Koordinatenfrei werden nicht Funktionen, sondern sogenannte Differentialformen integriert. Eine $n$-Differentialform auf $\mathbb R^n$ ist (informell) ein Ausdruck
$$
\omega= f(x)\intd x_1\wedge\ldots\wedge\intd x_n
$$
mit den Rechenregeln: wenn $x=x(y)$ mit $y =(y_1,\dotsc,y_n)$ dann transformiert sich der Ausdruck zu
folglich ist $\int\omega$ unabhängig von Koordinaten.
Ziel:
* Das Tensorprodukt
ausgehend von einem Vektoraum $V(= T_pM, T_p^*M)$ einen Kalkühl zu entwickeln, welcher die Interpretation von Ausdrücken wie $\intd x_1\wedge\ldots\wedge\intd x_k$ mit Rechenregeln $\intd x_i \wedge\intd x_j =\intd x_j \wedge\intd x_i$ erlaubt.
Das wird durch Theorie von Tensorprodukten und multiliniearen (z.B. $\det\colon\underbrace{\mathbb R^n \times\ldots\times\mathbb R^n}_{n\text{-mal}}\to\mathbb R$) Abbildungen gemacht
Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1\times\ldots\times V_n \to W$. Es reicht diese Idee für bilineare Abbildungen zu realisieren. (dann wiederholt man es)
** Definition: Tensorprodukt
Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\oplus W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "i"]\arrow[rd, "f"']& V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f", dashed]\\
& Z
\end{tikzcd}
\end{center}
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\oplus W$
Wenn $V\oplus W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
Beweis:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V + W \arrow[r, "i_1"]\arrow[rd, "i_2"']& (V\oplus W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed]&\ \\
& (V\oplus W)_2 &\arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
\end{tikzcd}
\end{center}
Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_1$ liefert $f_1\colon(V\oplus W)_1\to(V\oplus W)_2$ mit $f_1\circ i_1= i_2$.
Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_2$ liefert $f_2\colon(V\oplus W)_2\to(V\oplus W)_1$ mit $f_2\circ i_2= i_1$.
Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte z.B.: $f_1\circ f_2$
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\oplus W)_2$ ist $f_1\circ f_2=\operatorname{id}_{(V\oplus W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
** Existenz von $V \oplus W$
Idee: $V\oplus W$ soll von Ausdrücken der Form $v\oplus w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\oplus w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.
$$
\mathcal F_{\mathbb R}(X)\cong\{ f\colon X\to\mathbb R\ |\ f(x)\neq0\text{ für endlich viel } x \}
$$
$$
V\oplus W :=\nicefrac
{
\mathcal F(V\times W)
}{
\left\langle
\begin{subarray}{l}
(v_1+v_2, w)-(v_1,w)-(v_2,w), v_1, v_2\in V, w\in W \\
(v, w_1+w_2)-(v,w_1)-(v,w_2), v \in V, w_1, w_2\in W \\
\left.
\begin{subarray}{l}
(\lambda v, w)-\lambda(v,w)\\
(v, \lambda w)-\lambda(v,w)\\
\end{subarray}
\right\}
v \in V, w\in W, \lambda\in\mathbb R
\end{subarray}\right\rangle
}
$$
Sei
$$
i \colon&V\times W&\to V\oplus W
\\&(v,w)&\mapsto[(v,w)]=: v\oplus w
$$
Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:
$$
(v_1+v_2)\oplus w &:=& v_1\oplus w + v_2\oplus w
\\ v\oplus(w_1+ w_2)&:=& v\oplus w_1+ v\oplus w_2
\\\lambda(v\oplus w)&=& v\oplus\lambda w =\lambda v\oplus w,\ \ v_1, v_2\in V, w_1, w_2\in W, \lambda\in\mathbb R
