Commit 6388dc77 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-04-10

parent aa6be392
......@@ -12,7 +12,7 @@ while read -r directory events filename; do
#pdflatex gdim.tex
#TODO rename
mv gdim.pdf dgeo.pdf
mv gdim.pdf dgeo-alekseev.pdf
echo "wait for next change..."
fi
done
......@@ -145,6 +145,8 @@ M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"]
%TODO vertical line
%2019-??-??
TODO Bildchen %TODO
$$
......@@ -446,7 +448,7 @@ Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1 \times \ldots \times V_n \t
** Definition: Tensorprodukt
Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\oplus W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f \colon V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\otimes W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
\begin{center}
\begin{tikzcd}
......@@ -455,51 +457,51 @@ V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f
\end{tikzcd}
\end{center}
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\oplus W$
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\otimes W$
Wenn $V\oplus W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
Wenn $V\otimes W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
Beweis:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V + W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\oplus W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] & \ \\
& (V\oplus W)_2 & \arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
V + W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] & \ \\
& (V\otimes W)_2 & \arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
\end{tikzcd}
\end{center}
Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_1$ liefert $f_1\colon (V\oplus W)_1 \to (V\oplus W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$.
Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_1$ liefert $f_1\colon (V\otimes W)_1 \to (V\otimes W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$.
Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_2$ liefert $f_2\colon (V\oplus W)_2 \to (V\oplus W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.
Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_2$ liefert $f_2\colon (V\otimes W)_2 \to (V\otimes W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.
Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte z.B.: $f_1\circ f_2$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\oplus W \arrow[r, "i_2"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\oplus W)_2 \arrow[d, "f_1\circ f_2"] & \ \\
\ & (V\oplus W)_2 & \ \arrow[u, "id"']
V\otimes W \arrow[r, "i_2"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, "f_1\circ f_2"] & \ \\
\ & (V\otimes W)_2 & \ \arrow[u, "id"']
\end{tikzcd}
\end{center}
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\oplus W)_2$ ist $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\oplus W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\otimes W)_2$ ist $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
** Existenz von $V \oplus W$
** Existenz von $V \otimes W$
Idee: $V\oplus W$ soll von Ausdrücken der Form $v\oplus w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\oplus w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (re­elle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.
$$
\mathcal F_{\mathbb R}(X) \cong \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viel } x \}
\mathcal F_{\mathbb R}(X) \cong \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viele } x\in X \}
$$
$$
V\oplus W := \nicefrac
V\otimes W :=
{
\mathcal F(V\times W)
}{
}/{
\left\langle
\begin{subarray}{l}
(v_1+v_2, w) -(v_1,w) -(v_2,w), v_1, v_2 \in V, w\in W \\
......@@ -512,20 +514,199 @@ $$
\right\}
v \in V, w\in W, \lambda \in \mathbb R
\end{subarray} \right\rangle
}
}
$$
Sei
$$
i \colon &V\times W& \to V\oplus W
\\ &(v,w)& \mapsto [(v,w)] =: v\oplus w
i \colon &V\times W& \to V\otimes W
\\ &(v,w)& \mapsto [(v,w)] =: v\otimes w
$$
Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:
$$
(v_1+v_2)\oplus w &:=& v_1\oplus w + v_2 \oplus w
\\ v\oplus (w_1 + w_2) &:=& v\oplus w_1 + v\oplus w_2
\\ \lambda(v\oplus w) &=& v\oplus \lambda w = \lambda v\oplus w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
(v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w
\\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2
\\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$
%%%%2019-04-10
$$
\langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot)
$$
wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$)
Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$.
($e'=0$, $e'\in E'$) %TODO ?
Entsprechend ist
$$
V\otimes W = \operatorname{span}\{ \underbrace{v\otimes w}_{=[(v,w)]}\ |\ v\in V, w\in W \}
$$
mit den Relationen:
$$
(v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2 \otimes w
\\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2
\\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$
** Lemma
Die angegebene Konstruktion von $V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft.
Beweis:
Sei $f\colon V\times W \to Z$ gegeben, bilinear
Definiere
$$
\hat f\colon V\times W &\to& Z,\ \ \ \ \text{linear}
\\ \sum_{i=1}^k \lambda_i(v_i, w_i) &\mapsto& \sum_{i=1}^k \lambda_i f(v_i, w_i)
$$
Behauptung: $\hat f$ induziert eine lineare Abbildung $\bar f$
$$
\bar f\colon V\otimes W &\to& Z
\\ (v\otimes w) &\mapsto& \hat f((v,w))
$$
Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben %TODO ref
im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B.
$$
&& \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) )
\\ &\overset{\text{Def. } \hat f}{=}& f(v_1 + v_2, w) - f(v_1, w) - f(v_2, w)
\\ &\overset{\text{Bilinearität von } f}=& 0
$$
$\Rightarrow$ $\bar f$ erfüllt dann $\bar f(v\otimes w) = f(v,w) \Rightarrow V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft.
** Homomorphismen und Dualräume: (Erinnerung aus LAAG)
$V$, $W$ Vektorräume $\rightsquigarrow Hom(V,W) = \{ f\colon V\to W\ |\ f \text{ linear } \}$ ist selbst ein Vektoraum, wenn $V$, $W$ endlichdimensional $\Rightarrow \operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V,W) = \operatorname{dim}V \cdot \operatorname{dim} W$ ($\operatorname{Hom}(V,W) \cong \mathbb{M}(m\times n, \mathbb R)$, wenn $V\cong \mathbb R^n$, $W\cong \mathbb R^m$)
$V^* := \operatorname{Hom}(V, \mathbb R)$ ist dann der Dualraum von $V$. Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$ ist, dann gibt es die duale Basis $\{ \alpha_j \}_{j=1}^n \subset V^*$ mit: $\alpha_j(e_i) := \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}$
Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^{**}$, $v\mapsto (\alpha \mapsto \alpha(v))$ ein Isomorphismus
** Proposition
$W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann:
$$
\operatorname{dim} W\otimes V^* = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V = \operatorname{dim} W \otimes V
$$
Mehr: wenn $\{ f_j \}^m_{j=1}$ und $\{ e_i \}^n_{i=1}$ Basen in $W$ bzw. $V$ sind. Dann ist $\{ f_j \otimes e_i \}_{i=1,\dotsc, n; j=1,\dotsc, m}$ eine Basis in $W\otimes V$
Beweis:
Sei $L\colon W\times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha) \mapsto (\theta_{w,\alpha} \colon v \mapsto \alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang} 1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$)
$L$ ist bilinear, weil:
$$
&& (L(w_1 + \lambda w_2, \alpha_1 + \mu\alpha_2))(v)
\\&=& (\alpha_1 + \mu\alpha_2)(v)\cdot(w_1 + \lambda w_2)
\\&=& \underbrace{ \alpha_1(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_1)(v)}
+ \underbrace{ \mu \alpha_2(v)w_1 }_{L(w_1, \alpha_2)(v)}
+ \lambda \underbrace{ \alpha_1(v)w_2 }_{L(w_2, \alpha_1)(v)}
+ \mu\lambda \underbrace{ \alpha_2(v)\cdot w_2 }_{L(w_2, \alpha_2)(v)}
$$
Nach der universellen Eigenschaft vom Tensorprodukt bekommen wir eine lineare Abbildung
$$
\bar L \colon W\otimes V^* &\to& \operatorname{Hom}(V,W)
\\ w\otimes \alpha &\mapsto& \theta_{w,\alpha}
$$
$\bar L$ ist ein Isomorphismus: geben wir das Inverse an. Sei $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis on $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n$ die duale Basis in $V^*$. Definiere
$$
\varphi \colon \operatorname{Hom}(V,W) &\to& W\otimes V^*
\\ T &\mapsto& \sum_{i=1}^n T(e_i) \otimes \alpha_i
$$
$$
\varphi \circ \bar L(w\otimes \alpha) &=& \varphi(\theta_{w,\alpha})
\\&=& \sum_{w,\alpha} (e_i) \otimes \alpha_i
\\&=& \sum_{i=1}^{n} \alpha(e_i)w\otimes \alpha_i
\\&=& w\otimes \left( \sum_{i=1}^{n}\alpha(e_i)\cdot \alpha_i \right)
\\&=& w\otimes \alpha
\\&\Rightarrow& \varphi \circ \bar L = \operatorname{id}
$$
$$
(\bar L\circ \varphi(T)(v))
&=& \sum_{i=1}^{n} \theta_{T(e_i), \alpha_i}(v)
\\&=& \sum_{i=1}^{n}\alpha_i(v)T(e_i)
\\&=& T\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i (v) e_i\right)
\\&=& T(v)
\\&\Rightarrow& \bar L \circ \varphi = \operatorname{id}
$$
$W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operatorname{dim} W\otimes V = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V \Rightarrow \{ f_j \otimes e_i \}$ ist eine Basis.
** Korollar
Wenn $X$, $Y$ endliche Mengen sind, dann gilt:
$$
\mathcal F(X\times Y) \cong \mathcal{F}(X) \otimes \mathcal{F}(Y)
$$
Erinnerung: hier gilt $\mathcal F(X) = \{ f\colon X \to \mathbb R \}$ mit punktweisen Operationen
** Korollar
$W\otimes V \cong V\otimes W$, $W\otimes(V\otimes Z) = (W\otimes V)\otimes Z$
Bemerkung: Es gilt auch ohne Einschränkung auf Dimensionen
** Definition Tensor
Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (zum Vektoraum $V$) ist ein Element des Vektoraumes
$$
T_{r,s}(V) := V \underbrace{ \otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}}
$$
Bemerkung: Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $\{ \alpha_i \}_{i=1}^n \subset V^*$ duale Basis. $\rightsquigarrow$
$$
\{ e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_r} \ |\ i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \}
$$
ist eine Basis in $T_{r,s}$ (Beweis: wende induktiv die Proposition an).
$\Rightarrow$ jedes $T\in T_{r,s}(V)$ ist darstellbar also
$$
T= \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} } T_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1,\ldots,i_r} (e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s})
$$
Beispiel $T_{1,1} (V) = V\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{End}(V)$ d.h., elemente von $T_{1,1}$ kann man als lineare Abbildung von $V$ nach $V$ interpretieren. Multilinear heißt linear in jeder Komponente. Sei
$$
M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{ V\times \ldots \times V }_{s\text{-mal}} \times \underbrace{ V^* \times \ldots \times V^* }_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$
** Proposition
$T_{r,s}(V)$ ist kanonisch isomorph zu $M_{s,r} (V)$
** Korollar
$$
\operatorname{Bil}(V) = \{ b\colon V\times V \to \mathbb R \text{ biliniear} \} \cong V^*\otimes V^*
$$
Insbesondere ist ein Skalarpodukt auf $V$ ein Tensor vom Typ $(0,2)$ Notation $g_{i,j}$ für Koordinaten einer Metrik ist konstant mit Tensorprodukten.
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