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 \chapter{Über Kurven}
 In diesem Kapitel werden einige Resultate aus der klassischen Theorie der Kurven und Flächen dargestellt. Gelegentlich werden die Darstellungen sehr kompakt erscheinen, sodass wir den Leser auf die Referenz \cite{goetze} verweisen, welche u.a. als grobe Vorlage für dieses Kapitel gedient hat. \cite{goetze} behandelt die klassische Theorie von Kurven und Flächen recht ausgedehnt.
-Wir nutzen hier die Konvention, dass Abbildungen $\varphi: U\to V$ mit $U,V\subset\mb R^n$ als glatt vorausgesetzt werden, sofern nicht anders benannt. Wir arbeiten demnach fast immer mit Abbildungen des Typs $\varphi\in C^\infty$.
+Wir nutzen hier die Konvention, dass Abbildungen $\varphi\colon  U\to V$ mit $U$, $V\subset\mb R^n$ als glatt vorausgesetzt werden, sofern nicht anders benannt. Wir arbeiten demnach fast immer mit Abbildungen des Typs $\varphi\in C^\infty$.
 
 \begin{defn}
-Seien $U,V\subset\mb R^n$. Eine Abbildung $f:U\to V$ heißt Diffeomophismus, wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ glatt sind.
+Seien $U,V\subset\mb R^n$. Eine Abbildung $f\colon U\to V$ heißt Diffeomophismus, wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ glatt sind.
 \label{def_diffmorph}
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Sei $I\subset\mb R$. Eine (glatte) Abbildung $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
+Sei $I\subset\mb R$. Eine (glatte) Abbildung $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
 \label{def_kurve}
 \end{defn}
 
 Ein einfaches Beispiel für eine Kurve $\gamma$ nach Def. \ref{def_kurve} ist 
 \begin{eqnarray}
-\gamma: [0, 2\pi] & \to & \mb R^2 \\
+\gamma\colon  [0, 2\pi] & \to & \mb R^2 \\
 t &\mapsto& (\cos t, \sin t)^T,
 \end{eqnarray}
 welche die Darstellung der Einheitskreislinie nach Def. \ref{def_kurve} ist.
@@ -23,7 +23,7 @@ welche die Darstellung der Einheitskreislinie nach Def. \ref{def_kurve} ist.
 Nachdem wir nun das Objekt Kurve definiert haben, widmen wir uns der ersten geometrischen Größe.
 
 \begin{defn}
-Sei $\gamma:I=[a,b]\to\mb R^n$ eine stetige Kurve. Durch
+Sei $\gamma\colon I=[a,b]\to\mb R^n$ eine stetige Kurve. Durch
 \begin{equation}
 L(\gamma):=\sup_{a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b}\lb \sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)} ~\vert~ n\in\mb N \rb
 \end{equation}
@@ -33,14 +33,14 @@ definieren wir die Länge $L(\gamma)$ einer stetigen Kurve $\gamma$. Ist $L(\gam
 % man kann hier zur Veranschaulichung später eine farbige Grafik von zwei verschiedenen Polygonzügen an eine beliebige Kurve einfügen
 
 \begin{rem}
-Für den Fall, dass $\gamma: I\to\mb R^n$ eine stetige Kurve ist und $I$ (halb-)offen, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle $I'\subset I$
+Für den Fall, dass $\gamma\colon  I\to\mb R^n$ eine stetige Kurve ist und $I$ (halb-)offen, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle $I'\subset I$
 \begin{equation}
 L(\gamma) := \sup_{I'\subset I} \lb L\lt\left. \gamma\right.\vert_{I'}\rt\rb.
 \end{equation}
 \end{rem}
 
 \begin{theo}
-Sei $\gamma:[a,b]=I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve. Dann gilt
+Sei $\gamma\colon [a,b]=I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve. Dann gilt
 \begin{equation}
 L(\gamma) = \int_a^b \norm{\dot\gamma(t)} \mr dt.
 \label{laenge_int}
@@ -55,7 +55,7 @@ Eigentlich reicht für dieses Theorem $\gamma\in C^1$ aus. Unserer Wahl nach ist
 \begin{enumerate}
     \item Die Summe $\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))}$ aus der Defintion \ref{def_laenge} wächst, wenn man die genutzte Partition verfeinert.
     \item Es dürfen abgeschlossene Intervalle $I$ angenommen werden, denn für halb-/offene Intervalle ist die Länge als Supremum über abgeschlossene Teilintervalle definiert.
-    \item Für glatte $\gamma:I\to\mb R^n$ gilt mit $I=[c,d]$ die Abschätzung
+    \item Für glatte $\gamma\colon I\to\mb R^n$ gilt mit $I=[c,d]$ die Abschätzung
     $$ \norm{\gamma(d)-\gamma(c)} \leq (d-c)\sup_{t\in[c,d]} \norm{\dot\gamma(t)}$$
 \end{enumerate}
 Damit folgt nun
@@ -94,20 +94,20 @@ Die Länge einer Kurve sollte eine geometrische Größe bilden, d.h. sie sollte
 
 \section{Parametrisierungen}
 \begin{defn}
-Seien $I,J\subset\mb R$, $\gamma:I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve und $\varphi:I\to J$ eine glatte bijektive Abbildung mit glattem $\varphi^{-1}$. Dann ist auch $\tilde\gamma:=\gamma\circ\varphi^{-1}$ eine glatte Kurve und wird Umparametrisierung von $\gamma$ genannt.
+Seien $I,J\subset\mb R$, $\gamma\colon I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve und $\varphi\colon I\to J$ eine glatte bijektive Abbildung mit glattem $\varphi^{-1}$. Dann ist auch $\tilde\gamma:=\gamma\circ\varphi^{-1}$ eine glatte Kurve und wird Umparametrisierung von $\gamma$ genannt.
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
 Intuitiv denkt man, dass geometrische Eigenschaften von $\gamma$ und $\tilde\gamma$ wie z.B. die Längen gleich sein müssen, also $L(\gamma)=L(\tilde\gamma)$ gelten muss. Dies liegt daran, dass die selbe geometrische Kurve $\mc C\subset\mb R^n$ in den Darstellungen $\gamma$ und $\tilde\gamma$ anders durchlaufen wird.
 \end{rem}
 
-Aus den Voraussetzungen an $\varphi$ folgt, dass für das Innere von $I$ entweder $\varphi' > 0$ oder $\varphi' < 0$ gilt. Im ersten Fall heißt $\varphi$ orientierungserhaltend und im letzteren Fall nennt man $\varphi$ orientierungsumkehrend. Wir beobachten noch folgende Relation. Ist $\dot\gamma(t_0)=0$ und $\varphi:I\to J$ eine Umparametrisierung, dann ist
+Aus den Voraussetzungen an $\varphi$ folgt, dass für das Innere von $I$ entweder $\varphi' > 0$ oder $\varphi' < 0$ gilt. Im ersten Fall heißt $\varphi$ orientierungserhaltend und im letzteren Fall nennt man $\varphi$ orientierungsumkehrend. Wir beobachten noch folgende Relation. Ist $\dot\gamma(t_0)=0$ und $\varphi\colon I\to J$ eine Umparametrisierung, dann ist
 \begin{equation}
 \frac{\rm d}{\rm dt} \lt \gamma\circ\varphi^{-1} \rt \lt \varphi\lt t_0 \rt \rt = 0.
 \end{equation}
 
 \begin{defn}
-Eine Kurve $\gamma: I\to\mb R^n$ heißt regulär, wenn $\dot\gamma(t)\neq 0 ~\forall t\in I$.
+Eine Kurve $\gamma\colon  I\to\mb R^n$ heißt regulär, wenn $\dot\gamma(t)\neq 0 ~\forall t\in I$.
 \label{def_reg}
 \end{defn}
 
@@ -125,7 +125,7 @@ Aus den Beispielen ist ersichtlich, dass die Forderung nach Regularität eine ec
 \end{rem}
 
 \begin{defn}
-Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt Frenet-regulär, wenn die Vektoren $\gamma^{(i)}(t)$ mit $1\leq i \leq n-1$ für alle $t\in I$ linear unabhängig sind.
+Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt Frenet-regulär, wenn die Vektoren $\gamma^{(i)}(t)$ mit $1\leq i \leq n-1$ für alle $t\in I$ linear unabhängig sind.
 \label{def_frenet_reg}
 \end{defn}
 
@@ -153,12 +153,12 @@ Nach den Gleichungen im Gram-Schmidt-Verfahren hängt das System $\lb e_i \rb_{i
 \end{rem}
 
 \begin{defn}
-Sei $\gamma: I\to\mb R^n$ eine Frenet-Kurve. Das (begleitende) Frenet-$n$-Bein von $\gamma$ ist die (glatte) Familie von Vektoren $e_i:I\to\mb R^n$ mit $1\leq i\leq n$, die durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Familie $\lb \gamma^{(i)}(t) \rb_{i=1}^{n-1}$ für $t\in I$ folgt.
+Sei $\gamma\colon  I\to\mb R^n$ eine Frenet-Kurve. Das (begleitende) Frenet-$n$-Bein von $\gamma$ ist die (glatte) Familie von Vektoren $e_i\colon I\to\mb R^n$ mit $1\leq i\leq n$, die durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Familie $\lb \gamma^{(i)}(t) \rb_{i=1}^{n-1}$ für $t\in I$ folgt.
 \label{def_begleitendes_bein}
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn $\norm{\dot\gamma(t)}=1 ~\forall t\in I$.
+Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn $\norm{\dot\gamma(t)}=1 ~\forall t\in I$.
 \label{def_bogenpara}
 \end{defn}
 
@@ -166,17 +166,17 @@ Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn $\n
 Im Fall von Def. \eqref{def_bogenpara} gilt für $a,b\in I$ mit $a<b$ die Gleichheit $L\lt \left. \gamma\right\vert_{[a,b]} \rt=b-a$
 \end{rem}
 
-Wenn $\gamma:I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)>0~\forall t\in I}$, dann ist die Abbildung
+Wenn $\gamma\colon I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)>0~\forall t\in I}$, dann ist die Abbildung
 \begin{eqnarray}
-s:[c,d] &\to & [0, L(\gamma)] \\
+s\colon [c,d] &\to & [0, L(\gamma)] \\
 s(t) &=&\int_c^t\norm{\dot\gamma(\tau)} {\rm d}\tau = L\lt \left. \gamma\right\vert_{[c,t]} \rt
 \end{eqnarray}
 eine Umparametrisierung. Dies bedeutet, dass jede reguläre Kurve eine orieentierte Umparametrisierung nach Bogenlänge besitzt. Bis auf Verschiebungen ist diese eindeutig.\\
 
-Wir beobachten eine wichtige Relation. Die Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ ist nach Bogenlänge parametrisiert genau dann, wenn $e_1(t)=\dot\gamma(t)~\forall t\in I$. Ist $\gamma$ nun nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt zunächst $1=\norm{\dot\gamma(t)}^2=\bra \dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\ket$. Ableitung beider Seiten gibt dann die Gleichung $0=2\bra \ddot\gamma(t), \dot\gamma(t) \ket=0$, also die Orthogonalität von $\dot\gamma(t)$ und $\ddot\gamma(t)$. Für den speziellen Fall von $n=2$ folgt die Beziehung $\ddot\gamma(t)=\kappa(t) e_2(t)$, wobei $\kappa:I\to\mb R$ zunächst eine reellwertige Koeffizientenfunktion ist.
+Wir beobachten eine wichtige Relation. Die Kurve $\gamma\colon I\to\mb R^n$ ist nach Bogenlänge parametrisiert genau dann, wenn $e_1(t)=\dot\gamma(t)~\forall t\in I$. Ist $\gamma$ nun nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt zunächst $1=\norm{\dot\gamma(t)}^2=\bra \dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\ket$. Ableitung beider Seiten gibt dann die Gleichung $0=2\bra \ddot\gamma(t), \dot\gamma(t) \ket=0$, also die Orthogonalität von $\dot\gamma(t)$ und $\ddot\gamma(t)$. Für den speziellen Fall von $n=2$ folgt die Beziehung $\ddot\gamma(t)=\kappa(t) e_2(t)$, wobei $\kappa\colon I\to\mb R$ zunächst eine reellwertige Koeffizientenfunktion ist.
 
 \begin{defn}
-Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ nach Bogenlänge parametrisiert. Dann heißt die (eindeutig bestimmte) Funktion $\kappa:I\to\mb R$ mit $\ddot\gamma(t)=\kappa(t)e_2(t)$ die Krümmung von $\gamma$.
+Sei $\gamma\colon I\to\mb R^n$ nach Bogenlänge parametrisiert. Dann heißt die (eindeutig bestimmte) Funktion $\kappa\colon I\to\mb R$ mit $\ddot\gamma(t)=\kappa(t)e_2(t)$ die Krümmung von $\gamma$.
 \label{def_kruemmung}
 \end{defn}
 
@@ -196,7 +196,7 @@ Aus diesen Gleichungen extrahiert man leicht die konstante Krümmung $\kappa=\fr
 \end{bsp}
 
 \begin{theo}{(Satz von Frenet, Hauptsatz der Kurventheorie)}
-Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Dann existieren (glatte) Funktionen $\kappa_1,\ldots,\kappa_{n-2}:I\to\mb R^+\setminus\lb 0\rb$ und $\kappa_{n-1}:I\to\mb R$, sodass das begleitende Frenet-$n$-Bein $\lb e_i \rb_{i=1}^{n}$ folgende Differentialgleichungen erfüllt:
+Sei $\gamma\colon I\to\mb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Dann existieren (glatte) Funktionen $\kappa_1,\ldots,\kappa_{n-2}\colon I\to\mb R^+\setminus\lb 0\rb$ und $\kappa_{n-1}\colon I\to\mb R$, sodass das begleitende Frenet-$n$-Bein $\lb e_i \rb_{i=1}^{n}$ folgende Differentialgleichungen erfüllt:
 \begin{eqnarray}
 \dot e_1 &=& \kappa_1 e_2 \\
 \dot e_i &=& \kappa_i e_{i+1} - \kappa_{i-1}e_{i-1}, ~ i\in\lb 2,\ldots, n-1 \rb \\
@@ -204,7 +204,7 @@ Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Dan
 \end{eqnarray}
 Die $\lb \kappa_i\rb_{i=1}^{n-1}$ heißen Frenet-Krümmungen von $\gamma$. \\
 
-Umgekehrt seien $t_0\in\mb R, p\in\mb R^n$ gegeben, sowie eine positiv orientierte ONB $\lb e_i^{(0)} \rb_{i=1}^n$ in $\mb R^n$ und glatte Funktionen $\kappa_1,\ldots, \kappa_{n-2}:[t_0, d]\to (0, \infty)$ und $\kappa_{n-1}:[t_0, d]\to\mb R$ gegeben. Dann existiert genau eine Frenet-$n$-Kurve $\gamma:[t_0, d]\to\mb R^n$ mit Krümmungen $\kappa_1, \kappa_{n-1}$, $\gamma(t_0)=p, ~e_i(t_0)=e_i^{(0)} ~\forall i\in\lb 1,\ldots, n \rb$.
+Umgekehrt seien $t_0\in\mb R, p\in\mb R^n$ gegeben, sowie eine positiv orientierte ONB $\lb e_i^{(0)} \rb_{i=1}^n$ in $\mb R^n$ und glatte Funktionen $\kappa_1,\ldots, \kappa_{n-2}\colon [t_0, d]\to (0, \infty)$ und $\kappa_{n-1}\colon [t_0, d]\to\mb R$ gegeben. Dann existiert genau eine Frenet-$n$-Kurve $\gamma\colon [t_0, d]\to\mb R^n$ mit Krümmungen $\kappa_1, \kappa_{n-1}$, $\gamma(t_0)=p, ~e_i(t_0)=e_i^{(0)} ~\forall i\in\lb 1,\ldots, n \rb$.
 \end{theo}
 
 \begin{proof}
@@ -247,7 +247,7 @@ Die Eindeutigkeit der Kurve für geg. $\gamma(t_0), e_i(t_0), \kappa_1,\ldots, \
 \end{proof}
 
 \section{Kurven in der Ebene}
-Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine reguläre Frenet-Kurve im Fall $n=2$, die nach Bogenlänge parametrisiert ist und bezeichnen $e_1,e_2$ die Frenet-2-Basis. Aus der Frenet-Gleichung wissen wie, dass $\dot e_1=\kappa e_e$ gilt. Sei nun $t_0\in I$. Wir interessieren uns für eine geometrische Interpretation von $\kappa(t_0)$. Da $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist, ist $\norm{\dot\gamma(t)}=1$ und damit $\dot\gamma(t)=e_1(t)$ und $\ddot\gamma(t)=e_2(t)$.
+Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre Frenet-Kurve im Fall $n=2$, die nach Bogenlänge parametrisiert ist und bezeichnen $e_1,e_2$ die Frenet-2-Basis. Aus der Frenet-Gleichung wissen wie, dass $\dot e_1=\kappa e_e$ gilt. Sei nun $t_0\in I$. Wir interessieren uns für eine geometrische Interpretation von $\kappa(t_0)$. Da $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist, ist $\norm{\dot\gamma(t)}=1$ und damit $\dot\gamma(t)=e_1(t)$ und $\ddot\gamma(t)=e_2(t)$.
 
 \begin{prop}
 Sei $\gamma$ wie vorig beschrieben mit $\gamma(t_0)\neq 0$. Der Kreis mit Mittelpunkt $\gamma(t_0)+\frac{e_2(t_0)}{\kappa(t_0)}$ und Radius $\frac{1}{\kappa(t_0)}$ ist eindeutig bestimmt und approximiert die Kurve $\gamma$ im Punkt $\gamma(t_0)$ bis zurr zweiten Ordnung.
@@ -261,12 +261,12 @@ Der eben benannte Kreis wird Schmiegkreis von $\gamma$ and $\gamma(t_0)$ genannt
 \label{def_schmiegkreis}
 \end{defn}
 
-Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\simeq\mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\simeq \mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
+Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\simeq\mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\simeq \mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
 
 \begin{defn}
 Die Abbildung 
 \begin{eqnarray}
-\alpha:&I\to\mb R & \\
+\alpha\colon &I\to\mb R & \\
 t&\mapsto&\alpha_0 + \int_{t_0}^{t}\kappa(\tau)\mr d\tau
 \end{eqnarray}
 heißt Winkel von $\gamma$.
@@ -288,21 +288,21 @@ Wir wissen, dass $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha(t_0) \rt$. Es ist ausreichend
 \end{proof}
 
 \begin{defn}
-Eine Kurve $\gamma:I=[a,b]\to\mb R^2$ mit $\gamma^{(j)}(a)=\gamma^{(j)}(b)$ für $j\in\mb N$ heißt geschlossene Kurve.
+Eine Kurve $\gamma\colon I=[a,b]\to\mb R^2$ mit $\gamma^{(j)}(a)=\gamma^{(j)}(b)$ für $j\in\mb N$ heißt geschlossene Kurve.
 \label{def_geschl_kurve}
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Die Umlaufzahl einer geschlossenen nach Bogenlänge parametrisierten Kurve $\gamma:I=[a,b]\to\mb R^n$ ist definiert als
+Die Umlaufzahl einer geschlossenen nach Bogenlänge parametrisierten Kurve $\gamma\colon I=[a,b]\to\mb R^n$ ist definiert als
 \begin{equation}
 n_\gamma := \frac{1}{2\pi} \int_a^b \kappa(\tau) \mr d\tau.
 \end{equation}
 \label{def_umlaufzahl}
 \end{defn}
-Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Wikipedia}. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma:[a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt  = \exp\lt i\alpha(b) \rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in 2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
+Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Wikipedia}. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt  = \exp\lt i\alpha(b) \rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in 2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
 
 \begin{defn}
-Eine geschlossene Kuve $\gamma:[a,b]\to\mb R^n$ heißt einfach geschlossen, wenn
+Eine geschlossene Kuve $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^n$ heißt einfach geschlossen, wenn
 \begin{eqnarray}
 \gamma(t) &=& \gamma(t') ~\forall t,t'\in (a,b) \\
 \gamma(t) &\neq& \gamma(a) ~\forall t\in (a,b).
@@ -318,7 +318,7 @@ Die Umlaufzahl einer einfach geschlossenen Kurve ist $\pm 1$.
 \end{proof}
 
 \section{Isoperimetrische Ungleichung}
-Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine einfach geschlossene Kurve und $\Omega\subset\mb R^2$ ein Gebiet mit $\partial\Omega=\gamma(I)$. Unterdiesen Bedingungen gilt die isoperimetrische Ungleichung
+Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine einfach geschlossene Kurve und $\Omega\subset\mb R^2$ ein Gebiet mit $\partial\Omega=\gamma(I)$. Unterdiesen Bedingungen gilt die isoperimetrische Ungleichung
 \begin{equation}
 \int_\Omega \mr dx \mr dy =:A(\Omega) \leq \frac{1}{4\pi} L(\gamma)^2.
 \end{equation}
@@ -368,7 +368,7 @@ und damit die Behauptung $A(\Omega)\leq\frac{L(\gamma)^2r^2}{4\pi r^2} = \frac{L
 
 \section{Satz von Green/Stokes}
 \begin{theo}
-Sei $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetige Kurve, welche das beschränkte Gebiet $\Omega$ derart berandet, sodass das Frenet-2-Bein von $\gamma$ positiv orientiert ist. Seien weiterhin $p,q:\bar\Omega\to\mb R$ glatte Abbildungen. Dann gilt
+Sei $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetige Kurve, welche das beschränkte Gebiet $\Omega$ derart berandet, sodass das Frenet-2-Bein von $\gamma$ positiv orientiert ist. Seien weiterhin $p$, $q\colon \bar\Omega\to\mb R$ glatte Abbildungen. Dann gilt
 \begin{equation}
 \int_\gamma p(x,y)\mr dx + q(x,y)\mr d y = \int_\Omega \lt \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} \rt (x,y) \mr dx\mr d
 \end{equation}

diffgeoI/chapters/chapter_3.tex

@@ -6,35 +6,35 @@
 (eine VL fehlt hier)
 % =======================================
 
-Notation: $u^i:\mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x: U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.
+Notation: $u^i\colon \mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x\colon  U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.
 
 \begin{defn}
-Eine Fuktion $f:M\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}: x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
+Eine Fuktion $f\colon M\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}\colon  x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
-Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb :M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
+Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb f \colon M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
 \end{rem}
 
 \begin{defn}
-Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f:M\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$  von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}:x(U)\to y(V)$ glatt ist.
+Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f\colon M\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$  von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}\colon x(U)\to y(V)$ glatt ist.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f:A\to N$ ist fortsetzbar, wenn $\exists W\supset A$, $\bar{f}:W\to N$ glatt, s.d. $\left.\bar{f}\right\vert_{A}=f$. $C^\infty(A,N)=\lb f:A\to N ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$. 
+Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f\colon A\to N$ ist fortsetzbar, wenn $\exists W\supset A$, $\bar{f}\colon W\to N$ glatt, s.d. $\left.\bar{f}\right\vert_{A}=f$. $C^\infty(A,N)=\lb f\colon A\to N ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$. 
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Seien $M,N$ MF. $f:M\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):= \lb f:M\to N ~\vert~ f {\rm DM} \rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$. 
+Seien $M,N$ MF. $f\colon M\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):= \lb f\colon M\to N ~\vert~ f {\rm DM} \rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$. 
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
-Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x:U\to x(U)$ DM.
+Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x\colon U\to x(U)$ DM.
 \end{rem}
 Wir wollen nun den Tangentialraum $T_pM$ fuer $p\in M$ definieren. Eine hilfreiche Einbettung $M\hookrightarrow\mb R^n$ haben wir diesmal nicht.
 
 \begin{defn}
-Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f:U\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt} \rb$
+Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f\colon U\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt} \rb$
 \end{defn}
 \begin{rem}
 Wir beobachten $C^\infty_{0, p} \trianglelefteq C^\infty(U)$ ist Ideal. Aus $f\in C^\infty_{0, p},~ g\in C^\infty(U)$ folgt $fg\in C^\infty_{0, p}$.
@@ -49,7 +49,7 @@ Ein Funktionenkeim an $p$ ist somit die Aequivalenzklasse glatter Funktionen in
 % hier stand eine erinnerung an TV im Rn
 
 \begin{defn}
-Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v:C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p) + f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
+Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v\colon C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p) + f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}\label{bsp:tangentialvektoren-koord}
@@ -70,7 +70,7 @@ Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dan
 \end{lem}
 
 \begin{proof}
-Sei $p\in V$, $C:[0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C: [0,1]\to\mb R$ glatt.
+Sei $p\in V$, $C\colon [0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C\colon  [0,1]\to\mb R$ glatt.
 \begin{eqnarray}
 \varphi(1)-\varphi(0) &=& \int_0^1 \varphi'(t) {\rm d}t \\
                       &=& \sum_{i=1}^{n} \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial u^i}(tp)p_i {\rm d}t \\
@@ -109,11 +109,11 @@ Damit ist die Basiswechselmatrix von $\lb\frac{\partial}{\partial x^i}\rb_{i=1}^
 Das liefert folgende Alternativdefinition des Tangentialraumes $T_pM := \lb [(U,x), \xi] ~\vert~ \xi\in\mb R^n, (U,x)~{\rm Karte~um~}p, \lt (U,x),\xi\rt\sim\lt (V,y), \eta\rt:\iff D_{y(p)}\lt x\circ y\rt^{-1}\xi=\eta \rb$
 
 \begin{defn}
-Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Dann definiert man die Pullbackabildung $f^\ast:C^\infty(N)\to C^\infty(N),~ \varphi\mapsto \varphi\circ f$.
+Seien $M,N$ MF und $f\colon M\to N$ glatt. Dann definiert man die Pullbackabildung $f^\ast\colon C^\infty(N)\to C^\infty(N),~ \varphi\mapsto \varphi\circ f$.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\in M$ ist die lineare Abbildung
+Seien $M,N$ MF und $f\colon M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\in M$ ist die lineare Abbildung
 \[
 D_p f = f_{*,p}\colon T_p M\to T_p N,
 \]
@@ -134,7 +134,7 @@ Nach wie vor gilt die Kettenregel aus der Analysis: $D_p(g\circ f) = D_{f(p)}g\c
 \end{rem}
 
 \begin{defn}
-Sei $M$ eine MF und $f:M\to\mb R,~p\in M$. Das Differential von $f$ an $p$ ist ${\rm d}f(p):T_pM\to\mb R, ~v\mapsto v(f)$.
+Sei $M$ eine MF und $f\colon M\to\mb R$, $p\in M$. Das Differential von $f$ an $p$ ist ${\rm d}f(p):T_pM\to\mb R$, $v\mapsto v(f)$.
 \end{defn}
 Man sieht, dass ${\rm d}f(p)$ linear ist, also Element vom Kotangentialraum $\lt T_pM\rt^\ast=: T^\ast_pM$.