Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{\underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in\mathbb Q^n, r\in\mathbb Q_{>0}\}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.
Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{\underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in\mathbb Q^n, r\in\mathbb Q_{>0}\}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.
%2019-11-01
* Definition: Topologische Mannigfaltigkeit
Eine \emph{topologische Mannigfaltigkeit} von Dimension $n\in\mathbb N$ ist ein zweitabzählbarer Hausdorff-Raum $M$ mit der Eigenschaft, dass jedes $p\in M$ eine offene Umgebung $U\subseteq M$ hat, die homöomorph zu $\R^n$ ist (das heißt $\exists x\colon U\to\R^n$ stetig, bijektiv, $x^{-1}\colon\R^n\to U$ auch stetig)
** Bemerkung
Da $\R^n \overset{\text{homöomorph}}\cong B_1(0)\subseteq\R^n$ könnte man $B_1(0)$ oder eine beliebige offenen Teilmenge von $\R^n$ statt $\R^n$ verwenden. Dies führt auf eine äquivalente Definition.
* Definition: differenzierbarer Atlas
Sei $M$ topologische Mannigfaltigkeit von Dimension $n$. Ein \emph{differenzierbarer Atlas}$\mathcal A$ auf $M$ ist eine Familie
$$
\mathcal A =\{(U,x)\ |\ U\subseteq M \text{offen}, x\colon U\xrightarrow{\cong}\R^n \text{ Homömorphismus}\}
$$
mit den folgenden Eigenschaften:
1. die $U$’s überdecken $M$: $M =\bigcup_{(U,x)\in\mathcal A} U$
Zwei Atlanten $\mathcal A$, $\mathcal A'$ heißen \emph{äquivalent / kompatibel}, wenn $\mathcal A\cup\mathcal A'$ ein Atlas ist. Das heißt:
$$
\forall(U,x)\in\mathcal A, (V,y')\in\mathcal A, U\cap V \neq\emptyset: y\circ x^{-1}\colon x(U\cap V)\to y(U\cap V)\text{ ist glatt}
$$
* Definition: glatte Mannigfaltigkeit
Eine \emph{glatte} ($=$ differenzierbar) \emph{Mannigfaltigkeit}$M$ ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Äquivalenzklasee von Atlanten, die sogenannte „glatte Struktur“
%TODO Welche Äquivalenzklasee
** Beispiel
$\R$ ist $1$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Die Atlanten
$$
\mathcal A &:=&\{(\R, \id\colon\R\to\R)\}
\\\mathcal A &:=&\{(\R, \sqrt[3]{\cdot}\colon\R\to\R)\}
$$
sind nicht äquivalent.
* Vereinbarung
Sei von nun an eine Mannigfaltigkeit immer glatt.
** Beispiel
1. $\R^n\colon\mathcal A =\{(\R^n, \id)\}$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
2. $M$ Mannigfaltigkeit, $U\subseteq M$ offen $\Rightarrow U$ ist Mannigfaltigkeit (Schneide alle Kartenumgebungen mit $U$)
3. Sei $V$ ein $\R$-Vektorraum, $\dim V = n\Rightarrow V$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit (Die Wahl einer Basis definiert Karte $V\to\R^n$, je zwei solche Karten sind kompatibel, weil die Vergleichsabbildung durch Multiplizieren mit der Basiswechselmatrix gegeben ist)
Seien $M$, $N$ zwei Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung $f\colon M\to N$ heißt \emph{glatt}, wenn für jedes Paar vin Karten $(U, x)$ und $(V,x)$ auf $M$ bzw. $N$ gilt: $y\circ f\circ x^{-1}$ ist glatt (wo definiert)
\begin{center}
\begin{tikzcd}
U\supseteq M \arrow[r, "f"]\arrow[d, "x"']& N\subseteq V \arrow[d, "y"]\\