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2019-01-23

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\newtheorem{Satz}[Def]{Satz}%
\newtheorem{Kor}[Def]{Korollar}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Motivation}[Def]{Motivation}%
\newtheorem{Notation}[Def]{Notation}%
\newtheorem{Idee}[Def]{Idee}%
\newtheorem{Frage}[Def]{Frage}%
......@@ -59,6 +60,7 @@
\newcommand{ \bigcupdot }{ \dot \bigcup }
\newcommand{ \cupdot }{ \dot \cup }
\newcommand{ \bw }{{\bigwedge}}
\newcommand{ \sgn }{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
\newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{} \\ & #1 & \\ \text{} && \end{array} }
......
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\begin{Def}
$\dim V = n\Rightarrow \bw^n(V^*)$ ist Raum der \emph{Determinantenform} $w\in \bw^n(V^*)\setminus\{0\}$ heißt \emph{Volumenform} auf $V$
\end{Def}
%2020-01-23
letztes Mal:
$$
\bw V &=& T(V)/\langle v\otimes v\mathrel| v\in V \rangle
\\ \bw V &=& \bw V = \bigoplus_{k=0}^{\dim V} \bw^k V
\\ \dim \bw^k V &=& \binom nk
\\ n &=& \dim V
$$
$e_1,\ldots, e_n$ Basis in $V$ $\Rightarrow \{ e_{i_1}\wlw e_{i_k}\mathrel| 1\leqslant i_1 < \ldots < i_{i_k}\leqslant n \}$ eine Basis in $\bw^k V$.
\begin{Bsp}
$$
\bw^2 \mathbb R^4 &=& \operatorname{span}(e_1\wedge e_2, e_1\wedge e_3, e_1\wedge e_4, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4)
\\ \bw^k V^* &\cong& \left( \bw^k V \right)^*
\\ &\cong& \{ \mathrel\text{alternierende multilineare Abbildung}, f\colon V\times\ldots\times V\to \mathbb K\}
\\ (w_1^* \wedge w_2^*) (v_1, v_2) &=& \det\left(\begin{matrix} w_1^*(v_1) & w_1^*(v_2) \\ w_2^* (v_1) & w_2^*(v_2) \end{matrix}\right)
,\quad w_i^*\in V^*, v_i\in V
$$
\end{Bsp}
\begin{Frage}
$$
\alpha\in \bw^k V^*, \beta\in \bw^l V^* \Rightarrow (-1)^{k\cdot l}\cdot \beta\wedge \alpha = \alpha \wedge \beta \in \bw^{k+l}V^*
$$
Was ist $\alpha \wedge \beta$ als alternierende Abbildung in Termen von $\alpha$ und $\beta$?
\end{Frage}
\begin{Prop}
$$
\alpha\wedge \beta(v_1\wlw v_{k+l})
&=& \frac{1}{k!l!} \sum_{\sigma \in \operatorname{Sym}(k+l)} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \alpha(v_{\sigma(1)},\ldots, v_{\sigma(k)}) \beta(v_{\sigma(k+1)}, \ldots, v_{\sigma(k+l)})
\\&=& \sum_{\sigma\in\operatorname{Shuff}(k,l)} \operatorname{sgn}(\sigma)\cdot\alpha(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)})\cdot \beta(v_{\sigma(k+1)},\ldots, v_{\sigma(k+l)})
$$
wobei
$$
\operatorname{Shuff}(k,l) &=& \{ \sigma\in \operatorname{Sym}(k+l) \mathrel| \sigma(1) <\ldots< \sigma(k), \sigma(k+1)<\ldots<\sigma(k+l) \}
$$
\end{Prop}
Beweis:
Reicht, den Fall $\alpha= u_1^* \wedge \ldots \wedge u_k^*$, $\beta = w_1^* \wedge \ldots \wedge w_l^*$
$$
&& \alpha(v_1,\ldots, v_k)
\\ &=& \det(u_i^*(v_j))_{ij}
\\ &\overset{\text{Leibnitzregel}}=& \sum_{\tau\in \operatorname{Sym}(k)} \operatorname{sgn}(\tau) u_1^* (v_{\tau(1)})\cdot \ldots\cdot u_k^*(v_{\tau(k)})
$$
$$
\sigma\in \operatorname{Sym}(k+l) : \alpha(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)}) = \sum_{\tau\in \operatorname{Sym}(k)} \operatorname{sgn}(\tau) u_1^*(v_{(\sigma\circ \tau)(1)})\cdot\ldots\cdot u_k^*(v_{(\sigma\circ\tau(k))})
$$
$$
&& (\alpha\wedge\beta)(v_1,\ldots, v_{k+l})
\\&=& \det(\ldots)
\\ &=& \sum_{\sigma\in \operatorname{Sym}(k+l)}\operatorname{sgn}(\sigma) u_1^*(v_{\sigma(1)})\cdot\ldots\cdot u_k^*(v_{\sigma(k)})\cdot w_1^*(v_{\sigma(k+1)})\cdot\ldots\cdot w_l^*(v_{\sigma(k+l)})
$$
Jedes $\sigma\in\operatorname{Sym}(k+l)$ hat eine eindeutige Zerlegung:
$$
\sigma = \bar\sigma\circ \tau_l\circ \tau_k, \bar\sigma\in \operatorname{Shuff}(k,l), \tau_k \operatorname{Sym}(\{ 1,\ldots, k \}), \tau_l\in \operatorname{Sym}(\{ k+1, \ldots, k+l \})
$$
$$
&=& \sum_{\bar\sigma\in \operatorname{Shuff}(k,l)}\operatorname{sgn}(\bar\sigma) \sum_{\tau_l\in \sgn(l)} \sgn(\tau_l) \sum_{\tau_k\in\operatorname{Sym}(k)} \operatorname{sgn}(\tau_k)
\\&&
u_1^* (v_{\bar\sigma\circ \tau_k(1)})\cdot\ldots\cdot u_k^*(v_{\bar\sigma \circ t_k(k)})\cdot w_1^*(v_{\bar\sigma\circ\tau_l(k+1)})\cdot\ldots\cdot w_l^*(v_{\bar \sigma \circ \tau_l(k+l)})
\\ &=& \sum_{\bar\sigma\in \operatorname{Shuff}(k,l)} \operatorname{sgn}(\bar\sigma) \left( \sum_{\tau_k\in \operatorname{Sym}(k)} \sgn(\tau_k) u_1^*(v_{\bar\sigma \circ\tau_k(1)}) \cdot\ldots\cdot u_k^* (v_{\bar\sigma \circ \tau_k(k)}) \right)
\\&&\left( \sum_{\tau_l\in \operatorname{sgn}(l)} \sgn(\tau_l) w_1^*(v_{\bar\sigma\circ\tau_l(k+1)})\cdot\ldots\cdot w_l^*(v_{\bar\sigma \circ \tau_l (k+1)}) \right)
\\&=& \sum_{\bar\sigma \in \operatorname{Shuff}(k,l)} \alpha(v_{\bar\sigma(1)}, \ldots, v_{\bar\sigma(k)}) \cdot \beta(v_{\bar\sigma(k+1)},\ldots, v_{\bar\sigma(k+l)})
$$
$$
\bw^k V^* &\cong& \{ f\colon V\times\ldots\times V \to \mathbb K, \mathrel{\text{$k$-linear}}, \mathrel{\text{alternierend}} \}
\\ v\in V && \iota_v(f) := f(v,\cdot, \ldots, \cdot) \colon V^{k-1} \to \mathbb K
$$
$\Rightarrow \iota_v\colon \bw^kV^*\to \bw^{k-1}V^*$ \emph{Einsetzungsoperator}
\begin{Bsp}
$$
&\alpha \in \bw^1 V^* \cong V^*, \quad\beta\in \bw^1V^* \cong V^*&
\\&\iota_v(\alpha\wedge\beta) \in \bw^1V^*\cong V^*&
\\&(\iota_v(\alpha\wedge\beta))(w) = (\alpha\wedge\beta)(v,w) = \alpha(v)\beta(w) - \alpha(w)\beta(v)&
$$
\end{Bsp}
\begin{Motivation}
Wo sind die Mannigfaltigkeiten?
\end{Motivation}
- $\rightsquigarrow$ $\underbrace{T_pM}_{=: v}$ -- Tangentialraum
- $\rightsquigarrow$ $\left( T_pM \right)^{\otimes r} \otimes \left( T_p^*M \right)^{\otimes s} \ldots$ -- Tangentialraum
$$
\bw^kT_pM, \quad \bw^kT_p^*M
$$
Wenn man das „für alle $p\in M$ gleichzeitig“ macht, bekommt man Vektorbündel:
$$
(TM)^{\otimes r}\otimes (T^*M)^{\otimes s} := \bigsqcup_{p\in M} (T_pM)^{\otimes r} \otimes (T_p^*M)^{\otimes s}
\\ \bw^kTM, \quad k=0,\ldots, \dim M
\\ \bw^kT^*M, \quad k=0,\ldots, \dim M
\\ \bw^\cdot T^*M = \bigoplus_{k=0}^{\dim M} \bw^kT*M
$$
Beweisskizze, dass alles Vektorbündel sind:
da $TM$, $T^*M$ Vektorbündel sind, gibt es für jedes $p\in M$ ein offene Umgebung $U$, $\pi_{TM}^{-1}(U) \cong U\times \mathbb R^n$, $\pi_{T^*M}^{-1}(U)\cong U\times (\mathbb R^n)^*$
$$
\pi^{-1}((TM)^{\otimes r} \otimes (T^*M)^{\otimes s}) \cong U\times (\R^n)^{\otimes r} \otimes ((\R^n)^*)^{\otimes s}
$$
Die glatte Struktur auf $({TM}^{\otimes r}\otimes (T^*M)^{\otimes s})$ ist dadurch erklärt, dass es ein Diffeomorphismen ist. Analog für äußere Potenzen.
\begin{Def}
Ein \emph{Tensorfeld} vom Typ $(r,s)$ auf $M$ ist ein Schnitt von $TM^{\otimes r}\otimes T^*M^{\otimes s}$.
Eine \emph{$k$-Differentialform} auf $M$ ist ein Schnitt vom $\bw^kT^*M$.
$$
\omega^k(M) := \Gamma\left(\bw^kT^*M\right)
$$
\end{Def}
\begin{Def}
Definition à la XIX. Jahrhundert: Eine Differentialform von Ordnung $k$ ist eine Summe von Ausdrücken der Gestalt
$$
f(x_1, \ldots, x_n)\diffd x_{i_1}\wlw \diffd x_{x_{i_n}}
$$
\end{Def}
\begin{Bsp}
$$
xy\diffd x \wedge \diffd y + z\diffd z\wedge \diffd x
\\ x\diffd x
$$
\end{Bsp}
** Zusammenhang der Definition
Wenn $(U,x)$ lokal Karte ist, $\diffd x^1, \ldots, \diffd x^n\in \Gamma(T^*U)$. $\Rightarrow \diffd x^{i_n}\wedge \ldots\wedge \diffd x^{i_k} \in \Gamma (\bw^k T^* M) = \Omega^k(M)$. Das heißt jede $\omega\in \Omega^k(m)$, eingeschränkt auf $U$ hat die Gestalt:
$$
\omega|_U = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots<i_k\leqslant n} \omega_I \cdot \underbrace{\diffd x^{i_1}\wlw \diffd x^{i_k}}_{=: \diffd x^I},\quad \omega_I\in C^\infty(U)
$$
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