In der linearen Algebra studiert man auch bilineare Abbildungen, zum Beispiel:
$$
b\colon V\times V \to\mathbb K
$$
Tensorprodukte ist das, was aus bilinearen (multilinearen) Abbildungen lineare macht.
** Definition
Seien $V$, $W$ zwei Vektoräume. Ein Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $\beta\colon V\times W\to T$ heißt \emph{Tensorprodukt} von $V$ und $W$, wenn $T$ folgende \emph{universelle Eigenschaft} besitzt:
Für jeden Vektorraum $Z$ und jede bilineare Abbildung $\varphi\colon V\times W\to Z$ existiert eine eindeutige lineare Abbildung $\bar\varphi\colon T\to Z$ mit $\bar\varphi\colon\beta=\varphi$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "\beta"]\arrow[rd, "\varphi"']& T \arrow[d, dashed, "{\exists!\bar\varphi}"]
\\{}&Z
\end{tikzcd}
\end{center}
($Z$ ist ein Möchtegern-Tensorprodukt)
** Lemma
Das Tensorprodukt von $V$ und $W$ ist bis auf Isomorphie eindeutig: (wenn es existiert)
Wenn
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "\beta"]& T && V\times W \arrow[r, "\beta'"]& T'
\end{tikzcd}
\end{center}
zwei Tensorprodukte (von $V$ und $W$) sind, dann existiert ein eindeutiger Isomophismus $\theta\colon T\xrightarrow{\cong} T'$ mit $\theta\circ\beta=\beta'$
Beweis:
Universelle Eigenschaft:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "\beta"]\arrow[rd, "\beta'"]& T \arrow[d, "\exists!\theta", dashed]&& V\times W \arrow[r, "\beta'"]\arrow[rd, "\beta"]& T' \arrow[d, "\exists!\theta'", dashed]\\
& T' &&& T \\
V\times W \arrow[r, "\beta"]\arrow[rd, "\beta"]& T \arrow[d, "\exists!\operatorname{id}_T = \theta'\circ\theta", dashed]&& V\times W \arrow[r, "\beta'"]\arrow[rd, "\beta'"]& T' \arrow[d, "\exists!\operatorname{id}_{T'}=\theta\circ\theta'", dashed]\\
& T &&& T'
\end{tikzcd}
\end{center}
** Bezeichnung
$$
T =: V\times W\quad\text{wenn es existiert}
$$
(streng genommen muss man $\beta$ angeben!)
** Proposition
$V\otimes W$ existiert für jedes Paar $V$, $W$.
** Definition
Eine \emph{Basis} von $V$ ist eine Menge $S$ zusammen mit $i\colon S\to V$ sodass $\forall Z, \forall\varphi\colon S\to Z$ (Mengenabbildung) $\exists!$ lineares $\bar\varphi\colon V\to Z$ mit $\bar\varphi\circ i=\varphi$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
S \arrow[r, "i"]\arrow[rd, "\varphi"']& Z \arrow[d, "{\exists!\bar\varphi}", dashed]
\\{}&Z
\end{tikzcd}
\end{center}
** Bemerkung
Ein Vektorraum $V$ mit Basis $S$ ist somit (nach dem Lemma) eindeutig bis auf Isomorphie definiert.
*** Notation
$$
V &=:&\mathcal F(S)\quad\text{freier Vektorraum auf } S