da $TM$, $T^*M$ Vektorbündel sind, gibt es für jedes $p\in M$ ein offene Umgebung $U$, $\pi_{TM}^{-1}(U)\cong U\times\mathbb R^n$, $\pi_{T^*M}^{-1}(U)\cong U\times(\mathbb R^n)^*$
Die glatte Struktur auf $({TM}^{\otimes r}\otimes(T^*M)^{\otimes s})$ ist dadurch erklärt, dass es ein Diffeomorphismen ist. Analog für äußere Potenzen.
\begin{Def}
Ein \emph{Tensorfeld} vom Typ $(r,s)$ auf $M$ ist ein Schnitt von $TM^{\otimes r}\otimes T^*M^{\otimes s}$.
Eine \emph{$k$-Differentialform} auf $M$ ist ein Schnitt vom $\bw^kT^*M$.
$$
\omega^k(M) :=\Gamma\left(\bw^kT^*M\right)
$$
\end{Def}
\begin{Def}
Definition à la XIX. Jahrhundert: Eine Differentialform von Ordnung $k$ ist eine Summe von Ausdrücken der Gestalt
xy\diffd x \wedge\diffd y + z\diffd z\wedge\diffd x
\\ x\diffd x
$$
\end{Bsp}
** Zusammenhang der Definition
Wenn $(U,x)$ lokal Karte ist, $\diffd x^1, \ldots, \diffd x^n\in\Gamma(T^*U)$. $\Rightarrow\diffd x^{i_n}\wedge\ldots\wedge\diffd x^{i_k}\in\Gamma(\bw^k T^* M)=\Omega^k(M)$. Das heißt jede $\omega\in\Omega^k(m)$, eingeschränkt auf $U$ hat die Gestalt: