Sei $M$ Mannigfaltigkeit, $X_1, \ldots, X_k \in\Gamma(TM)$ mit $[X_i, Y_i]=0\forall i,j =1, \ldots, k$. Wenn $p\in M$, st. $X_1(p), \ldots, X_k(p)$ linear unabhängig.
$\Rightarrow\exists(U, y)$ Karte um $p$:
$$
X_{i}|_U =\frac{\partial}{\partial y^i}, \quad i =1, \ldots, k
$$
** Korollar
$X\in\Gamma(TM)$, $X(p)\neq0\Rightarrow\exists(U,x)$ wie oben mit $X|_U =\frac{\partial}{\partial x^1}$- Geradebiegen eines Vektorfeldes.
TODO Bildchen 39
Beweis Proposition:
oBdA ist $M=\R^n$, $p=0\in\R^n$. Wir betrachten jetzt auf einer hinreichend kleinen Umgebung $W$ von $0\in\R^n$ die Abbildung
Wenn also $X_i(0)\in\Lin\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial} x_k \right)$, $i=1,\ldots, k$ was man durch Koordinatenwahl ereichen kann, so ist $D_0f$ invertierbar, also $f$ lokal ein Diffeomorphismus, $f^{-1}=: y$ ist die gewünschte Karte.
Integralkurven gibt es immer.
Seien $X_1,\ldots X_k\in\Gamma{TM}$ Vektorfelder, so dass
$\Rightarrow\exists?$ Untermannigfaltigkeit $N\subset M : T_p N =\Lin{X_1(p), \ldots, X_k(p)}$?
Beobachtung
1. Wenn $N$ existiert, so gilt: $[X_i, x_j](p)\in\Lin(x_1(p), \ldots, x_k(p))= T_pM$
2. Im Allgemeinen kann mann nur hoffen, dass $M$ immersiert ist (nicht eingebettet)
3. Was wichtig ist, ist $\Lin(X_1(p), \ldots, X_k(p))$ und nicht die Vektorfelder selbst.
** Definition
Sei $M$ Mannigfaltigkeit. Eine \emph{Distribution}$\Delta$ auf $M$ von Dimension $k$ ist die Zuordnung $p\mapsto\Delta_p \subseteq T_p M$ ($\Delta_p$ Untervektorraum von Dimension $k$) glatt im folgenden Sinne ist:
$$
&&\forall p\in M : \exists\text{ Umgebung } U \text{ von } p, \text{ Vektorfeld } X\in\Gamma(TU)_p:
\\&&\Delta_p =\Lin(X_1(p), \ldots, X_k(p))
$$
** Definition
Eine Distribution $\Delta$ heißt \emph{integrierbar}, wenn für $X_i$'s aus der Definition von $\Delta$ gilt:
$$
\forall p\in M: \forall i, j : [X_i, X_j]_p \in\Delta_p
$$
** Definition
Eine immersierte Untermannigfaltigkeit $N\subseteq M$ heißt \emph{Integralmannigfaltigkeit} von $\Delta$, wenn
$$
T_p N =\Delta_p, \quad p\in N
$$
** Satz: Frobenius
Wenn $\Delta$ eine integrierbare Distribution ist, so existiert $\forall p\in M$ eine eindeutig bestimmte maximale Integralmannigfaltigkeit von $\Delta$ durch $p$.
Beweis:
Wenn $[X_i, X_j]=0$$\Rightarrow$ alles gut! =):
$$
\forall i =1, \ldots, k: X_i =\frac{\partial}{\partial x_i}
$$
Wir führen jetzt den allgemeinen Fall auf diesen zurück:
Sei $p\in M$, $Y_1, \ldots, Y_k$ definierendes Vektorfeld für $\Delta$ an $p$, das heißt:
$$
\Delta_p =\Lin(Y_1(p), \ldots, Y_k(p))
$$
Wir können in $U$ ($U$ Umgebung von $p$) Koordinaten $x^1, \ldots, x^n$ so wählen, dass
$$
Y_i(p)&=&\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p\quad\forall i =1, \ldots, k
$$
Sei $\pi\colon U\to\R^k$, $q\mapsto(x^1(q), \ldots, x^k(q))$
$\Rightarrow$
$$
\pi_*\colon TU \to T\R^k : \pi_*\left(\sum_{i=1}^n \nu^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_q \right)