Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\oplus W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f \colonV\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\otimes W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
\begin{center}
\begin{tikzcd}
...
...
@@ -455,51 +457,51 @@ V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f
\end{tikzcd}
\end{center}
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\oplus W$
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\otimes W$
Wenn $V\oplus W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
Wenn $V\otimes W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
Beweis:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V + W \arrow[r, "i_1"]\arrow[rd, "i_2"']& (V\oplus W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed]&\ \\
& (V\oplus W)_2 &\arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
V + W \arrow[r, "i_1"]\arrow[rd, "i_2"']& (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed]&\ \\
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\oplus W)_2$ ist $f_1\circ f_2=\operatorname{id}_{(V\oplus W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\otimes W)_2$ ist $f_1\circ f_2=\operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
** Existenz von $V \oplus W$
** Existenz von $V \otimes W$
Idee: $V\oplus W$ soll von Ausdrücken der Form $v\oplus w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\oplus w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.
$$
\mathcal F_{\mathbb R}(X)\cong\{ f\colon X\to\mathbb R\ |\ f(x)\neq0\text{ für endlich viel } x \}
\\\lambda(v\otimes w)&=& v\otimes\lambda w =\lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2\in V, w_1, w_2\in W, \lambda\in\mathbb R
$$
%%%%2019-04-10
$$
\langle\cdot\rangle=\operatorname{span}(\cdot)
$$
wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'}=\{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E =\mathcal F(V\times W)$, $E' =\langle\ldots\rangle$)
Interpretation: ${E}/{E'}=$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$.
($e'=0$, $e'\in E'$) %TODO ?
Entsprechend ist
$$
V\otimes W =\operatorname{span}\{\underbrace{v\otimes w}_{=[(v,w)]}\ |\ v\in V, w\in W \}
$$
mit den Relationen:
$$
(v_1+v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2\otimes w
$\Rightarrow$$\bar f$ erfüllt dann $\bar f(v\otimes w)= f(v,w)\Rightarrow V\otimes W$ erfüllt die universelle Eigenschaft.
** Homomorphismen und Dualräume: (Erinnerung aus LAAG)
$V$, $W$ Vektorräume $\rightsquigarrow Hom(V,W)=\{ f\colon V\to W\ |\ f \text{ linear }\}$ ist selbst ein Vektoraum, wenn $V$, $W$ endlichdimensional $\Rightarrow\operatorname{dim}\operatorname{Hom}(V,W)=\operatorname{dim}V \cdot\operatorname{dim} W$ ($\operatorname{Hom}(V,W)\cong\mathbb{M}(m\times n, \mathbb R)$, wenn $V\cong\mathbb R^n$, $W\cong\mathbb R^m$)
$V^* :=\operatorname{Hom}(V, \mathbb R)$ ist dann der Dualraum von $V$. Wenn $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis in $V$ ist, dann gibt es die duale Basis $\{\alpha_j \}_{j=1}^n \subset V^*$ mit: $\alpha_j(e_i) :=\delta_{ij}=\begin{cases}1, & i=j \\0, & i\neq j \end{cases}$
Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^{**}$, $v\mapsto(\alpha\mapsto\alpha(v))$ ein Isomorphismus
** Proposition
$W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann:
$$
\operatorname{dim} W\otimes V^*=\operatorname{dim} W \cdot\operatorname{dim} V =\operatorname{dim} W \otimes V
$$
Mehr: wenn $\{ f_j \}^m_{j=1}$ und $\{ e_i \}^n_{i=1}$ Basen in $W$ bzw. $V$ sind. Dann ist $\{ f_j \otimes e_i \}_{i=1,\dotsc, n; j=1,\dotsc, m}$ eine Basis in $W\otimes V$
Beweis:
Sei $L\colon W\times V^*\to\operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha)\mapsto(\theta_{w,\alpha}\colon v \mapsto\alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang}1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$)
Nach der universellen Eigenschaft vom Tensorprodukt bekommen wir eine lineare Abbildung
$$
\bar L \colon W\otimes V^*&\to&\operatorname{Hom}(V,W)
\\ w\otimes\alpha&\mapsto&\theta_{w,\alpha}
$$
$\bar L$ ist ein Isomorphismus: geben wir das Inverse an. Sei $\{ e_i \}_{i=1}^n$ eine Basis on $V$, $\{\alpha_i \}_{i=1}^n$ die duale Basis in $V^*$. Definiere
\\&\Rightarrow&\bar L \circ\varphi=\operatorname{id}
$$
$W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operatorname{dim} W\otimes V =\operatorname{dim} W \cdot\operatorname{dim} V \Rightarrow\{ f_j \otimes e_i \}$ ist eine Basis.
Beispiel $T_{1,1}(V)= V\otimes V^*\cong\operatorname{Hom}(V,V)=\operatorname{End}(V)$ d.h., elemente von $T_{1,1}$ kann man als lineare Abbildung von $V$ nach $V$ interpretieren. Multilinear heißt linear in jeder Komponente. Sei
$$
M_{s,r}(V) :=\{ f\colon\underbrace{ V\times\ldots\times V }_{s\text{-mal}}\times\underbrace{ V^*\times\ldots\times V^*}_{r\text{-mal}}\to\mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear }\}
$$
** Proposition
$T_{r,s}(V)$ ist kanonisch isomorph zu $M_{s,r}(V)$
** Korollar
$$
\operatorname{Bil}(V)=\{ b\colon V\times V \to\mathbb R \text{ biliniear}\}\cong V^*\otimes V^*
$$
Insbesondere ist ein Skalarpodukt auf $V$ ein Tensor vom Typ $(0,2)$ Notation $g_{i,j}$ für Koordinaten einer Metrik ist konstant mit Tensorprodukten.
