2019-12-20

diffgeoIII/edit-this-file.tex

 %% TODOs
 % \square?
 % refactor emph
+% redefine \subset to \subseteq
 
 %%%%%%%%%%%
 
@@ -2837,7 +2838,7 @@ $$
 
 Analog:
 
-Wenn $X\in \Gamma(TM)$ Vektorfeld, $\alpha\in \Gamma(T^*M)$ Ko-Vektorfeld. $\Rightarrow (\mathcal L_X \alpha)_m := \lim_{\varepsilon\to 0} := \lim_{\varepsilon\to 0}\frak{\phi_\varepsilon^*(\alpha_{\phi_\varepsilon(m)}) -\alpha(m)}{\varepsilon}$
+Wenn $X\in \Gamma(TM)$ Vektorfeld, $\alpha\in \Gamma(T^*M)$ Ko-Vektorfeld. $\Rightarrow (\mathcal L_X \alpha)_m := \lim_{\varepsilon\to 0} := \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\phi_\varepsilon^*(\alpha_{\phi_\varepsilon(m)}) -\alpha(m)}{\varepsilon}$
 
 \begin{center}
 \begin{tikzcd}
@@ -2892,7 +2893,7 @@ $$
 Wenn $X$, $Y\in \Gamma(TM)$, $(\phi_t)$, $(\psi_s)$ die Flüsse von $X$ bzw $Y$, dann kommutieren $X$, $Y$ genau dann, wenn ihre Flüsse kommutieren:
 
 $$
-  [X,Y] = 0\in \Gamma(TM) \Leftrightarrow \phi_t \circ \psi_s = \psi_s \circ \phi_t \forall s, t \text{ wo es Sinn ergibt}
+  [X,Y] = 0\in \Gamma(TM) &\Leftrightarrow& \phi_t \circ \psi_s = \psi_s \circ \phi_t\quad \forall s, t \text{ wo es Sinn ergibt}
 $$
 
 Vorbereitung:
@@ -2938,4 +2939,148 @@ Wurzel, da $2$. Ordnung
 
 TODO Bildchen 37
 
-TODO 2019-12-20
+%2019-12-20
+
+$$
+  \phi\colon W\subseteq\R\times M \to M\quad\text{Fluss}
+$$
+
+TODO Bildchen 38
+
+** Beispiel
+
+$$
+  && M = \R^n, X_1 = \frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, X_k = \frac{\partial}{\partial x_k}
+  \\ &\Rightarrow& [X_i, X_j] = 0, \quad\text{linear unabhängig}
+$$
+
+** Proposition
+
+%TODO Was heißt st.?
+Sei $M$ Mannigfaltigkeit, $X_1, \ldots, X_k \in \Gamma(TM)$ mit $[X_i, Y_i] = 0 \forall i,j = 1, \ldots, k$. Wenn $p\in M$, st. $X_1(p), \ldots, X_k(p)$ linear unabhängig.
+
+$\Rightarrow \exists (U, y)$ Karte um $p$:
+$$
+  X_{i}|_U = \frac{\partial}{\partial y^i}, \quad i = 1, \ldots, k
+$$
+
+** Korollar
+
+$X\in \Gamma(TM)$, $X(p) \neq 0 \Rightarrow \exists(U,x)$ wie oben mit $X|_U = \frac{\partial}{\partial x^1}$- Geradebiegen eines Vektorfeldes.
+
+TODO Bildchen 39
+
+Beweis Proposition:
+
+oBdA ist $M=\R^n$, $p=0\in \R^n$. Wir betrachten jetzt auf einer hinreichend kleinen Umgebung $W$ von $0\in \R^n$ die Abbildung
+$$
+  f\colon W\to \R^n = M, \quad a_1, \ldots, a_n \mapsto (\phi_{a_1}^{X_1} \circ \ldots \circ \phi_{a_k}^{X_k})(0,\ldots, 0, a_{k+1}, \ldots, a_n)
+$$
+
+Sei $\varphi \in C^\infty(\R^n)$.
+
+$$
+  \\&& \left({f_*\left(\frac{\partial}{\partial x_1}\right)}_{\in T_a\R^n}\right)_a(\varphi)
+  \\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_a (f^*\varphi)
+  \\&=& \lim_{h\to 0}\frac1h ((\varphi\circ f)(a_1+h, a_2, \ldots, a_n)-(\varphi\circ f)(a_1, \ldots, a_n))
+  \\&=& \lim_{h\to 0}\frac1h ((\varphi \circ {\phi_{a_1 + h}^{X_1}}{=\phi_h^{X_1}\circ \phi_{a_1}^{X_1}}\circ \ldots\circ \phi_{a_k}^{X_t})(0,\ldots, 0, a_{k+1}, \ldots, a_n)-(\varphi\circ f)(a_1, \ldots, a_n))
+  \\&=& \lim_{h\to 0} \frac1 h ((\varphi \circ \phi_n^{X_1}\circ f)(a_1, \ldots, a_n)-(\varphi\circ f)(a_1,\ldots, a_n))
+  \\&=& X_1(\varphi) (f(a_1, \ldots, a_n))
+$$
+
+ - $f_* \frac{\partial}{\partial x_1} = X_1 \circ f$. Da die Flüsse kommutieren, können wir den Beweis für $X_i$ anstelle von $X_1$ wiederholen.
+ - $f_* \frac{\partial}{\partial x_i} = X_i \circ f \forall i = 1, \ldots, k$
+   Außerdem für $i>k$:
+   $$
+     f_* \frac{\partial}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i}
+   $$
+   Wenn also $X_i(0) \in \Lin\left( \frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial} x_k \right)$, $i=1,\ldots, k$ was man durch Koordinatenwahl ereichen kann, so ist $D_0f$ invertierbar, also $f$ lokal ein Diffeomorphismus, $f^{-1} =: y$ ist die gewünschte Karte.
+
+Integralkurven gibt es immer.
+
+Seien $X_1,\ldots X_k\in \Gamma{TM}$ Vektorfelder, so dass
+$$
+  \forall p\in M: X_1(p), \ldots X_k(p) \quad\text{linear unabhängig}
+$$
+$\Rightarrow \exists?$ Untermannigfaltigkeit $N\subset M : T_p N = \Lin{X_1(p), \ldots, X_k(p)}$?
+
+Beobachtung
+
+ 1. Wenn $N$ existiert, so gilt: $[X_i, x_j](p) \in \Lin(x_1(p), \ldots, x_k(p)) = T_pM$
+ 2. Im Allgemeinen kann mann nur hoffen, dass $M$ immersiert ist (nicht eingebettet)
+ 3. Was wichtig ist, ist $\Lin(X_1(p), \ldots, X_k(p))$ und nicht die Vektorfelder selbst.
+
+** Definition
+
+Sei $M$ Mannigfaltigkeit. Eine \emph{Distribution} $\Delta$ auf $M$ von Dimension $k$ ist die Zuordnung $p\mapsto \Delta_p \subseteq T_p M$ ($\Delta_p$ Untervektorraum von Dimension $k$) glatt im folgenden Sinne ist:
+
+$$
+  &&\forall p\in M : \exists \text{ Umgebung } U \text{ von } p, \text{ Vektorfeld } X\in \Gamma(TU)_p:
+  \\&&\Delta_p = \Lin (X_1(p), \ldots, X_k(p))
+$$
+
+** Definition
+
+Eine Distribution $\Delta$ heißt \emph{integrierbar}, wenn für $X_i$'s aus der Definition von $\Delta$ gilt:
+
+$$
+  \forall p\in M: \forall i, j : [X_i, X_j]_p \in \Delta_p
+$$
+
+** Definition
+
+Eine immersierte Untermannigfaltigkeit $N\subseteq M$ heißt \emph{Integralmannigfaltigkeit} von $\Delta$, wenn
+$$
+  T_p N = \Delta_p, \quad p\in N
+$$
+
+** Satz: Frobenius
+
+Wenn $\Delta$ eine integrierbare Distribution ist, so existiert $\forall p\in M$ eine eindeutig bestimmte maximale Integralmannigfaltigkeit von $\Delta$ durch $p$.
+
+Beweis:
+
+Wenn $[X_i, X_j] = 0$ $\Rightarrow$ alles gut! =):
+$$
+  \forall i = 1, \ldots, k: X_i = \frac{\partial}{\partial x_i}
+$$
+
+Wir führen jetzt den allgemeinen Fall auf diesen zurück:
+
+Sei $p\in M$, $Y_1, \ldots, Y_k$ definierendes Vektorfeld für $\Delta$ an $p$, das heißt:
+$$
+  \Delta_p = \Lin(Y_1(p), \ldots, Y_k(p))
+$$
+
+Wir können in $U$ ($U$ Umgebung von $p$) Koordinaten $x^1, \ldots, x^n$ so wählen, dass
+$$
+  Y_i(p) &=& \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p\quad \forall i = 1, \ldots, k
+$$
+
+Sei $\pi\colon U\to \R^k$, $q\mapsto (x^1(q), \ldots, x^k(q))$
+$\Rightarrow$
+$$
+  \pi_* \colon TU \to T\R^k : \pi_*\left( \sum_{i=1}^n \nu^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_q \right)
+    = \sum_{i=1}^k \nu^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{\pi(q)} \quad (\nu_i \in \R)
+$$
+
+$\pi_*|_{T_p U \cong T_p M} \colon T_pM \to T_{\pi(p)\R^k}$ wird zu einem Isomophismus, wenn eingeschränkt auf $\Delta_p$
+
+$$
+  \pi_*|_{\Delta_p} \colon \Delta_p \to T_{\pi(p)}\R^k, \quad Y_i(p) \mapsto \frac{\partial}{\partial x_i}|_p
+$$
+
+Aus Stetigkeitsgründen ist $\pi_*|_{\Delta_q}\colon \Delta_q \to T_{pi(q)}\R^k$ ein Isomophismus für $q\in W$, $W$ Umgebung von $p$.
+
+Definiere Vektorfelder $X_i(q) = (\pi_*|_{\Delta_q})^{-1}\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_{\pi(q)}\right)\in \Delta_q \forall i = 1, \ldots, k$.
+
+Die Vektorfelder $X_i$ spannen $\Delta_q$ für $q\in W$ auf. Behauptung $[X_i, X_j] = 0$.
+$$
+  \pi_*(\underbrace{[X_i, X_j]}_{\in \Delta_q \text{ (Integrabilität)}}) = \left[ \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right]_{\pi(q)} = 0
+$$
+
+$$
+  \pi_*|_{\Delta_q} \text{ inj. } \Rightarrow [X_i, Y_j] = 0
+$$
+
+Maximal: Wie bei Picard-Lindelöf