2019-11-21

diffgeoIII/edit-this-file.tex

@@ -1267,6 +1267,10 @@ TODO Bildchen 15
 
 * Untermannigfaltigkeiten
 
+%TODO Beispiel Torus, in Mitschriften enthalten, aber nicht im pdf für die Vertretung
+TODO Bildchen 16
+TODO Bildchen 17
+
 % \begin{Def}
 % Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Der Rang von $f$ an $p$ ist definiert als der Rang (= Dimension des Bildes) des Differentials $D_p f$.
 % \end{Def}
@@ -1303,7 +1307,9 @@ Natürlicherweise tauchen hier zwei Varianten auf:
 Sei $U\subset \mb R^n$ eine Umgebung von $0\in \mb R^n$, $f\colon U\to \mb R^k$ glatt mit $f(0) = 0$. Dann gilt:
 \begin{enumerate}
     \item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $g$  von $\mb R^k$ an $0$ mit $g\circ f = \iota$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
+    TODO Bildchen 18
     \item Wenn $k\leqslant n$ und $f$ maximalen Rang ($=k$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h = \pi$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
+    TODO Bildchen 19
 \end{enumerate}
 
 % Beweis:
@@ -1316,6 +1322,8 @@ Sei $i\colon N\to M$ eine Immersion, $\dim N = n$, $\dim M = m$. Dann gilt: für
 \begin{enumerate}
     \item $q\in i(V)\cap U$ genau dann, wenn $y^{n+1}(q) = \dots = y^m (q) = 0$ (anders gesagt, $y(i(V)\cap U) = (\mb R^n\times \{0\})\cap y(V)$;
     \item $i|_V$ ist eine Einbettung.
+
+      TODO Bildchen 20
 \end{enumerate}
 
 Beweis:
@@ -1344,7 +1352,11 @@ Sei $y\colon V\to \mb R^k$ eine Karte um $q\in N$ mit $y(q)=0$. Sei außerdem $p
 
 Da $y\circ f\circ x^{-1}$ maximalen Rang an $0\in \mb R^n$ hat, gibt es nach Satz über implizite Funktionen
 %TODO \ref{theo:implizite-fkt}
-(ii) eine Karte $(W,h)$ um $0\in\mb R^n$ mit $y\circ f\circ x^{-1}\circ h = \pi_1|_W$. Sei $\widetilde W\coloneqq \pi_2(W)$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\mb R^{n-k}$, und $y\circ f\circ x^{-1}\circ h \circ \iota_2 = \pi_1\circ \iota_2 = 0$ auf $\widetilde W$. Das heißt, wenn $z\coloneqq x^{-1}\circ h\circ \iota_2|_{\widetilde W}$, so folgt $z(\widetilde W)\subset A$. Nun behaupten wir, dass $z(\widetilde W) = A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, so dass $z$ ein Homömorphismus auf sein Bild ist. Es ist zunächst klar, dass $z(\widetilde W) \subset A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, weil $z(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h\circ \iota_2)(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h)(W\cap (0\times \mb R^{n-k}))$. Für die andere Inklusion nehmen wir ein $\tilde p\in A \cap (x^{-1}\circ h)(W)$; dann folgt aber $\tilde p = (x^{-1}\circ h)(u)$ für ein eindeutig bestimmtes $u\in W$, und $0 = (y\circ f)(\tilde p) = (y\circ f\circ x^{-1}\circ h)(u) = \pi_1(u)$, so dass $u = (0,a)\in 0\times \widetilde W$. Dann gilt aber $\tilde p = z(a)\in z(W)$. Es folgt, dass $i\colon A\hookrightarrow M$ eine topologische Einbettung ist (also ein Homöomorphismus auf sein Bild).
+(ii) eine Karte $(W,h)$ um $0\in\mb R^n$ mit $y\circ f\circ x^{-1}\circ h = \pi_1|_W$. Sei $\widetilde W\coloneqq \pi_2(W)$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\mb R^{n-k}$, und $y\circ f\circ x^{-1}\circ h \circ \iota_2 = \pi_1\circ \iota_2 = 0$ auf $\widetilde W$.
+
+TODO Bildchen 21
+
+Das heißt, wenn $z\coloneqq x^{-1}\circ h\circ \iota_2|_{\widetilde W}$, so folgt $z(\widetilde W)\subset A$. Nun behaupten wir, dass $z(\widetilde W) = A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, so dass $z$ ein Homömorphismus auf sein Bild ist. Es ist zunächst klar, dass $z(\widetilde W) \subset A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, weil $z(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h\circ \iota_2)(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h)(W\cap (0\times \mb R^{n-k}))$. Für die andere Inklusion nehmen wir ein $\tilde p\in A \cap (x^{-1}\circ h)(W)$; dann folgt aber $\tilde p = (x^{-1}\circ h)(u)$ für ein eindeutig bestimmtes $u\in W$, und $0 = (y\circ f)(\tilde p) = (y\circ f\circ x^{-1}\circ h)(u) = \pi_1(u)$, so dass $u = (0,a)\in 0\times \widetilde W$. Dann gilt aber $\tilde p = z(a)\in z(W)$. Es folgt, dass $i\colon A\hookrightarrow M$ eine topologische Einbettung ist (also ein Homöomorphismus auf sein Bild).
 
 Wir versehen nun $A$ mit der glatten Struktur induziert durch die oben konstruierten Karten $(z(\widetilde W),z^{-1})$, wenn $p$ die Menge $A$ durchläuft (Übungsfrage: warum sind diese Karten kompatibel?). Dann ist die Inklusion $i\colon A\hookrightarrow M$ sogar glatt, weil $x\circ i\circ (z^{-1})^{-1} = h\circ \iota_2$.
 
@@ -1358,6 +1370,10 @@ Der (höchst nichttriviale) Satz von Sard besagt, dass eine glatte Abbildung $f\
 
 * Vektorfelder und ihre Flüsse
 
+** Beispiel
+
+TODO Bildchen 22
+
 ** Definition: Vektorfeld
 
 Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $TM$ sein Tangentialbündel und $\pi\colon TM\to M$ die Projektionsabbildung. Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ ist ein Schnitt des Tangentialbündels, d.h. eine glatte Abbildung $X\colon M\to TM$ mit $\pi\circ X= \mathrm{id}_M$ (d.h. $X(p)\in T_p M$ für jedes $p\in M$).
@@ -1525,5 +1541,181 @@ Dieses Vektorfeld hat nach Konstruktion $\Phi$ als zugehörigen maximalen Fluss:
 
 Es gibt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Einparametergruppen von Diffeomorphismen von $M$ und vollständigen Vektorfeldern auf $M$.
 
-TODO 2019-11-21
+%2019-11-21
+
+* Vektorfelder und Flüsse
+
+** Definition
+
+Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ heißt \emph{vollständig}, wenn der maximale Fluss von $X$ auf ganz $\R \times M$ definiert ist (=Integralkurven existieren ewig)
+
+** Beispiel
+
+$M=\R$, $X = \xi(x)\cdot \frac{\partial}{\partial x}$, DGL: $\dot X = \xi(x)$ beschreibt den Fluss
+
+TODO Bildchen 23
+
+$$
+  \dot x &=& x^2
+  \\ \diffd x &=& x^2 \diffd t
+  \\ \frac{\diffd x}{x^2} &=& \diffd t
+  \\ -\frac{1}{x} &=& t + c
+  \\ x &=& -\frac{1}{t+c}
+  \\ x(0) &=& x_0 \Leftrightarrow x_0 = -\frac{1}{c}
+$$
+
+$\rightsquigarrow$ Integralkurve mit $x(0)=x_0$ sieht so aus:
+
+$$
+  x(t) = -\frac{1}{t- \frac{1}{x_0}} = \frac{x_0}{1-tx_0}
+$$
+
+** Bemerkung
+
+Für dieses Gegenbeispiel ist es wichtig, dass $\R$ nicht kompakt ist.
+
+** Übung
+
+Jedes Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit ist vollständig.
+
+Sei $X$ ein vollständiges Vektorfeld, definiere
+$$
+  \phi_t \colon M\to M : p\mapsto \underbrace{\phi}_{\text{Fluss von X}}(t,p), \quad t\in \R
+$$
+
+** Proposition
+
+Es gibt $\phi_{t_1+t_2} = \phi_{t_1} \circ \phi_{t_2}$, $t_1$, $t_2\in \R$
+
+Beweis:
+
+$\phi_{t_1 + t_2}(p)$ ist der Wert an $t=t_1 + t_2$ der Intgralkurve $\gamma_p(t)$ von $X$ mit $\gamma_p(0)=p$ (entsprechend für $\phi_{t_2}(p)$)
+
+$\phi_{t_1}(\phi_{t_2}(p))$ ist der Wert an $t=t_1$ der Integralkurve $\gamma_{\phi_{t_2}(p)}(t)$ mit Anfangswert $\phi_{t_2}(p)$
+
+TODO Bildchen 24
+
+Nach Eigenschaft ist $\gamma_{\phi_{t_2}(p)}(t) = \gamma_p(t+t_2)$. Ihr Wert an $t=t_1$ ist genau $\gamma_p(t_1+t_2)=\phi_{t_1+t_2}(p)$
+
+** Korollar
+
+$$
+  \phi_t\colon M\to M
+$$
+
+ist ein Diffeomorphismus für jedes $t\in R$. $(\phi_{-t}=(\phi_t)^{-1})$
+
+** Korrolar
+
+$$
+  \phi_{\cdot} \colon \begin{cases} (\R, t) &\to \operatorname{Diff}(M) \\ t\mapsto \phi_t \end{cases}
+$$
+
+ist ein Gruppenhomomorphismus.
+
+($=\{ \phi_t \}_{t\in\R}$ ist eine $1$-Parameter-Gruppe von Diffeomorphismen)
+
+** Lemma
+
+Wenn $\phi\colon\R\times M\to M$ eine glatte Abbildung ist, so dass
+ 1. $\forall t\in \R: \phi_t \colon \begin{cases} M&\to M \\ p\mapsto \phi(t,p) \end{cases}$ Diffeomorphismus
+ 2. $\phi_{t_1 + t_2} = \phi_{t_1}\circ \phi_{t_2}$, $t_1$, $t_2\in \R$
+   $\Rightarrow$ vollständiges Vektorfeld $X$ auf $M$, dessen Fluss $\phi$ ist.
+
+   Beweis:
+
+   $$
+     X(p):= \left.\frac{\partial \phi_t(p)}{\partial t}\right|_{t=0}
+   $$
+
+* 10 Lie-Gruppen
+
+** Beispiel
+
+Sei
+$$
+  \operatorname{GL}(n, \R) = \{ A\in \mathbb{M}_n(\R)\ |\ \det A\neq 0 \} \subseteq \R^n\quad\text{offen}
+$$
+
+$\Rightarrow$ Mannigfaltigkeit
+
+Gleichzeitig ist es aber eine Gruppe:
+
+$$
+  m&\colon& \begin{cases} \operatorname{GL}(n, \R)\times \operatorname{GL}(n, \R) &\to \operatorname{GL}(n, \R)\\(A, B)&\mapsto A\cdot B \end{cases}
+  \\i&\colon& \begin{cases} \operatorname{GL}(n, \R) &\to \operatorname{GL}(n, \R)\\A&\mapsto A^{-1} \end{cases}
+$$
+
+** Behauptung
+
+$m$, $i$ sind glatt
+
+ - $(m(A,B))_{ik} = \sum_{j=1}^{n} A_{ij} B_{jk}$ $\longrightarrow$ glatte Pkte von $A_ij$, $B_jk$ (sogar Polynome!)
+ - $(i(A))_{ij} = \frac{\operatorname{Cof(A)}_{ji}}{\det A}$
+
+  $$
+    \operatorname{Cof}(A)_{ji} = (-1)^{i+j} \cdot
+    \begin{vmatrix}
+      a_{1,1}   & \dots  & a_{1,j-1}   & 0      & a_{1,j+1}   & \dots  & a_{1,n}  \\
+      \vdots    & \ddots & \vdots      & \vdots &  \vdots     &        & \vdots   \\
+      a_{i-1,1} & \dots  & a_{i-1,j-1} &0       & a_{i-1,j+1} & \dots  & a_{i-1,n}\\
+      0         & \dots  & 0           & 1      & 0           & \dots  & 0        \\
+      a_{i+1,1} & \dots  & a_{i+1,j-1} &0       & a_{i+1,j+1} & \dots  & a_{i+1,n}\\
+      \vdots    &        & \vdots      & \vdots &  \vdots     & \ddots & \vdots   \\
+      a_{n,1}   & \dots  & a_{n,j-1}   & 0      & a_{n,j+1}   & \dots  & a_{n,n}
+    \end{vmatrix}
+  $$
+
+** Definition
+
+Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $\bullet\colon G\times G\to G$, $(\cdot)^{-1}\colon G\times G \to G$ so dass $(G, \bullet, (\cdot)^{-1})$ eine Gruppe ist
+
+** Beispiel
+
+ - $\operatorname{GL}(n,\R)$, $\operatorname{GL}(n\mathbb C)$ sind Lie-Gruppen
+ - $(\R, +)$ ist eine Lie-Gruppe
+ - $SL(n,\R) = \{ A\in \mathbb M_n(R)\ |\ \operatorname{det} A = 1 \}$ ist eine Lie-Gruppe (Da Multiplikation und Invertieren von $\operatorname{GL}_n(\R)$ vererbt sind, reicht es zu zeigen, dass $\operatorname{SL}_n(\R)\subseteq \operatorname{GL}_n\R$ eine Untermannigfaltigkeit ist.) Dazu: benutze Satz von regulären Wert. Zu zeigen: $\forall A\in \operatorname{SL}_n(\R)$ gilt: $D_A \det$ hat vollen Rang $(=1)$ $\Leftrightarrow$ $D_A \det \neq 0$
+ Sei $X\in T_A\R^{n^2}$.
+ $$
+   D_A \det(X) = \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\det(A+\varepsilon X)-\det(A)}{\varepsilon} = \det(A)\cdot \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\det(\eins +\varepsilon \overbrace{A^{-1}X}^{=: Y})-1}{\varepsilon}
+   \\&=& \operatorname{det}(A) \cdot T_r(A^{-1}X)
+ $$
+ wobei
+ $$
+   \det(\eins + \varepsilon Y) &=& \left|\begin{matrix} 1 +\varepsilon y_{11} & \cdots & \varepsilon y_{1n} \\ \varepsilon y_{21} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \varepsilon y_{n1} & \cdots & 1+ \varepsilon y_{nn} \end{matrix}\right|
+   \\&\overset{ \text{Leibnitz} }=& \prod_{i=1}^n (1+ \varepsilon y_{ii}) + \varepsilon^2(\ldots)
+   \\&=& 1 + \varepsilon (y_{11} + \ldots + y_{nn}) + \epsilon^2(\ldots)
+   \\&=& 1 + \varepsilon \cdot \operatorname{Spur}(Y)
+ $$
+ Somit hat $D_A\det$ tatsächlich Rang $1$, weil zum Beispiel:
+ $$
+   D_A \det(A)=n
+ $$
+ -  $O(n) = \{ A\in \mathbb M_n(\R)\ |\ A^TA = \eins \}$
+
+    $\operatorname{SO}(n) = \{ A\in O(n)\ |\ \det A = 1\}$
+
+ -  $U(n)=\{ A\in \mathbb M_n (\mathbb C)\ |\ A^*A = \eins \}$
+
+    $\operatorname{SU}(n) = \{ A\in U(n) \ |\ \det A = 1 \}$
+ -  $O(n, \mathbb C) = \{ A\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ A^TA = \eins \}$
+
+    $\operatorname{SO}(n, \mathbb C) = \{ A\in O(n,\mathbb C)\ |\ \det A = 1 \}$
+
+ -  $O(p,q) = \{ A\in \mathbb M_{p+q}(\R)\ |\ \langle Ax, Ay \rangle_{p,q} = \langle x,y \rangle_{p,q} \}$
+    mit
+    $$
+      \langle x,y \rangle_{p,q} := \sum_{i=1}^p x_i y_i - \sum_{j=1}^q x_{p+j} y_{p+j} \quad \forall x,y \in \R^n
+    $$
+    Beispielsweise: $O(1,3)$ erhält die quadratische Form $t^2 -x^2-y^2-z^2$ (Minkowsky-Raum, SRT)
+ - $S^1 = \{ z\in C\ |\ \lvert z \rvert = 1 \}\subset C^{x}$, $S^1 = U(1)$
+ - $T^n = \underbrace{S^1\times S^1 \times \ldots \times S^1}_{n}$ ist auch eine Lie-Gruppe
+
+** Satz: Cartan
+
+Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ eine abgeschlossene (bzgl Topologie auf $G$) Untergruppe. $\Rightarrow H$ ist eine Untermannigfaltigkeit (und somit automatisch eine Lie-(Unter)gruppe)
+
 TODO 2019-11-22
+
+TODO 2019-11-28
+TODO 2019-11-29