@@ -1715,7 +1715,184 @@ Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $
Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ eine abgeschlossene (bzgl Topologie auf $G$) Untergruppe. $\Rightarrow H$ ist eine Untermannigfaltigkeit (und somit automatisch eine Lie-(Unter)gruppe)
TODO 2019-11-22
%2019-11-22
** Frage
#+BEGIN_QUOTE
Warum ist $\operatorname{SO}(n)$ zusammenhängend?
#+END_QUOTE
** Erinnerung
$G\overset{\alpha}\curvearrowright X$ Gruppenwirkung $\Leftrightarrow G \xrightarrow{\alpha}\operatorname{Sym}(X)$ Homomorpismus
** Definition
Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine \emph{(glatte) Wirkung}$G\overset{\alpha}\curvearrowright M$ ist ein Homomorpismus $\alpha\colon G \to\operatorname{Diff}(M)$
** Idee: „Erlangen-Programm“ 1872, Felix Klein
Studiere Mannigfaltigkeit durch ihre Symetriegruppen $(S^n,d)\subseteq(\R^{n+1}, d_{\text{euklidische}})$ mit der „runden Metrik“ (euklidische Metrik)
x\in X&\colon&\begin{cases} G&\to X\\g&\mapsto g x\end{cases}
\\H&=&\{ g\in G\ |\ g x = x \}=: \operatorname{Stab}(x)
$$
$$
H&\trianglelefteq& G
\\G&\curvearrowright& G / H
\\&\alpha_g(kH)= gkH&
$$
** Satz: Hauptsatz über Wirkungen
jede transitive Wirkung $(G\curvearrowright X)$ ist isomorph zu einer Wirkung $(G\curvearrowright G / H)$ für eine Untergruppe $H$. Der Isomophismus geht so: Wähle: „Anfangspunkt“ $x\in X$, $H:=\operatorname{Stab}(x)$. Der Isomophismus ist:
zusammenhängend $=$ nicht zerlegbar in zwei (disjunkte) nicht leere offene Teilmengen
** Lemma
Sei $G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ abgeschlossene Untergruppe. Sind $H$, $G/H$ zusammenhängend, so ist auch $G$ zusammenhängend.
Beweis:
Angenommen: $G=A\sqcup B$, $A$, $B$ offen, nicht leer oBdA sei $1\in A$. Jede Nebenklasse $gH$ ist zusammenhängend (wie $H$), $gH =(gH \cap A)\sqcup(gH\cap B)\Rightarrow$ eins davon ist leer. $\Rightarrow$ jede Nebenklasse von $H$ liegt vollständig in $A$ oder vollständig in $B$.
Nun gilt $G \overset{\text{als Menge}}=\bigsqcup_{[g]\in G/H}gH$
$\Rightarrow q(A)\sqcup q(B)= G/H$ ist disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen, weil
$$
q^{-1}(q(A))= A, \quad q^{-1}(q(B))= B \quad\Rightarrow f' \text{ zu } G/H \text{ zusammenhängend}
Wenn $\xi\in T_1G \Rightarrow X_{\xi}\in\Gamma(TG)$ heißt das Linksinvariante Vektorfeld zu $\xi$. Sie nun $\psi\colon G \times T_1 G \to TG$, $(g,\xi)\mapsto(L_g)_*(\xi)= X_{\xi}(g)$
** Behauptung
$\psi$ ist Diffeomorphismus
Beweis:
Die Abbildung
$$
\varphi\colon\begin{cases} TG &\to G \times T_1 G \\ v &\mapsto(\pi(v), (L_{\pi(v)^{-1}})_* v)\end{cases}
$$
ist $\psi^{-1}$.
** Definition
Das Vektorfeld $X_\xi$, $g\mapsto(L_g)_*(\xi)$ heißt das \emph{linksinvariante Vektorfeld} zu $\xi\in T_1G$.
** Definition
Ein Vektorfeld $X\in\Gamma(TG)$ heißt \emph{linksinvariant}, wenn