%TODO Beispiel Torus, in Mitschriften enthalten, aber nicht im pdf für die Vertretung
TODO Bildchen 16
TODO Bildchen 17
% \begin{Def}
% Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Der Rang von $f$ an $p$ ist definiert als der Rang (= Dimension des Bildes) des Differentials $D_p f$.
% \end{Def}
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@@ -1303,7 +1307,9 @@ Natürlicherweise tauchen hier zwei Varianten auf:
Sei $U\subset\mb R^n$ eine Umgebung von $0\in\mb R^n$, $f\colon U\to\mb R^k$ glatt mit $f(0)=0$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $g$ von $\mb R^k$ an $0$ mit $g\circ f =\iota$ auf einer Umgebung von $0\in\mb R^n$;
TODO Bildchen 18
\item Wenn $k\leqslant n$ und $f$ maximalen Rang ($=k$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h =\pi$ auf einer Umgebung von $0\in\mb R^n$;
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\end{enumerate}
% Beweis:
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@@ -1316,6 +1322,8 @@ Sei $i\colon N\to M$ eine Immersion, $\dim N = n$, $\dim M = m$. Dann gilt: für
@@ -1344,7 +1352,11 @@ Sei $y\colon V\to \mb R^k$ eine Karte um $q\in N$ mit $y(q)=0$. Sei außerdem $p
Da $y\circ f\circ x^{-1}$ maximalen Rang an $0\in\mb R^n$ hat, gibt es nach Satz über implizite Funktionen
%TODO \ref{theo:implizite-fkt}
(ii) eine Karte $(W,h)$ um $0\in\mb R^n$ mit $y\circ f\circ x^{-1}\circ h =\pi_1|_W$. Sei $\widetilde W\coloneqq\pi_2(W)$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\mb R^{n-k}$, und $y\circ f\circ x^{-1}\circ h \circ\iota_2=\pi_1\circ\iota_2=0$ auf $\widetilde W$. Das heißt, wenn $z\coloneqq x^{-1}\circ h\circ\iota_2|_{\widetilde W}$, so folgt $z(\widetilde W)\subset A$. Nun behaupten wir, dass $z(\widetilde W)= A\cap(x^{-1}\circ h)(W)$, so dass $z$ ein Homömorphismus auf sein Bild ist. Es ist zunächst klar, dass $z(\widetilde W)\subset A\cap(x^{-1}\circ h)(W)$, weil $z(\widetilde W)=(x^{-1}\circ h\circ\iota_2)(\widetilde W)=(x^{-1}\circ h)(W\cap(0\times\mb R^{n-k}))$. Für die andere Inklusion nehmen wir ein $\tilde p\in A \cap(x^{-1}\circ h)(W)$; dann folgt aber $\tilde p =(x^{-1}\circ h)(u)$ für ein eindeutig bestimmtes $u\in W$, und $0=(y\circ f)(\tilde p)=(y\circ f\circ x^{-1}\circ h)(u)=\pi_1(u)$, so dass $u =(0,a)\in0\times\widetilde W$. Dann gilt aber $\tilde p = z(a)\in z(W)$. Es folgt, dass $i\colon A\hookrightarrow M$ eine topologische Einbettung ist (also ein Homöomorphismus auf sein Bild).
(ii) eine Karte $(W,h)$ um $0\in\mb R^n$ mit $y\circ f\circ x^{-1}\circ h =\pi_1|_W$. Sei $\widetilde W\coloneqq\pi_2(W)$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\mb R^{n-k}$, und $y\circ f\circ x^{-1}\circ h \circ\iota_2=\pi_1\circ\iota_2=0$ auf $\widetilde W$.
TODO Bildchen 21
Das heißt, wenn $z\coloneqq x^{-1}\circ h\circ\iota_2|_{\widetilde W}$, so folgt $z(\widetilde W)\subset A$. Nun behaupten wir, dass $z(\widetilde W)= A\cap(x^{-1}\circ h)(W)$, so dass $z$ ein Homömorphismus auf sein Bild ist. Es ist zunächst klar, dass $z(\widetilde W)\subset A\cap(x^{-1}\circ h)(W)$, weil $z(\widetilde W)=(x^{-1}\circ h\circ\iota_2)(\widetilde W)=(x^{-1}\circ h)(W\cap(0\times\mb R^{n-k}))$. Für die andere Inklusion nehmen wir ein $\tilde p\in A \cap(x^{-1}\circ h)(W)$; dann folgt aber $\tilde p =(x^{-1}\circ h)(u)$ für ein eindeutig bestimmtes $u\in W$, und $0=(y\circ f)(\tilde p)=(y\circ f\circ x^{-1}\circ h)(u)=\pi_1(u)$, so dass $u =(0,a)\in0\times\widetilde W$. Dann gilt aber $\tilde p = z(a)\in z(W)$. Es folgt, dass $i\colon A\hookrightarrow M$ eine topologische Einbettung ist (also ein Homöomorphismus auf sein Bild).
Wir versehen nun $A$ mit der glatten Struktur induziert durch die oben konstruierten Karten $(z(\widetilde W),z^{-1})$, wenn $p$ die Menge $A$ durchläuft (Übungsfrage: warum sind diese Karten kompatibel?). Dann ist die Inklusion $i\colon A\hookrightarrow M$ sogar glatt, weil $x\circ i\circ(z^{-1})^{-1}= h\circ\iota_2$.
...
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@@ -1358,6 +1370,10 @@ Der (höchst nichttriviale) Satz von Sard besagt, dass eine glatte Abbildung $f\
* Vektorfelder und ihre Flüsse
** Beispiel
TODO Bildchen 22
** Definition: Vektorfeld
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $TM$ sein Tangentialbündel und $\pi\colon TM\to M$ die Projektionsabbildung. Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ ist ein Schnitt des Tangentialbündels, d.h. eine glatte Abbildung $X\colon M\to TM$ mit $\pi\circ X=\mathrm{id}_M$ (d.h. $X(p)\in T_p M$ für jedes $p\in M$).
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@@ -1525,5 +1541,181 @@ Dieses Vektorfeld hat nach Konstruktion $\Phi$ als zugehörigen maximalen Fluss:
Es gibt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Einparametergruppen von Diffeomorphismen von $M$ und vollständigen Vektorfeldern auf $M$.
TODO 2019-11-21
%2019-11-21
* Vektorfelder und Flüsse
** Definition
Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ heißt \emph{vollständig}, wenn der maximale Fluss von $X$ auf ganz $\R\times M$ definiert ist (=Integralkurven existieren ewig)
** Beispiel
$M=\R$, $X =\xi(x)\cdot\frac{\partial}{\partial x}$, DGL: $\dot X =\xi(x)$ beschreibt den Fluss
TODO Bildchen 23
$$
\dot x &=& x^2
\\\diffd x &=& x^2\diffd t
\\\frac{\diffd x}{x^2}&=&\diffd t
\\-\frac{1}{x}&=& t + c
\\ x &=&-\frac{1}{t+c}
\\ x(0)&=& x_0\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{c}
$$
$\rightsquigarrow$ Integralkurve mit $x(0)=x_0$ sieht so aus:
Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $\bullet\colon G\times G\to G$, $(\cdot)^{-1}\colon G\times G \to G$ so dass $(G, \bullet, (\cdot)^{-1})$ eine Gruppe ist
** Beispiel
- $\operatorname{GL}(n,\R)$, $\operatorname{GL}(n\mathbb C)$ sind Lie-Gruppen
- $(\R, +)$ ist eine Lie-Gruppe
- $SL(n,\R)=\{ A\in\mathbb M_n(R)\ |\ \operatorname{det} A =1\}$ ist eine Lie-Gruppe (Da Multiplikation und Invertieren von $\operatorname{GL}_n(\R)$ vererbt sind, reicht es zu zeigen, dass $\operatorname{SL}_n(\R)\subseteq\operatorname{GL}_n\R$ eine Untermannigfaltigkeit ist.) Dazu: benutze Satz von regulären Wert. Zu zeigen: $\forall A\in\operatorname{SL}_n(\R)$ gilt: $D_A \det$ hat vollen Rang $(=1)$$\Leftrightarrow$$D_A \det\neq0$
- $T^n =\underbrace{S^1\times S^1\times\ldots\times S^1}_{n}$ ist auch eine Lie-Gruppe
** Satz: Cartan
Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ eine abgeschlossene (bzgl Topologie auf $G$) Untergruppe. $\Rightarrow H$ ist eine Untermannigfaltigkeit (und somit automatisch eine Lie-(Unter)gruppe)