2019-11-22

diffgeoIII/edit-this-file.tex

@@ -1715,7 +1715,184 @@ Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $
 
 Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ eine abgeschlossene (bzgl Topologie auf $G$) Untergruppe. $\Rightarrow H$ ist eine Untermannigfaltigkeit (und somit automatisch eine Lie-(Unter)gruppe)
 
-TODO 2019-11-22
+%2019-11-22
+
+** Frage
+
+#+BEGIN_QUOTE
+Warum ist $\operatorname{SO}(n)$ zusammenhängend?
+#+END_QUOTE
+
+** Erinnerung
+
+$G\overset{\alpha}\curvearrowright X$ Gruppenwirkung $\Leftrightarrow G \xrightarrow{\alpha} \operatorname{Sym}(X)$ Homomorpismus
+
+** Definition
+
+Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine \emph{(glatte) Wirkung} $G\overset{\alpha}\curvearrowright M$ ist ein Homomorpismus $\alpha\colon G \to \operatorname{Diff}(M)$
+
+** Idee: „Erlangen-Programm“ 1872, Felix Klein
+
+Studiere Mannigfaltigkeit durch ihre Symetriegruppen $(S^n,d)\subseteq (\R^{n+1}, d_{\text{euklidische}})$ mit der „runden Metrik“ (euklidische Metrik)
+
+** Fakt
+
+$$
+  \underbrace{\operatorname{S^n, d}}_{\text{Isometrien}} \cong \underbrace{O}_{\text{othogonale Matrizen}}(n+1)
+$$
+
+(insbesondere: $O(n+1)\curvearrowright S^n$ wirkt transitiv)
+
+$G\curvearrowright X$ transitiv
+
+$$
+  x\in X&\colon& \begin{cases} G&\to X\\g&\mapsto g x\end{cases}
+  \\H&=&\{ g\in G\ |\ g x = x \} =: \operatorname{Stab}(x)
+$$
+
+$$
+  H&\trianglelefteq& G
+  \\G&\curvearrowright& G / H
+  \\&\alpha_g(kH) = gkH&
+$$
+
+** Satz: Hauptsatz über Wirkungen
+
+jede transitive Wirkung $(G\curvearrowright X)$ ist isomorph zu einer Wirkung $(G\curvearrowright G / H)$ für eine Untergruppe $H$. Der Isomophismus geht so: Wähle: „Anfangspunkt“ $x\in X$, $H:= \operatorname{Stab}(x)$. Der Isomophismus ist:
+$$
+  gH \mapsto gx
+$$
+
+$O(n+1) \curvearrowright S^n$ transitiv,
+$$
+  \operatorname{Stab}((1,0,\ldots,0)^t) = \left[ \begin{matrix} 1 & \begin{matrix} 0 & \ldots & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0\\\vdots\\0 \end{matrix} & O(n) \end{matrix} \right] \cong O(n)
+$$
+
+$\Rightarrow$
+$$
+  S^n \overset{\text{als Menge}}\cong O(n+1)/O(n)
+$$
+
+Alternativ: $S^n \cong \operatorname{SO}(n+1) / \operatorname{SO}(n)$ (gleiches Argument, wähle positiv orientierte Basis)
+
+Beobachtung: $S^n \overset{\text{des topologischen Raums}}\cong \operatorname{SO(n+1)}/\operatorname{SO}(n)$ zusammenhängend.
+
+** Frage
+
+Sei $G$ Lie-Gruppe, $H \trianglelefteq G$ Lie-Untergruppe. Wie macht man $G/H$ zu einer Mannigfaltigkeit?
+
+ 1. Topologie: Quotiententopologie: haben $q\colon G\twoheadrightarrow G/H$. Definiere
+  $$
+    \tau := \{ U\subseteq G/H\ |\ q^{-1}(U) \text{ offen } \}
+  $$
+ 2. glatte Struktur: kommt später
+
+** Erinnerung
+
+zusammenhängend $=$ nicht zerlegbar in zwei (disjunkte) nicht leere offene Teilmengen
+
+** Lemma
+
+Sei $G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ abgeschlossene Untergruppe. Sind $H$, $G/H$ zusammenhängend, so ist auch $G$ zusammenhängend.
+
+Beweis:
+
+Angenommen: $G=A\sqcup B$, $A$, $B$ offen, nicht leer oBdA sei $1\in A$. Jede Nebenklasse $gH$ ist zusammenhängend (wie $H$), $gH =(gH \cap A)\sqcup(gH\cap B) \Rightarrow$ eins davon ist leer. $\Rightarrow$ jede Nebenklasse von $H$ liegt vollständig in $A$ oder vollständig in $B$.
+
+Nun gilt $G \overset{\text{als Menge}}= \bigsqcup_{[g]\in G/H}gH$
+
+$\Rightarrow q(A)\sqcup q(B) = G/H$ ist disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen, weil
+$$
+  q^{-1}(q(A)) = A, \quad q^{-1}(q(B)) = B \quad \Rightarrow f' \text{ zu } G/H \text{ zusammenhängend}
+$$
+
+** Behauptung
+
+$\operatorname{SO}(n)$ zusammenhängend $\forall n\geqslant 1$
+
+Beweis:
+
+Induktion:
+
+ - $n=1$: $\operatorname{SO}(1) = \{ 1 \} \quad \checkmark$
+ - $n\neq 1$: $\operatorname{SO(n+1)}/\operatorname{SO}(n) \cong S^k$ zusammenhängend $\Rightarrow \Rightarrow \operatorname{SO}(n+1)$ zusammenhängend.
+
+* Linksinvariante Vektorfelder auf Lie-Gruppen
+
+** Lemma
+
+Sei $G$ eine Lie-Gruppe. Das Tangentialbündel von $G$ ist trivial: $TG \cong G\times T_1G$.
+
+Beweis:
+
+Für jedes $g\in G$ ist die \emph{Lie-Linksverschiebung}
+
+$$
+  L_g\colon \begin{cases} G&\to G\\h&\mapsto gh \end{cases}
+$$
+ein Diffeomorphismus.
+
+Wenn $\xi \in T_1G \Rightarrow X_{\xi}\in \Gamma(TG)$ heißt das Linksinvariante Vektorfeld zu $\xi$. Sie nun $\psi \colon G \times T_1 G \to TG$, $(g,\xi)\mapsto (L_g)_*(\xi) = X_{\xi}(g)$
+
+** Behauptung
+
+$\psi$ ist Diffeomorphismus
+
+Beweis:
+
+Die Abbildung
+
+$$
+ \varphi \colon \begin{cases} TG &\to G \times T_1 G \\ v & \mapsto (\pi(v), (L_{\pi(v)^{-1}})_* v) \end{cases}
+$$
+ist $\psi^{-1}$.
+
+** Definition
+
+Das Vektorfeld $X_\xi$, $g\mapsto (L_g)_*(\xi)$ heißt das \emph{linksinvariante Vektorfeld} zu $\xi\in T_1G$.
+
+** Definition
+
+Ein Vektorfeld $X\in \Gamma(TG)$ heißt \emph{linksinvariant}, wenn
+$$
+  \forall h\in G: (L_h)_{*}X = X, \quad \text{ d.h. } \quad (L_h)_{*} X(g) = X(L_h g) = X(hg)
+$$
+
+** Lemma
+
+$X_\xi$ ist linksinvariant
+
+Beweis:
+
+$$
+  (L_h)_* X_{\xi}(g) = (L_h)_* (L_g)_* \xi =(L_{hg})_* \xi = X_{xi}(hg)
+$$
+
+** Lemma
+
+Jedes linksinvariante Vektorfeld $X\in \Gamma(TG)$ ist von der Form $X_\xi$ für ein eindeutig bestimmtes $\xi\in T_1G$.
+
+Genauer: Die Ausertungsabbildung $ev_1\colon \{ \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \} \to T_1 G$ ist ein Isomophismus von Vektorräumen.
+
+Beweis:
+
+Die Abbildung $\xi \mapsto X_\xi$ ist invers zu $ev_1$:
+ - injektiv: weil $X_\xi (1) = \xi$
+ - surjektiv: wenn $X$ linksinvariant ist, gilt $X(g) = (L_g)_*X(1) \Rightarrow X = X_{X(1)}$
+
+** Beispiel
+
+ - $(\R^n, +)$: linksinvariant $\mathrel{\hat=}$ konstant
+   TODO Bildchen 25
+
+ - $(\R^{\times}_+, \cdot)$: $(L_{\alpha})_* = a$
+   TODO Bildchen 26
+
+ - $(U(1), \cdot) \cong (S^1, \cdot)\subset (\mathbb C^{\times}, \cdot)$
+   TODO Bildchen 27
+
+ - $(\mathbb C^{\times}, \cdot)$: $(L_z)_* = z$
+   TODO Bildchen 28
 
 TODO 2019-11-28
 TODO 2019-11-29