2019-05-07

diffgeoII/edit-this-file.tex

@@ -1120,7 +1120,7 @@ $$
 Eine multiliniear Abbildung $m\colon \underbrace{ V^{k} }_{= V\times \ldots \times V} \to \mathbb R$ ($= m\colon V^{\otimes k}\to \mathbb R$) heißt alternierend, wenn
 
 $$
-  m(\ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots) = 0\ \text{ für alle } v\in V
+  m(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots, v_k) = 0\ \text{ für alle } v\in V
 $$
 
 $\Leftrightarrow m$ verschwindet, wenn zwei (beliebige) $V$ gerade gleich sind)
@@ -1145,7 +1145,7 @@ $$
 ** Proposition
 
 $$
-  \bigwedge^k V^* \cong (\bigwedge^k V)^* \cong A_k(V) = \{ m\colon V^k \to \mathbb R \text{ alternierend } \}
+  \bigwedge^k V^* \cong \left(\bigwedge^k V\right)^* \cong A_k(V) = \{ m\colon V^k \to \mathbb R \text{ alternierend } \}
 $$
 
 Beweis:
@@ -1755,3 +1755,193 @@ Sei $\omega\in \Omega^k (M)$ , $c\colon [0,1]^k \to M$ eine singulärer $k$-Wür
 $$
   \int_c \omega := \int_{[0,1^k]} c^*(\omega)
 $$
+
+%2019-05-07
+
+* Integration von Differentialform
+
+** Definition
+
+Der $k$-Standardwürfel ist definiert als $[0,1]^k$ ($k\in \mathbb N$)
+
+$$
+  [0,1]^0 := \{0\}
+$$
+
+Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine (glatte) Abbildung $c\colon[0,1]^k \to M$
+
+%TODO Bilchen malwurf
+
+** Definition
+
+Sei $\omega = \underbrace{ f }_{\in C^\infty (\mathbb R^k)} \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^k$ eine $k$-Form von $\omega$ über $[0,1]^k$ ($[0,1]^k \subset \mathbb R^k$) ist definiert als
+
+$$
+  \int_{[0,1]^0} \omega &:=& f(0)
+  \\ \int_{[0,1]^k} \omega &:=& \int_{[0,1]^k} f(u)\intd u^1 \cdotd \intd u^k
+$$
+
+(Das Integral der Funktion $f$ auf der rechten Seite der Definition im Sinne der Analysis)
+
+** Definition
+
+Sei $\omega \in \Omega^k(M)$, $c\colon [0,1]^k \to M$ ein singulärer Würfel in $M$. Das Integral von $\omega$ über $c$ ist definiert als
+$$
+  \int_c \omega := \int_{[0,1]^k} c^* w
+$$
+
+** Beispiel
+
+Sei $M=\mathbb R^k$, $c\colon[0,1]^k \to \mathbb R^k$, ein singulärer Würfel mit $\operatorname{det} D_xc \neq 0 \forall x\in [0,1]^k$. (Bemerkung: Diese Bedingung erzwingt, dass $\operatorname{det} D_x c > 0 (\text{oder} <0) \forall x\in [0,1]$)
+
+Sei $\omega = f(u) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k \in \Omega^k(\mathbb R^k)$
+$$
+  \int_c \omega &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega = \int_{[0,1]^k} f(c(x)) \operatorname{det} D_x c\,\diffdx^1\cdots \diffd x^k
+  \\ &\overset{\text{Transformationsformel}}=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd^1 u^1 \cdots \intd u^k
+  %TODO missing
+$$
+
+$$
+  + && \text{wenn $\det D_x c> 0$ }
+  - && \text{wenn $\det D_x c >0$ }, \forall x \in [0,1]^k
+$$
+
+%TODO Bildchen 2
+
+$$
+  c^* &=& \tilde f(x) \, \diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^k \in \Omega^k([0,1]^k)
+  \\ \tilde f (x) &=& (c^* \omega)(x) \left(\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^k}\right)
+  \\ &=& \omega(c(x)) \left( c_*\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, c_*\frac{\partial}{\partial x^k} \right)
+  \\ &=& f(c(x)) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd^k \left( D_x c\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, D_x c\frac{\partial}{\partial x^k} \right)
+  \\ &=& f(c(x)) \operatorname{det} \bigg( \underbrace{ \diffd u^i \bigg( \underbrace{ D_x c\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) }_{j\text{-te Spalte der Jacobi-Matrix}} \bigg) }_{i\text{-te Komponente}} \bigg)^k_{i,j = 1}
+  \\ &=& f(c(x)) \cdot \det D_x c
+  \\ &=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd u^1 \cdots \intd u^k 
+$$
+
+** Lemma
+
+Das Integral von $\omega$ über einen singuläreren Würfel $c\colon [0,1]^k \to M$ ist parametrisierungsunabhängig: Wenn $F\colon [0,1]^k \to [0,1]^k$ ein Diffeomorphismus mit $\det D_x F > 0 \forall x\n [0,1]^k$, dann gilt:
+
+$$
+  \int_{c\circ F} \omega = \int_c \omega, \quad \quad \forall\omega\in \Omega^k(M)
+$$
+
+Beweis:
+
+$$
+  \int_{c\circ F} \omega &\overset{\text{Def.}}=& \int_{[0,1]^k} (c\circ F)^*\omega
+  \\ &=& \int_{[0,1]^k} F^* (c^* \omega)
+  \\ &\overset{\text{Def.}}=& \int_F c^*\omega
+  \\ &\overset{\text{Bsp.}}=& \int_{F([0,1]^k)} c^* \omega \left( \frac{\partial}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u^k} \right) \intd u^1 \cdots \intd u^k
+  \\ &\overset{ F([0,1]) = ?? [0,1]^k}=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega \left( \frac{\partial}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u^k} \right) \intd u^1, \ldots, \intd^k
+  \\ &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega
+  \\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \omega
+$$
+
+%TODO Bilchen
+
+** Definition
+
+Sei $M$ eine Mfg., $k\in \mathbb N$. Eine $k$-Kette in $M$ ist ein Element des freien $\mathbb R$-Vektorraumes auf der Menge singulärerer $k$-Würfel in $M$, d.h. eine formale Linearkombination.
+
+$$
+  \sum_{i=1}^{N} a_ic_i
+$$
+
+mit $a_i \in \mathbb R$, $c_i \colon [0,1]^k \to M$ singulärer $k$-Würfel. Für $\omega \in \Omega^k(M)$ definiere
+$$
+  \int_{\sum_{i=1}^N a_ic_i} &:=& \sum_{i=1}^N a_i \int_{c_i} \omega
+$$
+
+Sei $W_k := [0,1]^k$ der Standardwürfel in $\mathbb R^k$
+
+$$
+  \partial W_k = \bigcup_{i=0}^k W_{i,0} \cup \bigcup_{i=0}^k W_{i,1}
+$$
+
+$$
+  W_{i,0} &=& \{ x\in W \mathrel | x = (x_1, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i+1}, \ldots, x_k) \}
+  \\&=& \{ x\in W \mathrel | x_i = 0 \}
+  \\&\cong& W_{k-1}
+$$
+
+$$
+  W_{i,1} &=& \{ x\in W_k \mathrel| x_i = 1 \}
+  \\&\cong& W_{k-1}
+$$
+
+** Definition
+
+Sei $c\colon W_k \to M$ ein singulärer $k$-Würfel. Der Rand von $c$ ist die singuläre $(k-1)$-Kette
+
+%TODO author of book might have done a mistake
+$$
+  \partial c &:=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c |_{W_{i,j}}
+$$
+
+$c|_{W_{i,j}}$ ist ein singulärer $(k-1)$-Würfel, weil $W_{i,j} \cong W_{k-1}$ wie oben
+
+** Beispiel
+
+$$
+     k=0 &\Rightarrow& \partial c = 0
+  \\ k=1 &\Rightarrow& \partial c = c|_{\{1\}} - c|_{\{0\}}
+  \\ k=2 &\Rightarrow& \partial c = -c|_{W_{1,0}} + c|_{W_{1,1}} - c|_{W_{2,1}} +c|_{W_{2,0}}
+$$
+
+%TODO Bilchen (4)
+
+Es gilt $\partial(partial(c)) = 0$. ($k=1$ klar, $k=2$:)
+
+$$
+  \partial(\partial(c)) = \cancel{ c|_{\{A\}} } - \xcancel{ c|_{\{D\}}}  + \bcancel{ c|_{\{B\}} } -\cancel{c|_{\{A\}}} +c|_{\{C\}} -\bcancel{ c|_{\{B\}}} +\xcancel{c|_{\{D\}}} -c|_{\{C\}}
+$$
+
+Beweis: sie Walschap
+
+** Bemerkung/Übung:
+
+Für jeden singulären Würfel $c$ ($\Rightarrow$ für jede Kette) gilt $\partial^2(c) := \partial(\partial(c)) = 0$
+
+** Beispiel
+
+Sei $c = \sum_{i=1}^N a_i c_i$ eine $1$-Kette in $\mathbb R$ $(c_i\colon [0,1] \to \mathbb R)$, $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$
+
+Dann gilt:
+
+$$
+  \int_c \intd f = \int_{\partial c} f
+$$
+
+Beweis:
+
+Nach Linearität reicht es, dies für einen singulären $1$-Würfel $c\colon [0,1] \to \mathbb R$ zu zeigen.
+
+$$
+  \int_c \intd f &=& \int_{[0,1]} c^* (\diffd f)
+  \\ &=& \int_{[0,1]} (f\circ c)' du
+  \\ &\overset{\text{Haupsatz der Diff/ und Int-Rechnung}}=& f(c(1))
+  \\ &=& f(c(0)) -f(c(0))
+  \\ &=& \int_{\partial c} f
+$$
+
+$$
+  \intd f &=& f'(t) \diffd t
+  \\ c^* (diffd f) = \tilde f(u) \diffd u = (f\circ c)' \intd u
+  \\ \tilde f (u) &=& c^*(\diff d) (\frac{\partial}{\partial u})
+  \\ &=& \diffd f(c_* \frac{\partial}{\partial u})
+  \\ &=& f'(c'(u))\diffd t(c_* \frac{\partial}{\partial u})
+  \\ &=& f'(c(u)) c'(u)
+$$
+
+** Nächstes Ziel
+
+Satz von Stokes:
+
+ 1) lokale Form $\int_c \intd \omega = \int_{\partial c} \omega$ ($c$-$k$-Kette, $\omega \to (k-1)$-Form)
+ 2) Erweiterung der Integration auf Mannigfaltigkeit
+
+wenn $\operatorname{dim} M=n (+\ldots)$ für $\omega\in \Omega^n(M) \rightsquigarrow \int_M \omega$ und 
+$$
+  \int_{\underbrace{ M }_{\text{Mannigfaltigkeit mit Rand}}} \intd \omega' = \int_{\partial M} \omega'
+$$

diffgeoII/latex.template

@@ -386,7 +386,8 @@ $endif$
 $if(tikz)$
 \usepackage{tikz, tikz-cd}
 $endif$
-\newcommand{ \intd }{ \,\mathrm d }
+\newcommand{ \diffd }{ \mathrm d }
+\newcommand{ \intd }{ \,\diffd }
 \newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }