Commit 709ae3d8 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

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\chapter{Über Kurven}
In diesem Kapitel werden einige Resultate aus der klassischen Theorie der Kurven und Flächen dargestellt. Gelegentlich werden die Darstellungen sehr kompakt erscheinen, sodass wir den Leser auf die Referenz \cite{goetze} verweisen, welche u.a. als grobe Vorlage für dieses Kapitel gedient hat. \cite{goetze} behandelt die klassische Theorie von Kurven und Flächen recht ausgedehnt.
Wir nutzen hier die Konvention, dass Abbildungen $\varphi: U\to V$ mit $U,V\subset\mb R^n$ als glatt vorausgesetzt werden, sofern nicht anders benannt. Wir arbeiten demnach fast immer mit Abbildungen des Typs $\varphi\in C^\infty$.
\begin{defn}
Seien $U,V\subset\mb R^n$. Eine Abbildung $f:U\to V$ heißt Diffeomophismus, wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ glatt sind.
\label{def_diffmorph}
\end{defn}
\begin{defn}
Sei $I\subset\mb R$. Eine (glatte) Abbildung $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
\label{def_kurve}
\end{defn}
Ein einfaches Beispiel für eine Kurve $\gamma$ nach Def. \ref{def_kurve} ist
\begin{eqnarray}
\gamma: [0, 2\pi] & \to & \mb R^2 \\
t &\mapsto& (\cos t, \sin t)^T,
\end{eqnarray}
welche die Darstellung der Einheitskreislinie nach Def. \ref{def_kurve} ist.
\section{Länge $L(\gamma)$ von Kurven}
Nachdem wir nun das Objekt Kurve definiert haben, widmen wir uns der ersten geometrischen Größe.
\begin{defn}
Sei $\gamma:I=[a,b]\to\mb R^n$ eine stetige Kurve. Durch
\begin{equation}
L(\gamma):=\sup_{a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b}\lb \sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)} ~\vert~ n\in\mb N \rb
\end{equation}
definieren wir die Länge $L(\gamma)$ einer stetigen Kurve $\gamma$. Ist $L(\gamma)<\infty$, so heißt $\gamma$ rektifizierbar.
\label{def_laenge}
\end{defn}
% man kann hier zur Veranschaulichung später eine farbige Grafik von zwei verschiedenen Polygonzügen an eine beliebige Kurve einfügen
\begin{rem}
Für den Fall, dass $\gamma: I\to\mb R^n$ eine stetige Kurve ist und $I$ (halb-)offen, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle $I'\subset I$
\begin{equation}
L(\gamma) := \sup_{I'\subset I} \lb L\lt\left. \gamma\right.\vert_{I'}\rt\rb.
\end{equation}
\end{rem}
\begin{theo}
Sei $\gamma:[a,b]=I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve. Dann gilt
\begin{equation}
L(\gamma) = \int_a^b \norm{\dot\gamma(t)} \mr dt.
\label{laenge_int}
\end{equation}
\end{theo}
\begin{rem}
Eigentlich reicht für dieses Theorem $\gamma\in C^1$ aus. Unserer Wahl nach ist jedoch $\gamma\in C^\infty$.
\end{rem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Die Summe $\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))}$ aus der Defintion \ref{def_laenge} wächst, wenn man die genutzte Partition verfeinert.
\item Es dürfen abgeschlossene Intervalle $I$ angenommen werden, denn für halb-/offene Intervalle ist die Länge als Supremum über abgeschlossene Teilintervalle definiert.
\item Für glatte $\gamma:I\to\mb R^n$ gilt mit $I=[c,d]$ die Abschätzung
$$ \norm{\gamma(d)-\gamma(c)} \leq (d-c)\sup_{t\in[c,d]} \norm{\dot\gamma(t)}$$
\end{enumerate}
Damit folgt nun
\begin{eqnarray}
\sum_{i=0}^{n-1} \norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i)} & \leq & \sum_{i=0}^{n-1} \sup_{t\in[t_{i+1}, t_i]} \norm{\dot\gamma(t)} \cdot (t_{i+1}-t_i) \\
&\leq& \sup_{t\in I} \norm{\dot\gamma(t)} \cdot (b-a).
\end{eqnarray}
Daraus folgt dann $L(\gamma)<\infty$.
Sei nun $\varepsilon > 0$ beliebig und $a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b$ eine Partition, sodass
\begin{equation}
L(\gamma) = \sum_{i=0}^{n-1} \norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i)} < \varepsilon.
\end{equation}
Sei nun $\gamma(t) = \lt \gamma_j(t)\rt_{j=1}^n$, wobei $\gamma_j$ die glatten Komponenten von $\gamma$ bezeichnen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es $\forall i\in\lb 1,\ldots, n\rb$ ein $\tau_i^{(j)}\in [t_{i+1}-t_i]$, sodass $\gamma_j(t_{i+1}-\gamma_j(t_i)) = \dot\gamma_j\lt\tau_i^{(j)}\rt\cdot (t_{i+1}-t_i)$, wobei $j\in{1,\ldots, n}$.
Andererseits gilt
\begin{equation}
\int_{t_i}^{t_{i+1}} \norm{\dot\gamma(t)}\mr dt = \norm{\dot\gamma(\tilde\tau_i)} \cdot (t_{i+1}-t_i),
\end{equation}
für ein gewisses $\tilde\tau_i$. Nun folgt zunächst
\begin{equation}
\int_{t_i}^{t_{i+1}} \norm{\dot\gamma(t)}\mr dt - \norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i)} = (t_{i+1}-t_i) \underbrace{\lt \norm{\dot\gamma(\tilde\tau_i)} - \lt\sum_{j=0}{n} \dot\gamma_j(\tau_i^{(j)})\rt^{\frac{1}{2}} \rt}_{=:(\ast )}.
\end{equation}
Da $\gamma$ als glatt vorausgesetzt war, ist $\dot\gamma$ gleichmäßig stetig auf $I=[a,b]$ und daher gilt $\forall\varepsilon > 0\exists\delta>0$, sodass $(\ast) <\varepsilon$, wenn $t_{i+1}-t_i <\delta$. Verfeinern wir nun die Zerlegung des Intervalls, sodass $\forall i:~\vert t_{i+1}-t_i\vert<\delta$ gilt noch immer $L(\gamma)<\varepsilon$, aber auch $\vert (\ast)\vert < \varepsilon ~\forall i\in\lb 1,\ldots, n\rb$. Schließlich folgt
\begin{eqnarray}
\left\vert \int_a^b \norm{\dot\gamma(t)}\mr dt -L(\gamma) \right\vert &\leq & \left\vert \sum_{i=0}^{n-1} \lt \int_{t_i}^{t_{i+1}}\norm{\dot\gamma(t)}\mr dt -\norm{\gamma(t_{i+1})}-\norm{\gamma(t_i)}\rt \right. \\
&+& \left. \sum_{i=0}^{n-1} \norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))} - L(\gamma)\right\vert \\
&\leq& \sum_{i=0}^{n-1} (t_{i+1}-t_i)\cdot\varepsilon + \varepsilon \\
&=& (b-a)\varepsilon + \varepsilon.
\end{eqnarray}
Da $\varepsilon > 0$ beliebig war, folgt Gleichheit.
\end{proof}
\begin{rem}
Die Länge einer Kurve sollte eine geometrische Größe bilden, d.h. sie sollte invariant unter der benutzten Parametrisierung sein.
\end{rem}
\section{Parametrisierungen}
\begin{defn}
Seien $I,J\subset\mb R$, $\gamma:I\to\mb R^n$ eine glatte Kurve und $\varphi:I\to J$ eine glatte bijektive Abbildung mit glattem $\varphi^{-1}$. Dann ist auch $\tilde\gamma:=\gamma\circ\varphi^{-1}$ eine glatte Kurve und wird Umparametrisierung von $\gamma$ genannt.
\end{defn}
\begin{rem}
Intuitiv denkt man, dass geometrische Eigenschaften von $\gamma$ und $\tilde\gamma$ wie z.B. die Längen gleich sein müssen, also $L(\gamma)=L(\tilde\gamma)$ gelten muss. Dies liegt daran, dass die selbe geometrische Kurve $\mc C\subset\mb R^n$ in den Darstellungen $\gamma$ und $\tilde\gamma$ anders durchlaufen wird.
\end{rem}
Aus den Voraussetzungen an $\varphi$ folgt, dass für das Innere von $I$ entweder $\varphi' > 0$ oder $\varphi' < 0$ gilt. Im ersten Fall heißt $\varphi$ orientierungserhaltend und im letzteren Fall nennt man $\varphi$ orientierungsumkehrend. Wir beobachten noch folgende Relation. Ist $\dot\gamma(t_0)=0$ und $\varphi:I\to J$ eine Umparametrisierung, dann ist
\begin{equation}
\frac{\rm d}{\rm dt} \lt \gamma\circ\varphi^{-1} \rt \lt \varphi\lt t_0 \rt \rt = 0.
\end{equation}
\begin{defn}
Eine Kurve $\gamma: I\to\mb R^n$ heißt regulär, wenn $\dot\gamma(t)\neq 0 ~\forall t\in I$.
\label{def_reg}
\end{defn}
\begin{bsp}
Einige Beispiele sollen das Konzept der Regularität verdeutlichen.\\
\begin{enumerate}
\item Sei $\gamma_1(t)=\lt t^3, t^6 \rt$ mit $t\in\mb R$. Hier ist $\dot\gamma_1(t=0)=0$, also diese Kurve nicht regulär. Jedoch ist die Kurve $\gamma_2(t)=\lt t, t^2 \rt$ regulär. Beide beschreiben jedoch das selbe geoemtrische Objekt.
\item Die Kurve $\gamma(t)=\lt t^2, t^6 \rt$ ist nicht regulär.
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{rem}
Aus den Beispielen ist ersichtlich, dass die Forderung nach Regularität eine echte Einschränkung darstellt, da die Menge der zugelassenen Parametrisierungen des geometrischen Objekts (Kurve) de facto verkleinert wird.
\end{rem}
\begin{defn}
Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt Frenet-regulär, wenn die Vektoren $\gamma^{(i)}(t)$ mit $1\leq i \leq n-1$ für alle $t\in I$ linear unabhängig sind.
\label{def_frenet_reg}
\end{defn}
\begin{rem}
Der aufmerksame Leser bemerkt, dass die spezielle Form der Regularität aus Def. \eqref{def_frenet_reg} für den Fall $n=2$ mit der allgemeinen Regularität aus Def. \eqref{def_reg} koinzidert.
\end{rem}
Man kann sich nun fragen wieso in Def. \eqref{def_frenet_reg} die Forderung der linearen Unabhängigkeit sich nicht bis auf $i=n$ erstreckt. Der tiefere Sinn liegt in der Orientierung, die einen weiteren Freiheitsgrad darstellt.
\begin{prop}
Seien $v_1,\ldots,v_{n-1}\in\mb R^n$ linear unabhängig. Dann existiert genau eine bzgl. der Standardbasis positiv orientierte ONB $e_1,\ldots, e_n$ mit folgenden Eigenschaften: \\
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\forall i\in\lb 1,\ldots, n-1 \rb$ gilt ${\rm span}\lt e_1,\ldots, e_i\rt = {\rm span}\lt v_1,\ldots, v_i \rt$
\item $\forall i\in\lb 1,\ldots, n-1 \rb$ gilt $\bra e_i, v_i \ket=0$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Wende Gram-Schmidt-Verfahren auf $\lb v_i \rb_{i=1}^{n-1}$ und erhalte eindeutige $\lb e_i \rb_{i=1}^{n-1}$ mit obigen Eigesnschaften. $e_n$ ist durch die $e_1,\ldots, e_{n-1}$ und die Orientierungsbedingung eindeutig festgelegt.
\end{proof}
\begin{rem}
Nach den Gleichungen im Gram-Schmidt-Verfahren hängt das System $\lb e_i \rb_{i=1}^{n-1}$ glatt vom System $\lb v_i \rb_{i=1}^{n-1}$ ab.
\end{rem}
\begin{defn}
Sei $\gamma: I\to\mb R^n$ eine Frenet-Kurve. Das (begleitende) Frenet-$n$-Bein von $\gamma$ ist die (glatte) Familie von Vektoren $e_i:I\to\mb R^n$ mit $1\leq i\leq n$, die durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Familie $\lb \gamma^{(i)}(t) \rb_{i=1}^{n-1}$ für $t\in I$ folgt.
\label{def_begleitendes_bein}
\end{defn}
\begin{defn}
Eine Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn $\norm{\dot\gamma(t)}=1 ~\forall t\in I$.
\label{def_bogenpara}
\end{defn}
\begin{rem}
Im Fall von Def. \eqref{def_bogenpara} gilt für $a,b\in I$ mit $a<b$ die Gleichheit $L\lt \left. \gamma\right\vert_{[a,b]} \rt=b-a$
\end{rem}
Wenn $\gamma:I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)>0~\forall t\in I}$, dann ist die Abbildung
\begin{eqnarray}
s:[c,d] &\to & [0, L(\gamma)] \\
s(t) &=&\int_c^t\norm{\dot\gamma(\tau)} {\rm d}\tau = L\lt \left. \gamma\right\vert_{[c,t]} \rt
\end{eqnarray}
eine Umparametrisierung. Dies bedeutet, dass jede reguläre Kurve eine orieentierte Umparametrisierung nach Bogenlänge besitzt. Bis auf Verschiebungen ist diese eindeutig.\\
Wir beobachten eine wichtige Relation. Die Kurve $\gamma:I\to\mb R^n$ ist nach Bogenlänge parametrisiert genau dann, wenn $e_1(t)=\dot\gamma(t)~\forall t\in I$. Ist $\gamma$ nun nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt zunächst $1=\norm{\dot\gamma(t)}^2=\bra \dot\gamma(t), \dot\gamma(t)\ket$. Ableitung beider Seiten gibt dann die Gleichung $0=2\bra \ddot\gamma(t), \dot\gamma(t) \ket=0$, also die Orthogonalität von $\dot\gamma(t)$ und $\ddot\gamma(t)$. Für den speziellen Fall von $n=2$ folgt die Beziehung $\ddot\gamma(t)=\kappa(t) e_2(t)$, wobei $\kappa:I\to\mb R$ zunächst eine reellwertige Koeffizientenfunktion ist.
\begin{defn}
Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ nach Bogenlänge parametrisiert. Dann heißt die (eindeutig bestimmte) Funktion $\kappa:I\to\mb R$ mit $\ddot\gamma(t)=\kappa(t)e_2(t)$ die Krümmung von $\gamma$.
\label{def_kruemmung}
\end{defn}
\begin{bsp}
Betrachten wir exemplarisch einen Kreis mit Radius $R$. Dieser sei näher bestimmt durch $\gamma(t)=R\lt \cos t, \sin t \rt$ mit $t\in[0,2\pi]$ und $\norm{\dot\gamma(t)}=R$. Nach Bogenlänge parametrisiert ergeben sich die Terme
\begin{eqnarray}
\gamma(s) &=& R\lt \cos \frac sR, \sin\frac sR \rt, ~ s\in[0,2\pi] \\
\dot\gamma(s) &=& \lt -\sin \frac sR, \cos\frac sR \rt \\
\ddot\gamma(s) &=& -\frac 1R \lt \cos \frac sR, \sin\frac sR \rt.
\end{eqnarray}
Es folgen also die Ausdrücke
\begin{eqnarray}
e_1(s) &=& \lt -\sin s, \cos s \rt \\
e_2(s) &=& \lt -\cos s, -\sin s \rt.
\end{eqnarray}
Aus diesen Gleichungen extrahiert man leicht die konstante Krümmung $\kappa=\frac{1}{R}$.
\end{bsp}
\begin{theo}{(Satz von Frenet, Hauptsatz der Kurventheorie)}
Sei $\gamma:I\to\mb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Dann existieren (glatte) Funktionen $\kappa_1,\ldots,\kappa_{n-2}:I\to\mb R^+\setminus\lb 0\rb$ und $\kappa_{n-1}:I\to\mb R$, sodass das begleitende Frenet-$n$-Bein $\lb e_i \rb_{i=1}^{n}$ folgende Differentialgleichungen erfüllt:
\begin{eqnarray}
\dot e_1 &=& \kappa_1 e_2 \\
\dot e_i &=& \kappa_i e_{i+1} - \kappa_{i-1}e_{i-1}, ~ i\in\lb 2,\ldots, n-1 \rb \\
\dot e_n &=& -\kappa_{n-1} e_{n-1}.
\end{eqnarray}
Die $\lb \kappa_i\rb_{i=1}^{n-1}$ heißen Frenet-Krümmungen von $\gamma$. \\
Umgekehrt seien $t_0\in\mb R, p\in\mb R^n$ gegeben, sowie eine positiv orientierte ONB $\lb e_i^{(0)} \rb_{i=1}^n$ in $\mb R^n$ und glatte Funktionen $\kappa_1,\ldots, \kappa_{n-2}:[t_0, d]\to (0, \infty)$ und $\kappa_{n-1}:[t_0, d]\to\mb R$ gegeben. Dann existiert genau eine Frenet-$n$-Kurve $\gamma:[t_0, d]\to\mb R^n$ mit Krümmungen $\kappa_1, \kappa_{n-1}$, $\gamma(t_0)=p, ~e_i(t_0)=e_i^{(0)} ~\forall i\in\lb 1,\ldots, n \rb$.
\end{theo}
\begin{proof}
Widmen wir uns zuerst der Existenz der $\kappa_i$. Nach Konstruktion des Frenet-$n$-Beins gilt für alle $t\in I$, dass $\mr{span}(e_1(t),\ldots, e_i(t)) = \mr{span}(\dot\gamma^{(1)}, \ldots, \dot\gamma^{(n-1)})$. Insbesondere folgt $e_i(t) = \sum_{j=1}^{i}a_{ji}\gamma^{(j)(t)}$. Damit dann
\begin{eqnarray}
\dot e_i(t) &=& \sum_{j=1}^{i} \lt \dot a_{ji}(t)\gamma^{(j)}(t) + a_{ji}(t)\gamma^{(j+1)}(t) \rt \\
& \in & \mr{span}\lb \dot\gamma^{(1)}(t), \ldots, \dot\gamma^{(i+1)} \rb \\
&=& \mr{span} \lb e_1(t),\ldots, e_{i+1}(t) \rb.
\end{eqnarray}
Also gilt $\dot e_i(t) = \sum_{j=1}^{i+1} \bra \dot e_i(t), e_j(t) \ket e_j(t)$ und damit $\bra \dot e_i, e_j \ket = 0$ für $j\geq i+2$. Jedoch bilden die $e_i(t)$ eine ONB mit $\bra e_i(t), e_j(t) \ket = \delta_{ij}$. Daraus folgt nun
\begin{eqnarray}
2\bra \dot e_i, e_i \ket &=& 0 \\
\bra \dot e_i, e_j \ket &=& -\bra e_i, \dot e_j \ket, ~ (j\neq i).
\end{eqnarray}
Insbesondere gilt $\bra e_i, \dot e_j\ket=0$ für $j\geq i+2$. Dies bedeutet, dass $\bra \dot e_i, e_i \ket \neq 0$ nur, wenn $j=i+1$. Dait also
\begin{eqnarray}
\dot e_i &=& \kappa_i e_{i+1} + \lambda_i e_{i-1} \\
\kappa_i &=& \bra \dot e_i, e_{i+1} \ket = -\bra e_i, \dot e_{i+1} \ket = -\lambda_{i+1}.
\end{eqnarray}
Nun müssen wir noch zeigen, dass die $\kappa_i$ nicht negativ sind. Nach dem GSV gilt $\bra \gamma^{(i+1)}(t), e_{i+1}(t) \ket > 0$.
\begin{eqnarray}
\dot e_i(t) &=& \frac{\mr d}{\mr dt} \lt \sum_{j=1}^{i} a_{ji}(t) \gamma^{(j)} \rt \\
&=& \sum_{j=1}^{i} \lt\dot a_{ji}\gamma^{(j)}(t) + a_{ji}(t)\gamma^{(j+1)}(t) \rt.
\end{eqnarray}
Die Abbildung $a_{ii}(t) \to $ Diagonaleintrag in der Basiswechselmatrix von $\lt \dot\gamma^{(1)}(t), \ldots, \dot\gamma^{(n-1)}(t) \rt$ zu $\lt e_1(t),\ldots, e_{n-1}(t) \rt$ sieht so aus
\begin{equation}
M(t) =
\begin{pmatrix}
b_{11}(t) & & \ast \\
& \ddots & \\
0 & & b_{nn}(t)
\end{pmatrix}, ~ b_{ii}(t) > 0.
\end{equation}
Nun ist $\bra \gamma^{(i)}(t), e_i(t) \ket$ genau der Diagonaleintrag der inversen Matrix. Diese sind auch positiv nach Eigenschaften der oberen Dreiecksmatrizen. Also gilt $\bra\dot e_i(t), e_{i+1}(t)\ket = a_{ii}(t) \bra e_{i+1}(t), \gamma^{(i+1)}(t)\ket > 0$.
Die Eindeutigkeit der Kurve für geg. $\gamma(t_0), e_i(t_0), \kappa_1,\ldots, \kappa_{n-1}$ folgt aus dem Satz v. Picard-Lindelöf, wenn man die Funktion $\gamma(t):=p_0 + \int_a^te_1(\tau)\mr d\tau$ auf $I=[a,b]$ betrachtet. $\gamma$ ist nach Konstruktion nach Bogenlänge parametrisiert mit $\dot\gamma(t)=e_1(t), \ddot\gamma(t)=\kappa_1(t)e_2(t), \ldots$. Damit ist $\mr{span}\lb \gamma^{(1)}(t), \ldots, \gamma^{(i)}(t) \rb = \mr{span}\lb e_1(t), \ldots, e_i(t) \rb$ für $i\in\lb 1,\ldots, n-1 \rb$. D.h. das System $\lb e_i(t) \rb_{i=1}^{n-1}$ entsteht durch GSV aus dem System $\lb \gamma^{(i)}(t) \rb_{i=1}^{n-1}$ und $e_n(t)$ erfüllt die Bedingung an die positive Orientierung von $\lb e_i(t) \rb_{i=1}^{n}$, da $e_n(t_0)=e_n^{(0)}$ durch Orientierung gewählt war. Damit ist $\lb e_i(t) \rb_{i=1}^{n}$ das begleitende Frenet-$n$-Bein zu $\gamma$.
\end{proof}
\section{Kurven in der Ebene}
Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine reguläre Frenet-Kurve im Fall $n=2$, die nach Bogenlänge parametrisiert ist und bezeichnen $e_1,e_2$ die Frenet-2-Basis. Aus der Frenet-Gleichung wissen wie, dass $\dot e_1=\kappa e_e$ gilt. Sei nun $t_0\in I$. Wir interessieren uns für eine geometrische Interpretation von $\kappa(t_0)$. Da $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist, ist $\norm{\dot\gamma(t)}=1$ und damit $\dot\gamma(t)=e_1(t)$ und $\ddot\gamma(t)=e_2(t)$.
\begin{prop}
Sei $\gamma$ wie vorig beschrieben mit $\gamma(t_0)\neq 0$. Der Kreis mit Mittelpunkt $\gamma(t_0)+\frac{e_2(t_0)}{\kappa(t_0)}$ und Radius $\frac{1}{\kappa(t_0)}$ ist eindeutig bestimmt und approximiert die Kurve $\gamma$ im Punkt $\gamma(t_0)$ bis zurr zweiten Ordnung.
\end{prop}
\begin{proof}
Folgt leicht aus Taylorentwicklung.
\end{proof}
\begin{defn}
Der eben benannte Kreis wird Schmiegkreis von $\gamma$ and $\gamma(t_0)$ genannt. $R(t_0):=\frac{1}{\kappa(t_0)}$ heißt Krümmungsradius.
\label{def_schmiegkreis}
\end{defn}
Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\simeq\mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\simeq \mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
\begin{defn}
Die Abbildung
\begin{eqnarray}
\alpha:&I\to\mb R & \\
t&\mapsto&\alpha_0 + \int_{t_0}^{t}\kappa(\tau)\mr d\tau
\end{eqnarray}
heißt Winkel von $\gamma$.
\label{def_winkel}
\end{defn}
\begin{lem}
$\forall t\in I:~\dot\gamma(t)=\exp\lt i\alpha(t) \rt$
\end{lem}
\begin{proof}
Wir wissen, dass $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha(t_0) \rt$. Es ist ausreichend zu zeigen, dass $\frac{\mr d}{\mr dt}\lt \frac{\dot\gamma(t)}{\exp\lt i\alpha(t) \rt} \rt = 0$.
\begin{eqnarray}
\frac{\mr d}{\mr dt}\lt \frac{\dot\gamma(t)}{\exp\lt i\alpha(t) \rt} \rt &=& \frac{\mr d}{\mr dt}\lt \frac{e_1(t)}{\exp\lt i\alpha(t) \rt}\rt \\
&=& \frac{\dot e_1\exp\lt i\alpha(t)\rt - i\dot\alpha(t)\exp\lt i\alpha(t)\rt e_1(t)}{\lt\exp\lt i\alpha(t) \rt\rt^2} \\
&=& \frac{\kappa(t)e_2(t)-\kappa(t)e_2(t)}{\exp\lt i\alpha(t)\rt} \\
&=& 0.
\end{eqnarray}
\end{proof}
\begin{defn}
Eine Kurve $\gamma:I=[a,b]\to\mb R^2$ mit $\gamma^{(j)}(a)=\gamma^{(j)}(b)$ für $j\in\mb N$ heißt geschlossene Kurve.
\label{def_geschl_kurve}
\end{defn}
\begin{defn}
Die Umlaufzahl einer geschlossenen nach Bogenlänge parametrisierten Kurve $\gamma:I=[a,b]\to\mb R^n$ ist definiert als
\begin{equation}
n_\gamma := \frac{1}{2\pi} \int_a^b \kappa(\tau) \mr d\tau.
\end{equation}
\label{def_umlaufzahl}
\end{defn}
Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Wikipedia}. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma:[a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt = \exp\lt i\alpha(b) \rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in 2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
\begin{defn}
Eine geschlossene Kuve $\gamma:[a,b]\to\mb R^n$ heißt einfach geschlossen, wenn
\begin{eqnarray}
\gamma(t) &=& \gamma(t') ~\forall t,t'\in (a,b) \\
\gamma(t) &\neq& \gamma(a) ~\forall t\in (a,b).
\end{eqnarray}
\end{defn}
\begin{theo}
Die Umlaufzahl einer einfach geschlossenen Kurve ist $\pm 1$.
\end{theo}
\begin{proof}
\textbf{\textcolor{red}{Wird später ergänzt}}
\end{proof}
\section{Isoperimetrische Ungleichung}
Sei $\gamma:I\to\mb R^2$ eine einfach geschlossene Kurve und $\Omega\subset\mb R^2$ ein Gebiet mit $\partial\Omega=\gamma(I)$. Unterdiesen Bedingungen gilt die isoperimetrische Ungleichung
\begin{equation}
\int_\Omega \mr dx \mr dy =:A(\Omega) \leq \frac{1}{4\pi} L(\gamma)^2.
\end{equation}
\begin{proof}
Wir benutzen die Stokes-Formel. Wenn $n_\gamma =1$, dann gilt $\int_\Omega\mr dx\mr dy = \int_I=x(t)\dot y(t)\mr dt$. Wir können annehmen, dass $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist und $n_\gamma=1$. Setze nun
\begin{eqnarray}
x_+ &:=& \max_{s\in I} x(s) \\
x_- &:=& \min_{s\in I} x(s)\\
x_0 &:=& \frac{x_+ + x_-}{2}.
\end{eqnarray}
Wir können $\gamma$ in $\mb R^2$ so umparamtrisieren und verschieben, sodass $x_0=0, I=[0,L(\gamma)]$ und $\exists s_-\in (0,L(\gamma))$ mit $x(s_-)=x_-$. Setze $r:=x_+ - x_0 = x_0 - x_-$. Wir parametrisieren den Kreis vom Radius $r$ wie folgt:
\begin{eqnarray}
\alpha(t) &:=& \lt \bar x(t), \bar y(t) \rt^T \\
\bar x(t) &:=& x(t) \\
\bar y(t) &:=&
\begin{cases}
+\sqrt{r^2-x(t)^2} &, t\in[0, s_-] \\
-\sqrt{r^2-x(t)^2} &, t\in [s_-, L(\gamma)].
\end{cases}
\end{eqnarray}
$\alpha(t)$ st eine stetig diffbare Kurve, aber nicht unbedingt regulär. Dennoch gilt $\int_0^{L(\gamma)}\bar x(t) \dot{\bar{y}}(t)\mr d t = \pi r^2.$ Analog $\pi r^2=-\int_0^{L(\gamma)}\dot{\bar{x}}(t)\bar y(t)\mr d t$. Es folgt
\begin{eqnarray}
A(\Omega) + \pi r^2 &=& \int_0^{L(\gamma)} \lt x(t)\dot y(t) - \dot{\bar{x}}(t)\bar y(t) \rt \mr dt \\
&=& \int_0^{L(\gamma)} \left\langle
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}
\dot y(t) \\
-\dot{\bar{x(t)}}
\end{pmatrix} \right\rangle \\
& \leq & \int_0^{L(\gamma)} \underbrace{\norm{\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}}}_{=r} \underbrace{\norm{\begin{pmatrix} \dot y(t) \\ \dot{\bar{x}}(t)\end{pmatrix}}}_{=1} \mr{d} t \\
&=& L(\gamma)r
\end{eqnarray}
Daraus folgt nun
\begin{equation}
\sqrt{A(\Omega)\pi r^2} \leq \frac{A(\Omega) + \pi r^2}{2} \leq \frac{L(\gamma)r}{2}
\end{equation}
und damit die Behauptung $A(\Omega)\leq\frac{L(\gamma)^2r^2}{4\pi r^2} = \frac{L(\gamma)^2}{4\pi}$.
\end{proof}
\section{Satz von Green/Stokes}
\begin{theo}
Sei $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetige Kurve, welche das beschränkte Gebiet $\Omega$ derart berandet, sodass das Frenet-2-Bein von $\gamma$ positiv orientiert ist. Seien weiterhin $p,q:\bar\Omega\to\mb R$ glatte Abbildungen. Dann gilt
\begin{equation}
\int_\gamma p(x,y)\mr dx + q(x,y)\mr d y = \int_\Omega \lt \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} \rt (x,y) \mr dx\mr d
\end{equation}
\end{theo}
\begin{proof}
\textbf{\textcolor{red}{Wird später ergänzt.}}
\end{proof}
\chapter{Über Untermannigfaltigkeiten in $\mb R^n$}
\begin{defn}
Sei $M\subset\mb R^n$ eine Teilmenge und $p\in M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
\begin{enumerate}
\item (lokale Darstellung durch eine Karte) Es gibt eine offene Umgebung $\widehat U\subset\mb R^n$ von $p$, eine offene Teilmenge $V\subset\mb R^m$ und eine glatte Funktion $\psi:V\to \widehat U$, so dass:
\begin{enumerate}
% \item $\psi(V)=M\cap \widehat U$. \\
\item $\psi: V\to M\cap \widehat U$ ist ein Homöomorphismus. \\
\item $D_{\psi^{-1}(p)} \psi $ ist injektiv.
\end{enumerate}
\item (lokale Darstellung durch eine Untermannigfaltigkeitskarte) Es existiert eine offene Umgebung $U\subset\mb R^n$ von $p$, eine offene Teilmenge $\widehat V\subset\mb R^n$ und ein Diffeomorphismus $\psi:\widehat V\to \widehat U$, sodass $M\cap \widehat U=\psi\lt \widehat V \cap\lt \mb R^m\times\lb 0\rb \rt \rt$.
\item (lokale Darstellung als Nullmenge) Es existiert eine offene Umgebung $\widehat U\subset\mb R^n$ von $p$ und eine glatte Funktion $F:\widehat U\to\mb R^{n-m}$, sodass
\begin{enumerate}
\item $\left. F \right\vert_{M\cap \widehat U} = 0$
\item $D_p F \in\mr{Hom}\lt \mb R^n, \mb R^{n-m} \rt$ ist surjektiv.
\end{enumerate}
\item (lokale Darstellung als Graph) Es gibt nach eventueller Permutation der Koordinaten im $\mb R^n$ eine offene Umgebung $\widehat V$ von $\bar p:=\pi_{\mb R^m}(p)$, eine offene Umgebung $V'\subset\mb R^{n-m}$ von $\tilde p:=\pi_{\mb R^{n-m}}(p)$ und eine glatte Funktion $f:V\to V'$ mit
\[
M\cap (V\times V')= \lb \lt x, f(x) \rt ~\vert~ x\in V\rb.
\]
Hierbei sind $\pi_{\mb R^n}$ bzw. $\pi_{\mb R^{n-m}}$ die Projektionen von $\mb R^n$ auf die ersten bzw. letzten Koordinaten.
\end{enumerate}
Eine Teilmenge $M\subset\mb R^n$, die die obigen äquivalenten Bedingungen für alle $p\in M$ erfüllt, heißt Untermannigfaltigkeit des $\mb R^n$.
\label{def_untermannigfaltigkeit}
\end{defn}
Ein simples Beispiel stellt die Einheitssphäre $S^{n-1}=\lb x\in\mb R^n ~\vert~ \norm{x}_2=1 \rb$. in der Umgebung des Punktes $(0,\ldots, 0, 1)$ gilt, dass $U\cap S^{n-1}=\lb x\in\mb R^n ~\left\vert~ x_n=\sqrt{1-\sum\limits_{i=1}^{n-1} x_i^2} \right. \rb$.
Nun zum Beweis der Äquivalenz der Bedingungen in \eqref{def_untermannigfaltigkeit}.
\begin{proof}
(1)$\Rightarrow$(2): Sei $\lb v_i \rb_{i=1}^m$ eine Basis des Bildes von $D_{\psi^{-1}(p)}\psi$. Ergänze diese zu einer Basis $\lb v_i \rb_{i=1}^n$ des $\mb R^n$. Definiere die Abbildung $\Psi$ durch
\begin{eqnarray}
\Psi: V\times\mb R^{n-m} & \to & \mb R^n\\
(x',x'') & \mapsto & \psi(x') + \sum_{i=0}^{n-m}x_i'' v_{m+i}.
\end{eqnarray}
$D_{(\psi^{-1}(p), 0)}\in\mr{Hom}\lt \mb R^n, \mb R^n \rt$ hat $v_1, \ldots, v_n$ als Spalten und ist damit invertierbar. Damit existiert eine offene Umgebung $\widehat V$ von $\lt \psi^{-1}(p), 0\rt$, sodass $\left. \Psi\right\vert_{\widehat V}$ Diffeomorphismus ist.\\
(2)$\Rightarrow$(3): Definiere $F:=\pi_{\mb R^{n-m}}\circ \Psi^{-1}=\lb \lt x', f(x') \rt ~\vert~ x'\in V' \rb$. Dann ist $DF = D {\pi_{\mb R^{n-m}}}\circ D\Psi^{-1}$ an der Stelle $a$ surjektiv und $F\vert_{M\cap \widehat U} =0$.\\
(3)$\Rightarrow$(4): Folgt sofort aus dem Satz über die implizite Funktiion.\\
(4)$\Rightarrow$(1): Definiere $\psi(x):=(x,f(x)),~ \widehat U:=V\times V'$. Die Eigenschaften folgen direkt.
\end{proof}
\begin{defn}
Die Abbildung $\psi:V\to U\coloneqq \widehat U\cap M$ aus der Def. \eqref{def_untermannigfaltigkeit} heißt Karte (um $p\in M$). Die Abbildung $\Psi:\widehat V\to U$ heißt Untermannigfaltigkeitskarte (um $p\in M$).
\label{def_karte}
\end{defn}
Betrachten wir als Beispiel die Sphäre $S^2=\lb x\in\mb R^2 ~\vert~ x_1^2+x_2^2+x_3^3 = 1 \rb$. Die Funktion $F(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-1$ hat das Differential $DF = \lt 2x_1, 2x_2, 2x_3\rt\neq 0$ auf $S^2$. Damit bildet $S^2$ eine UM des $\mb R^n$. Die Abbildung
\begin{eqnarray}
\psi:\lt 0, 2\pi \rt\times \lt -\frac\pi 2,\frac\pi 2 \rt &\to&\mb R^3 \\
(\phi, \theta) &\mapsto& (\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta, \sin\theta)
\end{eqnarray}
ist eine Karte. Die Abbildung
\begin{eqnarray}
\phi:B(0,1) &\to & S^3\subset\mb R^3 \\
(x_1,x_2) &\mapsto & (x_1, x_2, 1-x_1^2+x_2^2)
\end{eqnarray}
ist auch eine Karte, jedoch nur für die obere Halbsphäre. In der DG studiert man Größen, die man zwar mit Hilfe von Karten definiert, aber diese unabhängig von der Wahl der Karte sein sollen. Die nachfolgenden Diagramme sollen die Situationen der einzelnen Karten miteinander vergleichen.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V^\Psi \ar{r}{\Psi} & U^\Psi &\subset &\mb R^n \\ [-20pt]
\rotatebox{90}{$\subset$} & \rotatebox{90}{$\subset$} & &\rotatebox{90}{$\subset$} \\ [-20pt]
V^\psi \ar{r}{\psi} & U^\psi &\subset & M
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\mb R^n \supset V^\Phi \ar{r}{\Phi} & U^\Phi\cap U^\Psi & V^\Psi\subset\mb R^n \ar{l}[above]{\Psi} \\ [-20pt]
\mb R^n\times\lb 0 \rb \supset V^\phi \ar{r}{\phi} & U^\phi\cap U^\psi & V^\psi\subset\mb R^n\times\lb 0\rb \ar{l}[above]{\psi}
\end{tikzcd}
\end{center}
An den Stellen, wo sich Kartenumgebungen $U^\Psi, U^\Phi$ schneiden, sind Kartenwechselabbildungen wohldefiniert, also Abbildungen $\Psi^{-1}\circ\Phi:V^\Phi\to V^\Psi$ und $\psi^{-1}\circ\phi: V^\phi\to V^\psi$. Da die Karten selbst Diffeomorphismen sind, überträgt sich diese Eigenschaft auch auf die Kartenwechselabbildungen.
\section{Tangentialraum}
\begin{defn}
Sei $M\subset\mb R^n$ eine Untermannigfaltigkeit, $p\in M$ und $\psi\colon V\to U$ eine Karte um $p$. Der Tangentialraum zu $M$ an $p$ ist definiert als $T_pM:=\mr{Im}\, D_{\psi^{-1}(p)}\psi\subset\mb R^n$.
\label{def_tangentialraum}
\end{defn}
Man muss nun überprüfen, dass $T_pM$ ist wohldefiniert ist, d.h., dass er von der Wahl der Karte $\psi$ nicht abhängt. Ist $\phi:V^\phi\to U^\phi$ eine andere Karte und $p\in U^\phi\cap U^\psi$, dann ergibt sich zunächst das folgende kommutative Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& \mb R^n & \\
\mb R^m \ar{ru}{D_{\psi^{-1}(p)}\psi} \ar{rr}[below]{D_{\psi^{-1}(p)}\lt \phi^{-1}\circ\psi \rt}& & \mb R^m \ar{lu}[above, right]{D_{\phi^{-1}(p)}\phi} \\
\end{tikzcd}
\end{center}
Nun ist $\phi^{-1}\circ\psi$ ein Diffeomorphismus und es folgt, dass $\mr{im} ~ D_{\psi^{-1}(p)}\psi = \mr{im}~D_{\psi^{-1}(p)}\lt \phi\circ\phi^{-1}\circ\psi \rt = \mr{im}~ D_{\phi^{-1}(p)}\phi$.
\begin{defn}
Das Tangentialbündel von $M$ wird definiert als $TM:=\lb (p,v)\in\mb R^n\times\mb R^n ~\vert~ p\in M, v\in T_pM \rb$.
\label{def_tangentialbuendel}
\end{defn}
\begin{defn}
Die Koordinaten eines Tangentialvektors $v$ bzgl. einer Karte $\psi$ sind durch $v^\psi:= D_p\psi^{-1}(v)$ gegeben.
\label{def_koordinaten_tangentialvektor}
\end{defn}
Eine Basis des Tangentialraums kann man nach Definition aus dem Bild einer Basis des $\mb R^n$ erhalten. Ist $\psi$ eine Karte und $\lb e_i \rb_{i=1}^n$ die kanonische Basis des $\mb R^n$, und $\psi(x) = p$, so bildet
\[
D_x \psi(e_i) = \frac{\partial \psi}{\partial x_i},\quad i = 1,\dots, m
\]
eine Basis von $T_pM$.
Die Tangentialvektoren $v\in T_pM$ können wir auch als Richtungsableitungen auffassen. Ist $f:\mb R^n\to\mb R$, dann ist $\partial_v f := v(f):= D_p f(v)$. Ist $v\in T_pM$, so hängt $v(f)$ nur von $f\vert_M$ ab, denn
\begin{eqnarray}
v(f)&=& D_pf(v) \\
&=& D_p\lt f\circ\Psi\circ\Psi^{-1} \rt(v) \\
&=& D_{x}\lt f\circ\Psi \rt \circ \underbrace{D_p\Psi^{-1}(v)}_{\in T_pM} \\
&=& D_{x}\lt f\circ\psi \rt(v)
\end{eqnarray}
Aus den Ableitungsregeln folgt auch die Leibnizregel mit $v(fg)=f(p)v(g) + g(p)v(f)$ für $v\in T_pM$ und $f,g:\mb R^n\to\mb R$.
Ist nun $\gamma:I\to M\subset\mb R^n$ eine Kurve und $\gamma(0)=p$, dann gilt $\dot\gamma(0)\in T_pM$. Das ist unmittelbar einleuchtend, denn
\begin{eqnarray}
\dot\gamma(0) &=& D_0\gamma \\
&=& D_0\lt\psi\circ\psi^{-1}\circ\gamma \rt \\
&=& D_{x}\psi \circ D_0\lt \psi^{-1}\circ\gamma \rt \\
&\in & \mr{im}~D_{x} \psi \\
&=& T_pM.
\end{eqnarray}
Somit können wir den Tangentialraum nun aus mehreren Sichtweisen betrachten:
\begin{enumerate}
\item Bild des Differentials $D_{x}\psi$ einer Parametriserung von $M$
\item Die Menge der Richtungsableitungen $v\in T_pM$ für glatte Funktionen auf $M$ an $p$
\item Menge der Tangentialvektoren glatter Kurven auf $M$ durch $p$
\end{enumerate}
Aus der Äquivalenz der Varianten (1) und (2) der Definition einer Untermannigfaltigkeit folgt, dass für eine Funktion $f\colon M\to \mb R$ und eine Karte $\psi\colon V\to U$ die Verknüpfung $f\circ\psi\colon V\to \mb R$ genau dann glatt ist, wenn $f$ die Einschränkung einer glatten Funktion von der offenen Teilmenge $\widehat U\subset \mb R^n$ auf $M$ ist. Somit können wir glatte Funktionen auf $M$ auch so definieren:
\begin{defn}
Eine Funktion $f\colon M\to \mb R$ ist glatt, wenn für jede Karte $\psi$ die Funktion $f\circ\psi\colon V\to\mb R$ glatt ist. Die Algebra der glatten Funktionen auf $M$ wird durch $C^\infty(M)$ bezeichnet.
\end{defn}
Nach obigen Überlegungen können wir diese Funktionen in Richtung jedes Tangentialvektors $v\in T_p M$ ableiten, und es gilt
\[
[D_x\psi(e_i)] (f) = \frac{\partial(f\circ \psi)}{\partial x_i}(x),
\]
also entsprechen die Vektoren $D\psi(e_i)$ genau den Richtungsableitungen in Richtung $x_i$. Dies motiviert auch die Notation
\[
D_x \psi(e_i)\eqqcolon \frac{\partial}{\partial x_i}
\]
für die entsprechende Basis des Tangentialraumes.
\begin{defn}
Sei $M\subset\mb R^n$ eine UM. Die von $\mb R^n$ induzierte Riemannsche Metrik auf $M$ ist die Familie von Skalarprodukten $g_p$ definiert durch
\begin{eqnarray}
g_p: T_pM\times T_pM &\to & \mb R \\
(v,w) &\mapsto & \ip{v,w}_{\mb R^n} =: g_p(v,w).
\end{eqnarray}
\label{def_riemannsche}
\end{defn}
Sei $\psi: V^\psi\to U^\psi\subset M$ eine Karte. Wir drücken nun $g_p$ in Koordinaten aus. Setze hierfür $x:=\psi^{-1}(p)$. Dann ergibt sich die Darstellung $g_x^\psi(\cdot, \cdot ) = g_p\lt D_x\psi(\cdot), D_x\psi(\cdot) \rt$ von $g$ bzgl. $\psi$. Explizit ergibt sich
\begin{eqnarray}
g_x^\psi(v,w) &=& g_p\lt D_x\psi(v), D_x\psi(w) \rt \\
&=& \ip{ D_x\psi(v), D_x\psi(w) } \\
&=& v^T \underbrace{\lt D_x\psi\rt^T \lt D_x\psi\rt}_{=:G_x} w.
\end{eqnarray}
Dies bedeutet, dass die Matrix $G_x$ die Matrix des Skalarproduktes $g_x^\psi$ ist und damit die Riemannsche Metrik auf $M$ in lokalen Koordinaten darstellt.
Es sei als Beispiel $M=S^2$ gewählt und die Parametrisierung $\psi(\theta, \phi)=\lt\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\cos\theta, \sin\theta \rt$ für $\phi\in\lt 0,2\pi\rt$ und $\theta\in\lt -\frac\pi 2, \frac\pi 2\rt$. Dann ist
\begin{equation}
D\psi =
\begin{pmatrix}
-\sin\phi\cos\theta & -\cos\phi\sin\theta \\
\sin\phi\cos\theta & -\sin\phi\cos\theta \\
0 & \cos\theta
\end{pmatrix}
\end{equation}
und damit
\begin{equation}
G=
\begin{pmatrix}
\cos^2\theta & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
\