From 92733a77379f8bbb1408560307a3ba102afe7c30 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Harry Fuchs Date: Wed, 8 Apr 2020 21:37:29 +0200 Subject: [PATCH] 2019-01-23 --- diffgeoIII/custom.tex | 2 + diffgeoIII/edit-this-file.tex | 141 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 143 insertions(+) diff --git a/diffgeoIII/custom.tex b/diffgeoIII/custom.tex index 33194ed..8abbdf8 100644 --- a/diffgeoIII/custom.tex +++ b/diffgeoIII/custom.tex @@ -12,6 +12,7 @@ \newtheorem{Satz}[Def]{Satz}% \newtheorem{Kor}[Def]{Korollar} \theoremstyle{remark} +\newtheorem{Motivation}[Def]{Motivation}% \newtheorem{Notation}[Def]{Notation}% \newtheorem{Idee}[Def]{Idee}% \newtheorem{Frage}[Def]{Frage}% @@ -59,6 +60,7 @@ \newcommand{ \bigcupdot }{ \dot \bigcup } \newcommand{ \cupdot }{ \dot \cup } \newcommand{ \bw }{{\bigwedge}} +\newcommand{ \sgn }{\operatorname{sgn}} \newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} } \newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{ “ } \\ & #1 & \\ \text{ „ } && \end{array} } diff --git a/diffgeoIII/edit-this-file.tex b/diffgeoIII/edit-this-file.tex index 50573ac..21c461d 100644 --- a/diffgeoIII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoIII/edit-this-file.tex @@ -3637,3 +3637,144 @@ $$\begin{Def} \dim V = n\Rightarrow \bw^n(V^*) ist Raum der \emph{Determinantenform} w\in \bw^n(V^*)\setminus\{0\} heißt \emph{Volumenform} auf V \end{Def} + +%2020-01-23 + +letztes Mal: + +$$ + \bw V &=& T(V)/\langle v\otimes v\mathrel| v\in V \rangle + \\ \bw V &=& \bw V = \bigoplus_{k=0}^{\dim V} \bw^k V + \\ \dim \bw^k V &=& \binom nk + \\ n &=& \dim V +$$+e_1,\ldots, e_n Basis in V \Rightarrow \{ e_{i_1}\wlw e_{i_k}\mathrel| 1\leqslant i_1 < \ldots < i_{i_k}\leqslant n \} eine Basis in \bw^k V. + +\begin{Bsp} +$$ + \bw^2 \mathbb R^4 &=& \operatorname{span}(e_1\wedge e_2, e_1\wedge e_3, e_1\wedge e_4, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4) + \\ \bw^k V^* &\cong& \left( \bw^k V \right)^* + \\ &\cong& \{ \mathrel\text{alternierende multilineare Abbildung}, f\colon V\times\ldots\times V\to \mathbb K\} + \\ (w_1^* \wedge w_2^*) (v_1, v_2) &=& \det\left(\begin{matrix} w_1^*(v_1) & w_1^*(v_2) \\ w_2^* (v_1) & w_2^*(v_2) \end{matrix}\right) + ,\quad w_i^*\in V^*, v_i\in V + $$+\end{Bsp} + +\begin{Frage} +$$ + \alpha\in \bw^k V^*, \beta\in \bw^l V^* \Rightarrow (-1)^{k\cdot l}\cdot \beta\wedge \alpha = \alpha \wedge \beta \in \bw^{k+l}V^* + $$+ Was ist \alpha \wedge \beta als alternierende Abbildung in Termen von \alpha und \beta? +\end{Frage} + +\begin{Prop} +$$ + \alpha\wedge \beta(v_1\wlw v_{k+l}) + &=& \frac{1}{k!l!} \sum_{\sigma \in \operatorname{Sym}(k+l)} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \alpha(v_{\sigma(1)},\ldots, v_{\sigma(k)}) \beta(v_{\sigma(k+1)}, \ldots, v_{\sigma(k+l)}) + \\&=& \sum_{\sigma\in\operatorname{Shuff}(k,l)} \operatorname{sgn}(\sigma)\cdot\alpha(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)})\cdot \beta(v_{\sigma(k+1)},\ldots, v_{\sigma(k+l)}) + $$+ wobei +$$ + \operatorname{Shuff}(k,l) &=& \{ \sigma\in \operatorname{Sym}(k+l) \mathrel| \sigma(1) <\ldots< \sigma(k), \sigma(k+1)<\ldots<\sigma(k+l) \} + $$+\end{Prop} + +Beweis: + +Reicht, den Fall \alpha= u_1^* \wedge \ldots \wedge u_k^*, \beta = w_1^* \wedge \ldots \wedge w_l^* +$$ + && \alpha(v_1,\ldots, v_k) + \\ &=& \det(u_i^*(v_j))_{ij} + \\ &\overset{\text{Leibnitzregel}}=& \sum_{\tau\in \operatorname{Sym}(k)} \operatorname{sgn}(\tau) u_1^* (v_{\tau(1)})\cdot \ldots\cdot u_k^*(v_{\tau(k)}) +$$+$$ + \sigma\in \operatorname{Sym}(k+l) : \alpha(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)}) = \sum_{\tau\in \operatorname{Sym}(k)} \operatorname{sgn}(\tau) u_1^*(v_{(\sigma\circ \tau)(1)})\cdot\ldots\cdot u_k^*(v_{(\sigma\circ\tau(k))}) +$$+$$ + && (\alpha\wedge\beta)(v_1,\ldots, v_{k+l}) + \\&=& \det(\ldots) + \\ &=& \sum_{\sigma\in \operatorname{Sym}(k+l)}\operatorname{sgn}(\sigma) u_1^*(v_{\sigma(1)})\cdot\ldots\cdot u_k^*(v_{\sigma(k)})\cdot w_1^*(v_{\sigma(k+1)})\cdot\ldots\cdot w_l^*(v_{\sigma(k+l)}) +$$+ +Jedes \sigma\in\operatorname{Sym}(k+l) hat eine eindeutige Zerlegung: +$$ + \sigma = \bar\sigma\circ \tau_l\circ \tau_k, \bar\sigma\in \operatorname{Shuff}(k,l), \tau_k \operatorname{Sym}(\{ 1,\ldots, k \}), \tau_l\in \operatorname{Sym}(\{ k+1, \ldots, k+l \}) +$$+ +$$ + &=& \sum_{\bar\sigma\in \operatorname{Shuff}(k,l)}\operatorname{sgn}(\bar\sigma) \sum_{\tau_l\in \sgn(l)} \sgn(\tau_l) \sum_{\tau_k\in\operatorname{Sym}(k)} \operatorname{sgn}(\tau_k) + \\&& + u_1^* (v_{\bar\sigma\circ \tau_k(1)})\cdot\ldots\cdot u_k^*(v_{\bar\sigma \circ t_k(k)})\cdot w_1^*(v_{\bar\sigma\circ\tau_l(k+1)})\cdot\ldots\cdot w_l^*(v_{\bar \sigma \circ \tau_l(k+l)}) + \\ &=& \sum_{\bar\sigma\in \operatorname{Shuff}(k,l)} \operatorname{sgn}(\bar\sigma) \left( \sum_{\tau_k\in \operatorname{Sym}(k)} \sgn(\tau_k) u_1^*(v_{\bar\sigma \circ\tau_k(1)}) \cdot\ldots\cdot u_k^* (v_{\bar\sigma \circ \tau_k(k)}) \right) + \\&&\left( \sum_{\tau_l\in \operatorname{sgn}(l)} \sgn(\tau_l) w_1^*(v_{\bar\sigma\circ\tau_l(k+1)})\cdot\ldots\cdot w_l^*(v_{\bar\sigma \circ \tau_l (k+1)}) \right) + \\&=& \sum_{\bar\sigma \in \operatorname{Shuff}(k,l)} \alpha(v_{\bar\sigma(1)}, \ldots, v_{\bar\sigma(k)}) \cdot \beta(v_{\bar\sigma(k+1)},\ldots, v_{\bar\sigma(k+l)}) +$$+ +$$ + \bw^k V^* &\cong& \{ f\colon V\times\ldots\times V \to \mathbb K, \mathrel{\text{$k$-linear}}, \mathrel{\text{alternierend}} \} + \\ v\in V && \iota_v(f) := f(v,\cdot, \ldots, \cdot) \colon V^{k-1} \to \mathbb K +$$+\Rightarrow \iota_v\colon \bw^kV^*\to \bw^{k-1}V^* \emph{Einsetzungsoperator} + +\begin{Bsp} +$$ + &\alpha \in \bw^1 V^* \cong V^*, \quad\beta\in \bw^1V^* \cong V^*& + \\&\iota_v(\alpha\wedge\beta) \in \bw^1V^*\cong V^*& + \\&(\iota_v(\alpha\wedge\beta))(w) = (\alpha\wedge\beta)(v,w) = \alpha(v)\beta(w) - \alpha(w)\beta(v)& + $$+\end{Bsp} + +\begin{Motivation} + Wo sind die Mannigfaltigkeiten? +\end{Motivation} + - \rightsquigarrow \underbrace{T_pM}_{=: v} -- Tangentialraum + - \rightsquigarrow \left( T_pM \right)^{\otimes r} \otimes \left( T_p^*M \right)^{\otimes s} \ldots -- Tangentialraum +$$ + \bw^kT_pM, \quad \bw^kT_p^*M + $$+ +Wenn man das „für alle p\in M gleichzeitig“ macht, bekommt man Vektorbündel: +$$ + (TM)^{\otimes r}\otimes (T^*M)^{\otimes s} := \bigsqcup_{p\in M} (T_pM)^{\otimes r} \otimes (T_p^*M)^{\otimes s} + \\ \bw^kTM, \quad k=0,\ldots, \dim M + \\ \bw^kT^*M, \quad k=0,\ldots, \dim M + \\ \bw^\cdot T^*M = \bigoplus_{k=0}^{\dim M} \bw^kT*M +$$+Beweisskizze, dass alles Vektorbündel sind: +da TM, T^*M Vektorbündel sind, gibt es für jedes p\in M ein offene Umgebung U, \pi_{TM}^{-1}(U) \cong U\times \mathbb R^n, \pi_{T^*M}^{-1}(U)\cong U\times (\mathbb R^n)^* + +$$ + \pi^{-1}((TM)^{\otimes r} \otimes (T^*M)^{\otimes s}) \cong U\times (\R^n)^{\otimes r} \otimes ((\R^n)^*)^{\otimes s} +$$+ +Die glatte Struktur auf ({TM}^{\otimes r}\otimes (T^*M)^{\otimes s}) ist dadurch erklärt, dass es ein Diffeomorphismen ist. Analog für äußere Potenzen. + +\begin{Def} + Ein \emph{Tensorfeld} vom Typ (r,s) auf M ist ein Schnitt von TM^{\otimes r}\otimes T^*M^{\otimes s}. + + Eine \emph{k-Differentialform} auf M ist ein Schnitt vom \bw^kT^*M. +$$ + \omega^k(M) := \Gamma\left(\bw^kT^*M\right) + $$+\end{Def} + +\begin{Def} + Definition à la XIX. Jahrhundert: Eine Differentialform von Ordnung k ist eine Summe von Ausdrücken der Gestalt +$$ + f(x_1, \ldots, x_n)\diffd x_{i_1}\wlw \diffd x_{x_{i_n}} + $$+\end{Def} + +\begin{Bsp} +$$ + xy\diffd x \wedge \diffd y + z\diffd z\wedge \diffd x + \\ x\diffd x + $$+\end{Bsp} + +** Zusammenhang der Definition + +Wenn (U,x) lokal Karte ist, \diffd x^1, \ldots, \diffd x^n\in \Gamma(T^*U). \Rightarrow \diffd x^{i_n}\wedge \ldots\wedge \diffd x^{i_k} \in \Gamma (\bw^k T^* M) = \Omega^k(M). Das heißt jede \omega\in \Omega^k(m), eingeschränkt auf U hat die Gestalt: +$$ + \omega|_U = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots