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2019-11-14--2019-11-15

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......@@ -715,3 +715,264 @@ Beispiel:
Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{ \underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in \mathbb Q^n, r\in \mathbb Q_{>0} \}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.
%2019-11-14
* Untermannigfaltigkeiten
% \begin{Def}
% Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Der Rang von $f$ an $p$ ist definiert als der Rang (= Dimension des Bildes) des Differentials $D_p f$.
% \end{Def}
** Definition einer Untermannigfaltigkeit
Es gibt zwei gängige Definitionen einer Untermannigfaltigkeit $N\subset M$, die sich dadurch unterscheiden, welche Eigenschaften man von der Inklusionsabbildung $i\colon N\to M$ verlangt.
** Definition: Mannigfaltigkeit
Seien $N$, $M$ Mannigfaltigkeiten. Eine glatte Abbildung $i\colon N\to M$ heißt Immersion, wenn $D_pf\colon T_pM\to T_pN$ injektiv für jedes $p\in M$ ist. Eine Immersion $i\colon N\to M$ heißt Einbettung, wenn $i\colon N\to i(N)\subset M$ ein Homöomorphismus ist (d.h. $i$ ist injektiv und $i^{-1}\colon i(N)\to N$ ist stetig).
Dementsprechend gibt es zwei Definitionen einer Untermannigfaltigkeit, die in der Literatur zu finden sind:
\begin{itemize}
\item eine (immersierte) Untermannigfatigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer injektiven Immersion $i\colon N\to M$;
\item eine (eingebettete) Untermannigfaltigkeit $i\colon N\to M$ ist eine Mannigfaltigkeit $N$ zusammen mit einer Einbettung $i\colon N\to M$.
\end{itemize}
Wir werden in diesem Kurs das Wort „Untermannigfaltigkeit“ stets für eingebettete Untermannigfaltigkeit benutzen.
Wir erinnern uns an den Satz über implizite Funktion, die wir früher in der Vorlesung bewiesen hatten.
Sei $f\colon \mb R^n\to \mb R^k$ glatt. Offensichtlich ist der Rang von $f$ an jedem Punkt $p\in \mb R^n$ kleiner oder gleich $\min(n,k)$. Man sagt, $f$ habe \emph{maximalen Rang} an einem Punkt, wenn der Rang von $f$ an $p$ gleich $\min(n,k)$ ist.
Natürlicherweise tauchen hier zwei Varianten auf:
\begin{itemize}
\item $n\leqslant k$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $n$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $n$ (an jedem Punkt) ist die Einbettung $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\iota(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_n,0,\dots,0)$.
\item $k\leqslant n$; dann ist der mögliche maximale Rang gleich $k$. Ein Beispiel für eine Abbildung mit maximalem Rang $k$ (an jedem Punkt) ist die Projektion $\pi\colon \mb R^n\to\mb R^k$, $\pi(a_1,\dots,a_n) = (a_1,\dots,a_k)$.
\end{itemize}
** Satz: implizite Funktionen
%TODO \label{theo:implizite-fkt}
Sei $U\subset \mb R^n$ eine Umgebung von $0\in \mb R^n$, $f\colon U\to \mb R^k$ glatt mit $f(0) = 0$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $g$ von $\mb R^k$ an $0$ mit $g\circ f = \iota$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
\item Wenn $k\leqslant n$ und $f$ maximalen Rang ($=k$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h = \pi$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
\end{enumerate}
% Beweis:
% Bereits bewiesen.
Man sollte anmerken, dass wegen des Satzes über implizite Funktion jede Immersion lokal eine Einbettung ist:
** Proposition
Sei $i\colon N\to M$ eine Immersion, $\dim N = n$, $\dim M = m$. Dann gilt: für jedes $p\in N$ gibt es eine Umgebung $V$ von $p$ in $N$ und eine Karte $(U,y)$ mit $i(p)\in U\subset M$, so dass:
\begin{enumerate}
\item $q\in i(V)\cap U$ genau dann, wenn $y^{n+1}(q) = \dots = y^m (q) = 0$ (anders gesagt, $y(i(V)\cap U) = (\mb R^n\times \{0\})\cap y(V)$;
\item $i|_V$ ist eine Einbettung.
\end{enumerate}
Beweis:
Sei $x$ eine Kartenabbildung um $p$ mit $x(p)=0$, $\tilde y$ eine Kartenabbildung um $i(p)$ mit $\tilde y\circ i(p) = 0$. Dann hat $\tilde y\circ i \circ x^{-1}$ maximalen Rang ($=n$) an $0$, also gibt es nach dem Satz über implizite Funktion
%TODO (Satz \ref{theo:implizite-fkt})
eine Karte $g$ von $\mb R^m$ und eine Umgebung $W$ von $0$ mit $g\circ \tilde y\circ i\circ x^{-1}|_W = \iota|_W$, wobei $\iota\colon \mb R^n\to\mb R^m$ die kanonische Einbettung ist. Sei $U\coloneqq x^{-1}(W)$, $y = g\circ \tilde y$; dann gilt (1) nach Konstruktion. (2) folgt dann, weil $i|_U = y^{-1}\circ\iota\circ x|_U$ eine Verkettung von Einbettungen ist.
** Satz vom regulären Wert
Der Satz vom regulären Wert ist von zentraler Bedeutung in Differentialgeometrie, weil er uns erlaubt, Untermannigfaltigkeiten zu konstruieren.
*** Definition: kritischer Wert
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $n$ bzw. $k$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $\operatorname{Rang} D_p f = k$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.
Wenn $n\geqslant k$ ist (und das ist für uns der interessante Fall), heißt also die Bedingung, dass $q\in N$ ein regulärer Wert von $f$ ist so viel wie: an jedem Urbildpunkt von $q$ hat $f$ maximalen Rang ($=k$).
*** Satz: Satz vom regulären Wert
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $n$ bzw. $k$ mit $n\geqslant k$, $f\colon M\to N$ glatt. Wenn $q\in f(M)$ ein regulärer Wert ist, dann ist $A\coloneqq f^{-1}(q)\subset N$ (= die Faser von $f$ an $q$) eine Untermannigfaltigkeit von $M$.
Beweis:
Sei $y\colon V\to \mb R^k$ eine Karte um $q\in N$ mit $y(q)=0$. Sei außerdem $p\in A$ und $x\colon U\to \mb R^n$ eine Karte um $p\in M$. Zerlege $\mb R^n = \mb R^k\times \mb R^{n-k}$ und seien $\pi_1,\pi_2$ die entsprechenden Projektionsabbilgungen. Außerdem sei $\iota_2\colon \mb R^{n-k}\to \mb R^n$ die Einbettung in die letzten Koordinaten: $\iota_2(a_1,\dots,a_{n-k}) = (0,\dots,0,a_1,\dots,a_{n-k})$.
Da $y\circ f\circ x^{-1}$ maximalen Rang an $0\in \mb R^n$ hat, gibt es nach Satz über implizite Funktionen
%TODO \ref{theo:implizite-fkt}
(ii) eine Karte $(W,h)$ um $0\in\mb R^n$ mit $y\circ f\circ x^{-1}\circ h = \pi_1|_W$. Sei $\widetilde W\coloneqq \pi_2(W)$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\mb R^{n-k}$, und $y\circ f\circ x^{-1}\circ h \circ \iota_2 = \pi_1\circ \iota_2 = 0$ auf $\widetilde W$. Das heißt, wenn $z\coloneqq x^{-1}\circ h\circ \iota_2|_{\widetilde W}$, so folgt $z(\widetilde W)\subset A$. Nun behaupten wir, dass $z(\widetilde W) = A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, so dass $z$ ein Homömorphismus auf sein Bild ist. Es ist zunächst klar, dass $z(\widetilde W) \subset A\cap (x^{-1}\circ h)(W)$, weil $z(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h\circ \iota_2)(\widetilde W) = (x^{-1}\circ h)(W\cap (0\times \mb R^{n-k}))$. Für die andere Inklusion nehmen wir ein $\tilde p\in A \cap (x^{-1}\circ h)(W)$; dann folgt aber $\tilde p = (x^{-1}\circ h)(u)$ für ein eindeutig bestimmtes $u\in W$, und $0 = (y\circ f)(\tilde p) = (y\circ f\circ x^{-1}\circ h)(u) = \pi_1(u)$, so dass $u = (0,a)\in 0\times \widetilde W$. Dann gilt aber $\tilde p = z(a)\in z(W)$. Es folgt, dass $i\colon A\hookrightarrow M$ eine topologische Einbettung ist (also ein Homöomorphismus auf sein Bild).
Wir versehen nun $A$ mit der glatten Struktur induziert durch die oben konstruierten Karten $(z(\widetilde W),z^{-1})$, wenn $p$ die Menge $A$ durchläuft (Übungsfrage: warum sind diese Karten kompatibel?). Dann ist die Inklusion $i\colon A\hookrightarrow M$ sogar glatt, weil $x\circ i\circ (z^{-1})^{-1} = h\circ \iota_2$.
*** Beispiel: Sphäre
Die Abbildung $f\colon \mb R^{n+1}\to \mb R$, $a\mapsto \norm{a}^2$, erfüllt $Df(a) = 2(a_1,\dots,a_{n+1})$; der Rang des Differentials ist also maximal ($=1$) an jedem Punkt außer $0$. Das heißt, die Sphäre vom Radius $r> 0$, $S_r\coloneqq f^{-1}(r)$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $\mb R^{n+1}$.
*** Bemerkung: Satz von Sard
Der (höchst nichttriviale) Satz von Sard besagt, dass eine glatte Abbildung $f\colon \mb R^m\to\mb R^n$ ($m\geqslant n$) stets „sehr viele“ reguläre Werte hat (insbesondere ist die Menge der regulären Werte stets dicht in $\mb R^n$). Das heißt, dass eine „generische“ Faser von $f$ eine Untermannigfaltigkeit ist.
* Vektorfelder und ihre Flüsse
** Definition: Vektorfeld
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $TM$ sein Tangentialbündel und $\pi\colon TM\to M$ die Projektionsabbildung. Ein Vektorfeld $X$ auf $M$ ist ein Schnitt des Tangentialbündels, d.h. eine glatte Abbildung $X\colon M\to TM$ mit $\pi\circ X= \mathrm{id}_M$ (d.h. $X(p)\in T_p M$ für jedes $p\in M$).
Der Wert von $X$ an einem Punkt $p\in M$ wird durch $X(p)$ oder $X_p$ bezeichnet.
Wir notieren folgende Eigenschaften der Vektorfelder:
\begin{enumerate}
\item Die Vektorfelder bilden ein Vektorraum bezüglich punktweiser Operationen, weil der Wert eines Vektorfeldes an jedem Punkt $p$ in dem Vektorraum $T_p M$ liegt. Der Vektorraum der Vektorfelder auf $M$ wird durch $\Gamma(TM)$, $\mathrm{Vect}(M)$ oder $\mathfrak{X}(M)$ bezeichnet.
\item Man kann Vektorfelder mit glatten Funktionen multiplizieren: wenn $X\colon M\to TM$ ein Vektorfeld ist und $f\in C^\infty(M)$, dann ist $f X\colon p\mapsto f(p)X(p)$ auch ein Vektorfeld.
% \item
\item Da Tangentialvektoren auf Funktionen durch Ableitungen wirken, kann man ein Vektorfeld $X$ auf eine glatte Funktion $f\in C^\infty(M)$ anwenden und eine neue Funktion $X(f)\in C^\infty(M)$ bekommen mit
\[
(X(f))(p) = X_p(f)
\]
\item wenn $(U,x)$ eine Karte um $p\in M$ ist, definiert sie die Koordinatenvektorfelder $\partial/\partial x^i$ auf $U$. Daher kann jedes Vektorfeld auf $U$ dargestellt werden als
\[
X = \sum_{i=1}^n X(x^i) \frac{\partial}{\partial x^i} = \sum_{i=1}^n dx^i(X) \frac{\partial}{\partial x^i}.
\]
Umgekehrt definiert in diesem Fall eine beliebige ``Linearkombination''
\[
X = \sum_{i=1}^n f_i \frac{\partial}{\partial x^i}
\]
mit $f_i\in C^\infty(V)$, $i=1,\dots,n$, ein Vektorfeld $X$ auf $V$.
\end{enumerate}
** Beispiel
%TODO \label{bsp:vektorfelder-r-n}
Wenn $M = \mb R^n$, dann gilt $TM = \mb R^n\times \mb R^n$ (Übung!). In diesem Falle kann man Vektorfelder $X\colon \mb R^n\to \mb T\mb R^n$ mit glatten Funktionen $\underline{X}\colon \mb R^n\to \mb R^n$ identifizieren: ein Vektorfeld $X$ entspricht eindeutig der Funktion $u\mapsto (X(u^1),\dots,X(u^n))$, also seinen Koordinaten bzgl. $\frac{\partial}{\partial u^i}$.
% Wir notieren folgende einfache Proposition:
% \begin{Prop}
% Sei $X\colon U\to TM$ eine (a priori nicht glatte) Abbildung mit $\pi\circ X = \mathrm{id}_U$. Folgende Bedingungen sind äquivalent:
% \begin{enumerate}
% \item $X$ ist ein Vektorfeld (d.h. $X$ ist glatt als Abbildung);
% \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ gilt $X(x^i)\in C^\infty(V)$;
% \item für jede Karte $(V,x)$ mit $V\subset U$ und jede $f\in C^\infty(V))$ gilt $X(f)\in C^\infty(V)$.
% \end{enumerate}
% \end{Prop}
** Flüsse von Vektorfeldern
Eines der wichtigen Ergebnisse in der Analysis ist der Satz über Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen (der Satz von Picard-Lindelöf). Dieser gilt auch auf Mannigfaltigkeiten und bildet somit interessanten Zusammenhang zwischen Vektorfeldern und Diffeomorphismen. Wir fangen mit folgender Version des klassischen Satzes von Picard-Lindelöf in $\mb R^n$.
*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von DGLs erster Ordnung in $\mb R^n$
Sei $U\subset \mb R^n$ offen und $F\colon U\to \mb R^n$ glatt. Dann existiert für jedes $a\in U$ eine Umgebung $W$ von $a$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\psi\colon I\times W\to U$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $\psi(0,u) = u,$
\item $\frac{\partial\psi}{\partial t}(t,u) = F(\psi(t,u))$.
\end{enumerate}
Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1$, $W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\psi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\psi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.
%ende satz
Die Abbildung $\psi(t,u)$ wird interpretiert als Lösung der Differentialgleichung
$$
% TODO \label{eqn:ode}
\dot \psi(t) = F(\psi(t))
$$
mit Anfangsbedingung $\psi(0) = u$ am Zeitpunkt $t$: die zweite Bedingung besagt, dass $\psi$ die Differentialgleichung löst, und die erste Bedingung besagt, dass der Anfangswert an $t=0$ gleich $u$ ist.
Die Differentialgleichung
%TODO \eqref{eqn:ode}
kann man auf einer Mannigfaltigkeit $M$ auch leicht interpretieren: eine glatte Kurve $\gamma\colon I\to M$ hat an jeder Stelle einen Tangentialvektor $\dot\gamma(t) = (D_t\gamma)\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\in T_p M$ -- die linke Seite hat somit eine Interpretation als Element in $T_p M$. Die rechte Seite soll dann durch Vorgabe eines Tangentialvektors an jedem Punkt auf $M$, d.h. eines Vektorfeldes auf $M$, bestimmt sein.
Somit lässt sich der obige Satz wie folgt auf Mannigfaltigkeiten interpretieren:
*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert für jedes $q\in M$ eine Umgebung $V$ von $q$, ein offenes Intervall $0\in I\subset \mb R$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon I\times V\to M$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $\Phi(0,p) = p,$
\item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$.
\end{enumerate}
Die Eindeutigkeit bedeutet hier: wenn $W_1,W_2\subset W$ beliebige Teilmengen sind und die Abbildungen $\Phi_1\colon I_1\times W_1\to U$, $\Phi_2\colon I_2\times W_2\to U$ wie oben die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen, dann stimmen sie auf $I_1\times W_1\cap I_2\times W_2$ überein.
Beweis:
Sei $(U,x)$ eine Karte um $q$. Setze $G\coloneqq x(U)$, $a\coloneqq x(q)$,
$$
F\coloneqq (dx^1(X),\dots,dx^n(X))\circ x^{-1}\colon G\to \mb R^n
$$
und wende den vorigen Satz an, um eine Abbildung $\psi\colon I\times W\to G$ zu bekommen. Die Abbildung $\Phi\coloneqq x^{-1}\circ \psi$ ist dann nach Konstruktion die gesuchte: die Eigenschaften (1) und (2), geschrieben in Koordinaten mit Hilfe von $x$, sind genau die Bedingungen (1) und (2) des vorigen Satzes.
Die Abbildung $\Phi$ aus dem obigen Satz wird auch \emph{lokaler Fluss} von $X$ genannt. Für jedes $p\in V$ ist dann $\gamma(t)\coloneqq \Phi(t,p)$ eine Kurve auf $M$, welche die Differentialgleichung
$$
\dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
$$
sowie die Anfangsbedingung $\gamma(0) = 0$ erfüllt. Solche Kurven heißen \emph{Integralkurven} von $X$.
Der obige Satz ist eine lokale Aussage, und es besteht \emph{a priori} keine Hoffnung, das ``Zeitintervall'' $I$ vergrößern zu können: es gibt sogar im Eindimensionalen Differentialgleichungen, dessen Integralkurven in einer endlichen Zeit ins Unendliche laufen, z.B. $\dot x = x^2$ in $\mb R$ (Übung: überzeugen Sie sich, dass die Integralkurven hier ins Unendliche in endlicher Zeit laufen und bestimmen Sie das zugehörige Vektorfeld!). Es gibt allerdings immer einen maximalen Definitionsbereich des Flusses:
*** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des lokalen Flusses eines Vektorfeldes
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $X$ ein Vektorfeld auf $M$. Dann existiert eine eindeutig bestimmte maximale offene Teilmenge $W\subset \mb R\times M$ mit $\{0\}\times M\subset W$ und eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $\Phi(0,p) = p,$
\item $\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,p)\coloneqq \left(\Phi_*\frac{\partial}{\partial t}\right)(t,p) = X(\Phi(t,p))$,
\item für jedes $p\in M$, $W\cap (\mb R\times \{p\}) = I_p\times \{p\}$, wobei $I_p\subset \mb R$ ein offenes Intervall mit $0\in I_p$ ist.
\end{enumerate}
Beweis:
Der vorige Satz liefert die Existenz einer offenen Teilmenge
$$
W_0 = \bigcup_{q\in M} I_q\times V_q
$$
zusammen mit einer eindeutigen glatten Abbildung $\Phi\colon W_0\to M$ mit gewünschten Eigenschaften (die Eindeutigkeitsaussage aus dem vorigen Satz impliziert, dass $\Phi$ wohldefiniert auf $W_0$ ist).
Sei nun $\mathcal W = \{(W,\Phi\mid (W,\Phi)\text{ erfüllen (i), (ii), (iii) }\}$ die Familie von allen offenen Teilmengen, welche die Aussage des Satzes erfüllen. Wenn nun $(W',\Phi')$ und $(W'',\Phi'')$ zwei Elemente aus $\mathcal W$ sind, folgt aus der Eindeutigkeit, dass $\Phi'$ und $\Phi''$ auf $W'\cap W''$ übereinstimmen, weswegen sie sich zu einer eindeutig bestimmten glatten Abbildung $\Phi\colon W'\cup W''\to M$ fortsetzen. Das ergibt, dass auf der Vereinigung
\[
W\coloneqq \bigcup_{(W',\Phi')\in \mathcal W} W'
\]
eine glatte Abbildung $\Phi\colon W\to M$ durch $\Phi|_W'\coloneqq \Phi'$ wohldefiniert ist. Sie erfüllt offensichtlich die Aussage des Satzes.
*** Definition: maximaler Fluss
Die Abbildung $\Phi\colon W\to M$ heißt maximaler Fluss von $X$. $X$ heißt vollständig, wenn $W = \mathbb R\times M$ ist, d.h. wenn der Fluss immer definiert ist.
*** Übung:
Zeigen Sie, dass jedes Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit vollständig ist.
Sei $X$ nun ein vollständiges Vektorfeld auf $M$. Wir definieren $\Phi_t\colon M\to M$ durch $\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$ und beobachten folgende fundamentale Eigenschaft:
*** Proposition:
\[
\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}
\]
Beweis:
Nach Definition ist $\Phi_{t_1+t_2}(p)$ der Wert an $t= t_1+t_2$ der Integralkurve $\gamma_p$ von $X$ mit Anfangswert $p$. $\Phi(t_2)(p)$ ist der Wert derselben Integralkurve an $t= t_2$, und $\Phi_{t_1}(\Phi_{t_2}(p))$ ist der Wert an $t=t_1$ der Integralkurve von $X$ mit Anfangswert $\Phi_{t_2}(p)$. Nach Eindeutigkeit ist die letztere aber gleich $\gamma_p(t+t_2)$, und ihr Wert an $t_1$ ist $\gamma_{p}(t_1+t_2)$, wie gewünscht.
*** Korollar
\begin{enumerate}
\item $\Phi_t\colon M\to M$ is ein Diffeomorphismus für jedes $t\in \mb R$;
\item die Abbildung $\Phi\colon \mb R\to \mathrm{Diff}(M)$, $t\mapsto \Phi_t$, ist ein Gruppenhomomorphismus.
\end{enumerate}
*** Definition: Einparametergruppe
Eine glatte Abbildung $\Phi\colon \mathbb R\times M\to M$ mit $\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}\circ \Phi_{t_2}$ ($\Phi_t(p)\coloneqq \Phi(t,p)$) heißt eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von $M$.
Gegeben eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen, bekommen wir das Vektorfeld $X$, welches sie erzeugt, auch zurück durch
\[
X_p \coloneqq \Phi_{*,(0,p)}\frac{\partial}{\partial t}.
\]
Dieses Vektorfeld hat nach Konstruktion $\Phi$ als zugehörigen maximalen Fluss: diese Gleichung ist genau die Bedingung (2) aus der Definition des Flusses eines Vektorfeldes. Somit haben wir festgestellt:
*** Proposition
Es gibt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Einparametergruppen von Diffeomorphismen von $M$ und vollständigen Vektorfeldern auf $M$.
......@@ -400,6 +400,15 @@ $endif$
\newcommand{ \R }{ \mathbb R }
\newcommand{ \N }{ \mathbb N }
%alexeev-custom
\newcommand{ \coloneqq }{ := }
\newcommand{ \mb }{ \mathbb }
\let\subsetAmbiguous\subset
\renewcommand{\subset}{\subseteq}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
%custom end
\begin{document}
......
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