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2019-10-24

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......@@ -58,7 +58,7 @@ Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig?
** Notation
- $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen
- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
- $f\colon U\to V$
- $$
D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix}
......@@ -118,6 +118,8 @@ Idee: benutze das als Definition
- „ein Tangentialvektor ist das, was Funktionen ableitet“
- „Tangentialvektor = Richtungsableitung“
%2019-10-18
Sei $(p, \xi) \in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$ ein (in Koordinaten darstellbarer) Tangentialvektor
TODO Bildchen 5
......@@ -358,17 +360,237 @@ $$
Beweis von $(*)$:
Konstruiere $\tilde{\tilde \varrho} \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\tilde{\tilde \varrho} = 0$ auf $U\setminus V$ und $\tilde{\tilde \varrho}(p) = 1$. Es gilt $\tilde{\tilde \varrho}(1-\tilde \varrho) = 0$.
Konstruiere $\rho \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\rho = 0$ auf $U\setminus V$ und $\rho(p) = 1$. Es gilt $\rho(1-\tilde \varrho) = 0$.
TODO Bildchen 9
Daraus Folgt: $(\tilde{\tilde \varrho} := \tilde{\tilde \varrho}|_U)$
Daraus Folgt: $(\rho := \rho|_U)$
$$
0 &=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} (1-\tilde \varrho))
\\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} - \tilde{\tilde \varrho} \tilde \varrho)
\\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho}) - \partial (\tilde{\tilde \varrho}\tilde \varrho)
\\&=& \partial(\tilde{\tilde \varrho}) - \underbrace{\tilde{\tilde \varrho}(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\tilde{\tilde \varrho})
0 &=& \partial (\rho (1-\tilde \varrho))
\\&=& \partial (\rho - \rho \tilde \varrho)
\\&=& \partial (\rho) - \partial (\rho\tilde \varrho)
\\&=& \partial(\rho) - \underbrace{\rho(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\rho)
\\&=& -\partial (\tilde \varrho)
$$
%2019-10-24
Wiederholung letztes mal:
Sei $p\in \R^n$, $T_p\R^n=\{ \partial \colon C^\infty \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p \}$. Das heißt:
1. $\partial$ linear
2. $\partial(f\cdot g) = f(p) \cdot \partial(g) + g(p)\cdot \partial(f)$
$U\subseteq \R^n$ offen, $p\in U$
$$
T_pU = \{ \partial \colon C^\infty(U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation an } p\}
$$
$\varepsilon \colon C^\infty(\R^n) \to C^\infty(U)$ Einschränkungsabbildung
$\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n : \partial \mapsto \partial \circ \varepsilon$ duale Abbildung. letztes mal: $\varepsilon^*$ surjektiv. Für Injektivität: Es reicht zu zeigen:
$$
\forall \partial \in T_pU, \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\R^n)
$$
mit $\partial(\psi) = \partial(\varphi|_U)$. Dazu $\varrho\in C^\infty(\R)$, $\varrho(x)\geqslant 0\forall x\in\R$:
$$
\varrho|_{(-\infty, -1]}=0, \quad \varrho|_{[1,+\infty)}=1
$$
TODO Bildchen 10
NEU: (Alternativ Beweis zum letzten Beweis):
Zudem sei $\sqrt{\varrho}\in C^\infty(\R)$, $\sqrt{1-p}\in C^\infty(\R)$. (das kriegt man wenn man statt $\varrho$, $\varrho^2$ nimmt oder mit Taylor)
Dann: $\exists r>0$ so dass $B(p, 5r)\subseteq U$, $B_{5r}(p)$
$$
\tilde\varrho(x) = \begin{cases} \varrho\left( 3 -\frac{|x-p|}{r} \right) & x\in U \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}
$$
Wir wollen zeigen: $\partial (\tilde\varrho)=0$, $[\varphi = \tilde\varrho \cdot \psi \text{ erfüllt dann das Gewünschte}]$
$$
\partial(\tilde \varrho) &=& \partial \left( {\sqrt{\tilde p}}^2 \right)
\\ &=& \partial \left( \sqrt{\tilde \varrho} \cdot \sqrt{\tilde \varrho} \right)
\\ &=& \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1} \cdot \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) + \partial \left( \sqrt{\tilde p} \right) \cdot \underbrace{\sqrt{\tilde\varrho (p)}}_{=1}
\\ &=& 2 \partial \left(\sqrt{\tilde p}\right)
$$
$$
0-\partial (\tilde \varrho) &=& \partial(1) - \partial (\tilde \varrho)
\\&=& \partial (1-\tilde \varrho)
\\&=& \partial({\sqrt{1-\tilde \varrho}}^2)
\\&=& 2 \sqrt{ \smash{\underbrace{1-\tilde \varrho(p)}_{=0}} \vphantom{1-\tilde \varrho(p)} }\partial (\sqrt{1-\tilde\varrho})
\\&=& 0
$$
Fazit: $\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n$ ist ein Homomorpismus. „Tangentialraum ist lokal, sieht nicht was weit entfernt ist“
In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt.
Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
* Definition: Pullback-Abbildung
Die Pullback-Abbildung zu $f$ ist
$$
f^* \colon C^\infty(V) \to C^\infty(U) : \varphi \mapsto \varphi \circ f
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R \\
U \arrow[u, "f"] \arrow[ru, "f^*(\varphi)=\varphi\circ f"'] &
\end{tikzcd}
\end{center}
Beobachtung: $f^*$ ist Algebrenhomorphismus ($=$ ist linear und respektiert Produkte)
* Definition: Differential
Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt). Sei $p\in U$. Das Differential von $f$ an $p$ ist die Abbildung
$$
\Diff_pf\colon
\begin{cases}
T_pU &\to T_{f(p)}V
\\ \partial &\mapsto \partial \circ f^*
\end{cases}
$$
das heißt:
$$
[(\Diff_pf)(\partial)](\varphi) = \partial(\varphi\circ f) = \partial (f^*\varphi)
$$
Das Differential bildet Derivationen auf Derivationen ab. Zeige die Wohldefiniertheit:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
C^\infty(V) \arrow[r, "f^*"] \arrow[rrd, "(\Diff_pf)(\partial)"'] & C^\infty(U) \arrow[rd, "\partial"] & \\
& & \mathbb R
\end{tikzcd}
\end{center}
$(\Diff_pf)(\partial)$ ist linear, da Komposition linearer Abbildung.
Leibnitz Regel:
$$
[(\Diff_pf)(\partial)](\varphi\cdot \psi)
&=& \partial(f^*(\varphi \cdot \psi))
\\&=& \partial((\varphi \cdot \psi)\circ f)
\\&=& \partial((\varphi\circ f) \cdot (\psi \circ f) )
\\&=& \partial((f^*\varphi) \cdot (f^*\psi))
\\&=& (f^*\varphi)(p) \cdot \partial(f^*\psi) + (f^*\psi)(p) \cdot \partial(f^*\varphi)
\\&=&\varphi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\psi) + \psi(f(p))\cdot[(\Diff_pf)(\partial)](\varphi)
$$
Vergleiche mit Definition aus Analysis:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] & & & & \mathbb R^m \\
T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"'] & & & & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] \\
T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"] & & & & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"']
\end{tikzcd}
\end{center}
Es gilt für $\varphi\colon V\to\R$ glatt:
$$
\R\ni\left( \left(\Diff_p f\right) \left[\left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}\right] \right) [\varphi]
&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p}(f^* \varphi)
\\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)
\\&=& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_{p} (\varphi \circ f)_1
\\&\overset{\text{Kettenregel}}=& \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_1}\right|_{f(p)} & \hdots & \left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_m}\right|_{f(p)}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_j}\right|_{p} \\ \vdots \\ \left.\frac{\partial f_m}{\partial x_j}\right|_{p}\end{pmatrix}
\\&=& \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial \varphi}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p
\\&=& \left(\sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}\right)[\varphi]
$$
Das Diagramm wird mit den vorher konstruierten Isomophismen kommutativ.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
U\subseteq \mathbb R^n \arrow[rrrrrr, "f"] & & & & & & V\subseteq \mathbb R^m \\
e_j \arrow[dd, maps to] \arrow[rrrrrr, maps to] & & & & & & \left(\begin{matrix}\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_1}\right|_p\\\vdots\\\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_m}\right|_p\end{matrix}\right) \\
& \mathbb R^n \arrow[rrrr, "{f' = \left[\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\right]_{i=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}"] \arrow[d, "\cong"'] & & & & \mathbb R^m & \\
{\partial_{(p,e_j)}} \arrow[d, maps to] & T_p \mathbb R^n \arrow[d, "\cong"'] & & ! & & T_{f(p)}\mathbb R^m \arrow[u, "\cong"'] & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu] \\
{\varepsilon^*\left(\partial_{(p,e_j))}\right)} \arrow[rd, "="', no head] & T_pU \arrow[rrrr, "\Diff_pf"] & & & & T_{f(p)}V \arrow[u, "\cong"'] & \\
& \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_p \arrow[rrrrr, maps to] & & & & & \sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)} \arrow[uu, maps to]
\end{tikzcd}
\end{center}
Das Differential aus der Analysis (Matrize) ist der Koordinatenausdruck von unserem Differential (Element eines Vektorraums).
$$
\sum_{i=1}^m \underbrace{\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_p}_{\text{Koordinate } \in \R} \cdot \underbrace{\left.\frac{\partial}{\partial y_i}\right|_{f(p)}}_{\text{Element aus Basis} }
$$
* Kettenregel
\begin{center}
\begin{tikzcd}
U \arrow[r, "f"] & V \arrow[r, "g"] & W \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
\Diff_p(g\circ f) = \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f
$$
Beweis:
$$
\left( \left( \Diff_{f(p)} g \circ \Diff_p f \right) (\partial) \right)[\varphi]
&=& \left( \left( D_{f(p)}g \right) \left[ \left( D_pf \right) (\partial) \right] \right)[\varphi]
\\&=&[(\Diff_p f)(\partial)] (\varphi\circ g)
\\&=& \partial((\varphi\circ g)\circ f)
\\&=& \partial(\varphi\circ(g\circ f))
\\&=& \left[ \left( D_p (g\circ f) \right)(\partial) \right](\varphi)
$$
* Interpretation von Tangentialvektoren als „Geschwindigkeitsvektor“
Sei $\gamma\colon I\subseteq\R \to \R^n$ eine glatte Kurve, $I$ ein Intervall, $p=\gamma(t_0)\in \R^n$
TODO Bildchen 11
Es wäre $\Diff_{t_0} \gamma\colon T_{t_0}\R^1 \to T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Es soll gelten $\dot\gamma(t_0)\in T_{\gamma(t_0)}\R^n$. Definiere deshalb:
$$
\dot\gamma(t_0) := \left( D_{t_0}\gamma \right) \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)
$$
Übung: Es gilt:
$$
\{ \dot\gamma(t_0)\ |\ \gamma\colon I \subseteq R \text{ glatte Kurve mit } \gamma(t_0) = p \} = T_p\R^n
$$
* Satz über (inverse) implizite Funktionen
Sei $f\colon U\to V$ glatt, $U$, $V\subseteq\R^n$, $p\in U$ so dass:
$$
D_p f\colon T_pU\to T_pV
$$
invertierbar ist. Dann ist $f$ lokal ein Diffeomorphismus:
$\exists U'\subseteq U$, $V'\subseteq V$ offen, $p\in U'$, so dass
$$
f|_{U'} \colon U' \xrightarrow{\cong}V'
$$
ein Diffeomorphismus ist, das heißt glatte Abbildung mit glatter Inversen, d.h. $f\colon U'\to V'$ glatt, bijektiv, $f^{-1}\colon V'\to U'$ glatt
......@@ -389,6 +389,7 @@ $endif$
$if(tikz)$
\usepackage{tikz, tikz-cd}
$endif$
\newcommand{ \Diff }{ \mathrm{D} }
\newcommand{ \diffd }{ \mathrm d }
\newcommand{ \intd }{ \,\diffd }
\newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
......
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