2019-11-08

diffgeoIII/edit-this-file.tex

+%% TODOs
 % \square?
+% refactor emph
 
 %%%%%%%%%%%
 
@@ -1090,14 +1092,176 @@ $$
 Wenn $(a,b)\in \R^n\times \R^n$, so gilt
 
 $$
-  (\tilde y\circ \tilde x^{-1})(a,b) = ((y\circ x^{-1})(a), D_a(y\circ x^{-1})(b))\quad \to\quad \text{glatt}
+  (\tilde y\circ \tilde x^{-1})(a,b) = (\underbrace{(y\circ x^{-1})(a)}_{\text{glatt}}, \underbrace{D_a(y\circ x^{-1})(b)}_{\text{glatt}} )\quad \to\quad \text{glatt}
 $$
 
 ** Bemerkung
 
 Analog ist $T^*M = \bigcup_{p\in M} T^*_p M$ eine $2$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
 
-TODO 2019-11-08
+% 2019-11-08
+
+Gestern: Tangentialbündel
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+T^*M \arrow[d, "\pi"] &[-25pt] = &[-25pt] \dot\bigcup_{p\in M}T^*_pM   &[-25pt] \rightarrow &[-25pt] \text{Ist auch eine glatte Mannigfaltigkeit}       \\
+M                     &   & {\pi(v)=p,\quad v\in T^*_pM} &             & \dim T^*M = 2\text{-dimensionale Mannigfaltigkeit}
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+$\leftarrow$ geht auch ohne $*$.
+
+Diese Erkenntniss bringt folgendes Resultat:
+
+Sei $f\colon M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ wird jetzt zu einer Abbildung:
+$$
+  Df = f_* \colon \begin{cases} TM &\to TN \\ v \mapsto D_{\pi(v)}f(v) \end{cases}
+$$
+
+$f_*$ ist glatt, denn wenn $(U,x)$ bzw. $(V,y)$ Karten auf $M$ bzw. $N$ sind. $\rightsquigarrow$ $(\tilde U, \tilde x)$, $(\tilde V, \tilde y)$-Karten für $TM$, $TN$
+
+$$
+  (\tilde y \circ f_* \circ \tilde x^{-1})\colon \begin{cases} \R^{2n} &\to \R^{2m}\quad \text{genauer: auf offenen Teilmengen} \\ (a,b) &\mapsto ((y\circ f\circ x^{-1})(a), D_a(y\circ f\circ x^{-1})(b)) \rightarrow \text{ glatt } \end{cases}
+$$
+
+Aus der Definition von $Df = f_*$ folgt:
+
+$$
+  \pi_{TN} \circ f_* = f\circ \pi_{TM}
+$$
+
+das heißt das folgende Diagramm kommutiert:
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+TM \arrow[d, "\pi_{TM}"] \arrow[r, "Df = f_*"] & TN \arrow[d, "\pi_{TN}"] \\
+M \arrow[r, "f_*"]                             & N
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+* Vektorbündel
+
+** Definition
+
+Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung $\pi\colon E\to M$ (Projektionsabbildung), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
+
+1. jede Faser $E_p := \pi^{-1}(p)$, $p\in M$ ist ein $\R$-Vektorraum von Dimension $m$
+2. \emph{[lokale Trivialität]} für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $U$, so dass
+    \begin{center}
+    \begin{tikzcd}
+    \pi^{-1}(U) \arrow[rr, "\cong"] \arrow[rr, "\psi"'] &  & U\times \mathbb R^m
+    \end{tikzcd}
+    \end{center}
+    so dass für jedes $g\in U$ gilt:
+    $$
+      \psi(q, \cdot) \colon E_q\to \R^m
+    $$
+    ist ein Vektorraumisomorphismus
+
+** Beispiele:
+
+ 1. Das triviale $m$-dimensionale Vektorbündel über $M$ ist $E=M\times \R^m$, $\pi$ projiziert in die erste Komponente
+ 2. $TM$, $T^*M$ Vektorbündel über $M$ von Dimension $\dim M$
+ 3. Wenn $E$ und $F$ Vektorbündel über $M$ sind, so ist,
+   $$
+     E\oplus F \overset{\text{als Menge}}= E_p \oplus F_p
+   $$
+   auch ein Vektorbündel
+   (Übung: überprüfe, dass es eine Struktur der Mannigfaltigkeit trägt und lokal trivial ist)
+
+** Slogan
+
+#+BEGIN_QUOTE
+„Differentialgeometrie ist ein Teil der Mathematik, wo man Analysis horizontal und lineare Algebra vertikal macht“
+#+END_QUOTE
+
+** Definition: Schnitt
+
+Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein \emph{Schnitt} von $E$ ist eine glatte Abbildung $s\colon M\to E$ mit
+$$
+  \pi\circ s=\id_M
+$$
+$$
+  \Gamma(E) := \{ s\colon M\to E\ |\ S \text{ Schnitt von } E \}
+$$
+
+Wenn $s\in \Gamma(E)$ ist ein Vektorraum mit punktweisen Operationen:
+
+$$
+  (s_1 + s_2)(p) := s_1(p) + s_2(p),\quad (\lambda s)(p) = \lambda \cdot s(p), \quad p\in M, \quad \lambda \in \R
+$$
+
+** Bemerkung
+
+Wenn $E=M\times\R^m$, dann ist $\Gamma(E) = C^\infty(M, \R^m)$. Wenn nun $s\in \Gamma(E)$, $\varphi\in C^\infty$.
+$$
+  \Rightarrow (\varphi\cdot s)(p) := \varphi(p)\cdot s(p)
+$$
+
+Das macht $\Gamma(E)$ zu einem $C^\infty(M)$-Modul.
+
+Definition:
+
+Seien $\begin{tikzcd} E\arrow[d,"\pi_E"'] \\ M \end{tikzcd}$ und $\begin{tikzcd} F\arrow[d,"\pi_F"'] \\ M \end{tikzcd}$ zwei Vektorbündel. Ein \emph{Homomorpismus} $f\colon E\to F$ ist eine glatte Abbildung mit $\pi_F\circ f = \pi_E$:
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+E \arrow[d, "\pi_E"] \arrow[r]   & F \arrow[d, "\pi_F"] \\
+M \arrow[r, Rightarrow, "\operatorname{id}"] & M
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+(das Diagramm kommutiert)
+
+und so dass $f|_{E_p}\colon E_p \to F_p$ linear ist.
+
+** Definition
+
+$\begin{tikzcd} E\arrow[d] \\ M \end{tikzcd}$, $\begin{tikzcd} F\arrow[d] \\ M \end{tikzcd}$ heißen \emph{isomorph}, wenn es Vektorbündelhomomorphismen $f\colon E\to F$, $g\colon F\to E$ gibt mit
+$$
+  g\circ f = \id_E,\quad f\circ g = \id_F
+$$
+
+Wichtige Erkenntniss: Nicht jedes Vektorbündel ist trivial! (isomorph zu $M\times \R^m$) (Ankündigung; Beweis später!)
+
+*** Beispiel
+
+$$
+  TS^2 \quad \text{Man kann den Igel nicht kämmen}
+$$
+
+** Frage: Wo kommen die kleinen Mannigfaltigkeit her?
+
+Wo kriegt man Mannigfaltigkeiten her?
+
+** Beispiel: Definition durch Gleichung
+
+Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. $f\colon M\to \R^m$ glatt, $g\in \R^m$
+$$
+  f^{-1}(g) = \{ p\in M\ |\ f(p) =q \} \subseteq M
+$$
+Wann sind die Mengen eine Mannigfaltigkeit? Wir sind dann vor Fragen gestellt:
+ 1. Was ist eine sinnvolle Definition einer Untermannigfaltigkeit
+ 2. Wann ist $f^{-1}(q)$ eine Untermannigfaltigkeit?
+
+** Definition
+
+Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeit, Eine Abbildung $i\colon M\to N$ heißt Immersionm, wenn $D_pi$ injektiv ist für jedes $p\in M$.
+
+** Definition
+
+Eine (injektive) Immersion $i\colon M\to N$ heißt Einbettung, wenn $i\colon M \to i(M)\subseteq N$ ein Homömorphismus.
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+*** Vorsicht
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+Untermannigfaltigkeiten kann „injektive Immersion“ oder „Einbettung“ heißen -- nicht äquivalent!!
+
+Für uns heißt „$M$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $N$ “ so viel wie „wir fixieren eine Einbettung ${i\colon M\to N}$ “
+%TODO Syntax ambiguity
+
+TODO Bildchen 14
+TODO Bildchen 15
 
 %2019-11-14