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2020-01-09

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% \square? % \square?
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% redefine \subset to \subseteq % redefine \subset to \subseteq
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%TODO Nummerierung
%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%
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$$ $$
Maximal: Wie bei Picard-Lindelöf Maximal: Wie bei Picard-Lindelöf
%2020-01-09
Wenn $X$, $Y$ zwei Vektorfelder auf $M$, $(\phi_t)_{t\in \R}$, $(\psi_t)_{t\in \R}$ die entsprechenden Flüsse, $p\in M$, dann gilt:
$$
2[X,Y]_p = \ddot \gamma(0)
$$
wobei $\gamma(t) = (\psi_{-t}\circ\phi_{-t}\circ\psi_t\circ\phi_t)(p)$ (vgl 19.12 ganz unten)%TODO ref
Beweis:
Wir können annehmen, dass $M=Ŗ^n$, $p=0$. Ziel $\phi_t$, $\psi_s$ taylorieren und einsetzen. Wir betrachten also:
$$
h(s,t) &=& (\psi_{-s}\circ\phi_{-t}\circ\psi_s\circ\phi_t)(0)
\\ &=& \psi_{-s}(\phi_{-t}(\psi_s(\phi_t(0))))
\\ \phi_t(0) &=& t\underbrace{X_0}_{X(0)} + \frac{t^2}{2}X_0(X) + o(t^2)
$$
$$
\left.\frac{\partial \phi_t}{\partial t}\right|_{t=0} &=& X(\phi_t(0))
\\\left.\frac{\partial^2 \phi_t}{\partial t}\right|_{t=0} &=& \underbrace{X_0}_{\in T_0 \R^n}(\underbrace{X}_{\in C^\infty(\R^n, \R^n)})
\\X(v) &=& \sum_{i=1}^n X_i(v)\frac{\partial}{\partial v_i}
\\(X_0(X))_k &=& \sum_{i=1}^n X_i(0) \left.\frac{\partial X_k}{\partial v_i}\right|_{v=0}
$$
$$
\psi_s(\phi_t(0)) &=& \psi_s(tX_0 + \frac{t^2}{2}X_0(X) + o(t^2))
\\&=& tX_0 + \frac{t^2}{2} X_0(X) + o(t^2) + s Y_{tX_0 + o(t)} + \frac{s^2}{2} Y_{o(1)(Y)} + o(s^2 + t^2)
\\&=& t X_0 + sY_0 + \frac{t^2}{2} X_0(X) + \frac{s^2}{2} Y_0(Y) + stX_0(Y) + o(s^2 +t^2)
\\\phi_{-t}(\psi_s(\phi_t(0))) && \phi_{-t}(tX_0 + sY_0 + \frac{t^2}{2}X_0(X) +\frac{s^2}{2}Y_0(Y) + stX_0(Y) + o(s^2 + f^2))
\\&=& tX_0 + sY_0 + \frac{t^2}{2} X_0(X) + \frac{s^2}{2}Y_0(Y) + st X_0(Y) + o(s^2 +t^2)
\\&-& tX_{tX_0 + sY_0 + o(\sqrt(s^2 + t^2))} + \frac{t^2}{2} X_{o(1)}(X) + o(s^2 + t^2)
\\&=& \cancel{tX_0} + sY_0 + \xcancel{\frac{t^2}{2}X_0(X)} + \frac{s^2}{2}Y_0(Y) +st X_0(Y) -\cancel{tX_0}
\\&-& t(\cancel{tX_0} + sY_0)(X) + o(s^2 + t^2) + \xcancel{\frac{t^2}{2} X_0(X)}
\\&=& sY_0 + st(X_0(Y) -Y_0(X)) + \frac{s^2}{2} Y_0(Y) + o(s^2 + t^2)
\\\psi_{-s}(\phi_{-t}(\psi_s(\phi_t(0)))) &=& \psi_{-s}(sY_0 + st(X_0(Y) - Y_0(X))) + \frac{s^2}{2} Y_0(Y) + o(s^2+t^2)
\\&=& sY_0 + st(X_0(Y)-Y_0{X}) + \frac{s^2}{2} Y_0(Y) + o(s^2 + t^2)
\\&-& sY_{sY_0 + o(\sqrt{s^2+t^2})} + \frac{s^2}{2} Y_{o(1)}(Y)
\\&=& sY_0 + st(X_0(Y) - Y_0(X)) + s^2Y_0(Y) - sY_0 -s\cdot sY_0(Y) + o(s^2 + t^2)
\\&=& st(X_0(Y)-Y_0(X)) + o(s^2+t^2) = st[X,Y]_0 + o(s^2 + t^2)
$$
* (12) Lineare Algebra: Tensorprodukte und äußere Potenzen
%TODO Nummerierung
** Motivation
Seien $X$, $Y$ Mengen, $\mathbb K$ Körper ($\K\in \{\R, \mathbb C\}$).
$$
C_\infty(X) := \{f\colon X\to \mathbb K\ |\ \lvert\operatorname{supp} f\rvert < \infty\}
$$
Frage:
$$
C_\infty(X\times Y) &\overset?=& \{ f\colon x\times Y \to \mathbb K\ |\ \lvert \underbrace{\operatorname{supp}f}_{(x,y)\mapsto \varphi(x)\psi(y), \varphi\in C_{\infty}(X), \psi\in C_\infty(Y)}\rvert <\infty \}
$$
Antwort:
$$
C_{\infty}(X\times Y) &\cong& C_\infty(X) \otimes C_{\infty}(Y)
$$
TODO Bildchen 41
In der linearen Algebra studiert man auch bilineare Abbildungen, zum Beispiel:
$$
b\colon V\times V \to \mathbb K
$$
Tensorprodukte ist das, was aus bilinearen (multilinearen) Abbildungen lineare macht.
** Definition
Seien $V$, $W$ zwei Vektoräume. Ein Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $\beta\colon V\times W\to T$ heißt \emph{Tensorprodukt} von $V$ und $W$, wenn $T$ folgende \emph{universelle Eigenschaft} besitzt:
Für jeden Vektorraum $Z$ und jede bilineare Abbildung $\varphi\colon V\times W\to Z$ existiert eine eindeutige lineare Abbildung $\bar\varphi\colon T\to Z$ mit $\bar\varphi\colon \beta = \varphi$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "\beta"] \arrow[rd, "\varphi"'] & T \arrow[d, dashed, "{\exists!\bar\varphi}"]
\\{}&Z
\end{tikzcd}
\end{center}
($Z$ ist ein Möchtegern-Tensorprodukt)
** Lemma
Das Tensorprodukt von $V$ und $W$ ist bis auf Isomorphie eindeutig: (wenn es existiert)
Wenn
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "\beta"] & T & & V\times W \arrow[r, "\beta'"] & T'
\end{tikzcd}
\end{center}
zwei Tensorprodukte (von $V$ und $W$) sind, dann existiert ein eindeutiger Isomophismus $\theta\colon T\xrightarrow{\cong} T'$ mit $\theta \circ \beta = \beta'$
Beweis:
Universelle Eigenschaft:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "\beta"] \arrow[rd, "\beta'"] & T \arrow[d, "\exists!\theta", dashed] & & V\times W \arrow[r, "\beta'"] \arrow[rd, "\beta"] & T' \arrow[d, "\exists!\theta'", dashed] \\
& T' & & & T \\
V\times W \arrow[r, "\beta"] \arrow[rd, "\beta"] & T \arrow[d, "\exists!\operatorname{id}_T = \theta'\circ\theta", dashed] & & V\times W \arrow[r, "\beta'"] \arrow[rd, "\beta'"] & T' \arrow[d, "\exists!\operatorname{id}_{T'}=\theta\circ\theta'", dashed] \\
& T & & & T'
\end{tikzcd}
\end{center}
** Bezeichnung
$$
T =: V\times W\quad\text{wenn es existiert}
$$
(streng genommen muss man $\beta$ angeben!)
** Proposition
$V\otimes W$ existiert für jedes Paar $V$, $W$.
** Definition
Eine \emph{Basis} von $V$ ist eine Menge $S$ zusammen mit $i\colon S\to V$ sodass $\forall Z, \forall \varphi\colon S\to Z$ (Mengenabbildung) $\exists!$ lineares $\bar\varphi\colon V\to Z$ mit $\bar\varphi \circ i=\varphi$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
S \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "\varphi"'] & Z \arrow[d, "{\exists!\bar\varphi}", dashed]
\\{}&Z
\end{tikzcd}
\end{center}
** Bemerkung
Ein Vektorraum $V$ mit Basis $S$ ist somit (nach dem Lemma) eindeutig bis auf Isomorphie definiert.
*** Notation
$$
V &=:& \mathcal F(S)\quad \text{freier Vektorraum auf } S
\\&\cong& \bigoplus_{s\in S} \mathbb K
$$
TODO 2020-01-10
TODO 2020-01-16
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