Analog ist $T^*M =\bigcup_{p\in M} T^*_p M$ eine $2$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
TODO 2019-11-08
% 2019-11-08
Gestern: Tangentialbündel
\begin{center}
\begin{tikzcd}
T^*M \arrow[d, "\pi"]&[-25pt] = &[-25pt] \dot\bigcup_{p\in M}T^*_pM &[-25pt] \rightarrow&[-25pt] \text{Ist auch eine glatte Mannigfaltigkeit}\\
M &&{\pi(v)=p,\quad v\in T^*_pM}&&\dim T^*M = 2\text{-dimensionale Mannigfaltigkeit}
\end{tikzcd}
\end{center}
$\leftarrow$ geht auch ohne $*$.
Diese Erkenntniss bringt folgendes Resultat:
Sei $f\colon M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ wird jetzt zu einer Abbildung:
$$
Df = f_*\colon\begin{cases} TM &\to TN \\ v \mapsto D_{\pi(v)}f(v)\end{cases}
$$
$f_*$ ist glatt, denn wenn $(U,x)$ bzw. $(V,y)$ Karten auf $M$ bzw. $N$ sind. $\rightsquigarrow$$(\tilde U, \tilde x)$, $(\tilde V, \tilde y)$-Karten für $TM$, $TN$
$$
(\tilde y \circ f_*\circ\tilde x^{-1})\colon\begin{cases}\R^{2n}&\to\R^{2m}\quad\text{genauer: auf offenen Teilmengen}\\(a,b)&\mapsto((y\circ f\circ x^{-1})(a), D_a(y\circ f\circ x^{-1})(b))\rightarrow\text{ glatt }\end{cases}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel}$E$ von Dimension $m$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung $\pi\colon E\to M$ (Projektionsabbildung), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. jede Faser $E_p :=\pi^{-1}(p)$, $p\in M$ ist ein $\R$-Vektorraum von Dimension $m$
2. \emph{[lokale Trivialität]} für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $U$, so dass
Das macht $\Gamma(E)$ zu einem $C^\infty(M)$-Modul.
Definition:
Seien $\begin{tikzcd} E\arrow[d,"\pi_E"']\\ M \end{tikzcd}$ und $\begin{tikzcd} F\arrow[d,"\pi_F"']\\ M \end{tikzcd}$ zwei Vektorbündel. Ein \emph{Homomorpismus}$f\colon E\to F$ ist eine glatte Abbildung mit $\pi_F\circ f =\pi_E$:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
E \arrow[d, "\pi_E"]\arrow[r]& F \arrow[d, "\pi_F"]\\
M \arrow[r, Rightarrow, "\operatorname{id}"]& M
\end{tikzcd}
\end{center}
(das Diagramm kommutiert)
und so dass $f|_{E_p}\colon E_p \to F_p$ linear ist.
** Definition
$\begin{tikzcd} E\arrow[d]\\ M \end{tikzcd}$, $\begin{tikzcd} F\arrow[d]\\ M \end{tikzcd}$ heißen \emph{isomorph}, wenn es Vektorbündelhomomorphismen $f\colon E\to F$, $g\colon F\to E$ gibt mit
$$
g\circ f =\id_E,\quad f\circ g =\id_F
$$
Wichtige Erkenntniss: Nicht jedes Vektorbündel ist trivial! (isomorph zu $M\times\R^m$) (Ankündigung; Beweis später!)
*** Beispiel
$$
TS^2\quad\text{Man kann den Igel nicht kämmen}
$$
** Frage: Wo kommen die kleinen Mannigfaltigkeit her?
Wo kriegt man Mannigfaltigkeiten her?
** Beispiel: Definition durch Gleichung
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. $f\colon M\to\R^m$ glatt, $g\in\R^m$
$$
f^{-1}(g)=\{ p\in M\ |\ f(p)=q \}\subseteq M
$$
Wann sind die Mengen eine Mannigfaltigkeit? Wir sind dann vor Fragen gestellt:
1. Was ist eine sinnvolle Definition einer Untermannigfaltigkeit
2. Wann ist $f^{-1}(q)$ eine Untermannigfaltigkeit?
** Definition
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeit, Eine Abbildung $i\colon M\to N$ heißt Immersionm, wenn $D_pi$ injektiv ist für jedes $p\in M$.
** Definition
Eine (injektive) Immersion $i\colon M\to N$ heißt Einbettung, wenn $i\colon M \to i(M)\subseteq N$ ein Homömorphismus.
*** Vorsicht
Untermannigfaltigkeiten kann „injektive Immersion“ oder „Einbettung“ heißen -- nicht äquivalent!!
Für uns heißt „$M$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $N$ “ so viel wie „wir fixieren eine Einbettung ${i\colon M\to N}$ “