In diesem Kapitel werden einige Resultate aus der klassischen Theorie der Kurven und Flächen dargestellt. Gelegentlich werden die Darstellungen sehr kompakt erscheinen, sodass wir den Leser auf die Referenz \cite{goetze} verweisen, welche u.a. als grobe Vorlage für dieses Kapitel gedient hat. \cite{goetze} behandelt die klassische Theorie von Kurven und Flächen recht ausgedehnt.
Wir nutzen hier die Konvention, dass Abbildungen $\varphi: U\to V$ mit $U,V\subset\mb R^n$ als glatt vorausgesetzt werden, sofern nicht anders benannt. Wir arbeiten demnach fast immer mit Abbildungen des Typs $\varphi\in C^\infty$.
Wir nutzen hier die Konvention, dass Abbildungen $\varphi\colon U\to V$ mit $U$, $V\subset\mb R^n$ als glatt vorausgesetzt werden, sofern nicht anders benannt. Wir arbeiten demnach fast immer mit Abbildungen des Typs $\varphi\in C^\infty$.
\begin{defn}
Seien $U,V\subset\mb R^n$. Eine Abbildung $f:U\to V$ heißt Diffeomophismus, wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ glatt sind.
Seien $U,V\subset\mb R^n$. Eine Abbildung $f\colonU\to V$ heißt Diffeomophismus, wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ glatt sind.
\label{def_diffmorph}
\end{defn}
\begin{defn}
Sei $I\subset\mb R$. Eine (glatte) Abbildung $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
Sei $I\subset\mb R$. Eine (glatte) Abbildung $\gamma\colonI\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
\label{def_kurve}
\end{defn}
Ein einfaches Beispiel für eine Kurve $\gamma$ nach Def. \ref{def_kurve} ist
\begin{eqnarray}
\gamma: [0, 2\pi] &\to&\mb R^2 \\
\gamma\colon [0, 2\pi] &\to&\mb R^2 \\
t &\mapsto& (\cos t, \sin t)^T,
\end{eqnarray}
welche die Darstellung der Einheitskreislinie nach Def. \ref{def_kurve} ist.
...
...
@@ -23,7 +23,7 @@ welche die Darstellung der Einheitskreislinie nach Def. \ref{def_kurve} ist.
Nachdem wir nun das Objekt Kurve definiert haben, widmen wir uns der ersten geometrischen Größe.
\begin{defn}
Sei $\gamma:I=[a,b]\to\mb R^n$ eine stetige Kurve. Durch
Sei $\gamma\colonI=[a,b]\to\mb R^n$ eine stetige Kurve. Durch
\begin{equation}
L(\gamma):=\sup_{a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b}\lb\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)} ~\vert~ n\in\mb N \rb
\end{equation}
...
...
@@ -33,14 +33,14 @@ definieren wir die Länge $L(\gamma)$ einer stetigen Kurve $\gamma$. Ist $L(\gam
% man kann hier zur Veranschaulichung später eine farbige Grafik von zwei verschiedenen Polygonzügen an eine beliebige Kurve einfügen
\begin{rem}
Für den Fall, dass $\gamma: I\to\mb R^n$ eine stetige Kurve ist und $I$ (halb-)offen, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle $I'\subset I$
Für den Fall, dass $\gamma\colon I\to\mb R^n$ eine stetige Kurve ist und $I$ (halb-)offen, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle $I'\subset I$
Sei $\gamma:[a,b]=I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve. Dann gilt
Sei $\gamma\colon[a,b]=I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve. Dann gilt
\begin{equation}
L(\gamma) = \int_a^b \norm{\dot\gamma(t)}\mr dt.
\label{laenge_int}
...
...
@@ -55,7 +55,7 @@ Eigentlich reicht für dieses Theorem $\gamma\in C^1$ aus. Unserer Wahl nach ist
\begin{enumerate}
\item Die Summe $\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))}$ aus der Defintion \ref{def_laenge} wächst, wenn man die genutzte Partition verfeinert.
\item Es dürfen abgeschlossene Intervalle $I$ angenommen werden, denn für halb-/offene Intervalle ist die Länge als Supremum über abgeschlossene Teilintervalle definiert.
\item Für glatte $\gamma:I\to\mb R^n$ gilt mit $I=[c,d]$ die Abschätzung
\item Für glatte $\gamma\colonI\to\mb R^n$ gilt mit $I=[c,d]$ die Abschätzung
@@ -94,20 +94,20 @@ Die Länge einer Kurve sollte eine geometrische Größe bilden, d.h. sie sollte
\section{Parametrisierungen}
\begin{defn}
Seien $I,J\subset\mb R$, $\gamma:I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve und $\varphi:I\to J$ eine glatte bijektive Abbildung mit glattem $\varphi^{-1}$. Dann ist auch $\tilde\gamma:=\gamma\circ\varphi^{-1}$ eine glatte Kurve und wird Umparametrisierung von $\gamma$ genannt.
Seien $I,J\subset\mb R$, $\gamma\colonI\to\mb R^n$ eine glatte Kurve und $\varphi\colonI\to J$ eine glatte bijektive Abbildung mit glattem $\varphi^{-1}$. Dann ist auch $\tilde\gamma:=\gamma\circ\varphi^{-1}$ eine glatte Kurve und wird Umparametrisierung von $\gamma$ genannt.
\end{defn}
\begin{rem}
Intuitiv denkt man, dass geometrische Eigenschaften von $\gamma$ und $\tilde\gamma$ wie z.B. die Längen gleich sein müssen, also $L(\gamma)=L(\tilde\gamma)$ gelten muss. Dies liegt daran, dass die selbe geometrische Kurve $\mc C\subset\mb R^n$ in den Darstellungen $\gamma$ und $\tilde\gamma$ anders durchlaufen wird.
\end{rem}
Aus den Voraussetzungen an $\varphi$ folgt, dass für das Innere von $I$ entweder $\varphi' > 0$ oder $\varphi' < 0$ gilt. Im ersten Fall heißt $\varphi$ orientierungserhaltend und im letzteren Fall nennt man $\varphi$ orientierungsumkehrend. Wir beobachten noch folgende Relation. Ist $\dot\gamma(t_0)=0$ und $\varphi:I\to J$ eine Umparametrisierung, dann ist
Aus den Voraussetzungen an $\varphi$ folgt, dass für das Innere von $I$ entweder $\varphi' > 0$ oder $\varphi' < 0$ gilt. Im ersten Fall heißt $\varphi$ orientierungserhaltend und im letzteren Fall nennt man $\varphi$ orientierungsumkehrend. Wir beobachten noch folgende Relation. Ist $\dot\gamma(t_0)=0$ und $\varphi\colonI\to J$ eine Umparametrisierung, dann ist
Eine Kurve $\gamma: I\to\mb R^n$ heißt regulär, wenn $\dot\gamma(t)\neq0 ~\forall t\in I$.
Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt regulär, wenn $\dot\gamma(t)\neq0 ~\forall t\in I$.
\label{def_reg}
\end{defn}
...
...
@@ -125,7 +125,7 @@ Aus den Beispielen ist ersichtlich, dass die Forderung nach Regularität eine ec
\end{rem}
\begin{defn}
Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt Frenet-regulär, wenn die Vektoren $\gamma^{(i)}(t)$ mit $1\leq i \leq n-1$ für alle $t\in I$ linear unabhängig sind.
Eine Kurve $\gamma\colonI\to\mb R^n$ heißt Frenet-regulär, wenn die Vektoren $\gamma^{(i)}(t)$ mit $1\leq i \leq n-1$ für alle $t\in I$ linear unabhängig sind.
\label{def_frenet_reg}
\end{defn}
...
...
@@ -153,12 +153,12 @@ Nach den Gleichungen im Gram-Schmidt-Verfahren hängt das System $\lb e_i \rb_{i
\end{rem}
\begin{defn}
Sei $\gamma: I\to\mb R^n$ eine Frenet-Kurve. Das (begleitende) Frenet-$n$-Bein von $\gamma$ ist die (glatte) Familie von Vektoren $e_i:I\to\mb R^n$ mit $1\leq i\leq n$, die durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Familie $\lb\gamma^{(i)}(t)\rb_{i=1}^{n-1}$ für $t\in I$ folgt.
Sei $\gamma\colon I\to\mb R^n$ eine Frenet-Kurve. Das (begleitende) Frenet-$n$-Bein von $\gamma$ ist die (glatte) Familie von Vektoren $e_i\colonI\to\mb R^n$ mit $1\leq i\leq n$, die durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Familie $\lb\gamma^{(i)}(t)\rb_{i=1}^{n-1}$ für $t\in I$ folgt.
\label{def_begleitendes_bein}
\end{defn}
\begin{defn}
Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn $\norm{\dot\gamma(t)}=1 ~\forall t\in I$.
Eine Kurve $\gamma\colonI\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn $\norm{\dot\gamma(t)}=1 ~\forall t\in I$.
\label{def_bogenpara}
\end{defn}
...
...
@@ -166,17 +166,17 @@ Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn $\n
Im Fall von Def. \eqref{def_bogenpara} gilt für $a,b\in I$ mit $a<b$ die Gleichheit $L\lt\left. \gamma\right\vert_{[a,b]}\rt=b-a$
\end{rem}
Wenn $\gamma:I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)>0~\forall t\in I}$, dann ist die Abbildung
Wenn $\gamma\colonI\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)>0~\forall t\in I}$, dann ist die Abbildung
eine Umparametrisierung. Dies bedeutet, dass jede reguläre Kurve eine orieentierte Umparametrisierung nach Bogenlänge besitzt. Bis auf Verschiebungen ist diese eindeutig.\\
Wir beobachten eine wichtige Relation. Die Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ ist nach Bogenlänge parametrisiert genau dann, wenn $e_1(t)=\dot\gamma(t)~\forall t\in I$. Ist $\gamma$ nun nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt zunächst $1=\norm{\dot\gamma(t)}^2=\bra\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\ket$. Ableitung beider Seiten gibt dann die Gleichung $0=2\bra\ddot\gamma(t), \dot\gamma(t)\ket=0$, also die Orthogonalität von $\dot\gamma(t)$ und $\ddot\gamma(t)$. Für den speziellen Fall von $n=2$ folgt die Beziehung $\ddot\gamma(t)=\kappa(t) e_2(t)$, wobei $\kappa:I\to\mb R$ zunächst eine reellwertige Koeffizientenfunktion ist.
Wir beobachten eine wichtige Relation. Die Kurve $\gamma\colonI\to\mb R^n$ ist nach Bogenlänge parametrisiert genau dann, wenn $e_1(t)=\dot\gamma(t)~\forall t\in I$. Ist $\gamma$ nun nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt zunächst $1=\norm{\dot\gamma(t)}^2=\bra\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\ket$. Ableitung beider Seiten gibt dann die Gleichung $0=2\bra\ddot\gamma(t), \dot\gamma(t)\ket=0$, also die Orthogonalität von $\dot\gamma(t)$ und $\ddot\gamma(t)$. Für den speziellen Fall von $n=2$ folgt die Beziehung $\ddot\gamma(t)=\kappa(t) e_2(t)$, wobei $\kappa\colonI\to\mb R$ zunächst eine reellwertige Koeffizientenfunktion ist.
\begin{defn}
Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ nach Bogenlänge parametrisiert. Dann heißt die (eindeutig bestimmte) Funktion $\kappa:I\to\mb R$ mit $\ddot\gamma(t)=\kappa(t)e_2(t)$ die Krümmung von $\gamma$.
Sei $\gamma\colonI\to\mb R^n$ nach Bogenlänge parametrisiert. Dann heißt die (eindeutig bestimmte) Funktion $\kappa\colonI\to\mb R$ mit $\ddot\gamma(t)=\kappa(t)e_2(t)$ die Krümmung von $\gamma$.
\label{def_kruemmung}
\end{defn}
...
...
@@ -196,7 +196,7 @@ Aus diesen Gleichungen extrahiert man leicht die konstante Krümmung $\kappa=\fr
\end{bsp}
\begin{theo}{(Satz von Frenet, Hauptsatz der Kurventheorie)}
Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Dann existieren (glatte) Funktionen $\kappa_1,\ldots,\kappa_{n-2}:I\to\mb R^+\setminus\lb0\rb$ und $\kappa_{n-1}:I\to\mb R$, sodass das begleitende Frenet-$n$-Bein $\lb e_i \rb_{i=1}^{n}$ folgende Differentialgleichungen erfüllt:
Sei $\gamma\colonI\to\mb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Dann existieren (glatte) Funktionen $\kappa_1,\ldots,\kappa_{n-2}\colonI\to\mb R^+\setminus\lb0\rb$ und $\kappa_{n-1}\colonI\to\mb R$, sodass das begleitende Frenet-$n$-Bein $\lb e_i \rb_{i=1}^{n}$ folgende Differentialgleichungen erfüllt:
@@ -204,7 +204,7 @@ Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Dan
\end{eqnarray}
Die $\lb\kappa_i\rb_{i=1}^{n-1}$ heißen Frenet-Krümmungen von $\gamma$. \\
Umgekehrt seien $t_0\in\mb R, p\in\mb R^n$ gegeben, sowie eine positiv orientierte ONB $\lb e_i^{(0)}\rb_{i=1}^n$ in $\mb R^n$ und glatte Funktionen $\kappa_1,\ldots, \kappa_{n-2}:[t_0, d]\to(0, \infty)$ und $\kappa_{n-1}:[t_0, d]\to\mb R$ gegeben. Dann existiert genau eine Frenet-$n$-Kurve $\gamma:[t_0, d]\to\mb R^n$ mit Krümmungen $\kappa_1, \kappa_{n-1}$, $\gamma(t_0)=p, ~e_i(t_0)=e_i^{(0)} ~\forall i\in\lb1,\ldots, n \rb$.
Umgekehrt seien $t_0\in\mb R, p\in\mb R^n$ gegeben, sowie eine positiv orientierte ONB $\lb e_i^{(0)}\rb_{i=1}^n$ in $\mb R^n$ und glatte Funktionen $\kappa_1,\ldots, \kappa_{n-2}\colon[t_0, d]\to(0, \infty)$ und $\kappa_{n-1}\colon[t_0, d]\to\mb R$ gegeben. Dann existiert genau eine Frenet-$n$-Kurve $\gamma\colon[t_0, d]\to\mb R^n$ mit Krümmungen $\kappa_1, \kappa_{n-1}$, $\gamma(t_0)=p, ~e_i(t_0)=e_i^{(0)} ~\forall i\in\lb1,\ldots, n \rb$.
\end{theo}
\begin{proof}
...
...
@@ -247,7 +247,7 @@ Die Eindeutigkeit der Kurve für geg. $\gamma(t_0), e_i(t_0), \kappa_1,\ldots, \
\end{proof}
\section{Kurven in der Ebene}
Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine reguläre Frenet-Kurve im Fall $n=2$, die nach Bogenlänge parametrisiert ist und bezeichnen $e_1,e_2$ die Frenet-2-Basis. Aus der Frenet-Gleichung wissen wie, dass $\dot e_1=\kappa e_e$ gilt. Sei nun $t_0\in I$. Wir interessieren uns für eine geometrische Interpretation von $\kappa(t_0)$. Da $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist, ist $\norm{\dot\gamma(t)}=1$ und damit $\dot\gamma(t)=e_1(t)$ und $\ddot\gamma(t)=e_2(t)$.
Sei $\gamma\colonI\to\mb R^2$ eine reguläre Frenet-Kurve im Fall $n=2$, die nach Bogenlänge parametrisiert ist und bezeichnen $e_1,e_2$ die Frenet-2-Basis. Aus der Frenet-Gleichung wissen wie, dass $\dot e_1=\kappa e_e$ gilt. Sei nun $t_0\in I$. Wir interessieren uns für eine geometrische Interpretation von $\kappa(t_0)$. Da $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist, ist $\norm{\dot\gamma(t)}=1$ und damit $\dot\gamma(t)=e_1(t)$ und $\ddot\gamma(t)=e_2(t)$.
\begin{prop}
Sei $\gamma$ wie vorig beschrieben mit $\gamma(t_0)\neq0$. Der Kreis mit Mittelpunkt $\gamma(t_0)+\frac{e_2(t_0)}{\kappa(t_0)}$ und Radius $\frac{1}{\kappa(t_0)}$ ist eindeutig bestimmt und approximiert die Kurve $\gamma$ im Punkt $\gamma(t_0)$ bis zurr zweiten Ordnung.
...
...
@@ -261,12 +261,12 @@ Der eben benannte Kreis wird Schmiegkreis von $\gamma$ and $\gamma(t_0)$ genannt
\label{def_schmiegkreis}
\end{defn}
Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\simeq\mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\simeq\mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma\colonI\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\simeq\mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\simeq\mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Wikipedia}. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma:[a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt=\exp\lt i\alpha(b)\rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Wikipedia}. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma\colon[a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt=\exp\lt i\alpha(b)\rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
\begin{defn}
Eine geschlossene Kuve $\gamma:[a,b]\to\mb R^n$ heißt einfach geschlossen, wenn
Eine geschlossene Kuve $\gamma\colon[a,b]\to\mb R^n$ heißt einfach geschlossen, wenn
\begin{eqnarray}
\gamma(t) &=&\gamma(t') ~\forall t,t'\in (a,b) \\
\gamma(t) &\neq&\gamma(a) ~\forall t\in (a,b).
...
...
@@ -318,7 +318,7 @@ Die Umlaufzahl einer einfach geschlossenen Kurve ist $\pm 1$.
\end{proof}
\section{Isoperimetrische Ungleichung}
Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine einfach geschlossene Kurve und $\Omega\subset\mb R^2$ ein Gebiet mit $\partial\Omega=\gamma(I)$. Unterdiesen Bedingungen gilt die isoperimetrische Ungleichung
Sei $\gamma\colonI\to\mb R^2$ eine einfach geschlossene Kurve und $\Omega\subset\mb R^2$ ein Gebiet mit $\partial\Omega=\gamma(I)$. Unterdiesen Bedingungen gilt die isoperimetrische Ungleichung
\begin{equation}
\int_\Omega\mr dx \mr dy =:A(\Omega) \leq\frac{1}{4\pi} L(\gamma)^2.
\end{equation}
...
...
@@ -368,7 +368,7 @@ und damit die Behauptung $A(\Omega)\leq\frac{L(\gamma)^2r^2}{4\pi r^2} = \frac{L
\section{Satz von Green/Stokes}
\begin{theo}
Sei $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetige Kurve, welche das beschränkte Gebiet $\Omega$ derart berandet, sodass das Frenet-2-Bein von $\gamma$ positiv orientiert ist. Seien weiterhin $p,q:\bar\Omega\to\mb R$ glatte Abbildungen. Dann gilt
Sei $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetige Kurve, welche das beschränkte Gebiet $\Omega$ derart berandet, sodass das Frenet-2-Bein von $\gamma$ positiv orientiert ist. Seien weiterhin $p$, $q\colon\bar\Omega\to\mb R$ glatte Abbildungen. Dann gilt
\begin{equation}
\int_\gamma p(x,y)\mr dx + q(x,y)\mr d y = \int_\Omega\lt\frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y}\rt (x,y) \mr dx\mr d
Notation: $u^i:\mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x: U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.
Notation: $u^i\colon\mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x\colon U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.
\begin{defn}
Eine Fuktion $f:M\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}: x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
Eine Fuktion $f\colonM\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}\colon x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
\end{defn}
\begin{rem}
Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb:M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt}\rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lbf \colonM\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt}\rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
\end{rem}
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f:M\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$ von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}:x(U)\to y(V)$ glatt ist.
Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f\colonM\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$ von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}\colonx(U)\to y(V)$ glatt ist.
\end{defn}
\begin{defn}
Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f:A\to N$ ist fortsetzbar, wenn $\exists W\supset A$, $\bar{f}:W\to N$ glatt, s.d. $\left.\bar{f}\right\vert_{A}=f$. $C^\infty(A,N)=\lb f:A\to N ~\vert~ f~\rm{glatt}\rb$.
Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f\colonA\to N$ ist fortsetzbar, wenn $\exists W\supset A$, $\bar{f}\colonW\to N$ glatt, s.d. $\left.\bar{f}\right\vert_{A}=f$. $C^\infty(A,N)=\lb f\colonA\to N ~\vert~ f~\rm{glatt}\rb$.
\end{defn}
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF. $f:M\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):=\lb f:M\to N ~\vert~ f {\rm DM}\rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$.
Seien $M,N$ MF. $f\colonM\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):=\lb f\colonM\to N ~\vert~ f {\rm DM}\rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$.
\end{defn}
\begin{rem}
Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x:U\to x(U)$ DM.
Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x\colonU\to x(U)$ DM.
\end{rem}
Wir wollen nun den Tangentialraum $T_pM$ fuer $p\in M$ definieren. Eine hilfreiche Einbettung $M\hookrightarrow\mb R^n$ haben wir diesmal nicht.
\begin{defn}
Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f:U\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt}\rb$
Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f\colonU\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt}\rb$
\end{defn}
\begin{rem}
Wir beobachten $C^\infty_{0, p}\trianglelefteq C^\infty(U)$ ist Ideal. Aus $f\in C^\infty_{0, p},~ g\in C^\infty(U)$ folgt $fg\in C^\infty_{0, p}$.
...
...
@@ -49,7 +49,7 @@ Ein Funktionenkeim an $p$ ist somit die Aequivalenzklasse glatter Funktionen in
% hier stand eine erinnerung an TV im Rn
\begin{defn}
Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v:C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p)+ f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v\colonC^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p)+ f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
\end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:tangentialvektoren-koord}
...
...
@@ -70,7 +70,7 @@ Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dan
\end{lem}
\begin{proof}
Sei $p\in V$, $C:[0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C:[0,1]\to\mb R$ glatt.
Sei $p\in V$, $C\colon[0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C\colon[0,1]\to\mb R$ glatt.
@@ -109,11 +109,11 @@ Damit ist die Basiswechselmatrix von $\lb\frac{\partial}{\partial x^i}\rb_{i=1}^
Das liefert folgende Alternativdefinition des Tangentialraumes $T_pM :=\lb[(U,x), \xi] ~\vert~ \xi\in\mb R^n, (U,x)~{\rm Karte~um~}p, \lt(U,x),\xi\rt\sim\lt(V,y), \eta\rt:\iff D_{y(p)}\lt x\circ y\rt^{-1}\xi=\eta\rb$
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Dann definiert man die Pullbackabildung $f^\ast:C^\infty(N)\to C^\infty(N),~ \varphi\mapsto\varphi\circ f$.
Seien $M,N$ MF und $f\colonM\to N$ glatt. Dann definiert man die Pullbackabildung $f^\ast\colonC^\infty(N)\to C^\infty(N),~ \varphi\mapsto\varphi\circ f$.
\end{defn}
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\in M$ ist die lineare Abbildung
Seien $M,N$ MF und $f\colonM\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\in M$ ist die lineare Abbildung
\[
D_p f = f_{*,p}\colon T_p M\to T_p N,
\]
...
...
@@ -134,7 +134,7 @@ Nach wie vor gilt die Kettenregel aus der Analysis: $D_p(g\circ f) = D_{f(p)}g\c
\end{rem}
\begin{defn}
Sei $M$ eine MF und $f:M\to\mb R,~p\in M$. Das Differential von $f$ an $p$ ist ${\rm d}f(p):T_pM\to\mb R, ~v\mapsto v(f)$.
Sei $M$ eine MF und $f\colonM\to\mb R$, $p\in M$. Das Differential von $f$ an $p$ ist ${\rm d}f(p):T_pM\to\mb R$, $v\mapsto v(f)$.
\end{defn}
Man sieht, dass ${\rm d}f(p)$ linear ist, also Element vom Kotangentialraum $\lt T_pM\rt^\ast=: T^\ast_pM$.