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\title{Differentialgeometrie (Vorlesungsnotizen)}
\author{Vadim Alekseev}
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\chapter*{Einleitung}
\chapter{Tangentialraum zu $\mb R^n$}
\section{Tangentialvektoren als Richtungsableitungen}
Die naive Vorstellung von Tangentialvektoren an $\mb R^n$ ist: ein Tangentialvektor an einem Punkt $x\in \mb R^n$ ist ein Paar $(p,\xi)$, wobei $\xi\in\mb R^n$ die Koordinaten des Tangentialvektors ist. Das Problem mit dieser Definition ist, dass sie nicht koordinatenfrei ist: wenn wir das Koordinatensystem in $\mb R^n$ wechseln, verändern sich die Zahlen, die unseren Tangentialvektor beschreiben, aber nicht der geometrische Sinn dieses Vektors.
Die koordinatenfreie Definition eines Tangentialvektors basiert darauf, dass die geometrische Richtung des Vektors dadurch beschrieben werden kann, wie sich glatte Funktionen in diese Richtung verändern, das heißt, wie man sie in die gewählte Richtung ableitet. Man identifiziert also den Tangentialvektor mit der Richtungsableitung
\begin{eqnarray*}
\partial_{(p, \xi)} \varphi &:=& D_p\varphi(\xi)
\\&=& \sum_{i=1}^n \xi^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
\\&=&\left( \sum_{i=1}^n \xi^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p \right)(\varphi)
\end{eqnarray*}
\begin{Def}
Sei \(p\in \mathbb R^n\). Eine Derivation an \(p\) ist eine lineare Abbildung
\(\partial \colon C^\infty(\mathbb R^n)\to \mathbb R,\)
welche die Leibniz-Regel an $p$
\begin{eqnarray*}
\partial (\varphi\cdot\psi) = \varphi(p)\cdot \partial \psi + \partial \varphi \cdot \psi(p),\quad \varphi,\psi\in C^\infty(\mb R).
\end{eqnarray*}
erfüllt.
\end{Def}
Die oben eingeführten Richtungsableitungen $\partial_{(p, \xi)}$ sind Beispiele von Derivationen an $p$; wir werden gleich zeigen, dass es die einzigen sind.
\begin{Prop}
Jede Derivation $\partial\colon C^\infty(\mb R^n)\to\mb R$ an $p\in \mb R^n$ ist von der Form $\partial_{(p, \xi)}$ für ein eindeutig bestimmtes $\xi\in \mb R^n$
\end{Prop}
\begin{proof}
Seien $x^i \colon \R^n \to \R : (x^1, \ldots, x^n) \mapsto x^i$ die kanonischen Koordinatenabbildungen.
Setze $\xi_i := \partial (x^i)\in \R$, $i=1,\dots,n$. Wir zeigen nun: $\partial = \partial_{\left(p, \xi \right)}$.
Der entscheidende Trick ist folgende Behauptung: jedes \(\varphi \in C^\infty (\mathbb R^n)\) kann man darstellen als
\begin{eqnarray*}
\varphi(x) = \varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x) (x^i - p^i) \quad \text{fast Taylor}
\end{eqnarray*}
für passende $\varphi_i\in C^\infty(\mb R^n)$.
Beweis des Tricks: \begin{eqnarray*}
\varphi (x) - \varphi(p) &=& \int_0^1 \frac{\partial \varphi(p+t(x-p))}{\partial t} \diffd t
\\ &=&
\sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} (p+t(x-p))\cdot (x^i - p^i)\intd t
\\&=&\sum_{i=1}^n (x^i-p^i) \underbrace{\int_0^1 \frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(p+t(x-p))\intd t}_{=: \varphi_i(x)}.
\end{eqnarray*}
Nun haben wir außerdem
\begin{eqnarray*}
\partial (1) = \partial (1\cdot 1)= \partial (1) + \partial (1) \Rightarrow \partial (1) = 0,
\end{eqnarray*}
also folgt
\begin{eqnarray*}
\partial (\varphi) &=& \partial \left(\varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x)\cdot(x^i - p^i)\right)
\\&=& \sum_{i=1}^n \left( \partial (\varphi_i)(\underbrace{p^i -p^i}_{=0}) + \underbrace{\varphi_i(p) \partial (x^i}_{\xi_i} \underbrace{- p^i)}_{\text{konstant}} \right)
\\&=&\sum_{i=1}^n \varphi_i(p) \xi_i = \sum_{i=1}^n \xi_i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p).
\end{eqnarray*}
Eindeutigkeit folgt aus der Linearität der Derivation:
\begin{eqnarray*}
\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \eta)} \quad\implies\quad \partial_{(p, \xi -\eta)} = 0\quad \implies\quad\partial_{(p, \xi-\eta)}(x^i)) = \xi^i - \eta^i = 0 ,\quad i= 1,\dots,n.
\end{eqnarray*}
\end{proof}
Dies motiviert folgende Definition
\begin{Def}\label{definition-tangentialraum}
Der Tangentialraum zu $\mb R^n$ an $p\in \mb R^n$ ist der Vektorraum der Derivationen an $p$:
\begin{eqnarray*}
T_p\mathbb R^n := \{ \partial \colon C^\infty (\R^n) \to \R\ |\ \partial \text{ Derivation an $p$} \}.
\end{eqnarray*}
\end{Def}
Die obige Proposition sagt dann:
\begin{Prop}\label{prop:tangentialraum-zu-Rn-isomorph-Rn}
Der Tangentialraum zu $\mb R^n$ an $p\in \mb R^n$ ist isomorph zu $\mb R^n$ durch die Abbildung
\begin{eqnarray*}
T_p\R^n \cong \R^n, \quad \partial_{(p, \xi)} \mapsfrom\xi
\end{eqnarray*}
\end{Prop}
Es stellt sich folgende natürliche Frage: sei $U\subseteq \mb R^n$ offen, $p\in U$. Was ist der Tangentialraum zu $U$ an $p$? Genauer, wie kann man
\begin{eqnarray*}
T_p U := \{ \partial \colon C^\infty (U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an $p$} \}
\end{eqnarray*}
beschreiben?
\begin{Ueb}
Beweisen Sie, dass Proposition \ref{prop:tangentialraum-zu-Rn-isomorph-Rn} auch für \emph{konvexe} offene Teilmengen $U\subseteq \mb R^n$ gilt.
\end{Ueb}
Offensichtlich induziert die Einschränkungsabbildung $i^*\colon C^\infty(\mb R^n)\to C^\infty(U)$ eine Abbildung $i_*\colon T_p U\to T_p M$, $\delta\mapsto \delta\circ i^*$.
\begin{Prop}\label{proposition-tangentialraum-ist-lokal}
Die Abbildung $i_*\colon T_p U\to T_p M$ ist ein Isomorphismus.
\end{Prop}
\begin{proof}
Offensichtlich liegen alle $\partial_{(p,\xi)}$'s in $T_p U$, also ist nach obiger Proposition die Abbildung $i_*$ surjektiv.
Um zu zeigen, dass sie injektiv ist, benutzen wir die Technik der Abschneidefunktionen. Wir definieren die Hügelfunktion
\begin{eqnarray*}
\chi(x) \coloneqq
\begin{cases}
0, & |x| \geqslant 1
\\ \exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right), & |x| < 1
\end{cases}
\quad \in C^\infty(\R)
\end{eqnarray*}
und die Hangfunktionen
\begin{eqnarray*}
\varrho (x) &\coloneqq& \frac{\int_{-\infty}^x \chi(t) \intd t}{\int_{-\infty}^\infty \chi(t) \intd t},\\
\theta(x)&\coloneqq& 1 - (1-\rho)^2 = 2\rho - \rho^2.
\end{eqnarray*}
Beachte, dass $\sqrt{1-\theta} = 1-\rho$ eine glatte Funktion ist.
Da $U$ offen ist, gibt's ein $r > 0$ mit $B(p, 5 \cdot r) \subseteq U$.
Sei
\[
\vartheta \colon \R^n \to \R,
\]
\begin{eqnarray*}
x &\mapsto
\begin{cases}
\theta \left(3 - \frac{|x-p|}{r} \right), & x\in U
\\ 0, & \text{sonst}
\end{cases}
\quad \in C^\infty (\R^n, \R)
\end{eqnarray*}
Nun gilt
\begin{eqnarray*}
0-\partial (\vartheta) &=& \partial(1) - \partial ( \vartheta)
\\&=& \partial (1- \vartheta)
\\&=& \partial({\sqrt{1- \vartheta}}^2)
\\&=& 2 \sqrt{ \smash{\underbrace{1- \vartheta(p)}_{=0}} \vphantom{1- \vartheta(p)} }\partial (\sqrt{1-\vartheta})
\\&=& 0
\end{eqnarray*}
Wenn nun $f\in C^\infty(U)$ eine beliebige glatte Funktion ist, gilt $\vartheta\cdot f \in C^\infty(\mb R^n)$ und
\[
i_*\partial(\vartheta\cdot f) = \partial(\vartheta\cdot f) = \partial(\vartheta)\cdot f(p) + \theta(p)\cdot\partial(f)=\partial(f).
\]
Somit ist $i_*$ injektiv, wie gewünscht
\end{proof}
Fazit: „Tangentialraum ist lokal, er sieht nicht, was weit entfernt ist“.
\section{Differential einer glatten Abbildung}
Sei \(U\subseteq \R^n\), \(V\subseteq\R^m\) offen, \(f\colon U\to V\) glatt.
\begin{Def}
Die Pullback-Abbildung zu \(f\) ist
\begin{eqnarray*}
f^* \colon C^\infty(V) \to C^\infty(U) : \varphi \mapsto \varphi \circ f
\end{eqnarray*}
\end{Def}
Die Pullback-Abbildung kann man durch folgendes kommutierendes Diagramm veranschaulichen:
\[
\begin{tikzcd}
V \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R \\
U \arrow[u, "f"] \arrow[ru, "f^*(\varphi)=\varphi\circ f"'] &
\end{tikzcd}
\]
Die Abbildung \(f^*\) ist Algebrenhomorphismus: sie ist linear und respektiert Produkte.
\begin{Def}
Seien nun \(U\subseteq \R^n\), \(V\subseteq\R^m\) offen, \(f\colon U\to V\)
glatt. Sei \(p\in U\). Das Differential von \(f\) an \(p\) ist die
Abbildung \begin{eqnarray*}
\D_pf\colon
\begin{cases}
T_pU &\to T_{f(p)}V
\\ \partial &\mapsto \partial \circ f^*
\end{cases}
\end{eqnarray*}
das heißt: \begin{eqnarray*}
[(\D_pf)(\partial)](\varphi) = \partial(\varphi\circ f) = \partial (f^*\varphi)
\end{eqnarray*}
\end{Def}
Das Differential bildet Derivationen auf Derivationen ab. Zeige die
Wohldefiniertheit:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
C^\infty(V) \arrow[r, "f^*"] \arrow[rrd, "(\D_pf)(\partial)"'] & C^\infty(U) \arrow[rd, "\partial"] & \\
& & \mathbb R
\end{tikzcd}
\end{center}
\((\D_pf)(\partial)\) ist linear, da Komposition linearer Abbildung. Die Leibniz-Regel ist auch erfüllt:
\begin{eqnarray*}
[(\D_pf)(\partial)](\varphi\cdot \psi)
&=& \partial(f^*(\varphi \cdot \psi))
\\&=& \partial((\varphi \cdot \psi)\circ f)
\\&=& \partial((\varphi\circ f) \cdot (\psi \circ f) )
\\&=& \partial((f^*\varphi) \cdot (f^*\psi))
\\&=& (f^*\varphi)(p) \cdot \partial(f^*\psi) + (f^*\psi)(p) \cdot \partial(f^*\varphi)
\\&=&\varphi(f(p))\cdot[(\D_pf)(\partial)](\psi) + \psi(f(p))\cdot[(\D_pf)(\partial)](\varphi)
\end{eqnarray*}
Vergleiche mit Definition aus Analysis:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] & & & & \mathbb R^m \\
T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"'] & & & & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] \\
T_pU \arrow[rrrr, "\D_pf"] & & & & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']
\end{tikzcd}
\end{center}
Es gilt für \(\varphi\colon V\to\R\) glatt: \begin{eqnarray*}
\R\ni\left( \left(\D_p f\right) \left[\left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}\right] \right) [\varphi]
&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}(f^* \varphi)
\\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)
\\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)_1
\\&=& \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_1}\right|_{f(p)} & \hdots & \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_m}\right|_{f(p)}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_j}\right|_{p} \\ \vdots \\ \left.\frac{\partial f_m}{\partial x_j}\right|_{p}\end{pmatrix}
\\&=& \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p
\\&=& \left(\sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\right)[\varphi]
\end{eqnarray*}
% Das Diagramm wird mit den vorher konstruierten Isomophismen kommutativ.
% \begin{center}
% \begin{tikzcd}
% U\subseteq \mathbb R^n \arrow[rrrrrr, "f"] & & & & & & V\subseteq \mathbb R^m \\
% e_j \arrow[dd, maps to] \arrow[rrrrrr, maps to] & & & & & & \left(\begin{matrix}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_1}\right|_p\\\vdots\\\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_m}\right|_p\end{matrix}\right) \\
% & \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] & & & & \mathbb R^m \\
% {\partial_{(p,e_j)}} \arrow[d, maps to] & T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"'] & & ! & & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu] \\
% {\varepsilon^*\left(\partial_{(p,e_j))}\right)} \arrow[rd, "="', no head] & T_pU \arrow[rrrr, "\D_pf"] & & & & T_{f(p)} V \arrow[u, "\cong"'] & \\
% & \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_p \arrow[rrrrr, maps to] & & & & & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu, maps to]
% \end{tikzcd}
% \end{center}
Das Differential aus der Analysis (die Matrix der partiellen Ableitungen) ist somit der Koordinatenausdruck
von unserem Differential (Abbildung zwischen Vektorräumen von Derivationen):
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^m \underbrace{\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p}_{\text{Koordinate } \in \R} \cdot \underbrace{\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}}_{\text{Element aus Basis} }
\end{eqnarray*}
Die übliche Kettenregel für Differentiale folgt so:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
U \arrow[r, "f"] & V \arrow[r, "g"] & W \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}
\end{center} \begin{eqnarray*}
\D_p(g\circ f) = \D_{f(p)} g \circ \D_p f
\end{eqnarray*}
Beweis: \begin{eqnarray*}
\left( \left( \D_{f(p)} g \circ \D_p f \right) (\partial) \right)[\varphi]
&=& \left( \left( D_{f(p)}g \right) \left[ \left( D_pf \right) (\partial) \right] \right)[\varphi]
\\&=&[(\D_p f)(\partial)] (\varphi\circ g)
\\&=& \partial((\varphi\circ g)\circ f)
\\&=& \partial(\varphi\circ(g\circ f))
\\&=& \left[ \left( D_p (g\circ f) \right)(\partial) \right](\varphi)
\end{eqnarray*}
Einen Tangentialvektor kann man nun auch als Geschwindigkeitsvektor einer Kurve interpretieren.
Sei \(\gamma\colon I\subseteq\R \to \R^n\) eine glatte Kurve, \(I\) ein
Intervall, \(p=\gamma(t_0)\in \R^n\).
Wir definieren
\begin{eqnarray*}
\dot\gamma(t_0) := \left( D_{t_0}\gamma \right) \left( \frac{\partial}{\partial t} \right),
\end{eqnarray*}
wobei $\partial/\partial t$ der kanonische Tangentialvektor an $\mb R$ ist.
\begin{Ueb}
Es gilt: \begin{eqnarray*}
\{ \dot\gamma(t_0)\ |\ \gamma\colon I \subseteq R \text{ glatte Kurve mit } \gamma(t_0) = p \} = T_p\R^n
\end{eqnarray*}
\end{Ueb}
\section{Satz über konstanten Rang}
Wir erinnern uns an den Satz über Existenz von lokalen Inversen zu glatten Funktionen:
\begin{Def}
Eine glatte bijektive Abbildung $f\colon U\to V$ mit glatter Inversen heißt Diffeomorphismus.
\end{Def}
\begin{Satz}
Sei \(f\colon U\to V\) glatt, \(U\), \(V\subseteq\R^n\), \(p\in U\) so
dass: \begin{eqnarray*}
\D_p f\colon T_pU\to T_pV
\end{eqnarray*}