2019-10-24

diffgeoIII/edit-this-file.tex

@@ -58,7 +58,7 @@ Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig?
 ** Notation
 
 - $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen
-- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
+- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
 - $f\colon U\to V$
  - $$
      D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix}
@@ -118,6 +118,8 @@ Idee: benutze das als Definition
  - „ein Tangentialvektor ist das, was Funktionen ableitet“
  - „Tangentialvektor = Richtungsableitung“
 
+%2019-10-18
+
 Sei $(p, \xi) \in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$ ein (in Koordinaten darstellbarer) Tangentialvektor
 
 TODO Bildchen 5
@@ -358,17 +360,237 @@ $$
 
 Beweis von $(*)$:
 
-Konstruiere $\tilde{\tilde \varrho} \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\tilde{\tilde \varrho} = 0$ auf $U\setminus V$ und $\tilde{\tilde \varrho}(p) = 1$. Es gilt $\tilde{\tilde \varrho}(1-\tilde \varrho) = 0$.
+Konstruiere $\rho \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\rho = 0$ auf $U\setminus V$ und $\rho(p) = 1$. Es gilt $\rho(1-\tilde \varrho) = 0$.
 
 TODO Bildchen 9
 
-Daraus Folgt: $(\tilde{\tilde \varrho} := \tilde{\tilde \varrho}|_U)$
+Daraus Folgt: $(\rho := \rho|_U)$
 
 $$
-  0 &=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} (1-\tilde \varrho))
-  \\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} - \tilde{\tilde \varrho} \tilde \varrho)
-  \\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho}) - \partial (\tilde{\tilde \varrho}\tilde \varrho)
-  \\&=& \partial(\tilde{\tilde \varrho}) - \underbrace{\tilde{\tilde \varrho}(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\tilde{\tilde \varrho})
+  0 &=& \partial (\rho (1-\tilde \varrho))
+  \\&=& \partial (\rho - \rho \tilde \varrho)
+  \\&=& \partial (\rho) - \partial (\rho\tilde \varrho)
+  \\&=& \partial(\rho) - \underbrace{\rho(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\rho)
   \\&=& -\partial (\tilde \varrho)
 $$
 
+%2019-10-24
+
+Wiederholung letztes mal:
+
+Sei $p\in \R^n$, $T_p\R^n=\{ \partial \colon C^\infty \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p \}$. Das heißt:
+
+ 1. $\partial$ linear
+ 2. $\partial(f\cdot g) = f(p) \cdot \partial(g) + g(p)\cdot \partial(f)$
+
+$U\subseteq \R^n$ offen, $p\in U$
+
+$$
+  T_pU = \{ \partial \colon C^\infty(U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p\}
+$$
+
+$\varepsilon \colon C^\infty(\R^n) \to C^\infty(U)$ Einschränkungsabbildung
+
+$\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n : \partial \mapsto \partial \circ \varepsilon$ duale Abbildung. letztes mal: $\varepsilon^*$ surjektiv. Für Injektivität: Es reicht zu zeigen:
+
+$$
+  \forall \partial \in T_pU, \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\R^n)
+$$
+
+mit $\partial(\psi) = \partial(\varphi|_U)$. Dazu $\varrho\in C^\infty(\R)$, $\varrho(x)\geqslant 0\forall x\in\R$:
+$$
+  \varrho|_{(-\infty, -1]}=0, \quad \varrho|_{[1,+\infty)}=1
+$$
+
+TODO Bildchen 10
+
+NEU: (Alternativ Beweis zum letzten Beweis):
+
+Zudem sei $\sqrt{\varrho}\in C^\infty(\R)$, $\sqrt{1-p}\in C^\infty(\R)$. (das kriegt man wenn man statt $\varrho$, $\varrho^2$ nimmt oder mit Taylor)
+
+Dann: $\exists r>0$ so dass $B(p, 5r)\subseteq U$, $B_{5r}(p)$
+
+$$
+  \tilde\varrho(x) = \begin{cases} \varrho\left( 3 -\frac{|x-p|}{r} \right) & x\in U \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}
+$$
+
+Wir wollen zeigen: $\partial (\tilde\varrho)=0$, $[\varphi = \tilde\varrho \cdot \psi \text{ erfüllt dann das Gewünschte}]$
+
+$$
+  \partial(\tilde \varrho) &=& \partial \left( {\sqrt{\tilde p}}^2 \right)
+  \\ &=& \partial \left( \sqrt{\tilde \varrho} \cdot \sqrt{\tilde \varrho} \right)
+  \\ &=& \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1} \cdot \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) + \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) \cdot  \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1}
+  \\ &=& 2 \partial \left(\sqrt{\tilde p}\right)
+$$
+
+$$
+  0-\partial (\tilde \varrho) &=& \partial(1) - \partial (\tilde \varrho)
+  \\&=& \partial (1-\tilde \varrho)
+  \\&=& \partial({\sqrt{1-\tilde \varrho}}^2)
+  \\&=& 2 \sqrt{ \smash{\underbrace{1-\tilde \varrho(p)}_{=0}} \vphantom{1-\tilde \varrho(p)} }\partial (\sqrt{1-\tilde\varrho})
+  \\&=& 0
+$$
+
+Fazit: $\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n$ ist ein Homomorpismus. „Tangentialraum ist lokal, sieht nicht was weit entfernt ist“
+
+In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt.
+
+Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
+
+* Definition: Pullback-Abbildung
+
+Die Pullback-Abbildung zu $f$ ist
+
+$$
+  f^* \colon C^\infty(V) \to C^\infty(U) : \varphi \mapsto \varphi \circ f
+$$
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  V \arrow[r, "\varphi"]                                      & \mathbb R \\
+  U \arrow[u, "f"] \arrow[ru, "f^*(\varphi)=\varphi\circ f"'] &
+  \end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Beobachtung: $f^*$ ist Algebrenhomorphismus ($=$ ist linear und respektiert Produkte)
+
+* Definition: Differential
+
+Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt). Sei $p\in U$. Das Differential von $f$ an $p$ ist die Abbildung
+
+$$
+  \Diff_pf\colon
+  \begin{cases}
+    T_pU &\to T_{f(p)}V
+    \\ \partial &\mapsto \partial \circ f^*
+  \end{cases}
+$$
+
+das heißt:
+
+$$
+  [(\Diff_pf)(\partial)](\varphi) = \partial(\varphi\circ f) = \partial (f^*\varphi)
+$$
+
+Das Differential bildet Derivationen auf Derivationen ab. Zeige die Wohldefiniertheit:
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  C^\infty(V) \arrow[r, "f^*"] \arrow[rrd, "(\Diff_pf)(\partial)"'] & C^\infty(U) \arrow[rd, "\partial"] &           \\
+                                                                &                                    & \mathbb R
+  \end{tikzcd}
+\end{center}
+
+$(\Diff_pf)(\partial)$ ist linear, da Komposition linearer Abbildung.
+Leibnitz Regel:
+
+$$
+  [(\Diff_pf)(\partial)](\varphi\cdot \psi)
+  &=& \partial(f^*(\varphi \cdot \psi))
+  \\&=& \partial((\varphi \cdot \psi)\circ f)
+  \\&=& \partial((\varphi\circ f) \cdot (\psi \circ f) )
+  \\&=& \partial((f^*\varphi) \cdot (f^*\psi))
+  \\&=& (f^*\varphi)(p) \cdot \partial(f^*\psi) + (f^*\psi)(p) \cdot \partial(f^*\varphi)
+  \\&=&\varphi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\psi) + \psi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\varphi)
+$$
+
+Vergleiche mit Definition aus Analysis:
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] &  &  &  & \mathbb R^m                             \\
+  T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"']                                                                                                                   &  &  &  & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] \\
+  T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"]                                                                                                              &  &  &  & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']
+  \end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Es gilt für $\varphi\colon V\to\R$ glatt:
+
+$$
+  \R\ni\left( \left(\Diff_p f\right) \left[\left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}\right] \right) [\varphi]
+  &=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}(f^* \varphi)
+  \\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)
+  \\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)_1
+  \\&\overset{\text{Kettenregel}}=& \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_1}\right|_{f(p)} & \hdots & \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_m}\right|_{f(p)}\end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_j}\right|_{p} \\ \vdots \\ \left.\frac{\partial f_m}{\partial x_j}\right|_{p}\end{pmatrix}
+  \\&=& \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p
+  \\&=& \left(\sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\right)[\varphi]
+$$
+
+Das Diagramm wird mit den vorher konstruierten Isomophismen kommutativ.
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  U\subseteq \mathbb R^n \arrow[rrrrrr, "f"]                                &                                                                                                                                                       &  &   &  &                                         & V\subseteq \mathbb R^m                                                                                                                            \\
+  e_j \arrow[dd, maps to] \arrow[rrrrrr, maps to]                           &                                                                                                                                                       &  &   &  &                                         & \left(\begin{matrix}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_1}\right|_p\\\vdots\\\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_m}\right|_p\end{matrix}\right) \\
+                                                                            & \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] &  &   &  & \mathbb R^m                             &                                                                                                                                                   \\
+  {\partial_{(p,e_j)}} \arrow[d, maps to]                                   & T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"']                                                                                                                   &  & ! &  & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu]                          \\
+  {\varepsilon^*\left(\partial_{(p,e_j))}\right)} \arrow[rd, "="', no head] & T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"]                                                                                                              &  &   &  & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']           &                                                                                                                                                   \\
+                                                                            & \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_p \arrow[rrrrr, maps to]                                                                            &  &   &  &                                         & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu, maps to]
+  \end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Das Differential aus der Analysis (Matrize) ist der Koordinatenausdruck von unserem Differential (Element eines Vektorraums).
+
+$$
+  \sum_{i=1}^m \underbrace{\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p}_{\text{Koordinate } \in \R} \cdot \underbrace{\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}}_{\text{Element aus Basis} }
+$$
+
+* Kettenregel
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  U \arrow[r, "f"] & V \arrow[r, "g"] & W \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
+  \end{tikzcd}
+\end{center}
+
+$$
+  \Diff_p(g\circ f) = \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f
+$$
+
+Beweis:
+
+$$
+  \left( \left( \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f \right) (\partial) \right)[\varphi]
+  &=& \left( \left( D_{f(p)}g \right) \left[ \left( D_pf \right) (\partial) \right] \right)[\varphi]
+  \\&=&[(\Diff_p f)(\partial)] (\varphi\circ g)
+  \\&=& \partial((\varphi\circ g)\circ f)
+  \\&=& \partial(\varphi\circ(g\circ f))
+  \\&=& \left[ \left( D_p (g\circ f) \right)(\partial) \right](\varphi)
+$$
+
+* Interpretation von Tangentialvektoren als „Geschwindigkeitsvektor“
+
+Sei $\gamma\colon I\subseteq\R \to \R^n$ eine glatte Kurve, $I$ ein Intervall, $p=\gamma(t_0)\in \R^n$
+
+TODO Bildchen 11
+
+Es wäre $\Diff_{t_0} \gamma\colon T_{t_0}\R^1 \to T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Es soll gelten $\dot\gamma(t_0)\in T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Definiere deshalb:
+
+$$
+  \dot\gamma(t_0) := \left( D_{t_0}\gamma \right) \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)
+$$
+
+Übung: Es gilt:
+
+$$
+  \{ \dot\gamma(t_0)\ |\ \gamma\colon I \subseteq R \text{ glatte Kurve mit } \gamma(t_0) = p \} = T_p\R^n
+$$
+
+* Satz über (inverse) implizite Funktionen
+
+Sei $f\colon U\to V$ glatt, $U$, $V\subseteq\R^n$, $p\in U$ so dass:
+
+$$
+  D_p f\colon T_pU\to T_pV
+$$
+
+invertierbar ist. Dann ist $f$ lokal ein Diffeomorphismus:
+
+$\exists U'\subseteq U$, $V'\subseteq V$ offen, $p\in U'$, so dass
+
+$$
+  f|_{U'} \colon U' \xrightarrow{\cong}V'
+$$
+
+ein Diffeomorphismus ist, das heißt glatte Abbildung mit glatter Inversen, d.h. $f\colon U'\to V'$ glatt, bijektiv, $f^{-1}\colon V'\to U'$ glatt

diffgeoIII/latex.template

@@ -389,6 +389,7 @@ $endif$
 $if(tikz)$
 \usepackage{tikz, tikz-cd}
 $endif$
+\newcommand{ \Diff }{ \mathrm{D} }
 \newcommand{ \diffd }{ \mathrm d }
 \newcommand{ \intd }{ \,\diffd }
 \newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }