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Alekseev, Vadim
diffgeo-skript
Commits
8b60d458
Commit
8b60d458
authored
Jul 03, 2019
by
Harry Fuchs
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2019-07-03
parent
b0b1e94e
Pipeline
#2537
passed with stage
in 8 minutes and 26 seconds
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1
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1
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diffgeoII/edit-this-file.tex
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8b60d458
...
@@ -15,7 +15,6 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
...
@@ -15,7 +15,6 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
~Wichtig dabei~: das Objekt auf
$
M
$
muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)
~Wichtig dabei~: das Objekt auf
$
M
$
muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)
1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt
$
p
\in
M
$
„hängt“ ein Vektorraum
$
T
_
pM
$
,
$
\dim
T
_
pM
=
\dim
M
$
Elemente von
$
T
_
pM
$
heißen Tangentialvektoren.
1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt
$
p
\in
M
$
„hängt“ ein Vektorraum
$
T
_
pM
$
,
$
\dim
T
_
pM
=
\dim
M
$
Elemente von
$
T
_
pM
$
heißen Tangentialvektoren.
TODO
%TODO %TYPO: remove space here
$$
$$
T
_
pM
&
=
&
\{
\text
{
Ableitungen von Funktionen an
}
p
\}
T
_
pM
&
=
&
\{
\text
{
Ableitungen von Funktionen an
}
p
\}
\\
&
=
&
\{
\partial
\colon
C
^{
\infty
}
(
M
)
\to
\mathbb
R
\text
{
linear
}
\
|
\ \partial
(
fg
)
=
f
(
p
)
\cdot\partial
(
g
)
+
g
(
p
)
\cdot\partial
(
f
)
\}
\\
&
=
&
\{
\partial
\colon
C
^{
\infty
}
(
M
)
\to
\mathbb
R
\text
{
linear
}
\
|
\ \partial
(
fg
)
=
f
(
p
)
\cdot\partial
(
g
)
+
g
(
p
)
\cdot\partial
(
f
)
\}
...
@@ -23,7 +22,8 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
...
@@ -23,7 +22,8 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
Motto: Tangentialvektor
$
\mathrel
{
\hat
=
}$
Richtungsableitung!
Motto: Tangentialvektor
$
\mathrel
{
\hat
=
}$
Richtungsableitung!
%Bild 2
%TODO Bild 2
TODO Bild
$
\pi
\colon
TM
\to
M
$
ist glatt
$
\pi
\colon
TM
\to
M
$
ist glatt
$
v
\in
T
_
pM
\mapsto
p
$
$
v
\in
T
_
pM
\mapsto
p
$
...
@@ -4414,3 +4414,174 @@ $$
...
@@ -4414,3 +4414,174 @@ $$
Beweis:
Beweis:
1.
$
\Delta
^
*
=
(
\diffd
^
*
\diffd
)
^
*
+
(
\diffd
\diffd
^
*)
^
*
=
\Delta
$
,
$
\langle
\Delta
\alpha
,
\alpha
\rangle
=
\langle
\diffd
\alpha
,
\diffd
\alpha
\rangle
+
\langle
\diffd
^
*
\alpha
,
\diffd
^
*
\alpha
\rangle
\geqslant
0
$
1.
$
\Delta
^
*
=
(
\diffd
^
*
\diffd
)
^
*
+
(
\diffd
\diffd
^
*)
^
*
=
\Delta
$
,
$
\langle
\Delta
\alpha
,
\alpha
\rangle
=
\langle
\diffd
\alpha
,
\diffd
\alpha
\rangle
+
\langle
\diffd
^
*
\alpha
,
\diffd
^
*
\alpha
\rangle
\geqslant
0
$
2.
$
\diffd
\Delta
=
\diffd\diffd
^
*
\diffd
=
\Delta
\diffd
$
wegen
$
\diffd
^
2
=
0
$
, analog für
$
\diffd
^
*
$
2.
$
\diffd
\Delta
=
\diffd\diffd
^
*
\diffd
=
\Delta
\diffd
$
wegen
$
\diffd
^
2
=
0
$
, analog für
$
\diffd
^
*
$
%2019-07-02
%TODO missing
missing 2019-07-02
%2019-07-03
%TODO Bildchen 1
TODO Bildchen 1
** Satz: Brouwer
$$
&&
f
\colon
D
^
2
\to
D
^
2
\text
{
stetig,
[
glatt
]
}
\\
&
\Rightarrow
&
f
\text
{
hat einen Fixpunkt
}
\\
&&
(
\exists
x
\in
D
^
2
, f
(
x
)
=
x
)
$$
Beweis: durch Widerspruch: Sei
$
f
\colon
D
^
2
\to
D
^
2
$
glatt mit
$
f
(
x
)
\neq
x,
\forall
x
\in
D
^
2
$
%TODO Bildchen 2
TODO Bildchen 2
$$
\varphi
\colon
D
^
2
&
\to
&
\partial
D
^
2
=
S'
\\
x
&
\mapsto
&
y :
=
\text
{
Gerade
}
f
(
x
)
\to
x
\cap
\partial
D
^
2
\\
\varphi
\text
{
ist glatt
}
\\
\varphi
|
_{
\partial
D
^
2
}
=
\operatorname
{
id
}
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
&
*
\arrow
[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\simeq
$}}
" description, phantom]
&
\\
\partial
D
^
2
\arrow
[r, "i"]
\arrow
[rr, "\operatorname{id}"', bend right]
\arrow
[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
=
$}}
" description, phantom]
&
D
^
2
\arrow
[r]
&
\partial
D
^
2
\arrow
[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
=
$}}
" description, phantom]
\\
S
^
1
&
&
S
^
1
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
&
0
&
\\
H
^
k(S
^
1)
\arrow
[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\simeq
$}}
" description, phantom]
&
H
^
1(D
^
2)
\arrow
[l, "i^*"']
\arrow
[u, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\cong
$}}
" description, phantom]
&
H
^
1(S
^
1)
\arrow
[l, "\varphi^*"']
\arrow
[ll, "\operatorname{id}", bend left]
\arrow
[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\simeq
$}}
" description, phantom]
\\
\mathbb
R
&
&
\mathbb
R
\end{tikzcd}
\end{center}
%TODO Bildchen 2 und weitere
TODO Bildchen 2 und weitere
$$
T
^
2
=
M
=
U
\cup
V,
\quad
\text
{
Mayer
-
Vretoris
}
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{}
&
H
^
0(T
^
2)
\arrow
[rr]
&
{}
&
H
^
0(U)
\oplus
H
^
0(V)
\arrow
[rr]
&
{}
&
H
^
0(U
\cap
V)
\arrow
[r]
&
{}
\\
\arrow
[r]
&
H
^
1(T
^
2)
\arrow
[rr]
&
{}
&
H
^
1(U)
\oplus
H
^
1(V)
\arrow
[rr]
&
{}
&
H
^
1(U
\cap
V)
\arrow
[r]
&
{}
\\
\arrow
[r]
&
H
^
2(T
^
2)
\arrow
[rr]
&
{}
&
H
^
2(U)
\oplus
H
^
2(V)
\arrow
[rr]
&
{}
&
H
^
2(U
\cap
V)
\arrow
[r]
&
{}
\\
\arrow
[r]
&
\ldots
&
{}
&
{}
&
{}
&
{}
&
{}
\end{tikzcd}
\end{center}
ist exakt.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{}
&
\mathbb
R
\arrow
[r]
&
\mathbb
R
^
2
\arrow
[r]
&
\mathbb
R
^
2
\arrow
[r, "m"]
&
{}
\\
\arrow
[r]
&
H
^
1(T
^
2)
\arrow
[r, "h"]
&
\mathbb
R
^
2
\arrow
[r]
&
\mathbb
R
^
2
\arrow
[r]
&
{}
\\
\arrow
[r]
&
\underbrace
{
H
^
2(T
^
2)
}_{
\mathbb
R
}
\arrow
[r]
&
0
\arrow
[r]
&
0
&
{}
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
\operatorname
{
rk
}
h
&
=
&
1
\\
\operatorname
{
rk
}
m
&
=
&
1
\\
\ker
h
&
=
&
\operatorname
{
im
}
m
$$
$$
\dim
H
^
1
(
T
^
2
)
&
=
&
\operatorname
{
rk
}
h
+
\dim
\ker
h
\\
&
=
&
\operatorname
{
rk
}
h
+
\operatorname
{
rk
}
m
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\arrow
[r, "m"]
&
H
^
1(T
^
2)
\arrow
[r, "h"]
\arrow
[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\cong
$}}
" description, phantom]
&
{}
\\
{}
&
\mathbb
R
^
2
&
{}
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{}
\arrow
[r]
&
V
_
0
\arrow
[r]
&
V
_
i
\arrow
[r]
&
V
_{
i+1
}
\arrow
[r]
&
\ldots
\arrow
[r]
&
V
_
n
\arrow
[r]
&
{}
\end{tikzcd}
exakt
\end{center}
$$
\Rightarrow
\sum
_{
i
=
0
}^
n
(-
1
)
^
i
\dim
V
_
i
=
0
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0
\arrow
[r]
&
V
_
0
\arrow
[r]
&
V
_
1
\arrow
[r]
&
\ldots
\arrow
[r]
&
V
_
n
\arrow
[r]
&
0
\end{tikzcd}
Kettenkomplex
\end{center}
$$
\sum
_{
i
=
0
}^
n
(-
1
)
^
i
\dim
(
V
_
i
)
&
=
&
\sum
_{
i
=
0
}^
n
(-
1
)
^
i
\dim
H
^
i
(
V
_
*)
=
:
\xi
(
V
_
*)
$$
%TODO Bildchen 3
TODO Bildchen 3
$$
\partial
^
2
=
0
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V
_
2
\arrow
[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\cong
$}}
"]
\arrow
[r, "\partial"]
&
V
_
1
\arrow
[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\cong
$}}
"]
\arrow
[r]
&
V
_
0
\arrow
[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]
{
90
}{$
\cong
$}}
"]
\\
\mathbb
R
^{
|F|
}
&
\mathbb
R
^
K
&
\mathbb
R
^
E
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
E
-
K
+
F
&
=
&
\dim
H
_
0
(
V
_
*)
-
\dim
H
_
1
(
V
_
*)
+
\dim
H
_
2
(
V
_
*)
\\
&
=
&
\dim
H
^
0
(
S
^
2
)
-
\dim
H
^
1
(
S
^
2
)
+
\dim
H
^
2
(
S
^
2
)
\\
&
=
&
2
$$
%TODO Bildchen 4
TODO Bildchen 4
Haben
$
M
$
-kompakt orientierte,
$
\dim
M
=
n
$
.
$
H
^
n
(
M
\setminus
\{
p
\}
)
=
0
$
Beweis:
Sei
$
\omega
\in
\Omega
^
n
(
M
\setminus
\{
p
\}
)
$
,
$
\diffd
\omega
=
0
$
(antisymetrisch)
$$
\overset
?
\Rightarrow
\exists\eta\in\Omega
^{
n
-
1
}
(
M
\setminus\{
p
\}
)
\text
{
mit
}
\omega
=
\diffd
\eta
$$
%TODO Bildchen 5
TODO Bildchen 5
Zerlege:
$$
\omega
=
\omega
_
0
+
\omega
_
1
$$
s.d.
-
$
\omega
_
0
\in\Omega
^
n
_
c
(
M
\setminus\{
p
\}
)
$
-
$
\int
\omega
_
0
=
0
$
-
$
\omega
_
1
\in\Omega
^
n
(
\underbrace
{
S
^{
n
-
1
}
\times
(
0
,
1
)
}_{
\operatorname
{
int
}
D
^
n
\setminus
\{
p
\}
}
)
$
$$
\omega
_
1
|
_{
S
^{
n
-
1
}
\times
\left
(
\frac
{
1
}{
2
}
,
1
\right
)
}
=
0
$$
$$
\omega
_
0
&
=
&
\diffd
\eta
_
0
\\
\omega
_
1
&
=
&
\diffd
\eta
_
1
$$
weil
$
H
^
n
(
S
^{
n
-
1
}
)
\cong
H
^
n
(
S
^{
n
-
1
}
\times
(
0
,
1
))
=
0
$
...
...
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