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2019-04-09

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...@@ -106,7 +106,7 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana ...@@ -106,7 +106,7 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
%DATE 2019-04-02 %DATE 2019-04-02
* 1. Übung * Übung 1
Differential einer Abbildung Differential einer Abbildung
...@@ -307,3 +307,225 @@ $$ ...@@ -307,3 +307,225 @@ $$
\\&=& \\&=&
1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2) 1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)
$$ $$
* Integration auf Mannigfaltigkeiten
Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs
%TODO schöner
\begin{tikzcd}
\arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\
& & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\
\arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n
\end{tikzcd}
Betrachte $n=1$:
$U$, $V \subseteq \mathbb R$ offenen Intervalle. $\alpha\colon \underbrace{U}_{=(a,b)} \to V$ Diffeo ($=$ strikt monotone glatte Fkt.)
Transformationsformel:
$$
\int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\,\mathrm d t = \int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm dt
$$
„Mnemonik“:
$$
\intd v = v'(u)\intd u
$$
$f\colon V\to \mathbb R$
$$
\int_{U}(\alpha^*(f))(u)\alpha'(u)\intd u = \int_V f(v)\intd v \neq \int_V \alpha^*(f)(t) \intd t
$$
In $\mathbb R^n$:
$$
\int_U \alpha^*(t)(\det D_u\alpha)\intd_{u_1}\cdots\intd_{u_n} = \int_V f(v) \intd_{v_1}\dotsm\intd_{v_n}
$$
$$
\alpha \colon &U& \to V \text{ Diffeo}
\\ &(u_1,\dotsc,u_n)& \mapsto (v_1, \dotsc, v_n)
$$
$v=v(u)$
$$
\int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
$$
$$
\intd v_1
= \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1
+ \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2
$$
$$
\intd v_2
= \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1
+ \frac{\partial v_2 }{\partial u_2 }\intd u_2
$$
$$
\intd v_1 \intd v_2
= \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_1 \intd u_1}
+ \xcancel{\frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2}
+ \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_2 } \intd u_2 \intd u_2
+ \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\frac{\partial v_2 }{\partial u_1 } \intd u_2 \intd u_1
=: (*)
$$
$$
= \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
= \int_U f(v(u))
% \left%TODO overcome boxes
\Bigg
(
\underbrace{
\frac{\partial v_1 }{\partial u_1 } \frac{\partial v_2}{\partial u_2} - \frac{\partial v_1}{\partial u_2}\frac{\partial v_2}{\partial u_1}
}_{
\underset{
\begin{subarray}{c}
\text{sollte}\\
(*)\text{ sein}
\end{subarray}
}{=} \det \left(
\begin{matrix}
\frac{\partial v_1}{\partial u_1} & \frac{\partial u_1}{\partial u_2}
\\ \frac{\partial v_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_2}
\end{matrix}\right)
}
\Bigg
% \right
)
\intd u_1 \intd u_2
$$
Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten:
$$
\intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0
\\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0
$$
Erkenntniss:
Koordinatenfrei werden nicht Funktionen, sondern sogenannte Differentialformen integriert. Eine $n$-Differentialform auf $\mathbb R^n$ ist (informell) ein Ausdruck
$$
\omega = f(x) \intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_n
$$
mit den Rechenregeln: wenn $x=x(y)$ mit $y = (y_1,\dotsc,y_n)$ dann transformiert sich der Ausdruck zu
$$
f(x(y))
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_1}{\partial y_n}\intd y_n
\wedge \ldots \wedge
\frac{\partial x_n}{\partial y_1}\intd y_1 + \ldots + \frac{\partial x_n}{\partial y_n}\intd y_n
\right)
$$
und es gilt:
$$
T^*M \ni \intd y_i \wedge \intd y_j = -\intd y_j \wedge \intd y_i,\ \ \ \ i,j = 1,\ldots, n
$$
folglich ist $\int \omega$ unabhängig von Koordinaten.
Ziel:
* Das Tensorprodukt
ausgehend von einem Vektoraum $V(= T_pM, T_p^*M)$ einen Kalkühl zu entwickeln, welcher die Interpretation von Ausdrücken wie $\intd x_1 \wedge \ldots \wedge \intd x_k$ mit Rechenregeln $\intd x_i \wedge \intd x_j = \intd x_j \wedge \intd x_i$ erlaubt.
Das wird durch Theorie von Tensorprodukten und multiliniearen (z.B. $\det\colon \underbrace{\mathbb R^n \times \ldots \times \mathbb R^n}_{n\text{-mal}} \to \mathbb R$) Abbildungen gemacht
Hauptidee: eine multilinieare Abbildung $f\colon V_1 \times \ldots \times V_n \to W$. Es reicht diese Idee für bilineare Abbildungen zu realisieren. (dann wiederholt man es)
** Definition: Tensorprodukt
Ein Vektoraum $V\otimes W$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $i\colon V \times W \to V \otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W$, wenn für jede bilineare Abbildung $f V\times W \to Z$, ($Z$ beliebiger Vektoraum) eine eindeutige lineare Abbildung $\bar f \colon V\oplus W \to Z$ existiert mit $\bar f\circ i = f$ (genannt universelle Eigenschaften)
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\times W \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "f"'] & V\otimes W \arrow[d, "\exists!\bar f", dashed] \\
& Z
\end{tikzcd}
\end{center}
** Lemma: Eindeutigkeit des Tensorprodukts $V\oplus W$
Wenn $V\oplus W$ existiert, dann ist es eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus.
Beweis:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V + W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\oplus W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] & \ \\
& (V\oplus W)_2 & \arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
\end{tikzcd}
\end{center}
Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_1$ liefert $f_1\colon (V\oplus W)_1 \to (V\oplus W)_2$ mit $f_1\circ i_1 = i_2$.
Die universelle Eigenschaft von $(V\oplus W)_2$ liefert $f_2\colon (V\oplus W)_2 \to (V\oplus W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.
Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte z.B.: $f_1\circ f_2$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\oplus W \arrow[r, "i_2"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\oplus W)_2 \arrow[d, "f_1\circ f_2"] & \ \\
\ & (V\oplus W)_2 & \ \arrow[u, "id"']
\end{tikzcd}
\end{center}
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\oplus W)_2$ ist $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\oplus W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
** Existenz von $V \oplus W$
Idee: $V\oplus W$ soll von Ausdrücken der Form $v\oplus w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\oplus w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (re­elle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.
$$
\mathcal F_{\mathbb R}(X) \cong \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viel } x \}
$$
$$
V\oplus W := \nicefrac
{
\mathcal F(V\times W)
}{
\left\langle
\begin{subarray}{l}
(v_1+v_2, w) -(v_1,w) -(v_2,w), v_1, v_2 \in V, w\in W \\
(v, w_1+w_2) -(v,w_1) -(v,w_2), v \in V, w_1, w_2\in W \\
\left.
\begin{subarray}{l}
(\lambda v, w) - \lambda(v,w) \\
(v, \lambda w) - \lambda(v,w) \\
\end{subarray}
\right\}
v \in V, w\in W, \lambda \in \mathbb R
\end{subarray} \right\rangle
}
$$
Sei
$$
i \colon &V\times W& \to V\oplus W
\\ &(v,w)& \mapsto [(v,w)] =: v\oplus w
$$
Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:
$$
(v_1+v_2)\oplus w &:=& v_1\oplus w + v_2 \oplus w
\\ v\oplus (w_1 + w_2) &:=& v\oplus w_1 + v\oplus w_2
\\ \lambda(v\oplus w) &=& v\oplus \lambda w = \lambda v\oplus w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$
...@@ -380,9 +380,12 @@ $endif$ ...@@ -380,9 +380,12 @@ $endif$
$endif$ $endif$
%custom %custom
\usepackage{cancel}
\usepackage{nicefrac}
$if(tikz)$ $if(tikz)$
\usepackage{tikz, tikz-cd} \usepackage{tikz, tikz-cd}
$endif$ $endif$
\newcommand{ \intd }{ \,\mathrm d }
\begin{document} \begin{document}
......
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