2019-07-03

diffgeoII/edit-this-file.tex

@@ -15,7 +15,6 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
 ~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)
 
 1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
-  TODO%TODO %TYPO: remove space here
   $$
     T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
     \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
@@ -23,7 +22,8 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
   
   Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung!
   
-  %Bild 2
+  %TODO Bild 2
+  TODO Bild
   
   $\pi \colon TM \to M$ ist glatt
   $v\in T_pM \mapsto p$
@@ -4414,3 +4414,174 @@ $$
 Beweis:
  1. $\Delta^* = (\diffd^*\diffd)^* + (\diffd \diffd^*)^* = \Delta$, $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle = \langle \diffd \alpha, \diffd \alpha \rangle + \langle \diffd^*\alpha, \diffd^*\alpha \rangle \geqslant 0$
  2. $\diffd \Delta = \diffd\diffd^* \diffd = \Delta \diffd$ wegen $\diffd^2 = 0$, analog für $\diffd^*$
+
+%2019-07-02
+%TODO missing
+missing 2019-07-02
+
+%2019-07-03
+
+%TODO Bildchen 1
+TODO Bildchen 1
+
+** Satz: Brouwer
+
+$$
+  &&f\colon D^2 \to D^2 \text{ stetig, [glatt]}
+  \\ &\Rightarrow& f \text{ hat einen Fixpunkt}
+  \\&& (\exists x\in D^2, f(x) = x)
+$$
+
+Beweis: durch Widerspruch: Sei $f\colon D^2\to D^2$ glatt mit $f(x)\neq x, \forall x\in D^2$
+
+%TODO Bildchen 2
+TODO Bildchen 2
+
+$$
+  \varphi \colon D^2 &\to& \partial D^2 = S'
+  \\ x &\mapsto& y := \text{ Gerade } f(x) \to x \cap \partial D^2
+  \\ \varphi \text{ ist glatt}
+  \\ \varphi|_{\partial D^2} = \operatorname{id}
+$$
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+                                                                                                    & * \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] &                                         \\
+\partial D^2 \arrow[r, "i"] \arrow[rr, "\operatorname{id}"', bend right] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] & D^2 \arrow[r]                     & \partial D^2 \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \\
+S^1                                                                                                 &                                   & S^1                                    
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+                                         & 0                                                         &                                                                                                             \\
+H^k(S^1) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] & H^1(D^2) \arrow[l, "i^*"'] \arrow[u, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] & H^1(S^1) \arrow[l, "\varphi^*"'] \arrow[ll, "\operatorname{id}", bend left] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] \\
+\mathbb R                                &                                                           & \mathbb R                                                                                                  
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+%TODO Bildchen 2 und weitere
+TODO Bildchen 2 und weitere
+
+$$
+  T^2 = M = U\cup V, \quad \text{Mayer-Vretoris}
+$$
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+ {}        & H^0(T^2) \arrow[rr] & {} & H^0(U)\oplus H^0(V) \arrow[rr] & {} & H^0(U\cap V) \arrow[r] & {} \\
+ \arrow[r] & H^1(T^2) \arrow[rr] & {} & H^1(U)\oplus H^1(V) \arrow[rr] & {} & H^1(U\cap V) \arrow[r] & {} \\
+ \arrow[r] & H^2(T^2) \arrow[rr] & {} & H^2(U)\oplus H^2(V) \arrow[rr] & {} & H^2(U\cap V) \arrow[r] & {} \\
+ \arrow[r] & \ldots              & {} & {}                             & {} & {}                     & {}
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+ist exakt.
+
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+ {}        & \mathbb R \arrow[r]                           & \mathbb R^2 \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r, "m"] & {} \\
+ \arrow[r] & H^1(T^2) \arrow[r, "h"]                       & \mathbb R^2 \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r] & {} \\
+ \arrow[r] & \underbrace{ H^2(T^2) }_{\mathbb R} \arrow[r] & 0 \arrow[r]           & 0                     & {}
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+$$
+  \operatorname{rk} h &=& 1
+  \\ \operatorname{rk} m &=& 1
+  \\ \ker h &=& \operatorname{im} m
+$$
+
+$$
+  \dim H^1(T^2) &=& \operatorname{rk} h + \dim \ker h
+  \\ &=& \operatorname{rk} h + \operatorname{rk} m
+$$
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+ \arrow[r, "m"] & H^1(T^2) \arrow[r, "h"] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] & {} \\
+ {}               & \mathbb R^2                                            & {}
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+{} \arrow[r] & V_0 \arrow[r] & V_i \arrow[r] & V_{i+1} \arrow[r] & \ldots \arrow[r] & V_n \arrow[r] & {}
+\end{tikzcd}
+exakt
+\end{center}
+
+$$
+  \Rightarrow \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim V_i = 0
+$$
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+0 \arrow[r] & V_0 \arrow[r] & V_1 \arrow[r] & \ldots \arrow[r] & V_n \arrow[r] & 0
+\end{tikzcd}
+Kettenkomplex
+\end{center}
+
+$$
+  \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim (V_i) &=& \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim H^i (V_*) =: \xi (V_*)
+$$
+
+%TODO Bildchen 3
+TODO Bildchen 3
+
+$$
+  \partial^2 = 0
+$$
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+V_2 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \arrow[r, "\partial"] & V_1 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \arrow[r] & V_0 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \\
+\mathbb R^{|F|}                     & \mathbb R^K             &  \mathbb R^E 
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+$$
+  E-K+F &=& \dim H_0 (V_*) - \dim H_1(V_*) + \dim H_2 (V_*)
+  \\ &=& \dim H^0 (S^2) - \dim H^1(S^2) + \dim H^2(S^2)
+  \\ &=& 2
+$$
+
+%TODO Bildchen 4
+TODO Bildchen 4
+
+Haben $M$-kompakt orientierte, $\dim M = n$.
+
+$H^n(M\setminus \{ p \}) = 0$
+
+Beweis:
+
+Sei $\omega \in \Omega^n(M\setminus \{p\})$, $\diffd \omega = 0$ (antisymetrisch)
+
+$$
+  \overset?\Rightarrow \exists\eta\in\Omega^{n-1}(M\setminus\{p\}) \text{ mit } \omega = \diffd \eta
+$$
+
+%TODO Bildchen 5
+TODO Bildchen 5
+
+Zerlege:
+
+$$
+  \omega = \omega_0 + \omega_1
+$$
+
+s.d.
+ - $\omega_0\in\Omega^n_c(M\setminus\{p\})$
+ - $\int \omega_0 = 0$
+ - $\omega_1\in\Omega^n( \underbrace{ S^{n-1}\times(0,1) }_{\operatorname{int} D^n \setminus \{p\}} )$
+
+$$
+  \omega_1|_{S^{n-1}\times \left(\frac{1}{2}, 1\right)} = 0
+$$
+
+$$
+  \omega_0 &=& \diffd \eta_0
+  \\ \omega_1 &=& \diffd \eta_1
+$$
+
+weil $H^n(S^{n-1})\cong H^n(S^{n-1}\times (0,1)) = 0$