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2020-01-24

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$$ $$
\omega|_U = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots<i_k\leqslant n} \omega_I \cdot \underbrace{\diffd x^{i_1}\wlw \diffd x^{i_k}}_{=: \diffd x^I},\quad \omega_I\in C^\infty(U) \omega|_U = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots<i_k\leqslant n} \omega_I \cdot \underbrace{\diffd x^{i_1}\wlw \diffd x^{i_k}}_{=: \diffd x^I},\quad \omega_I\in C^\infty(U)
$$ $$
%2020-01-24
\begin{Bsp}
$M= \mathbb R^n\rightsquigarrow x\diffd y - y \diffd x \in \Omega^1(\mathbb R^2)$
$$
x\diffd y\wedge \diffd z - y^2\diffd z\wedge \diffd x \in \Omega^2(\R^3), \quad x\diffd x \in \Omega^1(\R)
$$
Naiv:
$$
x\diffd x &=& \diffd{\diffd x^2}{2}
\\ \int x\sin x\diffd x = -\int x\diffd cos x \ldots
$$
\end{Bsp}
Äußere Ableitung:
$$
\Omega^0 (M) = \Omega^*(M) = \bigoplus_{k=0}^{\dim M} \Omega^k(M)
$$
\begin{Satz}
Es gibt eine eindeutige bestimmte lineare Abbildung $\diffd \colon \Omega^*(M) \to \Omega^{*+1}(M)$. (d.h. $\forall k:\diffd (\Omega^k(M))\subseteq \Omega^{k+1}(M)$) mit den folgenden Eigenschaften:
\end{Satz}
1. $\diffd (\alpha\wedge\beta) = \diffd\alpha \wedge\beta + (-1)^{k-1}\alpha\wedge\diffd\beta$, $\alpha\in \Omega^k(M)$, $\beta\in \Omega^l(M)$
2. $\diffd^2 = \diffd \circ \diffd = 0$
3. $f\in C^{\infty}(M) = \Omega^0(M) \Rightarrow \diffd f = \text{ Differential von } f\in \Omega^1(M) =\Gamma(T^*M)$
\begin{Idee}
$$
\diffd(x^2\diffd y - y\diffd x) &=& \diffd(x^2) \wedge\diffd y - \diffd y \wedge \diffd x
\\&=& 2x\diffd x \wedge \diffd y - \diffd y
\\&=& (2x+1)\diffd x\wedge\diffd y
$$
$$
\diffd(x^2y\diffd y) &=& 2xy \diffd x \wedge \diffd y + x^2\diffd y\wedge \diffd y
$$
\end{Idee}
Beweis Satz:
Existenz: Drücke $\omega$ in einer Karte wie in $(*)$ aus und definiere ($I=\{ i_1,\ldots, i_k \}\subseteq \{ 1,\ldots, n \}$, $i_1<\ldots<i_k$)
$$
\diffd w|U := \sum_{I} \diffd \omega_I \wedge \diffd x^I
$$
Diese Konstruktion liefert $\diffd\colon \Omega^*(U)\to \Omega^{*+1}(U)$, welche $(1)$--$(3)$ erfüllt:
- $(2)$: es reicht zu zeigen, dass $\diffd(\diffd f\wedge \diffd x^I) = 0$
$$
\diffd(\diffd f\wedge \diffd x^I) &=& \diffd\left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^j} \diffd x^j \wedge \diffd x^I \right)
\\&=& \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n \underbrace{\frac{\partial^2 f}{\partial x^k \partial x^j}}_{\text{symetrisch in $k$, $j$}} \overbrace{\diffd x^k\wedge \diffd x^j}^{\text{antisymetrisch in $k$, $j$}}\wedge x^I
$$
$\curvearrowright$ löschen sich aus
- $(3)$: klar (hingucken)
- $(1)$: es reicht zu zeigen, dass es für $\alpha = f \diffd x^I$, $\beta=g\diffd x^J$ gilt:
$$
\diffd(\alpha\wedge\beta) &=& \diffd(fg\cdot \diffd x^I\wedge \diffd x^J)
\\&=& \diffd(fg)\wedge \diffd x^I \wedge \diffd x^J
\\&=& (g\diffd f + f\diffd g) \wedge \diffd x^I \wedge \diffd x^J
\\&=& \diffd f\wedge \diffd x^I \wedge (g\diffd x^I) + (-1)^kf\diffd x^I \wedge \diffd g \wedge \diffd x^I
\\&=& \diffd\alpha\wedge\beta + (-1) \alpha\wedge\diffd\beta
$$
$\diffd$ ist unabhängig von der Wahl von $(U,x)$: Ist $(U',x')$ eine andere Karte, $\diffd'$ die zugehörige Abbildung. Dann:
$\diffd$, $\diffd'$ erfüllen $(3)\Rightarrow \diffd = \diffd'$ auf $C^\infty(U\cap U')$
$$
\diffd'(f\cdot \diffd x^I) &\overset{(1)}=& \diffd'f\wedge\diffd x^I+f\diffd' (\diffd x^I)
\\&=& \diffd f \wedge \diffd x^I + f\diffd'(\diffd x^I)
\\&=& \diffd(f\diffd x^I) + f\diffd'(\diffd x^I)
$$
das heißt wir wollen, dass $\diffd'(\diffd x^I) = 0$
Eindeutigkeit:
Sei $\tilde\diffd \colon\Omega^*(M) \to \Omega^{*+1}(M)$ mit $(1)$--$(3)$, $(U,x)$ Karte. Für jedes $\omega\in\Omega^*(U)$, $\operatorname{supp} \omega$ kompakt, kann man $\Omega$ als eine Form auf $M$ auffassen und $\omega = \sum_{I}\omega_I\diffd x^I$, $\omega_I$ kompakt getragen $\Rightarrow$:
$$
\tilde\diffd \omega &=&
\sum_{I} \tilde\diffd \omega_I \diffd x^I
\\ &\overset{(1)}=& \sum_{I} \left( \tilde\diffd (\omega_I)\wedge\diffd x^I + \diffd(\diffd x^I) \right)
\\ &\overset{(2)}=& \sum_{I} \tilde\diffd (\omega_I) \wedge \diffd x
\\ &\overset{(3)}=& \sum_{I} \diffd \omega_I \wedge \diffd x^I
$$
das heißt: $\tilde\diffd$ stimmt mit unserer früheren Konstruktion überein, wenn $\operatorname{supp}\omega \subseteq U$ kompakt ist.
Im Allgemeinen: Wenn $\omega\in \Omega^*(U)$, $p\in U$, so existiert $\varphi\in C^\infty(U[0,1])$ mit $\varphi \equiv 1$ auf Umgebungen von $p$, $\operatorname{supp}\varphi$ kompakt:
$$
\tilde\diffd(\varphi\cdot\omega) &=& \diffd (\varphi \omega)
\\ \tilde(\varphi_1\omega) &=& \tilde\diffd\varphi\wedge\omega + \underbrace{\varphi\tilde\diffd\omega}_{=\varphi \wedge\tilde\diffd \omega} = \diffd \varphi\wedge\omega+\varphi\tilde\diffd\omega
$$
Auswerten an $p$:
$$
(\diffd \varphi\wedge\omega)(p) + \varphi(p)\tilde\diffd\omega(p) = \diffd(\varphi \omega)(p) = \diffd\omega(p)
$$
\begin{Def}
$\diffd$ heißt \emph{äußere Ableitung} ode rauch \emph{äußeres Differential}
\end{Def}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\Omega^0(M) \arrow[r, "\diffd^{(0)}"] & \Omega^1(M) \arrow[r, "\diffd^{(1)}"] & \Omega^2(M) \arrow[r, "\diffd^{(2)}"] & \ldots \arrow[r, "\diffd^{(n-1)}"] & \Omega^n(M) \arrow[r, "\diffd"] & 0
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
\diffd \circ \diffd = 0 \Rightarrow \operatorname{Ker} \diffd^{k+1} \supseteq \operatorname{Im}\diffd^k
$$
\begin{Frage}
Gilt $=$?
\end{Frage}
Sei $f\colon M\to N$ glatt, $f^*\colon\Omega^*(N) \to \Omega^*(M)$ Pullbackabbildung.
$$
(f^*\omega)_p(X_1,\ldots, X_k) = \omega(p)(f_{*,p} X_1, \ldots, f_{*,p} X_k), \quad X_i\in T_pM
$$
In Koordinaten:
$(V,y)$ Karte von $N \Rightarrow \omega$ Linearkombination von
$$
\varphi(y)\diffd y^{i_1}\wedge\ldots\wedge\diffd y^{i_k}
$$
$(U,x)$ Karte von $M$. $f$ in Koordinaten:
$$
y^k = y^k(x^1,\ldots, x^n) \Rightarrow f^*\omega = \varphi(y(x)) \cdot \diffd y^{i_1}(x)\wedge\ldots\wedge \diffd y^{i_k}(x)
$$
\begin{Bsp}
$$
f\colon \begin{cases} \R^2 &\to \R^3 \\ (\theta, \varphi) &\mapsto (\cos \theta \cos\varphi, \cos\theta\sin\varphi, \sin\theta) \end{cases}
$$
$$
\Rightarrow f^* (\diffd x\wedge \diffd y) &=& \diffd(\cos \theta\cos\varphi)\wedge\diffd(\cos\theta, \sin\varphi)
\\&=& (-\sin\theta\cos\varphi\diffd\theta - \cos\theta \sin\varphi\diffd \varphi) \wedge
\\&& (-\sin\theta\sin\varphi\diffd \theta + \cos\theta\sin\varphi\diffd \varphi)
\\&=& (\cos\theta \sin\theta (-\sin^2\varphi - \cos^2\varphi))\diffd\theta\wedge\diffd \varphi
\\&=& -\frac12 \sin 2\theta \diffd \theta\wedge\diffd\varphi
$$
\end{Bsp}
** Eigenschaften vom Pullback:
1. $(g\circ f)^* = f^*\circ g^*$
2. $f^*$ ist Algebrenhomorphismus:
$$
f^*(\alpha\wedge\beta) = f^*\alpha\wedge f^*\beta\quad \text{ reicht für $1$-Formen zu zueigen:}
$$
$$
f^*(\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_k) &=& f^*\alpha_1\wedge\ldots\wedge f^*\alpha_k, \quad \alpha_i\in \Omega^1(\Omega)
\\f^*(\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_k) (X_1,\ldots, X_k) &=& (\alpha_1,\ldots, \alpha_k)(f_* X_1, \ldots, f_* X_k)
\\&=& \det [\alpha_i (f_*X_j)]_{i,j=1}^k
\\&=& \det[f^*\alpha_i(X_j)]_{i,j=1}^k
\\&=& (f^*\alpha_1\wedge f^*\alpha_2\wlw f^*\alpha_k)(X_1, \ldots, X_k)
$$
3. $f^*\circ \diffd = \diffd \circ f^*$ [„$\diffd$, ist natürlich“]:
Erster Schritt: $\varphi \in C^\infty(N)$
$$
(f^*(\diffd\varphi))(X) = \diffd\varphi(f_*X) = (f_*X)(\varphi) = X(f^*\varphi) = \diffd(f^*\varphi)(X) \Rightarrow \text{für $\Omega^0(N)$}
$$
Beobachtung: $\Omega^*(M)$ ist durch $\Omega^0(M)$, $\wedge$, $\diffd$ erzeugt [lokal folgt das aus Koordinatenausdrücken] $\Rightarrow$ wenn $f^*$ auf $\Omega^0(N)$ mit $\diffd$ kommutiert und Produkte respektiert, dann kommutiert es mit $\diffd$ auch auf ganz $\Omega^*(M)$
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