x_i = 0 \} + \\&\cong& W_{k-1} +$$ + +$$ + W_{i,1} &=& \{ x\in W_k \mathrel| x_i = 1 \} + \\&\cong& W_{k-1} +$$ + +** Definition + +Sei $c\colon W_k \to M$ ein singulärer $k$-Würfel. Der Rand von $c$ ist die singuläre $(k-1)$-Kette + +TODO%TODO author of book might have done a mistake +$$ + \partial c &:=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c |_{W_{i,j}} +$$ + +$c|_{W_{i,j}}$ ist ein singulärer $(k-1)$-Würfel, weil $W_{i,j} \cong W_{k-1}$ wie oben + +** Beispiel + +$$ + k=0 &\Rightarrow& \partial c = 0 + \\ k=1 &\Rightarrow& \partial c = c|_{\{1\}} - c|_{\{0\}} + \\ k=2 &\Rightarrow& \partial c = -c|_{W_{1,0}} + c|_{W_{1,1}} - c|_{W_{2,1}} +c|_{W_{2,0}} +$$ + +TODO%TODO Bilchen (4) + +Es gilt $\partial(partial(c)) = 0$. ($k=1$ klar, $k=2$:) + +$$ + \partial(\partial(c)) = \cancel{ c|_{\{A\}} } - \xcancel{ c|_{\{D\}}} + \bcancel{ c|_{\{B\}} } -\cancel{c|_{\{A\}}} +c|_{\{C\}} -\bcancel{ c|_{\{B\}}} +\xcancel{c|_{\{D\}}} -c|_{\{C\}} +$$ + +Beweis: sie Walschap + +** Bemerkung/Übung: + +Für jeden singulären Würfel $c$ ($\Rightarrow$ für jede Kette) gilt $\partial^2(c) := \partial(\partial(c)) = 0$ + +** Beispiel + +Sei $c = \sum_{i=1}^N a_i c_i$ eine $1$-Kette in $\mathbb R$ $(c_i\colon [0,1] \to \mathbb R)$, $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ + +Dann gilt: + +$$ + \int_c \intd f = \int_{\partial c} f +$$ + +Beweis: + +Nach Linearität reicht es, dies für einen singulären $1$-Würfel $c\colon [0,1] \to \mathbb R$ zu zeigen. + +$$ + \int_c \intd f &=& \int_{[0,1]} c^* (\diffd f) + \\ &=& \int_{[0,1]} (f\circ c)' du + \\ &\overset{\text{Haupsatz der Diff/ und Int-Rechnung}}=& f(c(1)) + \\ &=& f(c(0)) -f(c(0)) + \\ &=& \int_{\partial c} f +$$ + +$$ + \intd f &=& f'(t) \diffd t + \\ c^* (diffd f) = \tilde f(u) \diffd u = (f\circ c)' \intd u + \\ \tilde f(u) &=& c^*(\diffd) (\frac{\partial}{\partial u}) + \\ &=& \diffd f(c_* \frac{\partial}{\partial u}) + \\ &=& f'(c'(u))\diffd t(c_* \frac{\partial}{\partial u}) + \\ &=& f'(c(u)) c'(u) +$$ + +** Nächstes Ziel + +Satz von Stokes: + + 1) lokale Form $\int_c \intd \omega = \int_{\partial c} \omega$ ($c$-$k$-Kette, $\omega \to (k-1)$-Form) + 2) Erweiterung der Integration auf Mannigfaltigkeit + +wenn $\operatorname{dim} M=n (+\ldots)$ für $\omega\in \Omega^n(M) \rightsquigarrow \int_M \omega$ und +$$ + \int_{\underbrace{ M }_{\text{Mannigfaltigkeit mit Rand}}} \intd \omega' = \int_{\partial M} \omega' +$$ + +%2019-05-08 + +* Integration von Differentialformen + +$M$ -- eine Mannigfaltigkeit, $\omega \in \Omega^k(M)$ + +$$ + c\colon [0,1]^k \to M +$$ + +singulärer $k$-Würfel + +$$ + \int_c \omega &:=& \int_{[0,1]^k} c^*\omega +$$ + +($c^*\omega \underbrace{\text{linear}}{=} f(u) \intd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k$) + +haben auch + +$$ + \partial c = \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j} +$$ + +$c_{i,j}$ ist Einschränkung von $c$ auf $W_{i,j} \leftarrow$ Randkomponente von $[0,1]^k$ + +TODO%TODO Bilchen + +$$ + \partial c = c|_{W_{1,1}} -c|_{W_{1,0}} +c|_{W_{2,0}} -c|_{W_{2,1}} +$$ + +** Satz von Stokes lokale Version + +$$ + \underbrace{ \text{Newton-Leibnitz}}_{k=1} \text- \underbrace{\text{Green}}_{k=2} \text- \underbrace{\text{Gauss-Ostragradisk}}_{k=3} \text - \underbrace{\text{Stokes-Poincaré}}_{k\in \mathbb N} +$$ + +Wenn $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$, $c\colon [0,1]^k \to M$ singulärer $k$-Würfel. + +Dann gilt: + +$$ + \int_c \intd \omega = \int_{\partial c} \omega +$$ + +Beweis: + +Zunächst $M = \mathbb R^k$, $c\colon[0,1]^k \hookrightarrow \mathbb R^k$ + +Für $k=2$: + +$$ + \omega &\in& \Omega^1([0,1]^2) + \\ \Rightarrow \omega(u) &=& f_1(u)\diffd u^2 + f_2(u) \diffd u^1, \quad u\in [0,1]^2, f_1, f_2 \in C^\infty\left( [0,1]^2 \right) +$$ + +Integrieren ist linear $\Rightarrow$ können $f_1(u)\diffd u^2$, $f_2(u)\diffd u^1$ separat behandeln + +$$ + \diffd (f_1(u) \diffd u^2) = \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd ^u1 \wedge \intd u^2 +$$ + +$$ + \int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \wedge \intd u^2 + &\overset{\text{Def.}}{=}& + \int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \intd u^2 + = \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \right] \intd u^2 + \\ &=& \int_0^1 (f_1 (1,u_2) - f_1(0,u_2)) \intd u^2 + \\&=& \int_{W_{1,1}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 + \int_{W_{2,0}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2 + \\&-& \int_{W_{2,1}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2 - \int_{W_{1,0}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 + + \\&=& \int_{\partial [0,1]^2} f_1 (u) \intd u^2 +$$ + +Für $f_2 (u) \diffd u^1 \rightsquigarrow \diffd (f_2(u) \diffd u_1) = -\frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2$ + +Dann bekommt man analog +$$ + -\int \frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2 = \int_{\partial [0,1]^2} f_2 (u) \diffd u^1 +$$ + +(beachte Vorzeichen bei Randkomponenten!) + +Im Allgemeinen (für $k\in \mathbb N$): jedes $\omega\in\Omega^{k-1}\left([0,1]^k\right)$ ist von der Form + +$$ + \omega(u) = \sum_{i=1}^k \underbrace{ f_2(u) }_{\in C^{\infty}\left( [0,1]^k \right) } \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^{i-1} \wedge \diffd u^{i+1} \wedge \ldots \wedge \diffd u^k +$$ + +Dach über $\diffd u^i$ heißt weglassen. + +$$ + \partial c = \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j} +$$ + +Wegen Linearität reicht es einen Summanden + +$$ + \omega_i = f_i (u) \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{ \diffd u^i } \wedge \ldots \wedge \diffd u^k +$$ + +zu betrachten + +$$ + \diffd \omega_i = (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^i \wedge \ldots \wedge \diffd u^k +$$ + +$$ + \int_{[0,1]^k} \diffd \omega_i &=& \int_{[0,1]^k} (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \intd u^1 \cdots \diffd u^k + \\&=& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, u^{i+1}, 1, u^{i+1}, \ldots, u^k) \diffd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^1 }\cdots \diffd u^k + \\&-& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, \ldots, u^{i-1}, 0, u^{i+1}, \ldots, u^k) \intd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^i } \cdots \diffd u^k + \\&(*)=& \sum_{l=1}^{k} \sum_{j=0}^{1} (-1)^{l+j} \int_{W_{l,j}} \omega_i = \int_{\partial c} \omega_i +$$ + +Beachte $(*)$ alle Summanden mit $l\neq i$ verschwinden (da ist eine der Variablen $u^1,\ldots, u^{i-1}, u^{i+1}, \ldots, u^k$ konstant) + +Allgemeiner Fall: + +$c\colon [0,1]^k \to M$, $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$ + +$c_{i,j} = c|_{W_{i,j}} \cong W_{k-1}$ + +$$ + \int_{\partial c} \omega + &=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^1 (-1)^{i+1} \int_{c_{i,j}} \omega + \\&\overset{\text{Def.}}=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} \int_{[0,1]^{k-1}} c_{i,j}^* \omega + \\&=& \int_{\partial[0,1]^k} c^* \omega + \\&\overset{\text{Stokes für } [0,1]^k \text{ eben bewiesen}}=& + \int_{[0,1]^k} \diffd (c^* \omega) + \\&\overset{\diffd c^* = c^* \diffd}=& \int_{[0,1]^k} c^* (\diffd \omega) + \\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \diffd \omega +$$ + +Errinnerung: + +Dann gilt: + +$$ + \int_{c\circ F} \omega &=& \int_c \omega, \quad \omega \in \Omega^k (M) +$$ + +Fazit: + +$\int \omega$ ist koordinatennabhängig, wenn man nur orientierungserhaltende Koordinatentransformation zulässt. + +** Definition + +Eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$ heißt \emph{orientierbar}, wenn $\exists \omega \in \Omega^n (M)$ mit $\omega(p) \neq 0$, $\forall p\in M$. + +** Bemerkung + +Die Wahl einer Volumenform $\omega$ definiert eine Orientierung von $T_p M$ für jedes $p\in M$ + +($(e_1,\ldots, e_n) \in T_pM$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow$ $\omega(e_1, \ldots, e_n) > 0$) + +($M$ ist also orientierbar, wenn man alle $T_pM$ konstant orientieren kann) + +** Bemerkung + +Innerhalb einer Karte $(U,x)$ existiert immer eine Volumenform $\diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n$ + +D.h. Orientierbarkeit hängt davon ab, ob man diese lokalen Volumenformen zu $\omega \in \Omega^n (M)$ „verkleben“ kann. Solche +„lokal-zu-global“-Fragen werden mit der Teilung der Eins behandelt + +** Definition + +$$ + \operatorname{supp} \varphi := \overline{ \{ x\in M \mathrel| \varphi(x) \neq 0 \} } +$$ + +** Definition + +Eine Teilung der Eins auf $M$ ist eine Familie $\{\varphi_\alpha\}_{\alpha \in A} \subset C^\infty (M, [0,1])$ + + 1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_\alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in \operatorname{supp} \varphi_\alpha$ + + 2. + $$ + \sum_{\alpha\in A} \varphi_{\alpha} (p) = 1, \forall p\in M + $$ + +TODO%TODO Bilchen: Zerlegung der 1 auf R, überschneidende Hügel + +** Satz + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ eine Überdeckung von $M$. Dann existiert eine Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}_{k\in K}$ mit der Eigenschaft $\forall k\in K \exists \alpha \in A$ + +(die Teilung der Eins ist der Überdeckung untergeordnet) + +Die Menge $K$ kann sogar abzählbar gewählt werden. + +Beweis: wird nachgeliefert + +** Bemerkung + +Kurzfassung des Satzes: Mannigfaltigkeiten sind \emph{parakompakt} + +** Proposition + +$M$ ist orientierbar genau dann, wenn es einen Atlas + +$$ + \mathcal A = \{ (U, x) \} +$$ + +von $M$ gibt mit der Eigenschaft $\det D_{\xi} (y\circ x^{-1}) > 0, \xi \in x(U\cap V)$, für alle $(U,x)$, $(V,y) \in \mathcal A$ + +Beweis: + +Orientierbarkeit $\Rightarrow \exists \mathcal A$: + +Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ eine Volumenform + +$$ + \mathcal A := \left\{ \underbrace{ (U,x) }_{\text{Karte}} \ \middle |\ \omega\left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) > 0 \right\} +$$ + +Das ist ein Atlas (nimm beliebige $(U', x')$ und stelle zwei Koordinaten gegebenenfalls um) $\mathcal A$ erfüllt die Aussage des Satzes, weil wegen $(U,x)$, $(V,y)$ zwei Karten mit $U\cap V \neq \emptyset$ + +$$ + \Rightarrow \omega = f \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n = g \intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n +$$ + +auf $U\cap V$ mit $f$, $g\in C^\infty (U\cap V)$, $f(p) \neq 0$, $g(p)\neq 0$, $p \in U\cap V$, (weil $\omega \neq 0$) + +Es gilt: + +$$ + \intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n = \frac{f}{g} \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n +$$ + +und +$$ + h = \frac{f}{g} > 0 +$$ + +Andererseits gilt + +$$ + h(p) = \det D_p(y\circ x^{-1}) +$$ + +weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right)$, $g=\omega \left( \frac{\partial}{\partial y^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial y^n} \right)$ + +$p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen ) + +$\Rightarrow \mathcal A$ orientiert + +%2019-05-14 + +* Übung 3 + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +N=\mathbb R^n \arrow[rr, "f"] \arrow[rr, "\begin{subarray}{l}y^1=f_1(x)\\ y^2=f_2(x) \end{subarray}"'] & & N=\mathbb R^m \\ +{x^1,\ldots, x^n} & & {y^1,\ldots, y^m} +\end{tikzcd} +\end{center} + +$$ + \varphi \colon N\to \mathbb R \quad (\varphi = \varphi(y^1,\ldots, y^n)) +$$ + +$$ + (f^*\varphi)(x) = \varphi(f(x)) = \varphi(f^1(x), \ldots, f^n(x)) +$$ + +(Index, keine Potenz) + +$$ + f^*y^1 = f^1, \quad f^*y^k = f^k +$$ + +$1$-Formen Zurückziehen + +$$ + f^*(\diffd y^1) &\in& \Omega^1(M) + \\f^*(\diffd y^1)&=&\sum_{i=1}^m \omega_i \diffd x^i + \\\omega_i &=& (f^*(\diffd y^1))\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) + \\&=& \diffd y^1\left(f_* \frac{\partial}{\partial x_i}\right) + \\&\overset{(*)}=& \diffd y^1\underbrace{ \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f^j}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial}{\partial y^1} \right) }_{=Df(e_1)} + \\&=& \frac{\partial f^1}{\partial x^i} + \\&\Rightarrow& f^* (\diffd y^1) + \\&=& \sum_{j=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i + \\&=& \diffd f^1 + \\&=& \underbrace{\sum_{i=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i}_{\text{„Differentialform“}} +$$ + +** Beispiel + +$m=2$, $n=3$, $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3$ + +$$ + (\xi, \eta) &\mapsto& (\xi^2, -2\xi\eta, \eta^3) + \\ w &=& x\diffd x - 3xyz\diffd y + zx\diffd z \in \Omega^1(\mathbb R^3) +$$ + +$$ + f^* \omega = \xi ^2 \ldots TODO%TODO missing part +$$ + +TODO%TODO finish Übung + +%2019-05-15 + +** Vorlesung + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent + + 1. $M$ ist orientierbar + 2. $\exists \mathcal A$, einen Atlas für $M$, s.d. + $\forall (U,x), (V,y) \in \mathcal A$ gilt: + $$ + \det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V) + $$ + +Beweis:TODO%TODO reference +$(1.) \Rightarrow (2.)$ letzes Mal erbracht. + +Erinnerung $M$ orientierbar $\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ mit $\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$ ($\omega$ heißt dann Volumenform) + +Für $(2.) \Rightarrow (1.)$ brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei $\mathcal A$ ein Atlas wie in $(2)$: +$$ + \mathcal A = \{ (U_\alpha, x_\alpha) \mathrel| \alpha \in \mathcal A \}, \quad U_\alpha \text{ überdecken } M +$$ + +$\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$ eine Teilung der Eins aufgefasst an $U_\alpha$ ($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$ s.d. $\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$) + +TODO%TODO Bilchen überschneidende Hügel + +Definiere die $n$-Form ($n=\dim M$) +$$ + \omega_k(p) := \varphi_k(p) \intd x^1_{\alpha_k} \wedge \ldots \wedge \diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M +$$ +$$ + \varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k}) +$$ + +TODO%TODO Bilchen one bump + +Sei $\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem $p\in M$ wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins. + +$\omega$ verschwindet nirgends, weil: $\forall p\in \operatorname{supp} \varphi_k$ + +$$ + \omega(p) \left( \frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}} \right) + = \underbrace{ \varphi_k(p) }_{>0} + \sum_{k'\in \mathbb N\atop k' \neq k} \underbrace{ \omega_{k'}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}}\right) }_{\geqslant 0,\ \neq 0} +$$ + +$$ + \omega_k(p)(\ldots) &\overset{\operatorname{supp}\varphi_{k'}\in U_{\alpha_{k'}}}=& \varphi_{k'}(p) \cdot \det D_{x_{\alpha_k(p)}}\left( x'_{\alpha_k} \circ x^{-1}_{\alpha_k} \right) + \\&>& 0 +$$ + +** Satz: Existenz der Teilung der Eins + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins $\{ \varphi_j \}_{j\in \mathbb N}$ die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h. $\forall j\in \mathbb N \exists \alpha$ mit $\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$) + +Erinnerung: Teilung der Eins +„Teilung der Eins“ heißt $\varphi_k \subset C^\infty (M, [0,1])$ mit + +$$ + \sum_{k\in \mathbb N} \varphi_k(p) = 1, \quad \forall p\in M +$$ + +endlich $\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$ heißt nur in endlich vielen von $\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$ + +Beweis: + +TODO%TODO Bilchen: Langos, mit wellen + +1. Ziel: + +Schreibe $M=\bigcup_{k\in \mathbb N} A_k$, s.d. $A_k$ kompakt, $\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$. $M$ ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu $\mathbb R^n$), zweitabzählbar $\Rightarrow \exists (Z_i)_{i\in \mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit $\overline{Z_i}$ kompakt. + +Sei $A_{0} := \overline{Z_0} \Rightarrow A_0$ kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben $A_k$ kompakt. Sei $i_k\in \mathbb N$ minimal mit + +$$ + A_k \subset Z_0 \cup Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i_k} +$$ + +($i_k$ existiert, da $\bigcup Z_i = M\cup A_k$ kompakt) + +Setze + +$$ + A_{k+1} := \overline {Z_0} \cup \overline {Z_1} \cup \overline {Z_{i_k}} \cup \overline {Z_{k+1}} +$$ + +$A_k$ aufsteigend, $\bigcup_k \operatorname{int} A_k = M$, da $\bigcup_k Z_k = M$ Setze außerdem $A_{-1} := \emptyset$, dan gilt: + +$$ + M= \bigcup{k\in \mathbb N} A_k \setminus (\operatorname{int} A_{k-1}) +$$ + +$\forall p \in M: \exists (V_p, x_p)$ Karte mit: + + 1. $x_p(p) = 0\in \mathbb R^n$ + 2. $V_p \subset U_\alpha$ + 3. $x_p(v_p) = B(3,0) \subset \mathbb R^n$ + 4. $V_p \subset \operatorname{int} A_{k+2} \setminus A_{k-1}$ für gewisses $k\in \mathbb N$ + +Dann gilt: $\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset \mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1} \setminus \operatorname{A_k}}$ ist eine Überdeckung von $A_{k+1} \setminus \operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt. $\Rightarrow$ diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung $\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$ + +$$ + \{P_{i,j}\}_{k\in \mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k} +$$ + +ist eine Überdeckung von $M$, die abzählbar ist, untergeordnet der $\{U_\alpha\}$ ist (jedes $P_{i,k}$ liegt in einem $U_\alpha$). Wir können sie also als $\{V_j\}_{j\in \mathbb N}$ umnummerieren. + +Nach Konstruktion gilt: jedes $Q_j$ ist enthalten in einem $V_{p_j}$ zu einer Karte $(V_{pj}, x_{pj})$ mit: + +$$ + x_{pj}(v_{pj}) = B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j) = B(0,1) +$$ + +Sei $\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$ glatt mit der Eigenschaft + + 1. $\theta(u) = 1$, $\lVert u \rVert < 1$ + 2. $\theta(u) = 0$, $\lVert u \rVert > 2$ + +(Siehe Übung 24) + +TODO%TODO rundes Trapez + +Sei +$$ + \psi_j(p) := + \begin{cases} + \theta \circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\ + 0, & \text{sonst} + \end{cases} +$$ + +Nach Konstruktion gilt: +$$ + \psi_j\in C^\infty(M, [0,1]) +$$ +Behauptung: +\begin{center} +$\forall p\in M$ sind nur endlich viele $\psi_j(p) \neq 0$. Wenn $p\in A_k$ mit $\psi_j(p) \neq 0$ +\end{center} + +$\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$ +$\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$ + +Nun ist $\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins. + +%2019-05-21 + +letzes Mal: Beweis des Satzes über Existenz einer Teilung der Eins. + +* Satz + +Jede Mannigfaltigkeit $M$ ist parakompakt. d.h. für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine untergeordnete Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}$ (sogar abzählbar) + +Standardanwendungmuster: haben eine Konstruktion innerhalb der Karte $(U,x)$ Um eine Konstruktion global auf $M$ zu bekommen, machen wir es innerhalb jeder Karte $\{ U_\alpha \} = \{ (U,x) \mathrel| (U,x) \text{ Karte} \}$ und verkleben es mit Hilfe der Teilung der Eins. + +(Beispiel: Existenz von orientierten Karten $\Leftrightarrow$ Orientierbarkeit) + +Erinnerung: $M$ orientierbar $\overset{\det}\Leftrightarrow$ $\exists$ Volumenform (nirgends verschwindent) $\omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ + +Beweis: $\omega_1$, $\omega_2$ Volumenform $\Rightarrow$ $\exists f\in C^\infty(M)$ nirgends verschwindend mit $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ (weil $\dim \bigwedge^n T^*_p M =1$) + +Wenn $M$ zshgoh. ?? $\Rightarrow$ $f>0$ oder $f<0$ + +** Definition + +Zwei Volumenformen $\omega_1$, $\omega_2$ definieren die gleiche Orientierung von $M$, wenn $\omega_1 = f\cdot \omega_2$ für ein $f\in C^\infty(M, (0,\infty))$ + +$M$ heißt orientiert, wenn eine entsprechende Äquivalenzklasse von Volumenformen fixiert ist. + +** Definition + +Die Standardorientierung von $[0,1]^n$ ist gegeben durch die Äquivalenzklasse von $\diffd u^1\wedge \ldots\wedge u^n$ + +** Definition + +Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, von Dimension $n$, $\omega$ eine entsprechende Volumenform: + +Ein $n$-Würfel $c\colon[0,1]^n \to M$ heißt orientiert, wenn $c^*\omega = f(u)\cdot \diffd u^1\wedge \ldots\wedge \diffd u^n$ mit $f(u)>0$ $\forall u\in [0,1]^n$ + +** Lemma (Koordinateninvarianz der Integration) + +Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ $(\dim M=n)$, $c_1$, $c_2\colon[0,1]^n \to M$ orientierte Würfel. Dann gilt: wenn $\operatorname{supp}\omega\subseteq c_1\left( [0,1]^n \right)\cap \left( [0,1]^n \right)$, gilt + +$$ + \int_{c_1} \omega = \int_{c_2}\omega +$$ + +Beweis: + +Betrachte die Verknüpfung $c^{-1}_2\circ c_1\colon [0,1]^n\to [0,1]^n$ + +Sie ist orientierungserhaltend + +$$ + \int_{c_2} \omega \overset{ \text{Invarianz*} }= \int_{c_2\circ c_2^{-1}\circ c_1} \omega = \int_{c_1}\omega +$$ +TODO%TODO * +*der Integration ?? orientierter Abbildungen + +** Definition + +Sei $\omega\in \Omega^n (M)$ ($n = \dim(M)$) eine $n$-Form s.d. $\exists c\colon[0,1]^n\to M$ orientiert mit $\operatorname{supp}\omega\subseteq c\left( [0,1]^n \right)$ + +Definiere: + +$$ + \int_M \omega := \int_c \omega +$$ + +TODO%TODO Bildchen: Hase I +TODO%TODO irgendwann später verändertes Bildchen +Nach dem Lemma ist es wohldefiniert + +Bemerkung: + +Insbesondere ist $\int_M \omega$ nur definiert, wenn $M$ orientiert ist. + +** Definition + +Sei $\omega \in Omega^n(M)$ mit kompakten Träger. Sei jetzt $\{ U_\alpha \}_\alpha$ eine Überdeckung von $M$ durch offene Mengen, s.d. für jedes $\alpha$ ein orientierter Würfel $c_\alpha\colon[0,1]^n\to M$ existiert mit $U_\alpha \supseteq c_\alpha([0,1]^n)$ +(solche Überdeckung existiert z.B. weil man die Karten betrachten kann) + +Sei $\{ \varphi_k \}_{k\in \mathbb N}$ die untergeordnete Teilung der Eins. + +Wir definieren: + +$$ + \int_M \omega := \sum_{k\in N} \underbrace{ \int_M \varphi_K \cdot \omega}_{\text{(vorherige Definition)}} +$$ + +Beachte: + +die Summe (oben) hat stets nur endlich viele Terme. + +Bemerkung: + +$\int_M \omega$ ist wohldefiniert: wenn $\{ V_\beta \}$ eine andere Überdeckung mit entsprechender Teilung der Eins $\{ \psi_l \}$ ist, gilt: + +$$ + \underbrace{ \sum_{k\in \mathbb N}\int_{M} \varphi_k \cdot \omega} &=& \sum_{k\in \mathbb N}\sum_{l\in \mathbb N} \int_M \varphi_k \psi_l \cdot \omega + \\&\overset{\text{Summen endlich}}=& \sum_{l\in\mathbb N}\sum_{k\in \mathbb N} \int_M \psi_l \varphi_k\cdot \omega + \\&=& \underbrace{ \sum_{l\in\mathbb N} \int_M \psi_l \cdot \omega } +$$ + +Nach den üblichen Eigenschaften des Integrals gilt: + +$$ + \int_M (\omega_1+\omega_2) = \int_M \omega_1 + \int_M \omega_2, \quad \int_M \lambda \omega = \lambda \int_M \omega, \quad \lambda \in \mathbb R +$$ + +wenn $\omega = f\cdot \operatorname{vol}$ mit $f\geqslant0$, gilt + +$$ + \int_M \omega \geqslant 0 +$$ + +** Bemerkung + +Folgende Beobachtung erleichtern die Integration + 1. Auf $M$ ist der Begriff einer Nullmenge wohldefiniert: $A\subseteq M$ ist ene Nullmengem, wenn $x(A\cap U) \subseteq \mathbb R^n$ eine Nullmenge für jede Kante $(U,x)$. Wie in $\mathbb R^n$ ignoriert man Nullmengen bei Integration. + + 2. Wenn $M$ bis auf eine Nullmenge durch endlich viele Karten überdeckt wird. Kann man Integration ohne Teilung der Eins durchführen: + $$ + M = \bigsqcup_{i=1}^k U_i \cup \underbrace{A}_{\text{Nullmenge}} + $$ + dann gilt: + + $$ + \int_M \omega = \sum_{i=1}^k \int_{ \underbrace{ U_i }_{ \text{das kann man in Koordinaten ausrechnen} } }\omega + $$ + +TODO%TODO Bildchen Schuppen dragon + +Beweis: + +Nach (1) kann man $A$ bei Integration ignorieren, $U_i \subset M$ sind selbst Mannigfaltigkeiten. Wähle jetzt Teilung der Eins $\psi_{i,l}$ für $U_i$'s, dann gilt: + +$$ + \int_M \omega &\overset{(1)}=& \sum_{i=1}^k \sum_{l\in \mathbb N} \int_M\psi_{i,l} \omega + \\&=& \sum_{i=1}^k \int_{U_i} \omega +$$ + +Beispiel: + +$M=S^1$, + +TODO%TODO Bildchen: nurn Kreis + +$$ + x^{-1} \colon (0,2\pi) \to S^1, \quad \theta \mapsto (\cos \theta, \sin \theta) +$$ + +$$ + U:= x^{-1}\colon((0,2\pi)) = S^1 \setminus \{ \underbrace{ (1,0) }_{\text{Nullmenge}} \} +$$ + +D.h. wenn $\omega \in \Omega^1(S^1)$, gilt $\omega|_U = f(\theta)\intd \theta$ + +$$ + \rightsquigarrow_{S'} \omega = \int_0^{2\pi} f(\theta)\intd \theta +$$ + +Analog: + +jedes $\omega\in \Omega^2(S^2)$ hat die Gestalt + +$$ + \omega = f(\theta, \varphi) \intd \theta\wedge\diffd \varphi +$$ + +in sphärischen Koordinaten, + +$$ + \int_{S^2} &=& \int_{S^2} f(\theta,\varphi)\intd\theta \wedge \intd \varphi + \\&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\pi} f(\theta, \varphi) \intd \theta \intd \varphi +$$ + +Nächstes Ziel: + +Stokes-Formel: + +Errinnerung: + +lokale Version: + +$$ + \int_c\diffd\omega = \int_{\partial c}\omega +$$ + +globale Version: + +$$ + \int_M\diffd\omega = \int_{\partial M} \omega +$$ + +hier brauchen wir Mannigfaltigkeit mit Rand zu verstehen + +Bemerkung: + +Wir werden $\partial M = \emptyset$ zulassen (Mannigfaltigkeit ohne Rand) + +** Definition + +Eine topologische $n$-Mannigfaltigkeit mit Rand $(M,\partial)$ ist ein zweitabzählbarer Hausdorffraum $M$ mit der Eigenschaft: + +für jedes $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ und einen Homöirphismus + +$$ + x\colon U\to x(U) +$$ + +wobei $x(U)$ eine offene Teilmenge in $\mathbb R^n$ oder + +$$ + H^n := \{ u\in \mathbb R^n \mathrel| u^n \geqslant 0 \} +$$ + +und $x(p)=0$ + +Der Rand $\partial M$ besteht genau aus den Punkten, deren Umgebung unter einer Karte nach $H^n$ geschickt wird. Eine differenzierbare Struktur definiert man wie bei normalen Mannigfaltigkeiten. + +Beispiel: + +$M=\overline B(0,1) \subseteq\mathbb R^n$ ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M = S^{n-1}$ + +TODO%TODO Bilchen Kugel + +** Beweis: + +$\partial M$ ist eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n-1$: wann $p\in \partial M$, ist $U\cap \partial M$ eine Umgebung von $p$ in $\partial M$ + +$$ + x\colon (U\cap \partial M) \to x(U\cap \partial M) \subset \partial H^n = \mathbb R^{n-1} +$$ + +ist eine Karte für $\partial M$ an $p$ + +Nächstes mal: um der Stokes-Formel Sinn zu geben werden wir für orientiertes $M$ eine Orientierung auf $\partial M$ angeben. + +%2019-05-28 + +letztes Mal: Mannigfaltigkeiten mit Rand + +Errinnerung: $(M, \partial M)$, modelliert auf $\mathbb R^n$ oder auf $H^n = \{x\in R^n \mathrel | x^n \geqslant 0 \}$ + +TODO%TODO Bild B1 + +$$ + M = \overline B (0,1) &\subset& \mathbb R^{n+1} + \\ \partial M &=& S^m \subseteq \mathbb R^{n+1} +$$ + +Beweis: + +$$ +\dim M = n \Rightarrow \dim \partial M = n-1 +$$ + +Ziel: + +$$ + \int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega\quad \forall \omega\in \Omega^k (M) +$$ + +TODO%TODO Bild B2 + +Errinnerung: eine glatte Funktion au $H^n$ ist per Definition die Einschränkung einer glatten Funktion von $\underbrace{ U }_{\mathbb R^n, \text{ offen}}\supseteq H^n$ + +Folglich ist $T_pH^n \cong T_p\mathbb R^n\quad\forall p\in \partial H^n = \mathbb R^{n-1}$ + +Daher gilt $T_pM$ hat Dimension $n$ selbst für Punkte auf +$\partial M$ +! + +(insbesondere $\neq T_p(\partial M)$) + +** Definition + +Sei $v \in T_p M$, $p\in \partial M$. $v$ heißt nach außen (bzw. nach innen) zeigend, wenn $v(x^n) < 0$ für jede Karte $(U,x)$ mit $x(p)=0$ + +TODO%TODO Bild B3 + +** Bemerkung + +Dies ist wohldefiniert, weil für jede andere Karte $(V,y)$ mit $y(p)=0$ gilt: + +$$ + D(y\circ x^{-1}) = \left[ TODO \right]TODO%TODO B4 +$$ + +(weil $y\circ x^{-1}\colon H^n \overset{Diffeo}\to H^n$) TODO%TODO Bilchen B5 + +$$ + \tilde x^{-1} = x^-1|_{\mathbb R^{n-1}} + \\ \tilde y^{-1} = y^{-1}|_{\mathbb R^{n-1}} +$$ +mit $\alpha > 0$ + +Wenn $M$ orientiert ist, bekommen wir auch eine Orientierung auf +$\partial M$: wenn $\{(U,x)\}$ ein orientierter Atlas von $M$ ist +$\Rightarrow \det D_{x(p)}(y\circ x^{-1}) > 0$, auch für $p\in \partial M$, was $\det D_0(y\circ x^{-1}) = \alpha \det D_0 (\tilde y \circ \tilde x^{-1})$ + +$\Rightarrow \{ (U\cap \partial M, \tilde x) \}$ ist ein orientierter Atlas für $\partial M$ + +** Geometrisch + +$v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p(\partial M)$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow v, v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p M$ positiv orientiert für jedes nach außen zeigende $v$ + +TODO%TODO Bilchen B6 + +Ziel: + +$$ +\int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega \quad \forall \omega\in \Omega^{n-1}(M) +$$ + +** Erinnerung + +$$ + \int_M \intd \omega = \sum_{k\in \mathbb N} \int_M \varphi_k \intd \omega, \quad (\varphi_k)_{k\in \mathbb N} \text{Teilung der Eins} +$$ + +s.d. +$$ + \operatorname{supp} \varphi_k \subset c([0,1]^n), c\colon [0,1]^n\to M\text{ positiv orientiert} +$$ + +Für eine Mannigfaltigkeit mit Rand gilt: Es gibt eine Überdeckung $U = \{U_i\}_i$ von $M$ mit der Eigenschaft: jedes $U_i \subseteq c([0,1]^n)$, wobei $c\colon[0,1]^n\to M$ orientierungserhaltend mit entweder + +$$ + c([0,1]^n) \subset M\partial M +$$ + +oder + +$$ + c([0,1]^n)\cap \partial M = c_{n,0}([0,1]^{n-1}) +$$ + +TODO%TODO Bildchen B7 + +($U$ existiert nach Definition von einer Mannigfaltigkeit mit Rand: (benutze Karten) + +** Notation + +Wenn $M$ orientiert ist, bezeichnen wir durch $-M$ die Mannigfaltigkeit $M$ mit Umgekehrter Orientierung (mit Volumenform $-\omega$ statt $\omega$) + +NB:TODO%TODO NB? + +$$ +\int_{-M} \alpha = - \int_M \alpha +$$ + +** Satz(Newton, Leibnitz, Green, Gauss, Poincaré) + +Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$, $\dim M = n$; sei $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$, $\operatorname{supp} \omega$ ist kompakt. Dann gilt: + +$$ + \int_M \intd \omega = \int_{\partial M}\omega_{.,} +$$ + +Beweis: + +Sei $U$ eine Überdeckung wie oben, $(\varphi_k)$ die untergeordnete Teilung der Eins, haben dann + +$$ + \int_M \intd \omega = \sum_{k\in \mathbb N}\int_M \varphi_k \cdot \diffd\omega + \\ \operatorname{supp} \varphi_k \subseteq \underbrace{U_{i_k}}_{\text{offen}} \subseteq c\left([0,1]^n\right) +$$ + +TODO%TODO Bilchen B8 + +Wenn $\omega \in \Omega^n(M)$ mit $\operatorname{supp}\omega \subseteq U_{i_k} \subseteq c\left([0,1]^n\right)$, $c([0,1]^n) \cap \partial M=\emptyset$ + +$\Rightarrow \operatorname{supp} \omega \cap \partial\left( c[0,1]^n \right) = \emptyset$ und + +$$ + \int_M \intd \omega \overset{\text{Def.}}= \int_c \intd \omega \overset{\text{lokale Version}}= \int_{\partial c}\omega = 0 +$$ + +Andererseits $\int_{\partial} \omega =0$, weil $\operatorname{supp} \omega \cap \partial M = \emptyset$ + +Wenn $\omega\in \Omega^n(M)$ mit $\operatorname{supp}\omega \subseteq U_{i_k} \subseteq c\left( [0,1]^n \right)$: + +$$ + c\left([0,1]^n\right)\cap \partial M = c_{n,0}\left( [0,1]^{n-1} \right) +$$ + +$$ + \int_M \intd \omega &=& \int_c \intd \omega + \\&\overset{\text{lokale Version}}=& \int_{\partial c} \omega + \\&=& \int_{(-1)^nc_{n,0}} \omega + \\&=& (-1)^n \int_{c_{n,0}} \omega + \\&\overset{\text{Vergleich von Orientierungen}}=& (-1)^n(-1)^n \int_{\partial M} \omega + \\&=& \int_{\partial M} \omega +$$ + +TODO%TODO Bildchen B9 + +$c$ orientiert $\Rightarrow \underbrace{ e_1 }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^1} \right)}, \ldots, \underbrace{ e_n }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^n} \right)}$ positiv orientiert. + +Orientierung auf dem Rand ist aber so definiert, dass $-e_n, e_1, \ldots, e_{n-1}$ positiv orientiert sein soll. + +** Im Allgemeinen + +($\omega \in \Omega^{n-1}(M)$ beliebig) + +$$ + \int_{\partial M} \omega &=& \int_{\partial M} \sum_k \varphi_k \cdot\omega + \\&=& \sum_k \int_{\partial M} \varphi_k \cdot \omega + \\&\overset{\operatorname{supp}(\varphi_k, \omega)\text{ in }U_{i_k}}=& \sum_k \int_M \intd (\varphi_k \omega) + \\&=& \sum_k \int_M \intd(\varphi_k \omega) + \\&=& \sum_k \int_M \intd \varphi_k\wedge\omega + \sum_k \int_M \varphi_k \intd \omega + \\&=& \int_M \intd\left(\underbrace{ \sum_k \varphi_k }_{=1} \right) \wedge \omega + \int_M\intd \omega + \\&=& \int_M \intd \omega +$$ + +(weil $\diffd (1)=0$) + +** Korollar + +Wenn $\partial M = \emptyset$, $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$, gilt + +$$ +\int_M \intd \omega = 0 +$$ + +Erinnerung: + +$$ + d\circ d = 0 +$$ + +$\Rightarrow$ wenn $\eta = \intd \omega \Rightarrow \intd \eta=0$, ($\overset{?}\Leftarrow$) + +** Definition + +$\eta \in \Omega^k(M)$ heißt: + + 1. geschlossen, wenn $\diffd \eta = 0$ + 2. exakt, wenn $\eta = \diffd \omega$ + +$\diffd^2 = 0$ heißt exakt $\Rightarrow$ geschlossen + +$\Leftarrow$ gilt im Allgemeinen nicht: + +** Beispiel + +$M=S^1$, $\omega = \diffd \theta$ (im lokelen Koordinaten) + +TODO%TODO Bildchen B10 + +$$ + \int_{S^1} \omega = \int_0^{2\pi} \intd \theta = 2\pi +$$ + +$\Rightarrow \nexists f \in \Omega^0 (S^1)$ mit $\omega = \diffd f$ + +** $\text{Beispiel}'$ + +$M$ kompakt, $\dim M = n$, ohne Rand, orientiert, $\omega\in \Omega^n(M)$ Volumenform + +$$ +0 < \int_M \omega,\quad \diffd \omega = 0 +$$ + +weil $\Omega^{n+1}(M) = 0$ $\Rightarrow \omega$ geschlossen, aber nicht exakt. + +** Definition + + - $B^k(M) := \{ \eta \in \Omega^k(M) \mathrel| \eta = \diffd \omega \}$ + - $Z^k(M) := \{ \eta \in \Omega^k(M) \mathrel| \eta = \diffd 0 \}$ + +$B^k(M) \nsubseteq Z^k(M)$, $H^k (M) := Z^k(M) / B^k (M)$ heißt ($k$-te) de Rham-Kohomologie von $M$ + +%2019-05-29 + +Gestern: + +Stokes: + +$$ + \int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega +$$ + +$$ + \langle [M], \diffd \omega \rangle = \langle [\partial M], \omega \rangle +$$ + +** Definition: Kozykel + +$$ + Z^k(M) = \{\omega\in\Omega^k(M)\mathrel| \diffd \omega = 0 \} +$$ + +heißen \emph{Kozykel} oder \emph{geschlossene Formen} + +** Definition: Koränder + +$$ + B^k(M) = \{ \omega \in \Omega^k(M)\mathrel| \omega = \diffd \eta \} +$$ + +heißen \emph{Koränder} oder \emph{exakte Formen}. + +Weil $\diffd^2 = 0$, gilt $B^k(M)\underbrace{\subseteq}_{\text{i.A. }\neq} Z^k(M)$ + +$$ + H^k(M) := Z^k(M)/K^k(M) +$$ + +heißt $k$-te de Rham-Kohomologie. $H^k(M)$ ist ein $\mathbb R$-Vektorraum und eine Wichtige Invariante von $M$. + +** Proposition + +Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert eine lineare Abbildung + +$$ + f^*\colon H^k(N) \to H^k(M) +$$ + +es gilt $(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$. + +** Bemerkung + +Sei $f^*\colon \Omega(N) \to \Omega^k(M)$ Pullback von Formen. Wir haben bewiesen, dass $f^*(\diffd \omega) = \diffd(f^*\omega)$, $\forall\omega\in \Omega^k(N)$ + +Es folgt: + +$$ + f^*(Z^k(N)) &\subseteq& Z^k(M) + \\ f^*(B^k(N)) &\subseteq& B^k(M) +$$ + +$\Rightarrow f^*$ induziert eine Abbildung $f^*\colon Z^k(N)/B^k(N) \to Z^k(M)/B^k(M)$ + +$$ + (f\circ g)^* = g^*\circ f^* +$$ + +gilt schon auf Formen. + +** Korollar + +$M\cong N \Rightarrow H^k(M)\cong H^k(N)\quad \forall k\geqslant 0$. Wie berechnet man $H^k(M)$? + + - $k=0$ + $H^0(M) = Z^0(M) = \{ \varphi \in C^\infty(M)\mathrel| d\varphi = 0 \}$ + $$ + \diffd \varphi = 0 \Rightarrow \varphi \text{ lokal konstant} + $$ + Also wenn $M$ zusammenhängend ist, gilt: $H^0(M) \cong \mathbb R$ + +** Definition + +$$ + b_k(M) := \dim_{\mathbb R} H^k(M) +$$ + +heißt $k$-te Bettizahl von $M$ + +** Beispiel + +$M=S^1$, $H^0(S^1)\cong\mathbb R$, $H^1(S^1) = ?$, $Z^1(S^1) = \Omega^1(S^1)$, weil $\dim S^1 = 1$ + +$$ + B^1(S^1) = \{ \omega\in \Omega^1\mathrel| \omega = \diffd \varphi \} +$$ + +$$ + \int_{S^1} \diffd \varphi \overset{\text{Stokes}}= \int_{\partial S^1} \varphi = \int_{\emptyset} \varphi = 0 +$$ + +Also gilt: + +$$ + \int_{S^1}\colon Z^1(S^1) \to \mathbb R, \quad \int_{S^1} \supseteq B^1(S^1) +$$ + +$\Rightarrow$ + +$$ + \int_{S^1} \colon H^1(S^1) &\to& \mathbb R + \\ \rotatebox[origin=c]{90}{$\in$} && + \\ \lbrack\omega\rbrack &\mapsto& \int_{S^1} \omega +$$ + +$$ + \int_{S^1} (\omega + \diffd \eta) = \int_{S^1} \omega + \int_{S^1}\underbrace{ \intd\eta }_{=0} = \int_{S^1}\omega +$$ + +$$ + \int_{S^1} \colon H^1(S^1) \to \mathbb R +$$ + +ist surjektiv: + +$$ + \int_{S^1} x\intd y -y\intd x = 2\pi +$$ + +Behauptung: + +Es ist auch injektiv, also ist $H^1(S^1)\cong \mathbb R$ + +Beweis: + +Haben zu zeigen: + +$$ + \int_{S^1}\omega = 0 \Rightarrow \omega = \diffd \varphi +$$ + +für eine Funktion $\varphi$ + +TODO%TODO Bildchen + +$$ + \omega = g(\theta)\diffd \theta +$$ + +in der Karte $(S^1\setminus \{(1,0)\}, \theta)$ + +$$ + \int_{S^1} = \int_0^{2\pi} g(\theta)\intd (\theta) = 0 +$$ + +$$ + \varphi(\theta) := \int_0^\theta g(\theta)\intd \theta, \quad \varphi\colon [0,2\pi] \to \mathbb R, \text{ text} +$$ + +erfüllt $\varphi(2\pi) = \varphi(0) = 0$ + +$\Rightarrow \varphi$ definiert eine glatte Funktion auf $S^1$ + +TODO%TODO B3 + +* Homotopie und Homotopieinvarianz von der de-Rahm-Kohomologie + +** Definition + +Seien $M_1$, $M_2$ Mannigfaltigkeiten, $f$, $g \colon M_1 \to M_2$ glatt Abbildung. $f$, $g$ heißen (glatt) homotop, wenn + +$$ + \exists H\colon M_1\times[0,1]\to M_2 +$$ + +glatt mit: + +$$ + H(p,0) &=& f(p) + \\ H(p,1) &=& g(p), \quad p\in M +$$ + +Bezeichung: + +$f$ homotop zu $g$ +$$ + f\simeq g +$$ + +** Definition + +Zwei Mannigfaltigkeiten $M$, $N$ heißen homotopiäquivalent, wenn $\exists f\colon M\to N$, $\exists g\colon N\to M$ mit $g\circ f \simeq \operatorname{id}_M$, $f\circ g \simeq \operatorname{id}_N$ + +Bezeichung: +$$ + M\simeq N +$$ + +** Definition + +$M$ heißt zusammenziehbar, wenn $M=\{*\}$ + +** Beispiel + +$\mathbb R^n$ ist zusammenziehbar + +$f\colon \mathbb R^n\to \{*\}$, konstant, $g\colon\{ * \}\to \mathbb R^n$, $*\mapsto 0$ + +$$ + f\circ g = \operatorname{id}_{\{*\}}, \quad g\circ f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n, x\mapsto 0 +$$ + +$$ + H\colon \mathbb R^n \times [0,1] \to \mathbb R^n, (x,t) +$$ + +$$ + \hat H\colon B(0,1)\times [0,1] \to B(0,1) + \\ (x,t) \mapsto (1-t)\cdot \frac{2}{\pi} \arctan(\lVert \psi(x) \rVert) \psi(x) + \\ (x,t) \mapsto (1-t)\cdot x +$$ + +Homotopie zwischen $\operatorname{id}_{B(0,1)}$ und $O\colon B(0,1)\to B(0,1)$, $x\mapsto 0$ + +$B(0,1)\cong \mathbb R^n$ + +$$ + x \mapsto x\cdot \tan \left(\lVert x \rVert \cdot \frac{\pi}{2}\right) +$$ + +$$ + \frac{2}{\pi} \operatorname{arctan}(\lVert y \rVert)y \mathrel{ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{0}{$ \mapsto $}} } y +$$ + +** Satz + +Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f$, $g \colon M\to N$ homotop. Dann gilt + +$$ + f^* = g^* \colon H^k(N) \to H^k(M) +$$ + +** Korollar + +$M\simeq \{*\} \Rightarrow H^k(M) = \begin{cases} 0, & k>0\\ \mathbb R, & k=0\end{cases}$ + +** Korollar + +$S^1$ ist nicht zusammenziehbar + +** Proposition + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $N$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $k$, $i_0$, $i_1 \colon N\to M$ zwei Einbettungen . Wenn $i_1$, $i_2$ homotop sind, gilt: + +$$ + \int_{i_0(N)} \omega = \int_{i_1(N)} \omega +$$ +für jede geschlossene Form $\omega\in\Omega^k(M)$ + +Beweis: + +Sei $H\colon N\times[0,1]\to M$ eine Homotopie zwischen $i_1$ und $i_2$ + +$$ + 0&=& \int_{N\times [0,1]} H^*(\diffd \omega) + \\&=& \int_{N\times [0,1]} \intd (H^*\omega) + \\&\overset{\text{Stokes}}=& \int_{\partial (N\times [0,1])} H^* \omega + \\&=& \int_N H^*_1 \omega - \int_N H^*_0 \omega + \\&=& \int_{i_1(N)}\omega - \int_{i_0(N)} \omega +$$ + +%2019-06-04 + +* Gaußscher Integralsatz + +$M\subset \mathbb R^3$ beschränktes Gebiet, $\partial M\subset \mathbb R^3$ glatt orientiert durch $\nu\colon \partial M \to \mathbb R^3$ Normalenfeld + + + +$$ + L &\colon& M\to \mathbb R^3 \text{ glattes Vektorfeld } + \\ L&=&CL_x, Ly, Lz +$$ + +$$ + \int_{\partial M}\langle L, \nu\rangle \intd \underbrace{S}_{\text{ Flächenelement } } = \int_M \operatorname{div} L \intd x\intd y\intd z +$$ + +$$ + \operatorname{div} L = \frac{\partial L_x}{\partial x} + \frac{\partial L_y}{\partial y} + \frac{\partial L_z}{\partial z} +$$ + +Wenn $\partial M$ parametrisiert ist: + +$$ + x &=& x(u,v) + \\ y &=& y(u,v) + \\ z &=& z(u,v) +$$ + +$$ + \int_{\partial M} f(x,y,z) \intd S := \int_v f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \cdot \sqrt{\det G(u,v)} \intd u \intd v +$$ + +$$ + G(u,v) = (D_{(u,v)}\psi )^T D_{(u,v)} \psi +$$ + +die Gram-Matrix der Koordinatenbasis ($\psi\colon U \to \partial M$, $(u,v)\mapsto (x(u,v)\ldots )$) + +$$ + = \int f(x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \lVert e_u \times e_v \rVert \intd u \intd v +$$ + +Stokes: +$$ + \int_{\partial M} \omega = \int_M \intd \omega +$$ + +wollen: + +$$ + \diffd \omega = \operatorname{div} L \intd x \wedge \diffd y \wedge \diffd z +$$ + +$$ + \omega = L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd z + L_z \diffd x \wedge \diffd y +$$ + +$$ + \diffd \omega &=& \frac{\partial L_x}{\partial x} \intd x\wedge \diffd y \wedge \diffd z + \frac{\partial L_y}{\partial y} \intd y\wedge \diffd z \wedge \diffd x + \frac{\partial L_z}{\partial z} \intd z\wedge \diffd x \wedge \diffd y + 0 + \ldots + 0 + \\&=& (\operatorname{div}L) \intd x \wedge \diffd y \wedge \diffd z +$$ + +$$ + \int_{partial M} \omega &=& \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd x + L_z \intd x\wedge \diffd y + \\ &\overset{?}=& \int_{\partial M}\langle L, \nu \rangle\intd S +$$ + +$$ + \\&& \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z + \\&=& \int_U L_x (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \left[\frac{\partial y}{\partial u} \intd u + \frac{\partial y}{\partial v} \intd v \right]\wedge \left(\frac{\partial z}{\partial u} \intd u + \frac{\partial z}{\partial v}\intd v\right) + \\&=& \int_U L_x(u,v) \underbrace{ \left[ \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u} \right] }_{(e_u\times e_v)_x} \intd u\wedge \intd v + \\&=& \int_U L_x (u,v) \frac{(e_u\times e_v)_x}{\underbrace{ \lVert e_u \times e_v \rVert}_{\nu_x} } \lVert e_u \times e_v \rVert \intd u \wedge \diffd v + \\&=& \int_{\partial M} L_x \nu_x \intd S +$$ + +$M= \mathbb R^2 \setminus \{ 0 \}$ + +$$ + A = A_x \intd x + A_y \intd y \in \Omega^1 (M) +$$ + +$$ + F &:=& \diffd A + \\&=& \frac{\partial Ay}{\partial x} \intd x \wedge \intd y - \frac{\partial Ax}{\partial y} \intd x \wedge \intd y + \\&=& \left[ \frac{\partial Ay}{\partial x} -\frac{\partial A x}{\partial y} \right] \intd x \wedge \diffd y +$$ + +Wenn $F=0$ ($\Rightarrow A$ geschlossen) + +Frage: + - Ist $A$ exakt? + - Äquivalente Fragestellung: + $$ + H^1(M) &=& \{\text{geschlossene $1$-Form }\} / \{\text{ exakt $1$-Form } \} + \\&=& Z' / B' + \\&=& 0? + $$ + +$$ + H^1(M) = 0 \Leftrightarrow \text{jede geschlossene $1$-Form ist exakt} +$$ + +%TOOD Bildchen (2) + +$\Rightarrow H^1(\mathbb R^2 \setminus \{0\}) = H^1(S^1) = \mathbb R$ + +** Behauptung + +$\forall r> 0$ gilt: +$$ + \int_{\underbrace{\partial B(0,r)}_{r \cdot S^1} } A = \int_{\partial B(0,1)} A +$$ + +TODO%TODO Bilchen (3) + +$$ + N := \{ x\in \mathbb R^2 \mathrel| 1\leqslant \lVert x \rVert \leqslant r\}\quad (\text{bzw. } r\leqslant \lVert x \rVert \leqslant 1) +$$ + +$$ + \Rightarrow \partial N = (r \cdot S^1) \cup (-S^1) +$$ + +Stokes: + +$$ + 0 \overset{\diffd A = 0}= \int_{N} \intd A = \int_{r\cdot S'} A - \int_{S'} A +$$ + +Wenn $A= \diffd f$ : $\int_{S'} A = \int_{S'} \intd f \overset{\text{Stokes} }= \int_{\partial S'} f = \int_{\emptyset} f = 0$ + +$\Rightarrow \int_{S^1} A \neq 0$ $\Rightarrow A$ nicht exakt. (z.B. $A = \frac{x\intd y - y\intd x}{x^2 + y^2}$) ist geschlossen, aber nicht exakt + +$$ + T^* \mathbb R^n \cong \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (\underbrace{q^1, \ldots, q^n}_{\text{in } \mathbb R^n}, \underbrace{p^1, \ldots, p^n}_{\text{in } T_q^* \mathbb R^n}) +$$ + +$$ + \omega = \sum_{i=1}^n \diffd q^i \wedge \diffd p^i \in \Omega^2 (T^* \mathbb R^n) +$$ + + 1) $\diffd \omega = 0$ + 2) $\omega (\underbrace{ v}_{\equiv (a,p)\in T^* R^n}) \in \bigwedge ^2 T^*_v \mathbb R^n = \{ \alpha \mathrel| \alpha \colon T_v \mathbb R^n \times T_v \mathbb R^n \to \mathbb R \text{ bilinear, schiefsymetrisch }\}$ + +$$ + \frac{\partial}{\partial q^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial q^n}, \frac{\partial}{\partial p^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial p^n} +$$ +ist eine Basis von $T_v \mathbb R^n$. Wie sieht die Matrix von $\omega$ in dieser Basis aus? + +$$ + \omega &=& \sum_{i=1}^n(e^q_i)\wedge(e^p_i)^* + \\ \omega(e_i^q, e_j^q) &=& 0 = \omega(e_i^p, e_j^p) + \\ \omega(e_i^q, e_j^p) &=& \partial_{ij} +$$ + +$\Rightarrow \omega$ ist nicht ausgeartet (an jedem Punkt!) + +$\omega$ nicht ausgeartet $\Rightarrow$ definiert an jedem Punkt einen Isomorphismus +$$ + \hat \omega(v) \colon T_v^* \mathbb R^n \to T_v\mathbb R^n +$$ + +$$ + \hat \omega^{-1}(v) \colon T_v\mathbb R^n &\to& T^*_v \mathbb R^n + \\ \chi &\mapsto& (\eta \mapsto \omega(v)(\chi , \eta) ) + \\ \frac{}{q^i} e^q_i &\mapsto& (\eta \mapsto \omega(v) (e_q^i, \eta)) = \left(e_{i}^p\right)^* = \diffd p^i + \\ e_i^p &\mapsto& - \diffd q^1 +$$ + +$$ + \hat \omega\colon \Omega^1(T^* \mathbb R^n) &\to& \Gamma(T^* \mathbb R^n) + \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} && + \\ \alpha &\mapsto& (v\mapsto \hat \omega (\alpha(v)) ) +$$ + +Für jede Funktion $H \rightsquigarrow X_H := \hat \omega (\diffd H) -$ Vektorfeld auf $T^* \mathbb R^n$ + +** Behauptung + +Die Differentialgleichungen für den Fluss von $X_H$ + +$$ + \dot q_i &=& \frac{\partial H}{\partial p^i} + \\ \dot p_i &=& - \frac{\partial H}{\partial q^i} +$$ + +%2019-06-05 + +$$ + M = T^* \mathbb R^n = \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (a,p) +$$ + +$$ + \omega = \sum_{i=1}^n \diffd q^i \wedge \diffd p^i +$$ + +Gestern: + +$\omega$ ist nicht ausgeartet, $\diffd \omega = 0$ ($\Leftrightarrow \omega(q,p)$ eine nicht ausgeartete Bilinearform auf $TM$) + +** Definition + +Ein Paar $(M, \omega)$, wobei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine nicht ausgeartete geschlossene $2$-Form, heißt symplektische Mannigfaltigkeit. + +** Übung + +$(T^*N, \omega)$ ist symplektisch für jede Mannigfaltigkeit $N$ + +Fakt aus der linearen Algebra: wenn $(V, \beta)$ ein Vektorraum mit einer nicht ausgearteten Bilinearform $\beta$, definiert $\beta$ + +Isomorphismen + +$$ + \miso{V}{\sharp}{\flat}{V^*} +$$ +$$ + \\ v\mapsto (\omega \mapsto \beta(v,\omega)) +$$ +$\rightsquigarrow$ Musikalische Isomorphismen. (in Koordinaten: $\sharp$ „erhöht“ den Index, $\flat$ „senkt“ den Index) + +Wenn jetzt $(M,\omega)$ symplektisch ist, bekommt man $\forall m\in M\colon \miso{T_mM}{\sharp}{\flat}{T_m^*M}$ + +und entsprechend +$$ +\miso{\Gamma(TM)}{\sharp}{\flat}{\Omega'(M)} +$$ + +Gestern in Übung: für $M=T^*\mathbb R^n$ + +$$ + \left( \frac{\partial}{\partial q^i} \right)^\flat = \diffd p^i, \quad \left( \frac{\partial}{\partial p^i} \right)^\flat = -\diffd q^i + \\ \frac{\partial}{\partial q^i} = (\diffd p^i)^\sharp - \frac{\partial}{\partial p^i} = ( \diffd q^i )^\sharp +$$ + +Wenn $M$ symplektisch ist, $H \in C^\infty(M)$ + +$\Rightarrow \diffd H\in \Omega^1(M) \Rightarrow (\diffd H)^\sharp \in \Gamma(TM)$ + +$M= T^*\mathbb R^n : \diffd H = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} + \diffd q^i + \frac{\partial H}{\partial p^i} \diffd p^i \right)$ + +$$ + (\diffd H)^\sharp &=& \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial p^i} \frac{\partial}{\partial q^i} - \frac{\partial H}{\partial q^i} \frac{\partial}{\partial p^i} \right) +$$ +$\rightsquigarrow$ Hamilton-Vektorfeld zu $H$ + +Flussgleichung: +$$ + \dot q^i &=& \frac{\partial H}{p^i} + \\ \dot p^i &=& -\frac{\partial H}{\partial q^i} +$$ +$\rightsquigarrow$ Hamilton-Gleichung der Mechanik + +Zurück zur Vorlesung + +** Satz + +Sei $f$, $g \colon M \to N$ glatt, homotop. Dann gilt: + +$$ + f^* = g^* \colon H^k(N) \to H^k(M) \quad (k\in \mathbb N) +$$ + +** Korrolar +TODO%TODO homotopräg ?? +$\underset{\text{homotopräg.} }{ M\simeq N } \Rightarrow H^k(N) \cong H^k(M)$ $(k\in \mathbb N)$ + +** Korrolar +$M\simeq * \Rightarrow H^k(M) \cong \begin{cases} 0, & k>0\\ \mathbb R, & k=0 \end{cases}$ + +(diese Aussage heißt auch Poincaré-Lemma: Jede geschlossene $k$-Form ($k \geqslant 1$) auf einen zusammenziehbaren Raum ist exakt) + +Beweis: + +Sei $H \colon M\times [0,1]\to N$ die Homotopie zwischen $f$, $g$. Sei $h_t(m):= H(m,t)$, ($h_t\colon M\to N$), $t\in [0,1]$, $f=h_0$, $g=h_1$ + +Betrachte jetzt: + +$$ + h^*_t \colon H^k(N) \to H^k(M) +$$ + +Wir wollen zeigen $h^*_t$ ist unabhängig von $t\in [0,1]$. + +Dazu: Sei $\omega \in Z^k(N)$ (also $\omega\in \Omega^k(N)$, $\diffd \omega = 0$) + +Betrachte + +$$ + \Omega^k(M\times [0,1]) \ni H^* \omega = \omega_o(t) + \diffd t \wedge \omega_1(t) +$$ + +mit $\omega_0(t)\in\Omega^k(M)$, $\omega_1(t)\in \Omega^{k-1}(M)$, $t\in[0,1]$ + +$$ + \Omega^k(M) \ni h^*_t \omega = i_t^*\circ H^*\omega = \omega_0 (t) +$$ + +($i_t\colon M\cong M\times\{t\}\hookrightarrow M\times [0,1]$) + +Nun: $\diffd \omega = 0 \Rightarrow \diffd H^*\omega = H^*(\diffd \omega) = 0$ + +$$ + 0 = \diffd(H^* \omega) +$$ + +%Pause + +Frage: Was ist $H^k(S^2)$? + +TODO%TODO Bilchen B2 + +brauchen ein Verfahren, wie man aus der Kohomologie von $U$, $V$, $U\cap V$ die Kohomologie von $U\cap V$ ausrechnet + +Hier beginnt \emph{homologische Algebra} + +** homologische Algebra + +Wir haben bislang zu jeder Mannigfaltigkeit $M$ folgende Sequenz von Vektoräumen konstruiert: + +$$ +\begin{tikzcd} +\Omega^0(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^1(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^2(M) \arrow[r, "\diffd"] & \ldots +\end{tikzcd} +$$ + +mit $\diffd \circ \diffd (= \diffd^{n+1}\circ \diffd^n) = 0$. Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert + +$$ +\begin{tikzcd} +\Omega^0(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \Omega^1(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \Omega^2(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \ldots \\ +\Omega^0(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^1(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^2(M) \arrow[r, "\diffd"] & \ldots +\end{tikzcd} +$$ + +so dass die Diagramme kommutieren. +$$ + H^k = \operatorname{ker} \diffd^n / \operatorname{Im} \diffd^{n-1} \rightarrow \text{Kohomologie} +$$ + +** Definition + +Ein Kokettenkomplex $(C^n, \diffd^n)_{n\in \mathbb N, (n\in \mathbb Z)} = (C^*, \diffd)$ ist eine Sequenz von Vektorräumen $C^n$ zusammen mit Homoomorphismen +$$ + \diffd^{n+1}\circ \diffd^n = 0 +$$ +erfüllen. ($\Leftrightarrow \diffd \colon \bigoplus_n C^n \to \bigoplus_n C^n$ hat Grad $1$ und erfüllt $\diffd^2 = 0$) + +$d^n$'s heißen Differntiale von $C^*$ +$$ + H^k(C^*, \diffd) := \operatorname{ker}\diffd^{k+1} / \operatorname{Im} \diffd^k +$$ + +heißt $k$-te Kohomologiegruppe von $C^*$. + +** Beispiel + +$(\Omega^*(M), \diffd)$ ist ein Kokettenkomplex + +** Defition + +Eine (Ko-)Kettenabbildung ($=$ Homomorphismus von Kettenkomplexen) + +$f^* \colon (C^*, \diffd) \to (D^*, \diffd)$ ist eine Sequenz + +$f^n \colon C^n \to D^n$ von Homomorphismen mit + +$$ + f^n \circ \diffd^{n-1} = \diffd^n\circ f^n, \quad b\in\begin{matrix} \mathbb N \\ \mathbb Z \end{matrix} +$$ + +** Beispiel + +Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert eine Kettenabbildung $f^*\colon \Omega^*(N) \to \Omega^*(M)$ + +** Definition + +Ein Kokettenkomplex $(C^*, \diffd)_{k\in \begin{matrix} \mathbb N \\ \mathbb Z \end{matrix}}$ heißt exakt (exakte Sequenz) wenn $H^k(C^*, \diffd) = 0$, $k\in \mathbb Z$ + +$$ + (C^*, \diffd) \text{ exakt } \Leftrightarrow \operatorname{ker} \diffd^{n+1} = \operatorname{Im}\diffd ^n +$$ + +** Beispiel + +Eine kurze exakte Sequenz von Vektorräumen / abelscheen Gruppen ist ein exakter Kokettenkomplex ($=$ exakt Sequenz) + +\begin{tikzcd} +\ldots \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \big)\ 0 \arrow[r] & C^0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r] & C^2 \arrow[r] & 0\ \big( \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots +\end{tikzcd} + +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r, "0"] & C^0 \arrow[r, "\diffd^0"] \arrow[r, "i"'] & C^1 \arrow[r, "\diffd^1"] \arrow[r, "q"'] & C^2 \arrow[r, "0"] & 0 +\end{tikzcd} + +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r] & U \arrow[r] & V \arrow[r] & V/U \arrow[r] & 0 +\end{tikzcd} + + - 0: $\operatorname{ker} i = \operatorname{ker} \diffd^0 = \operatorname{Im} 0 = 0 \Leftrightarrow i$ injektiv + - 1: $\operatorname{ker} q = \operatorname{Im} i$ + - 2: $C^2 = \ker \diffd^2 = \ker 0= \operatorname{Im} \diffd^1 = \operatorname{Im} q \Leftrightarrow q \text{ surjektiv }$ + +Das heißt: $C^0 \cong i(C^0) \subseteq C^1$, $C^2 \cong C^1/i(C^0)$ + +** Beispiel + +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r, "\diffd"] & C^2 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots +\end{tikzcd} + +exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus + +** Bemerkung + +$H^*(C^*, \diffd)$ misst genau, inwiefern $(C^*, \diffd)$ nicht exakt an $C^k$ ist. + +%2019-06-18 + +** Definition: exakt an + +Kettenkomplex $(C^*, \diffd)$ ist \emph{exakt an} $C^k$, $k\in\mathbb Z$, wenn $H^k(C^*, \diffd) = 0$ ($\Leftrightarrow \ker \diffd^k = \operatorname{im} \diffd^{k-1}$) (für ein festes $k$) + +** Definition: kurze exakte Sequenz + +Eine kurze exakte Sequenz von \emph{Cokettenkomplexen} $(A_*, \diffd)$, $(B_*, \diffd)$, $(C_*, \diffd)$ ist eine Sequenz der Form + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0 +\end{tikzcd} +\end{center} + +wobei $i$, $q$ Cokettenabbildungen sind, sodass $i$ injektiv, $q$ surjektiv, $\operatorname{ker} q = \operatorname{Im} i$. + +Ist äquivalent zu $\forall k\in \mathbb Z$ ist +\begin{center} +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r] & A_k \arrow[r, "i_k"] & B_k \arrow[r, "q_k"] & C_k \arrow[r] & 0 +\end{tikzcd} +\end{center} +eine kurze exakte Sequenz. + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] \\ +A_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_k"] & A_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_{k+1}"] & A_{k+2} \arrow[d, "i_{k+2}"] \\ +B_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_k"] & B_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_{k+1}"] & B_{k+2} \arrow[d, "q_{k+2}"] \\ +C_k \arrow[r, "\diffd"] & C_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] & C_{k+2} +\end{tikzcd} +\end{center} + +** Beispiel + +($i_u^*$ Einschränkung der Form auf $U$, $\ker q$: Formen die auf $U\cap V$ übereinstimmen) + +Sei $M=U\cup V$, $U$ offen, $V$ offen, sodass $U\cap V$ offen. Dann ist + +\begin{center} + \begin{tikzcd} + 0 \arrow[r] & \Omega^* M \arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] &[+10pt] \Omega^* U \oplus \Omega^* V \arrow[r, "q"] & \Omega^* (U\cap V) \arrow[r] & 0 + \end{tikzcd} +\end{center} + +eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen ($i_u^*\colon U\hookrightarrow M$, $i_v\colon V\hookrightarrow M$) + +$$ + j^u\colon U\cap V &\hookrightarrow& U + \\j^v\colon U\cap V &\hookrightarrow& V + \\q&=& (j^u)^* - (j^v)^* +$$ + +$\rightsquigarrow q(\alpha, \beta) = \alpha|_{U\cap V} - \beta|_{U\cap V}$ + +** Satz: Hauptsatz der homologischen Algebra + +Sei + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0 +\end{tikzcd} +\end{center} + +eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen. Dann besteht eine lange exakt Sequenz der Cohomologiegruppen: + +TODO%TODO +% \begin{tikzcd} +% \arrow[r, "\diffd^*"] & { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"] +% & { {}} \arrow[llld, "\diffd^*", to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\ +% { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"] & { {}} \arrow[r, "\diffd^*"] & \ldots +% \end{tikzcd} + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + H^{k-1}(C_*, \diffd) + \arrow[r, "\diffd^*"] + & + H^k(A_*, \diffd) + \arrow[r, "i_*"]\arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}] + & + H^k(B_*, \diffd) + \arrow[r, "q_*"] + & + H^k(C_*, \diffd) + \arrow[dlll, "\diffd^*"',rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] + \\ + H^{k+1}(A_*, \diffd) + \arrow[r, "i_*"] + & + H^{k+1}(B_*, \diffd) + \arrow[r, "q_*"] + & + H^k(C_*, \diffd) + \arrow[r, "\diffd^*"] + & + \ldots +\end{tikzcd} +\end{center} + +Hierbei sind +$$ + i_* \colon H^k(A_*) \to H^k(B_*) + \\ q_*\colon H^k(B_*) \to H^k(C_*) +$$ + +die durch $i$, $q$ induzierte Abbildung. + +Randabbildung $\diffd^*$ ist eine Abbildung, die durch $\diffd$ induziert ist (wird im Zuge des Beweises konstruiert). + +** Korollar: Mayer-Vietoris-Sequenz + +Sei $M = U\cap V$ und $U$, $V$ offen sowie $U\cap V$ offen. Dann besteht eine lange kurze exakte Sequenz: + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +\ldots\arrow[r, "\diffd^*"]& H^k(M)\arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] \arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]& H^k(U)\oplus H^k(V)\arrow[dll,"q_*",rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\H^k(U\cap V)\arrow[r, "\diffd^*"]& H^{k+1}(M)\arrow[r]& \ldots +\end{tikzcd} +\end{center} + +Beweis des Satzes: + +Wir haben die Randbedingungen $\diffd^*$ zu konstruiren und zu zeigen, dass die Sequenz in der Behauptung exakt ist. + +Technik: Diagrammjagt + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & & \\ + \arrow[r] & A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\ + \arrow[r] & B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\ + \arrow[r] & C_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d] & C_{k+2} \arrow[r] & \ldots \\ + & 0 & 0 & 0 & & +\end{tikzcd} +\end{center} + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + \phantom{\alpha} & 0 \arrow[d, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] & \phantom{\alpha} \\ + \arrow[r, maps to] & \phantom{\alpha} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \delta' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \arrow[d, maps to] \\ + \arrow[r, maps to] & \gamma' \arrow[d, maps to] \arrow[r] & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \diffd \alpha' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] \\ + \arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & 0 \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \phantom{\alpha} \\ + & 0 & 0 & 0 & +\end{tikzcd} +\end{center} + +Wollen: +$$ + \diffd^*\colon H^k(C_*) &\to& H^{k+1}(A_*) + \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} && + \\ \lbrack\alpha\rbrack &\mapsto& \lbrack\beta\rbrack +$$ +wobei $\beta$ wie folgt konstruiert ist: +$\alpha \in c_k$, $\diffd \alpha = 0 \Rightarrow \exists \alpha' \in B_k$ mit $q(\alpha') = \alpha$ + +$q(\diffd \alpha') = 0$ (Diagramm kommutiert) $\Rightarrow \exists \beta \in A_{k+1}$ mit $i(\beta) = \diffd \alpha'$ + +Auch gilt: $(\diffd \beta) = \diffd(\diffd \alpha') = 0$, $i$ injektiv $\Rightarrow \diffd \beta = 0$ + +Konstruktion $\beta$ zu ende. + +$\diffd^*$ ist wohldefiniert, denn wenn $\alpha_1 = \alpha + \diffd \gamma$ ein Lift von $\gamma$ (existiert, weil $q$ surjektiv) + +$$ + \rightsquigarrow \diffd \alpha'_1 = \diffd \alpha' \checkmark +$$ + + 1. ? TODO%TODO + + 2. Wenn $\alpha''\in B_k$ ein anderer Lift von $\alpha$ (Elemente mit $q(\alpha'') = \alpha$) Dann gilt: + $$ + \alpha'' - \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta') + $$ + + $$ + &\Rightarrow& \diffd \alpha'' - \diffd \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta') + \\ &\Rightarrow& \lbrack \beta + \diffd \delta' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack + $$ + +Haben jetzt zu zeigen: exakte Sequenz + + - $q_* \circ i_* = (q\circ i)_* = 0$ + - $\diffd_* \circ q_* \lbrack \alpha' \rbrack = \diffd^* (\lbrack \alpha \rbrack) = 0$, weil $\diffd \alpha' = 0$ + weil $\alpha'$ geschlossene Form. anderes $\alpha'$ als oben, aber auch aus $B_k$ + - $(i_*\circ \diffd^*) (\lbrack \alpha \rbrack) = \lbrack i(\beta) \rbrack = \lbrack \diffd\alpha' \rbrack = 0$ + +(hier fangen wir mit geschlossenen Formen $\alpha'$ an und puschen das runter) + +$\Rightarrow$ die Sequenz ist ein Cokettenkomplex + +zu zeigen: + + - $\ker i_* \subseteq \operatorname{im}\diffd^*$ + - $\ker q_* \subseteq \operatorname{im}i_*$ + - $\ker d^* \subseteq \operatorname{im}q_*$ + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + & \beta \arrow[r, maps to] & 0 \\ +A_{k-1} \arrow[d, "\gamma"] \arrow[r] & A_k \arrow[d, "\beta'"] \arrow[r] & A_{k+1} \arrow[d] \\ +B_{k-1} \arrow[d, "\gamma'"] \arrow[r] & B_k \arrow[d] \arrow[r] & B_{k+1} \arrow[d] \\ +C_{k-1} \arrow[r] & C_k \arrow[r] & C_{k+1} +\end{tikzcd} +\end{center} + +*** erster Punkt + +Sei $\lbrack \beta \rbrack \in \ker i_*$ ($\beta\in A_k$, $\diffd \beta = 0$) + +$\Rightarrow i(\beta) = \diffd \gamma$ + +Sei $q(\gamma) =: \gamma'$ + +$$ + \diffd \gamma' = q(\diffd \gamma) = q(\beta') = q(i(\beta)) = 0 + \\ \Rightarrow \lbrack \gamma' \rbrack \in H^{k-1} +$$ +Nach Konstruktion gilt $\diffd^*\lbrack \gamma' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack$ + +*** zweiter Punkt: Übung + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & A_k \arrow[r] \arrow[d] & A_{k+1} \arrow[d] \\ +B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & B_k \arrow[r] \arrow[d] & B_{k+1} \arrow[d] \\ +C_{k-1} \arrow[r] & C_k \arrow[r] & C_{k+1} +\end{tikzcd} +\end{center} + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \\ +{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha' \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \diffd \alpha \arrow[d, maps to] \\ +{} \arrow[r, maps to] & \alpha \arrow[r, maps to] & {} +\end{tikzcd} +\end{center} + +Sei $\alpha \in \ker \diffd^* \Rightarrow \beta = \diffd \gamma$ + +$$ + && \diffd (\alpha' - i(\gamma)) = \diffd \alpha' - \underbrace{ i(\underbrace{ \diffd \gamma }_{=\beta}) }_{\diffd \alpha'} = 0 + \\ \Rightarrow && \lbrack \alpha' -i(\gamma) \rbrack \in H^k(B_*), \quad q(\alpha' - i(\gamma)) = q(\alpha') = \alpha + \\ \Rightarrow \alpha \in \operatorname{im} q_* +$$ + +%2019-06-19 + +TODO%TODO Bilchen + +TODO%TODO Bilchen +$\leftarrow$ Spalten exakt ($\operatorname{ker} i = \operatorname{Im} q$, $i$ injektiv, $q$ surjektiv) + +Sei $[\alpha] \in H^k(B_*)$ mit $q_*([\alpha]) = 0$ + +D.h. $\alpha' := q(\alpha) = \diffd \beta$, $q$ surjektiv $\Rightarrow \exists \beta'$ mit $q(\beta') = \beta$ + +$$ + q''(\diffd \beta')= \diffd(q(\beta')) = \diffd \beta = \alpha' = q(\alpha) \Rightarrow q(\alpha -\diffd \beta') = 0 +$$ + +$$ + \Rightarrow \alpha- \diffd \beta' = i(\gamma) +$$ + +$$ + i(\diffd \gamma) = \diffd(i(\gamma )) = \diffd (\alpha - \diffd \beta') = \diffd \alpha = 0,\ i \text{ injektiv} +$$ + +$$ + \Rightarrow \diffd \gamma = 0 \Rightarrow [\gamma] \in H^k(A_*) +$$ + +$$ + i_*[\gamma] = [i(\gamma)] = [\alpha - \diffd\beta'] = [\alpha] \Rightarrow [\alpha] \in \operatorname{Im} i_* +$$ + +** Korollar: (Maquer-Vietoris) + +$M= U\cup V$, beide offen, $U\cap V$ offen + +% $\Rightarrow \exists$ l.e.S + +TODO%TODO +% \begin{center} +% \begin{tikzcd} +% \arrow[r, "\diffd^*"] & H^k(M) \arrow[rr, "i^*_v \oplus i^*_v"] & {} & H^k(V)\oplus H^k(V) \arrow[rr, "q_*"] & {} & H^k(U\cap V) \arrow[rr, "\diffd^*"] & {} & H^{k+1}(M) \arrow[r] & \ldots +% \end{tikzcd} +% \end{center} + +** Proposition (Kohomologie von Sphären) + +Sei + +$$ + S^d = \{ x\in \mathbb R^{d+1}\mathrel | \lVert x \rVert_2 = 1 \} +$$ + +die $d$-dimensionale Sphäre. Dann gilt: + +$$ + H^k(S^d) \cong \begin{cases} + \mathbb R, & k=0 \mathrel\text{oder} k=d \\ + 0, & \text{sonst} +\end{cases} +$$ + +*** Induktion +$d=1$ haben wir es schon ausgerechnet. Induktionsvoraussetzung. Sei die Behauptung richtig für Sphären von Dimension $\leqslant d-1$ + +TODO%TODO Bilchen + +$$ + S^d = U\cup V,\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel{\Bigg |} x_{d+1} > -\frac{1}{2} \right\},\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel{\Bigg |} x_{d+1} < \frac{1}{2} \right\} +$$ + +$$ + U\cap V \simeq S^{d-1},\quad U,V \cong \{*\}, \quad \text{explizite Homotopien - Übung} +$$ + +** Mayer-Vietoris-Sequenz + +\begin{tikzcd} + \arrow[r] & H^k(S^d) \arrow[r] & \underbrace{ H^k(V) }_{=0}\oplus \underbrace{ H^k(V) }_{=0} \arrow[r] & H^k(S^{d-1}) \arrow[r] & H^{k+1}(S^d) \arrow[r] & \underbrace{ H^{k+1}(V)\oplus H^{k+1}(V) }_{=0} \arrow[r] & \ldots +\end{tikzcd} + +($k\geqslant 1$) + +$\Rightarrow$ + +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r] & H^k(S^{d-1}) \arrow[r] & H^{k+1}(S^d) \arrow[r] & 0 +\end{tikzcd} + + +ist exakt $\Rightarrow$ + +TODO%TODO missing +TODO missing + +$N\subset M$, $M\setminus N$. Möchte die Zerlegung betrachten $M=N \cup (M\setminus N)$, $N$ abgeschlossen, $M$ offen. + +** Definition + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, + +$$ + \Omega_c^k(M) := \{ \omega\in\Omega(M) \mathrel| \operatorname{supp} \omega \operatorname{kompakt} \} +$$ + +*** Bemerkung + +$M$ kompakt $\Rightarrow \Omega_c^k(M) = \Omega^k(M)$ + +*** Beweis + +$$ + \omega \in \Omega_c^k(M) \Rightarrow \diffd \omega \in \Omega_c^{k+1}(M) +$$ + +D.h. ($(\Omega_c^*(M), \diffd)$ ist auch ein Kokettenkomplex) + +$$ + \rightsquigarrow H^k_c(M) := H^k\left( ( \Omega^*_c(M), \diffd ) \right) +$$ + +heißt Kohomologie von $M$ mit kompakten Träger. + +Wiederum: + +$$ + M \text{ kompakt } \Rightarrow H^d(M) = H^k_c(M) \quad \forall k\in \mathbb N +$$ + +Sei $N\subset M$ eine Untermannigfaltigkeit, $i\colon N \hookrightarrow M$ die Inklusionsabbildung, + +$$ + i^*\colon \Omega^k(M) \to \Omega^k(N), \quad k\in \mathbb N +$$ + +die induzierte Abbildung auf Formen (= Einschränkung auf $N$), $\ker i^* =$ besteht aus Formen, die auf $N$ verschwinden, $i^*$ surjektiv + +$\Omega^*(M,N) := \{ \omega \in \Omega^*(M) \mathrel | i^* \omega = 0 \}$ + +\begin{tikzcd} +0 \arrow[r] & {\Omega^*(M,N)} \arrow[r] & \Omega^*(M) \arrow[r] & \Omega^*(N) \arrow[r] & 0 +\end{tikzcd} + +$\uparrow$ ist eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen + +$\Rightarrow$ erhalten eine lange exakte Sequenz + +$H^k(M,N) := H^k(\Omega^*(M,N))$ = Kohomologie von $M$ relativ zu $N$, relative Kohomologie von $M$ bzgl. $N$ + +\begin{tikzcd} +\ldots \arrow[r] & {H^k(M,N)} \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] & \ldots +\end{tikzcd} + +*** Problem + +$H^k(M,N)$ ist mysteriös :-( . + +Lösung: gibt's für $N$ kompakt, was wir ab jetzt annehmen + +TODO%TODO Bilchen + +TODO%TODO Bilchen + +*** Beweis + +$\Omega^*_c(M\setminus N) \subseteq \Omega^*(M,N)$ + +Setze $C^k := \Omega^k(M,N) / \Omega_c^k (M\setminus N)$ + +$\rightsquigarrow$ kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen + +TODO%TODO Bilchen + +$\Rightarrow$ l.e.S. + +TODO%TODO Bildchen + +** Proposition $H^k(C^*) = 0$ für alle $k\in \mathbb N$ + +($\Rightarrow H^k_c(M\setminus N) \cong H^k(M,N)$) + +** Beweis + +Wir werden die folgende Zusatzaussage benutzen (Existenz einer tubularen Umgebung), wenn $N$ kompakt ist, dann $\exists T\subseteq M$ offen, $N\subseteq T$ und so dass +\begin{tikzcd} +N \arrow[r, "\sim", hook] & T +\end{tikzcd} +eine Homotopieäquivalenz + +Sei $[\omega] \in C^k$ mit $[\diffd \omega] = \diffd[\omega] = 0 \in C^{k+1}$ + +$\Rightarrow \diffd = \eta \in \Omega_c^{k+1}(M\setminus N)$ + +Wollen: $[\omega] = \diffd[\sigma]$, also wollen wir ein $\sigma \in \Omega^{k-1}(M,N)$ finden, sodass $\diffd\sigma - \omega \in \Omega_c^k(M\setminus N)$ + +Aus der Vorraussetzung an $T$ folgt: $\exists p\colon T\to N$, die eine Homotopieäquivalenz ist (sogar mit $p|_N = \operatorname{id}$) + +Betrachte jetzt die Form $\omega - p^*\omega$ auf $T$, da $N\simeq T$, gilt $H^k(T,N) = 0$, und deswegen ist $\omega - p^*\omega$ exakt, also +$$ + \exists v \in \Omega^{k-1}_c(T, N) +$$ +mit $\omega-p^*\omega = \diffd v$. Nun gilt: +$$ + p = i\circ p \Rightarrow p^* = p^*\circ i^* +$$ + +folglich gilt $p^*\omega = p^*\circ i^*(\omega) = 0 \Rightarrow \omega = \diffd v$ + +Sei $\varphi \in C^\infty(M, [0,1])$ eine Funktion mit: + +$\varphi \equiv 1$ auf einer Umgebung von $N$, $\varphi \equiv 0$ auf $M\setminus T$ + +Dann gilt: $\varphi\colon v\in \Omega^{k-1}(M,N)$, $\omega - \diffd(\varphi v) \in \Omega^k_c (M\setminus N)$ + +$\Rightarrow \sigma = \varphi v$ funktioniert und der Beweis ist fertig. + +%2019-06-25 + +$N\subseteq M$ Untermannigfaltigkeit, $N$ kompakt + +$\Rightarrow$ l.e.S. + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + \arrow[r] &[-10pt] \ldots \arrow[r] &[-10pt] {H^k(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] H^k(M) \arrow[r] &[-10pt] H^k(N) \arrow[r] &[-10pt] {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] \ldots \\ + & {} & {} & {} & {} & H^{k+1}_c(M\setminus N) {}& {} +\end{tikzcd} +\end{center} + +** Proposition + +$$ + H_c^k(\mathbb R^n) \cong + \begin{cases} + 0, & k\neq n\\ + \mathbb R, & k=n +\end{cases} +$$ + +Beweis: + + * $k=0$ + $$ + H_c^0(\mathbb R^n) \cong 0 + $$ + weil es keine kompakt getragenen konstanten Funktionen gibt. (für alle $n\in\mathbb N$) + * $n=1$, $k=1$ + $$ + H_c^1(\mathbb R) \cong \ker \diffd / \operatorname{im} \diffd = \Omega^1_c (\mathbb R) / \operatorname{im} \diffd + $$ + \begin{center} + \begin{tikzcd} + \Omega_c^0(\mathbb R) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \arrow[r, "\diffd"] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\diffd"] & 0 \\ + C_c^\infty(\mathbb R) & & + \end{tikzcd} + \end{center} + + Sei $\omega = \varphi(x)\intd x \in \Omega_c^1(\mathbb R)$. $\omega\in\operatorname{im}\diffd\Leftrightarrow\omega=\diffd f=f'(x)\intd x$ für ein $f\in C_c^\infty(\mathbb R)$ + + TODO Bildchen%TODO Bildchen + + $$ + f(x) = \int_\alpha^x \varphi(t) \intd t + \\ \Rightarrow f(\beta) = \int_\alpha^\beta \varphi(t) \intd t = 0 + \\ \lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \begin{matrix} \operatorname{supp}\varphi \\ \operatorname{supp}f \end{matrix} + $$ + + Aus der Rechnung folgt: $f$ kompakt getragen + $$ + \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} = \varphi(x) \intd x = \int_{\mathbb R} \omega = 0 + $$ + Also: + $$ + \omega \in \operatorname{im} \diffd \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} \omega = 0 + $$ + Wir haben also eine kurze exakte Sequenz + \begin{center} + \begin{tikzcd} + 0 \arrow[r] & \Omega_c^\infty(\mathbb R) \arrow[r] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\int_{\mathbb R}"] & \mathbb R \arrow[r] & 0 + \end{tikzcd} + \end{center} + $\Rightarrow H_c^1(\mathbb R) \cong \mathbb R$ + + * Für $n\geqslant 2$ benutzen wir Induktion und die l.e.S für $M=S^n$, $N=S^{n-1}$, $M\setminus N \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$. + $M\setminus N$ sind zwei Kreisscheiben $\Rightarrow S^1\cup S^1 \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$ + + + + +% \begin{tikzcd} +% \arrow[r] & H_c^k(M\setminus N) \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & H_c^{k+1}(M\setminus N) \arrow[r] & \ldots +% \end{tikzcd} + TODO%TODO missing part + + + Am Ende steht: + \begin{center} + \begin{tikzcd} + 0 \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & H_c^n(\mathbb R^n)^{\oplus 2} \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & 0 + \end{tikzcd} + \end{center} + exakt. + + $\overset{?}\Rightarrow H_c^n(\mathbb R) \cong \mathbb R$ + weil + \begin{tikzcd} + 0 \arrow[r] & V \arrow[r] & W \arrow[r] & \underbrace{V'}_{\cong W/V} \arrow[r] & 0 + \end{tikzcd} + kurze exakt Sequenz + $\Rightarrow \dim W = \dim V + \dim V'$ + +** Bemerkung + $$ + H_c^n(\mathbb R^n) = \mathbb R\cdot \lbrack\omega\rbrack + $$ + wobei $\omega = \varphi(\lVert x \rVert)\intd x^1\wedge \ldots \wedge \diffd x^n$ mit $\varphi$: + TODO Bilchen %TODO + +** Satz + +Sei $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Dann gilt: +$$ + H^n(M) \cong \mathbb R, \quad n=\dim M +$$ + +Beweis: +Erinnerung: wenn $\omega$ eine Volumenform $\Rightarrow\int_M \omega \neq 0$, andereseits: wenn $\omega = \intd \alpha \in \Omega^n(M)$ +$$ +\Rightarrow \int_M \omega = \int_M \intd \alpha = \int_\emptyset \alpha = 0 +$$ +Da $M$ kompakt, $\exists\,\{ U_i \}_{i=1}^N$ eine offene Überdeckung mit untergeordneter Teilung der Eins $\{ \varphi_i \}_{i=1}^N$ sodass $U_i \cong \mathbb R^n$. + +Definiere die Abbildung +$$ + \Psi \colon \Omega^n(M) &\to& \mathbb R^N + \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} & & + \\ \omega &\mapsto& \left( \int_M \varphi_1 \cdot \omega, \ldots, \int_M \varphi_N \cdot \omega \right) +$$ + +$\Psi$ linear: +$$ + V := \{ \psi (\diffd \alpha) \mathrel | \alpha \in \Omega^{n-1}(M) \} \subseteq \mathbb R^N +$$ +Untervektorraum + +Behauptung: +$$ + \Psi(\omega) \in V \Leftrightarrow \omega \mathrel\text{exakt} +$$ + +$\Leftarrow$ Definition von $V$ + +$\Rightarrow$ $\Psi(\omega) \in V \Rightarrow \exists \alpha \in \Omega^{n-1}(M)$ mit $\Psi(\omega - \diffd \alpha) = 0$ + +$\int_{U_i}\varphi_i \cdot (\omega-\diffd \alpha)=\Rightarrow \int_M \varphi_i \cdot (\omega -\diffd \alpha) = 0$, $i=1,\ldots, N$ + +$U_i \cong \mathbb R^n \Rightarrow \varphi_i\cdot(\omega -\diffd \alpha)$ exakt (nach vorheriger Proposition) + +$\Rightarrow \exists \alpha_i \in \Omega_c^{n-1}(U_i)$ mit $\rho_i\cdot(\omega -\diffd \alpha) = \diffd \alpha_i$ + +TODO missing +%TODO missing + +Nun ist $V\subset \mathbb R^N$ durch ein LGS gegeben: +$$ + V = \{ x\in \mathbb R^N \mathrel| C_x = 0 \},\quad C\in \mathbb R^{m\times N} +$$ + +Das heißt: +$$ + \omega \mathrel{\text{text}} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^N \int_M c_{jk} \rho_k \cdot \omega = 0, \quad j=1,\ldots, m +$$ + +Behauptung: +$$ + \sum_{k=1}^N c_{jk} \rho_k +$$ + +ist eine konstante Funktion $\forall j = 1, \ldots, m$: + +Wenn nicht: +$$ + \exists i \in \{ 1,\ldots, N \} \exists \omega \in \Omega_c^n(U_i) +$$ + +so dass +$$ + \int_M \omega = 0 +$$ +aber +$$ + \int \sum_{k=1}^{N} c_{jk} \rho_k \omega = \int_{U_i} c_{ji} \rho \varphi_i \omega \neq 0 +$$ +$\Rightarrow \omega$ nicht exakt $\lightning$ + +TODO missing%TODO missing + +* Metrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten + +** Definition + +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine Riemansche Metrik auf $M$ ist eine symetrische positiv definite Bilinearform $g\in \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$ +Das heißt $\forall p\in M$ ist $g_p\in T_p^*M \otimes T^*_p M\cong \operatorname{Bil}(T_pM)$ mit $g_p$ ist ein Skalarpodukt + +Pseudo-Riemansche Metrik: das Gleiche mit „nicht ausgeartet“ statt „pos. definit“/„Skalarpodukt“ + +** Tensoralgebra im Präsenz von $g$ + + 1. Da $g$ nicht ausgeartet ist, definiert es musikalische Isomorphismen + $$ + \flat \colon TM &\to& T^*M + \\ \sharp \colon T^*M &\to& TM + \\ v^\flat (\omega) &:=& g(v,w), \quad v,w \in T_pM + \\ \sharp &=& \flat^{-1} + $$ + + Beispiel: $f\in C^\infty(M)$, $\operatorname{grad}(f) := (\diffd f)^\sharp$ + + 2. $\ast$-Operation auf Differentialformen + Erinnerung: + $$ + B_x \intd y\wedge\diffd z + B_y \intd z \wedge \diffd x + \ldots + $$ + $$ + \lbrack\ast (e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k}) \rbrack \wedge \left(e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k} \right) = e_1\wedge\ldots\wedge e_n + $$ + z.B.: + $$ + \ast (B_x \intd y \wedge \diffd z) = B_x\intd x + $$ + + $$ + X&\in& \Gamma(T\mathbb R^3) + \\ X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3) + \\ \diffd X^\flat &\in& \Omega^2(\mathbb R^3) + \\ \ast \diffd X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3) + \\ \operatorname{rot} X &=& (\ast \diffd X^\flat)^\sharp + $$ + +%2019-06-26 + +Riemansche Mannigfaltigkeit $(M, g)$, +$$ + g\in \Gamma(T^*M\otimes T^*M) +$$ +ein Skalarpodukt auf $T^*M$ + + 1. $g$ induziert „musikalische Isomorphismen“ + $$ + \flat \colon TM \to T^*M + \\ \sharp \colon T^*M \to TM + $$ + + 2. Hodge-Stern-Operator + Sei $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ ein orientierter euklidischer Vektoraum + - $\flat\colon V\to V^*$ ist ein Isomorphismus, $V^*$ auch orientiert (durch Dualbasen bzw. durch $\flat$) + +Wenn nun $n=\dim V\Rightarrow \bigwedge^n V^* \cong \mathbb R$; sei nun $e_1^*, \ldots, e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis in $V^*$. +$$ + \operatorname{vol} = \omega := e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* \in \bigwedge^n V^*, \quad \omega \neq 0, \text{weil } e_1^*, \ldots, e_n^* +$$ +eine Basis (Volumenform auf $V$) + +Beweis: + +$\omega$ hängt nicht von der Wahl einer positiv orientierten Orthonormalbasis (ONB) in $V^*$ ab. + +Dazu sei $f_1^*, \ldots, f_n^*\in V^*$ eine andere positiv orientierte Orthonormalbasis. + +$$ + f_1^*\wedge\ldots\wedge f_n^* &=& \underbrace{ \det M_F^\xi}_{\in SO(u), \text{ weil } \xi, F' \text{ONB, gleich orientiert} } \cdot e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* + \\ \Rightarrow \det M_F^\xi &=& 1 +$$ + +Geometrische Interpretation: +$$ + \omega(v_1, \ldots, v_n) = \underbrace{\pm}_{\text{je nach Orientierung}} \operatorname{vol} ( Spat ) +$$ +%TODO Spat Bildchen + +Wir definieren jetzt einen Operator + +$$ + \ast \colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge^{n-k}V^* +$$ + +Dazu: $\flat$, $\sharp$ induzieren auch Isomorphismen + +$$ + \flat \colon \bigwedge^k V \to \bigwedge^k V^* + \sharp \colon \bigwedge V^* \to \bigwedge^k V +$$ + +Dies definiert ein Skalarpodukt auf $\bigwedge^k V^*$: +$$ + \langle \alpha, \beta \rangle := \alpha(\beta^\sharp) +$$ + +Explizit: +wenn $\alpha = \alpha_1 \wedge \ldots \wedge \alpha_k$, $\beta = \beta_1\wedge\ldots\wedge\beta_k$ +$$ + \langle \alpha, \beta \rangle &=& \alpha(\beta^\sharp) + \\&=& \det(\alpha_i (\beta_j^\sharp))_{i,j = 1}^k + \\&=& \det (\langle \alpha_i, \beta_j \rangle_{V^*})_{i,j = 1}^k + \\&=& \det (\langle \alpha_i^\sharp, \beta_j^\sharp \rangle_V)_{i,j = 1}^k +$$ + +$\ast\colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge{n-k}V^*$ ist jetzt eindeutig durch folgende Eigenschaft bestimmt: + +$\forall \alpha, \beta \in \bigwedge^kV^*$ gilt + +$$ + \alpha \wedge \ast \beta = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \omega = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \operatorname{vol} +$$ + +Explizite Formel für $\ast$: sei $e_1^*,\ldots,e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Es gilt: + +$$ + \langle e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^*, e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^* \rangle = \det E = 1 +$$ +Es muss dann gelten: + +$$ + \left(e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^*\right) \wedge \ast \left( e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^* \right) = e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* +$$ + +** Beispiel + +$$ + \dim V = 4, \quad e_1^*, \ldots, e_4^* \quad ONB \text{ in } V^* +$$ + +$$ + \ast \underbrace{ 1 }_{\in \bigwedge^0V^*} = e_1^*\wedge \ldots \wedge e_4^* + \\ \ast e_1^* = e_2^* \wedge e_3^* \wedge + \\ TODO +$$ + +Wenn $(M, g)$ eine orientierte Riemansche Mannigfaltigkeit ist, ist $()$ + +%TODO missing +TODO missing + +D.h. auf einer Riemanschen Mannigfaltigkeit kann man einfach Funktionen integrieren + +$$ + \int_M f \text{ könnte man durch } \int_M f\cdot \operatorname{vol} \text{definieren} +$$ + +Dieses Integral kann man zur Aufstellung der Maßtheorie auf $M$ benutzen $\rightsquigarrow$ jede Riemansche Mannigfaltigkeit trägt ein kanonisches positives Maß. + +Expliziter Ausdruck für $\operatorname{vol}$: wenn $(U, x)$ eine Karte auf $M$ ist, bekommen wir durch eine Riemansche Metrik auf $x(U)$ ($=$ Ausdruck von $g$ in Koordinaten): + +$$ + g_{ij} := g\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right) +$$ + +sind Einträge der Gram-Matrix von $g$ in der Basis $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$ + +Wenn $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$ positiv orientiert ist, + +$$ + \operatorname{vol} \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) \overset{\text{LAAG}}= \sqrt{\det (g_{ij})^n_{i,j = i}} =: \sqrt{g} +$$ + +Der Hodge-Operator definiert ein Skalarpodukt auf $\Omega^k(M)$: + +$$ + \langle \alpha, \beta \rangle := \int_M \alpha \wedge \ast \beta = \int_M \langle\alpha(p), \beta(p)\rangle_{\bigwedge^k T^*_p M} \operatorname{vol} +$$ + +Durch Vervollständigung von $\Omega_c^k(M)$ bzgl $\langle \cdot, \cdot \rangle$ bekommen wir einen Hilbertraum + +$$ + L^2\left(\bigwedge^kT^*M\right) \text{ oder } \Omega_{(2)}^k (M) +$$ + +Somit wird $\diffd \colon \Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ zu einem Operator zwischen Räumen mit Skalarpodukt. + +Idee: studiere den adjungierten Operator $\diffd^*\colon \Omega^{k+1}(M) \to \Omega^k(M)$. $\diffd^*$ (wenn es existiert) muss durch die Bedingung + +$$ + \langle \diffd \alpha, \beta \rangle = \langle \alpha, \diffd^*\beta\rangle +$$ + +eindeutig festgelegt sein. + +** Beispiel + +$M=S^1$, $C^\infty(S^1) = \Omega^0(S^1) \overset\diffd\longrightarrow \Omega^1(S^1)$ + +$$ + \diffd f = f'(\theta)\diffd \theta +$$ + +$$ + \langle \diffd f, \underbrace{ \alpha }_{\alpha(\theta)\diffd\theta} \rangle &=& \int_{S^1}f'(\theta)\alpha(\theta)\diffd\theta + \\ &\overset{\text{positiv orientiert}}=& -\int_{S^1} f(\theta) \alpha'(\theta)\diffd \theta + \\ := \ldots \langle f, \diffd^*\alpha \rangle \Rightarrow (\diffd^*\alpha)(\theta) = -\alpha'(\theta) +$$ + +** Lemma + +Sei $\diffd\colon\Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ das Differential. Der adjungierte Operator $\diffd^* = \delta$ ist gegeben durch + +$$ + \diffd^* = (-1)^{k+1} \ast^{-1}\circ\operatorname{\diffd}\circ\operatorname\ast +$$ + +[Beachte $\ast^2 = \pm \operatorname{id}$, $\pm$ hängt von $n$, $k$ ab] + +** Beweis + +Seien $\alpha\in\Omega^k(M)$, $\beta\in \Omega_c^{k+1}(M)$. + +$$ + \langle \diffd \alpha, \beta\rangle &=& \int_M \diffd \alpha \wedge\ast\beta + \\&=& \int_M \diffd(\alpha\wedge\ast \beta) -(-1)^k\alpha\wedge\diffd(\ast \beta) + \\&\overset{\text{Stokes}}=& 0 +(-1)^{k+1}\int_M\alpha \wedge \ast(\ast^{-1}\diffd\ast\beta) + \\&=& \left\langle \alpha, (-1)^{k+1}\ast^{-1}\diffd\ast\beta\right\rangle +$$ + +** Definition + +Der Laplace-Operator auf $\Omega^k(M)$ ist definiert durch + +$$ + \Delta = \diffd^*\diffd + \diffd \diffd^* +$$ + +\begin{tikzcd} +\Omega^o \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] & \Omega^1 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \Omega^2 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \ldots \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] +\end{tikzcd} + +** Lemma: $\Delta$ erfüllt + + 1. $\Delta$ ist symetrische, positiv semidefinit: + 2. $\Delta$ kommutiert mit $\diffd$ und $\diffd^*$ + 3. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap \ker \diffd^*$ + 4. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap (\operatorname{im} d)^1$ + +Beweis: + 1. $\Delta^* = (\diffd^*\diffd)^* + (\diffd \diffd^*)^* = \Delta$, $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle = \langle \diffd \alpha, \diffd \alpha \rangle + \langle \diffd^*\alpha, \diffd^*\alpha \rangle \geqslant 0$ + 2. $\diffd \Delta = \diffd\diffd^* \diffd = \Delta \diffd$ wegen $\diffd^2 = 0$, analog für $\diffd^*$ + +%2019-07-02 +%TODO missing +missing 2019-07-02 + +%2019-07-03 + +%TODO Bildchen 1 +TODO Bildchen 1 + +** Satz: Brouwer + +$$ + &&f\colon D^2 \to D^2 \text{ stetig, [glatt]} + \\ &\Rightarrow& f \text{ hat einen Fixpunkt} + \\&& (\exists x\in D^2, f(x) = x) +$$ + +Beweis: durch Widerspruch: Sei $f\colon D^2\to D^2$ glatt mit $f(x)\neq x, \forall x\in D^2$ + +%TODO Bildchen 2 +TODO Bildchen 2 + +$$ + \varphi \colon D^2 &\to& \partial D^2 = S' + \\ x &\mapsto& y := \text{ Gerade } f(x) \to x \cap \partial D^2 + \\ \varphi \text{ ist glatt} + \\ \varphi|_{\partial D^2} = \operatorname{id} +$$ + \begin{center} \begin{tikzcd} & * \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] & \\ \partial D^2 \arrow[r, "i"] \arrow[rr, "\operatorname{id}"', bend right] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] & D^2 \arrow[r] & \partial D^2 \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \\ S^1 & & S^1 -\end{tikzcd} -\end{center} - +\end{tikzcd} +\end{center} + \begin{center} \begin{tikzcd} & 0 & \\ H^k(S^1) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] & H^1(D^2) \arrow[l, "i^*"'] \arrow[u, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] & H^1(S^1) \arrow[l, "\varphi^*"'] \arrow[ll, "\operatorname{id}", bend left] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] \\ \mathbb R & & \mathbb R -\end{tikzcd} -\end{center} - -%TODO Bildchen 2 und weitere -TODO Bildchen 2 und weitere - -$$ - T^2 = M = U\cup V, \quad \text{Mayer-Vretoris} -$$ - +\end{tikzcd} +\end{center} + +%TODO Bildchen 2 und weitere +TODO Bildchen 2 und weitere + +$$ + T^2 = M = U\cup V, \quad \text{Mayer-Vretoris} +$$ + \begin{center} \begin{tikzcd} {} & H^0(T^2) \arrow[rr] & {} & H^0(U)\oplus H^0(V) \arrow[rr] & {} & H^0(U\cap V) \arrow[r] & {} \\ \arrow[r] & H^1(T^2) \arrow[rr] & {} & H^1(U)\oplus H^1(V) \arrow[rr] & {} & H^1(U\cap V) \arrow[r] & {} \\ \arrow[r] & H^2(T^2) \arrow[rr] & {} & H^2(U)\oplus H^2(V) \arrow[rr] & {} & H^2(U\cap V) \arrow[r] & {} \\ - \arrow[r] & \ldots & {} & {} & {} & {} & {} -\end{tikzcd} -\end{center} -ist exakt. - - + \arrow[r] & \ldots & {} & {} & {} & {} & +{} +\end{tikzcd} +\end{center} +ist exakt. + + \begin{center} \begin{tikzcd} {} & \mathbb R \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r, "m"] & {} \\ \arrow[r] & H^1(T^2) \arrow[r, "h"] & \mathbb R^2 \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r] & {} \\ - \arrow[r] & \underbrace{ H^2(T^2) }_{\mathbb R} \arrow[r] & 0 \arrow[r] & 0 & {} -\end{tikzcd} -\end{center} - -$$ - \operatorname{rk} h &=& 1 - \\ \operatorname{rk} m &=& 1 - \\ \ker h &=& \operatorname{im} m -$$ - -$$ - \dim H^1(T^2) &=& \operatorname{rk} h + \dim \ker h - \\ &=& \operatorname{rk} h + \operatorname{rk} m -$$ - + \arrow[r] & \underbrace{ H^2(T^2) }_{\mathbb R} \arrow[r] & 0 \arrow[r] & 0 & +{} +\end{tikzcd} +\end{center} + +$$ + \operatorname{rk} h &=& 1 + \\ \operatorname{rk} m &=& 1 + \\ \ker h &=& \operatorname{im} m +$$ + +$$ + \dim H^1(T^2) &=& \operatorname{rk} h + \dim \ker h + \\ &=& \operatorname{rk} h + \operatorname{rk} m +$$ + \begin{center} \begin{tikzcd} \arrow[r, "m"] & H^1(T^2) \arrow[r, "h"] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] & {} \\ {} & \mathbb R^2 & {} -\end{tikzcd} -\end{center} - +\end{tikzcd} +\end{center} + \begin{center} \begin{tikzcd} {} \arrow[r] & V_0 \arrow[r] & V_i \arrow[r] & V_{i+1} \arrow[r] & \ldots \arrow[r] & V_n \arrow[r] & {} -\end{tikzcd} -exakt -\end{center} - -$$ - \Rightarrow \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim V_i = 0 -$$ - +\end{tikzcd} +exakt +\end{center} + +$$ + \Rightarrow \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim V_i = 0 +$$ + \begin{center} \begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & V_0 \arrow[r] & V_1 \arrow[r] & \ldots \arrow[r] & V_n \arrow[r] & 0 -\end{tikzcd} -Kettenkomplex -\end{center} - -$$ - \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim (V_i) &=& \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim H^i (V_*) =: \xi (V_*) -$$ - -%TODO Bildchen 3 -TODO Bildchen 3 - -$$ - \partial^2 = 0 -$$ - +\end{tikzcd} +Kettenkomplex +\end{center} + +$$ + \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim (V_i) &=& \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim H^i (V_*) =: \xi (V_*) +$$ + +%TODO Bildchen 3 +TODO Bildchen 3 + +$$ + \partial^2 = 0 +$$ + \begin{center} \begin{tikzcd} V_2 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \arrow[r, "\partial"] & V_1 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \arrow[r] & V_0 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \\ \mathbb R^{|F|} & \mathbb R^K & \mathbb R^E -\end{tikzcd} -\end{center} - -$$ - E-K+F &=& \dim H_0 (V_*) - \dim H_1(V_*) + \dim H_2 (V_*) - \\ &=& \dim H^0 (S^2) - \dim H^1(S^2) + \dim H^2(S^2) - \\ &=& 2 -$$ - -%TODO Bildchen 4 -TODO Bildchen 4 - -Haben $M$-kompakt orientierte, $\dim M = n$. - -$H^n(M\setminus \{ p \}) = 0$ - -Beweis: - -Sei $\omega \in \Omega^n(M\setminus \{p\})$, $\diffd \omega = 0$ (antisymetrisch) - -$$ - \overset?\Rightarrow \exists\eta\in\Omega^{n-1}(M\setminus\{p\}) \text{ mit } \omega = \diffd \eta -$$ - -%TODO Bildchen 5 -TODO Bildchen 5 - -Zerlege: - -$$ - \omega = \omega_0 + \omega_1 -$$ - -s.d. - - $\omega_0\in\Omega^n_c(M\setminus\{p\})$ - - $\int \omega_0 = 0$ - - $\omega_1\in\Omega^n( \underbrace{ S^{n-1}\times(0,1) }_{\operatorname{int} D^n \setminus \{p\}} )$ - -$$ - \omega_1|_{S^{n-1}\times \left(\frac{1}{2}, 1\right)} = 0 -$$ - -$$ - \omega_0 &=& \diffd \eta_0 - \\ \omega_1 &=& \diffd \eta_1 -$$ - -weil $H^n(S^{n-1})\cong H^n(S^{n-1}\times (0,1)) = 0$ +\end{tikzcd} +\end{center} + +$$ + E-K+F &=& \dim H_0 (V_*) - \dim H_1(V_*) + \dim H_2 (V_*) + \\ &=& \dim H^0 (S^2) - \dim H^1(S^2) + \dim H^2(S^2) + \\ &=& 2 +$$ + +%TODO Bildchen 4 +TODO Bildchen 4 + +Haben $M$-kompakt orientierte, $\dim M = n$. + +$H^n(M\setminus \{ p \}) = 0$ + +Beweis: + +Sei $\omega \in \Omega^n(M\setminus \{p\})$, $\diffd \omega = 0$ (antisymetrisch) + +$$ + \overset?\Rightarrow \exists\eta\in\Omega^{n-1}(M\setminus\{p\}) \text{ mit } \omega = \diffd \eta +$$ + +%TODO Bildchen 5 +TODO Bildchen 5 + +Zerlege: + +$$ + \omega = \omega_0 + \omega_1 +$$ + +s.d. + - $\omega_0\in\Omega^n_c(M\setminus\{p\})$ + - $\int \omega_0 = 0$ + - $\omega_1\in\Omega^n( \underbrace{ S^{n-1}\times(0,1) }_{\operatorname{int} D^n \setminus \{p\}} )$ + +$$ + \omega_1|_{S^{n-1}\times \left(\frac{1}{2}, 1\right)} = 0 +$$ + +$$ + \omega_0 &=& \diffd \eta_0 + \\ \omega_1 &=& \diffd \eta_1 +$$ + +weil $H^n(S^{n-1})\cong H^n(S^{n-1}\times (0,1)) = 0$ + +%2019-07-09 +TODO missing 2019-07-09 + +%2019-07-10 + +Gestern: Variationsproblem + +$$ + \text{Wirkung} \rightarrow S(\underbrace{x}_{x\in C^\infty[a,b]} ) = \int_a^b 2(x, \cdot x, t)\diffd t \rightarrow \operatorname{min} +$$ + +** Proposition + +Wenn $x_0$ die Wirkung minnimiert/maximiert + +$\Rightarrow$ $x_0$ erfüllt Euler-Lagrange-Gleichung: + +$$ + \frac{\diffd}{\diffd t} \frac{\partial 2 (x_0, \cdot x_0, 1)}{\partial \cdot x} = \frac{\partial 2 (x_0, \cdot x_0, t)}{\partial x} +$$ + +** Lemma + +Wenn $2 = 2(x,\cdot x)$ [hängt nicht von $t$ ab] + +$\Rightarrow$ jede Lösung $x_0$ der Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt: + +$$ + \cdot x_0 \frac{\partial 2}{\partial \cdot x} - L(x_0, \cdot x_0) = \operatorname{const} +$$ + +** Beispiel: Brachistochrone + +$$ + 2 (y, y') = \sqrt{\frac{1+(y')^2}{-y}} +$$ + +$$ + \frac{\partial L}{\partial y'} = \cancel{2} y' \cdot \frac{1}{2}(1+(y')^2)^{-\frac{1}{2}} (-y)^{-\frac{1}{2}} +$$ + +$$ + y' \cdot \frac{\partial L}{\partial y'} = (y')^2 (1+(y')^2)^{-\frac{1}{2}}(-y)^{-\frac{1}{2}} +$$ + +$$ + L = (1+(y')^2)(-y)^{-\frac{1}{2}} +$$ + +%TODO missing +TODO missing + +$$ + C(-y)^{\frac{1}{2}}(1+(y')^2)^{\frac{1}{2}} = \cancel{(y')^2} - (1+\cancel{ (y')^2 } ) = -1 +$$ + +$$ + \Rightarrow y(1+(y')^2) = D +$$ + +$$ + y\left(1 + \left(\frac{}{}\right)^2 \right) TODO missing +$$ + +%TODO missing +TODO missing + +$$ + \int \frac{\diffd y}{\sqrt{\frac{}{}}} TODO missing +$$ + +%TODO missing +TODO missing + +** Geodäten + +Sei $(M, g)$, $A$, $B\in M$. + +%TODO Bildchen +TODO Bildchen + +$$ + \gamma\colon [a, b] \to M,\quad \gamma(a) = A,\quad \gamma(b) = B +$$ + +$$ + L(\gamma) = \int_a^b g(x(t)) (\dot \gamma (t), \dot\gamma(t))^{\frac{1}{2}} \diffd t \rightarrow \operatorname{min} +$$ + +In Koordinaten ist $g(\gamma(t)) (\dot \gamma(t), \dot \gamma(t)) = \sum_{i=1}^{n} g_{ij}(\gamma(t)) \dot\gamma^i (t) \dot\gamma^j(t)$ + +$\rightarrow$ haben ein Variationsproblem mit $2 = 2(\gamma^1, \ldots, \gamma^n, \dot\gamma^1,\ldots, \dot \gamma^n)$ + +Indem man $\gamma^1, \ldots, \gamma^n$ einzeln variert bekommt man $n$ Euler-Lagrange-Gleichungen + +$$ + \frac{\diffd}{\diffd t} \frac{\partial 2}{\partial \dot \gamma^i} = \frac{\partial 2}{\partial \gamma^i}, \quad i = 1, \ldots, n +$$ + +Vorbereitung: Wie lösen anderes (!) Variationsproblem mit + +$$ + 2(\gamma, \dot\gamma) &=& \frac{1}{2}g(\gamma(t))(\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)) + \\ &=& \frac{1}{2}\sum_{i,j = 1}^n g_{ij}(\gamma(t)) \dot\gamma^i(t)\dot\gamma^j (t) +$$ + +$$ + \frac{\partial 2}{\partial \dot\gamma^k} &=& \sum_{j=1}^n g_{kj} \dot\gamma^j +$$ + +$$ + \frac{\diffd}{\diffd t} \frac{\partial 2}{\partial \dot\gamma^k} = \sum_{j=1}^n g_{kj}\ddot\gamma^j + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \frac{g_{kj}}{\partial x^i} \dot\gamma^i \dot\gamma^j +$$ + +$$ + \frac{\partial 2}{\partial \gamma^k} = \frac{1}{2} \sum_{i,j = 1}^n \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} (\gamma(t)) \dot\gamma^i\dot\gamma^j +$$ + +Euler-Lagrange-Gleichungen: + +$$ + \sum_{j=1}^n g_{kj} \ddot\gamma^j + \sum_{i,j = 1}^n \left( \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i} - \frac12 \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^k} \right)\dot \gamma^i \dot\gamma^j = 0 +$$ + +$$ +\text{irgendwas} = \frac{1}{2} \sum_{i,j = 1}^n \left( \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j} -\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \right) \dot\gamma^i \dot\gamma^j +$$ + +Dies ist äquivalent zu + +$$ + \ddot\gamma^m + \sum_{k=1}^n g^{mk}\cdot\frac{1}{2} \sum_{i,j = 1}^n \left( \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{kj} }{\partial x^j} -\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \right) \cdot \dot\gamma^i \dot\gamma^j +$$ + +$$ + \Leftrightarrow \ddot\gamma^m &=& \Gamma^m_{ij} \dot\gamma^i\dot\gamma^j = 0 + \\ \Leftrightarrow \nabla_{\dot\gamma} &=& 0 +$$ + +%TODO Bildchen +TODO Bildchen + +** Letzter Abschnitt: Physik + +$$ + A \in \Omega^1(\mathbb R^4) = \Omega^1(M, \mathbb R) + \\ F &=& \diffd A \in \Omega^2(M, \underbrace{ \mathbb R}_{u(1)} ) + \\ \diffd F = 0 \leftarrow \text{die ersten 2 Maxwell-Gleichungen} +$$ + +$$ + S = \int_M F\wedge \ast F = \int_M \langle F, F \rangle \operatorname{vol} +$$ + +$4 = 2\dot 2$, $2 = 4 - 2$ + +$$ + 2 = \langle F, F \rangle = \langle \diffd A, \diffd A \rangle +$$ + +$$ + A \rightsquigarrow A + \epsilon H +$$ + +$$ + S(A + \epsilon H) &=& \int_M \langle \diffd A + \epsilon \diffd H, \diffd A + \epsilon \diffd H \rangle \operatorname{vol} + \\ &=& \int_M\langle \diffd A, \diffd A \rangle \operatorname{vol} + 2 \cdot \epsilon \underbrace{\int_M\langle \diffd A, \diffd H \rangle}_{} + \epsilon^2\cdots +$$ + +$$ + (*)0 =\int_M\langle \diffd A, \diffd H \rangle \operatorname{vol} &=& \int_M \diffd H \wedge * \diffd A \underbrace{=}_{M \text{ Kompakt geragen }/ H \text{ Kompakt getragen} } + \\&=& -\int H\wedge \diffd \ast \diffd A + \\&=& \int H\wedge \diffd \ast F +$$ + +$(*)$ für jedes $H$ $\Rightarrow \diffd \ast F = 0 \Leftrightarrow \ast \diffd \ast F = \diffd^\ast F$ + +$F$ erfüllt also: + + 1. $\diffd F = 0 \leftarrow$ 1. Paar + 2. $\diffd^\ast F = 0 \leftarrow$ 2. Paar + +$M$ Mannigfaltigkeit, $\rightsquigarrow$ studieren Riemansche Matriken $g$ auf $M$ + +$$ + g \rightsquigarrow R \in \Omega^2(M, \underline{so} (u)) \rightarrow \underbrace{s}_{\text{Skalarkrümmung}}(R) \in C^\infty(M) +$$ + +Einstein-Hilbert-Wirkung: +$$ + S(g) = \int_M s\cdot \operatorname{vol} \left( + \Lambda \int \operatorname{vol} \right) +$$ + +$\rightsquigarrow (M, g)$, s.d. $g$ Extrempunkt für $S$ ist, heißen Einstein-Mannigfaltigkeiten + +Das Gleiche für nicht-Riemansche, sondern Pseudo-Riemansche Mannigfaltigkeiten $\rightarrow$ Allgemeine Relativitätstheorie +