$\leftarrow$ Koordinaten von $(p, \xi)$ in $\mathcal F$-Koordinatensystem.
TODO Bildchen 4
$$
(p, \xi)\in T\mathbb R^n, \quad\varphi\colon\mathbb R^n \to\mathbb R
$$
Richtungsableitung
$$
\underbrace{\partial_{\xi}\varphi}_{\text{Richtungsableitung}} :=\underbrace{D_p \varphi}_{\text{Zeile}}\cdot\underbrace{\xi}_{\text{Spalte}}= D_p\varphi(\xi)\in\mathbb R
$$
Idee: benutze das als Definition
- „ein Tangentialvektor ist das, was Funktionen ableitet“
- „Tangentialvektor = Richtungsableitung“
Sei $(p, \xi)\in\mathbb R^n \times\mathbb R^n$ ein (in Koordinaten darstellbarer) Tangentialvektor
Sei $p\in U\in\mathcal O(\R^n)\leftarrow\text{offenen Mengen}$. Was ist folgende Menge?
$$
T_p U :=\{\partial\colon C^\infty(U)\to\R\ |\ \partial\text{ Derivation}\}
$$
* Behauptung/Intuition
Es gilt:
$$
T_p U \cong T_p\mathbb R^n
$$
Beweis:
Definiere die duale Abbildung:
$$
\varepsilon^*\colon
\begin{cases}
T_pU &\to T_p\R^n
\\\partial&\mapsto
\begin{cases}
C^\infty(\R^n)&\to C^\infty(U)
\\\varphi&\mapsto\partial(\varphi|_U)
\end{cases}
\end{cases}
$$
Zeige, dass $\varepsilon^*$ ein Isomophismus ist.
Sei
$$
\varepsilon\colon
\begin{cases}
C^\infty(\R^n)&\to C^\infty(U)
\\\varphi&\mapsto\varphi|_U
\end{cases}
$$
$\varepsilon^*$ ist surjektiv:
Sei $\xi\in\R^n$, $\partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. $\varepsilon^*(\underbrace{\partial_{(p, \xi)}}_{\in T_pU})=\partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. Surjektivität ist relativ klar. Gibt es einen Unterschied zwischen $\partial_{(p, \xi)}\in T_pU$ und $\partial_{(p, \xi)}\in T_p\R^n$?
Konstruiere $\tilde{\tilde\varrho}\in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\tilde{\tilde\varrho}=0$ auf $U\setminus V$ und $\tilde{\tilde\varrho}(p)=1$. Es gilt $\tilde{\tilde\varrho}(1-\tilde\varrho)=0$.
