Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $C^\infty(M)=\{f\colon M\to\R, f\text{ glatt }\}$, $p\in M$.
$$
T_p M :=\{\partial\colon C^\infty(M)\to\R\ |\ \partial\text{ Derivation an } p, \text{(d.h. }\partial\text{ linear und }\partial(fg)= f(p)\partial(g)+\partial(f)g(p)\text{)}\}
$$
%TODO Bildchen 13
Wir haben lokale Karte an $p$:
$$
\exists U\ni p \text{ offen}, x\colon U\to\R^n \text{ Diffeomorphismus}
„schiebt $p$ nach $\R^n$ und leitet es dort ab, formal ${\left(\left(x^*\right)^*\right)^{-1}\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x(p)}$ “
** Proposition
Die Inklusionsabbildung $i\colon U\hookrightarrow M$ induziert einen Isomophismus $\left(i^*\right)^*\colon T_p U \to T_p M$
$$
i^*\colon C^\infty(M)\to C^\infty(U)
$$
ist die Pullbackabbildung, aber eigentlich nur die Restriktionsabbildung
$$
\left( i^*\right)^*(\partial)=\partial\circ i^*
$$
Beweis:
Haben wir schon für $M=\R^n$ gemacht, der Beweis bleibt der gleiche (18.10 und 24.10)
$\left(i^*\right)^*$ injektiv:
$$
\partial\circ i^*=0\Leftrightarrow\partial(f)=0
$$
für alle Funktionen $f\in C^\infty(U)$, die Einschränkungen von Funktionen auf $M$ sind.
Da $\partial=\sum_{i=1}^n\alpha_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p$, reicht es zu zeigen, dass $\alpha_i =0$, $i=1,\ldots,n$. Seien $\tilde x_i\in C^\infty(U)$ mit folgenden Eigenschaften:
1. $\tilde x_i = x_i$ in einer Umgebung von $p$
2. $\operatorname{supp}\tilde x_i$ ist kompakt
(das geht, da $U$ diffeomorph zu $\R^n$ und dort weiß man, dass (und wie) das geht $\curvearrowright$ benutze Abschneidefunktionen)
Es gilt: $\partial(\tilde x_i)=\alpha_i$ und $\tilde x_i$ sind offensichtlich auf $M$ glatt (durch $0$) fortsetzbar.
$\left(i^*\right)^*$ surjektiv: Sei $\tilde\partial\in T_pM$. Wir suchen $\partial\in T_pM$ mit $\hat\partial=\partial\circ i^*$. Wir suchen also die $\alpha_i\in\R$, sodass
Trick: Benutze wieder die Abschneidefunktion $\tilde\varrho\colon U\to[{0,1}]$ mit $\varrho-1$ in einer Umgebung von $p$, $\operatorname{supp}\varrho$ kompakt und sodass $\hat\partial(\tilde\varrho)=0$ [siehe Beweis für $M=\mathbb R^n$ ]
- $(U,x)$ Karte um $p\in U \Rightarrow\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_p, \ldots,\left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_p$ ist Basis von $T_pM$
* Differential einer Abbildung
** Definition
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Sei $p\in M$. Das \emph{Differential} von $f$ an $p$ ist die lineare Abbildung.
Sei $\varphi\in C^\infty(M)$, $p\in M$. Das \emph{Differential} von $\varphi$ an $p$ ist eine lineare Abbildung
$$
\intd\varphi(p)\in\left( T_pM \right)^*=: T_p^*M
$$
** Definition: Kotangentialraum
$$
T_p^*M :=\left( T_pM \right)^*
$$
heißt \emph{Kotangentialraum}. Wenn $(U, x)$ eine Karte um $p$ ist, folgt auch
$$
T_p^*U \cong T_p^*M
$$
Links: Beweis: $\diffd x_1,\ldots, \diffd x_n \rightarrow$ ist die duale Basis zu $\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{p}, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_{p}$, denn
weil die Koordinaten des Vektors $\diffd\varphi(p)$ in der Basis $\diffd x_1,\ldots, \diffd x_n$ genau durch Anwenden der dualen Basisvektoren $\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)$ entstehen.
* Tangentialbündel
$$
TM :=\dot\bigcup_{p\in M} T_pM
$$
$$
\pi\colon TM \to M,\quad v\in T_pM \Leftrightarrow\pi(v)= p
$$
** Proposition
$TM$ trägt eine glatte Struktur, die durch die glatte Struktur von $M$ induziert ist; mit dieser ist $TM$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $2n$.
Beweis:
Sei $U,x$ eine Karte von $M$. Definiere $\tilde U :=\pi^{-1}(U)=\dot\bigcup_{p\in U} T_pM$
