Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi\circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p)\in T_pM$)
Gegeben $X \rightsquigarrow\Phi\colon\underset{\subseteq\mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes)
s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) :=\Phi(t,p)$ die ODE
$$1
\dot\gamma(t)= X(\gamma(t))
$$1
lässt
3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in\underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld}\rightsquigarrow[X,Y]\in\Gamma(TM)$
$(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra.
Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften:
1. $[X,Y]=-[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$
2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$:
$$
[X, [Y,Z]]+[Y, [Z, X]]+[Z, [X,Y]]=0
$$
Beispiele:
1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra
2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B]= AB - BA$ ist eine Lie-Algebra
Verbindung zwischen 1) und 2)%ref
-- Lie-Gruppen
Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt.
$G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow\operatorname{Lie}(G)=2(G)=\{ X\in\Gamma(TG)\ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p}= D_pLg} X = X \}=\{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld }\}$
$\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$.
Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G)\cong T_1G$ als Vektoraum
