Commit aca1578f by Harry Fuchs

### 2020-01-10

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 ... ... @@ -4,3 +4,4 @@ *.log for-compile.tex tmp.tex latex-custom.template
 ... ... @@ -50,3 +50,10 @@ mkdir -p ../output cp for-compile.tex ../output/dgeo-alekseev-III.tex mv for-compile.pdf dgeo-alekseev-III.pdf cp dgeo-alekseev-III.pdf ../output/ #rm for-compile.aux #rm for-compile.log #rm for-compile.tex #rm for-compile.toc #rm tmp.tex #rm latex-custom.template
 %alexeev-custom \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,amscd,stmaryrd} \usepackage{thmtools} \theoremstyle{definition} \newtheorem{Def}{Definition}[section]% \newtheorem{Konv}[Def]{Konvention}% \theoremstyle{plain} \newtheorem{Prop}[Def]{Proposition} \newtheorem{Lemma}[Def]{Lemma} \newtheorem{Thm}[Def]{Theorem}% \newtheorem{Satz}[Def]{Satz}% \newtheorem{Kor}[Def]{Korollar} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Frage}[Def]{Frage}% \newtheorem{Bem}[Def]{Bemerkung}% \newtheorem{Ueb}[Def]{Übung}% \newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiel}% \newtheorem*{Bsp*}{Beispiel}% % \usepackage[german]{certus} \newcommand{ \coloneqq }{ := } \newcommand{ \mb }{ \mathbb } \let\subsetAmbiguous\subset \renewcommand{\subset}{\subseteq} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} %harry-custom \usepackage{blkarray} \usepackage{stmaryrd} ... ... @@ -24,12 +57,3 @@ \newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} } \newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{ “ } \\ & #1 & \\ \text{ „ } && \end{array} } %alexeev-custom \newcommand{ \coloneqq }{ := } \newcommand{ \mb }{ \mathbb } \let\subsetAmbiguous\subset \renewcommand{\subset}{\subseteq} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
 ... ... @@ -5,6 +5,14 @@ % ref %TODO Nummerierung TODO 2020-01-16 TODO 2020-01-17 TODO 2020-01-23 TODO 2020-01-24 TODO 2020-01-31 TODO 2020-02-06 TODO 2020-02-07 %%%%%%%%%%% * Meta-Infos ... ... @@ -63,7 +71,7 @@ Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig? ** Notation - $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen - Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt - Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt als glatt vorrausgesetzt - $f\colon U\to V$ - $$D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix} ... ... @@ -440,10 +448,10 @@ Fazit: \varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n ist ein Homomorpismus. „Tangenti In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt. Sei U\subseteq \R^n, V\subseteq\R^m offen, f\colon U\to V (glatt) * Definition: Pullback-Abbildung Sei U\subseteq \R^n, V\subseteq\R^m offen, f\colon U\to V (glatt) Die Pullback-Abbildung zu f ist$$ ... ... @@ -1151,6 +1159,7 @@ M \arrow[r, "f_*"] & N Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung $\pi\colon E\to M$ (Projektionsabbildung), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind: 1. jede Faser $E_p := \pi^{-1}(p)$, $p\in M$ ist ein $\R$-Vektorraum von Dimension $m$ TODO Bildchen 13.1 2. \emph{[lokale Trivialität]} für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $U$, so dass \begin{center} \begin{tikzcd} ... ... @@ -1180,6 +1189,8 @@ Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ ü „Differentialgeometrie ist ein Teil der Mathematik, wo man Analysis horizontal und lineare Algebra vertikal macht“ #+END_QUOTE TODO Bildchen 13.2 ** Definition: Schnitt Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein \emph{Schnitt} von $E$ ist eine glatte Abbildung $s\colon M\to E$ mit ... ... @@ -1681,7 +1692,8 @@ Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $-$SL(n,\R) = \{ A\in \mathbb M_n(R)\ |\ \operatorname{det} A = 1 \}$ist eine Lie-Gruppe (Da Multiplikation und Invertieren von$\operatorname{GL}_n(\R)$vererbt sind, reicht es zu zeigen, dass$\operatorname{SL}_n(\R)\subseteq \operatorname{GL}_n\R$eine Untermannigfaltigkeit ist.) Dazu: benutze Satz von regulären Wert. Zu zeigen:$\forall A\in \operatorname{SL}_n(\R)$gilt:$D_A \det$hat vollen Rang$(=1)\LeftrightarrowD_A \det \neq 0$Sei$X\in T_A\R^{n^2}$. $$D_A \det(X) = \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\det(A+\varepsilon X)-\det(A)}{\varepsilon} = \det(A)\cdot \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\det(\eins +\varepsilon \overbrace{A^{-1}X}^{=: Y})-1}{\varepsilon} D_A \det(X) &=& \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\det(A+\varepsilon X)-\det(A)}{\varepsilon} \\&=& \det(A)\cdot \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\det(\eins +\varepsilon \overbrace{A^{-1}X}^{=: Y})-1}{\varepsilon} \\&=& \operatorname{det}(A) \cdot T_r(A^{-1}X)$$ wobei ... ... @@ -3097,6 +3109,7 @@ $$wobei \gamma(t) = (\psi_{-t}\circ\phi_{-t}\circ\psi_t\circ\phi_t)(p) (vgl 19.12 ganz unten)%TODO ref TODO Bildchen 40 Beweis: ... ... @@ -3223,7 +3236,7 @@ Eine \emph{Basis} von V ist eine Menge S zusammen mit i\colon S\to V sodas \begin{center} \begin{tikzcd} S \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "\varphi"'] & Z \arrow[d, "{\exists!\bar\varphi}", dashed] S \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "\varphi"'] & V \arrow[d, "{\exists!\bar\varphi}", dashed] \\{}&Z \end{tikzcd} \end{center} ... ... @@ -3239,5 +3252,253 @@$$ \\&\cong& \bigoplus_{s\in S} \mathbb K $$TODO 2020-01-10 TODO 2020-01-16 %2020-01-10 *** Beweis der Proposition$$ V\otimes W &:=& { \mathcal F(V\times W) } / \left\langle \begin{subarray}{l} \\ \lambda{(v,w)} - {(\lambda v, w)},\ \lambda{(v,w)} - {(v, \lambda w)} \\ {(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)}, \\ {(v, w_1+w_2)} -{(v,w_1)} -{(v,w_2)}, \end{subarray} \mathrel{\Bigg |} \begin{subarray}{l} v, v_1, v_2\in V, \\w, w_1, w_2\in W, \\ \lambda \in \mathbb R \end{subarray} \right\rangle \\ \beta&\colon& \begin{cases} V\times W&\to V\otimes W \\ (v,w) &\mapsto [(v,w)] =: v\otimes w \end{cases} $$Das heißt V\otimes W ist aufgespannt durch Elemente v\otimes w, v\in V, w\in W. Die folgenden Rechenregeln erfüllen [= „ \otimes “ ist linear auf beiden Seiten]$$ \lambda(v\otimes w) &=& \lambda v\otimes w = v\otimes \lambda w \\ (v_1 + v_2) \otimes w &=& v_1 \otimes w + v_2 \otimes w \\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2 $$Die universelle Eigenschaft ist erfüllt, denn: Sei Z ein Vektorraum, \varphi\colon V\times W\to Z linear. Definiere \bar\varphi(v\otimes w) := \varphi(v,w) linear fortgesetzt. \Rightarrow \bar\varphi \circ \beta = \varphi nach Konstruktion \bar\varphi ist wohldefiniert, weil \varphi bilinear war. Zum Beispiel$$ \bar\varphi(\lambda(v\otimes w)-(\lambda v\otimes w)) = \lambda\varphi(v,w) - \varphi(\lambda v, w) = 0 $$entsprechend für andere Relationen. Wenn jetzt \bar\psi\colon V\otimes W\to Z mit$$ \bar\psi\circ\beta = \varphi \Rightarrow \bar\phi(v\otimes w) = \varphi(v,w) = \bar\varphi(v\otimes w) $$v\otimes w spannen (V\otimes W) auf \Rightarrow \bar\psi = \bar\varphi %TODO having enumerations within Def environment \begin{Def} \end{Def} 1. V\xrightarrow{f} Z, W\xrightarrow{g} U linear \Rightarrow \exists! f\otimes g\colon V\otimes W\to Z\otimes U mit (f\otimes g)(v\otimes w)=f(v)\otimes g(w), denn (v,w)\mapsto f(v)\otimes g(w) ist bilinear. 2. \alpha\in V^*, \beta\in W^* \Rightarrow \exists! \alpha\otimes \beta : V\otimes W \to \mathbb K, (\alpha\otimes \beta)(v\otimes w) = \alpha(v)\beta(w) [Keine Notationskollision, weil \mathbb K\otimes \mathbb K \cong \mathbb K, \lambda\otimes \mu \mapsto \lambda \mu ] \begin{Prop} Seien v_1,\ldots, v_n\in V linear unabhängig, w_1,\ldots, w_n\in W beliebig. Dann sind v_1\otimes w_1, \ldots, v_2\otimes w_n linear unabhängig in V\otimes W \end{Prop} Beweis:$$ \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \otimes w_i = 0 $$\exists \alpha_1, \ldots, \alpha_n\in V^* mit \alpha_j(v_i) = \delta_{ij}. Für \beta\in W^* beliebig gilt dann$$ (\alpha_j \otimes \beta)\bigg( \underbrace{\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \otimes w_i }_{=0} \bigg) &=& \sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha_j(v_i)\otimes \beta(w_i) = \lambda_j \\&=& \lambda_j \beta(w_j) $$Wenn w_j \neq 0\Rightarrow \exists \beta: \beta(w_j)\neq 0\Rightarrow \lambda_j =0 \begin{Kor} Wenn B=(b_i)_{i\in I}, C = (c_j)_{j\in J} Basen in V bzw, W sind, dann ist (b_i\otimes c_j)_{(i,j)\in I\times J} eine Basis in V\otimes W \end{Kor} \begin{Kor} \operatorname{dim} (V\otimes W) = \operatorname{dim} V\cdot \operatorname{dim}W \end{Kor} \begin{Kor} Wenn (b_i)_{i\in I} eine Basis in V, x\in V\otimes W \Rightarrow \exists!(w_i)_{i\in I}, w_i\in W mit x=\sum_{i=1}^n b_i \otimes w_i \end{Kor} Ab hier seien V, W, Z,\ldots endlich dimensional. \begin{Prop} Es gibt einen kanonischen Isomophismus \begin{center} \begin{tikzcd} W\otimes V^* \arrow[r] & {\operatorname{Hom}(V,W)}\\[-15pt] w\otimes \alpha \arrow[r, maps to] & (v \mapsto \alpha(v)w) \end{tikzcd} \end{center} \end{Prop} Beweis: Dimensionen sind gleich, also reicht es zu zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist:$$ \sum_i f(e_i)\otimes e_i^* \mapsfrom f\in \operatorname{Hom}(V,W) $$( (e_i^*) ist die Dualbasis zu (e_i)\colon e_i^*(e_j) = \delta_{ij} )$$ \sum_i f(e_i)\otimes e_i^* \mapsto (e_j \mapsto \sum_ie_i^*(e_j)f(e_j)=f(e_j)) $$\begin{Kor} K\otimes V \cong K\otimes V^{**} \cong \operatorname{Hom}(V^*,\mathbb K) = V^{**}\cong V \end{Kor} \begin{Def} Sei V ein Vektorraum. Ein \emph{Tensor vom Typ (r,s) (über V)} ist ein Element von$$ T_{r,s}(V) &=& V\otimes\ldots\otimes V\otimes V^*\otimes \ldots \otimes V^* \\&=& V^{\otimes r} \otimes \left( V^*\right)^{\otimes s} \quad r,s\in \mathbb N $$\end{Def} \begin{Bem} Eine Basis (e_i)_{i\in I} in V induziert eine Basis$$ := (e_i\otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes e_{j_1}^*\otimes \ldots\otimes e_{j_s})_{i_1,\ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s\in I}\quad \text{in}\quad T_{rs}(V) $$\end{Bem} Indexnotation T\in T_{r,s}(V).$$ \Rightarrow T &=& \sum_{i_1,\ldots, i_r \atop j_1,\ldots, j_s} T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s} e^{j_1\cdots j_s}_{i_1\cdots i_r} $$\begin{Bsp} T_{1,0}(V) =V, T_{0,1}=V^*, T_{1,1}(V)=V\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{End}(V) \end{Bsp} \begin{Bem} (e_i)_{i=1}^n Basis in V \rightsquigarrow (e_i^*)_{i=1}^n Dualbasis in V^*. (e_i\otimes e_j^*) Basis in V\otimes V^*\cong \operatorname{End}(V)\to f$$ f &=& \sum \underbrace{f_{ij}}_{\text{Matrix von$f$bezüglich$(e_i)$}} e_i \otimes e_j^* $$\end{Bem} \begin{Frage} Was ist T_{r,s}(V)^*? \end{Frage} Erwartung T_{r,s}(V)^* \cong T_{r,s}(V^*) \begin{Def}$$ M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{V\times \ldots\times V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \mathrel| f \mathrel{\text{multilinear}} \} $$\end{Def} \begin{Prop} Es gibt antürlche Isomophismen$$ T_{r,s}(V) \cong T_{s,r}(V^*) \cong (T_{r,s}(V^*))^* \cong M_{r,s}(V^*)\cong M_{s,r} $$\end{Prop} ** Vorbereitung 1. V\otimes W \cong W\otimes V, v\otimes w \mapsto w\otimes v 2. Definiere: \begin{Def} Seien U, Z Vektoräume. Eine Paarung zwischen U und Z ist eine bilineare Abbildung \alpha\colon U\times Z\to \mathbb K. \alpha ist \emph{nicht ausgeartet} =\emph{nicht-singulär}, wenn \end{Def} - \forall z\in Z \alpha(u,z) = 0 \Rightarrow u=0 - \forall u\in U \alpha(u,z) = 0 \Rightarrow z=0 \begin{Bsp} Die kanonische Paarung (\cdot, \cdot) \colon V^*\times V\to \mathbb K, (\alpha, v)\mapsto \alpha(v) ist nicht ausgeartet. \end{Bsp} \begin{Lemma} Ist \alpha eine nicht-ausgeartete Paarung. Betrachte Abbildungen:$$ \flat_u &\colon& \begin{cases} U&\to Z^*\\ u&\mapsto (z\mapsto (\alpha(u,z))) \end{cases} \\\flat_z &\colon& \begin{cases} Z&\to U^*\\ z&\mapsto (u\mapsto (\alpha(u,z))) \end{cases} $$\flat_u, \flat_z heißen musikalische Isomophismen zur Paarung \alpha. Die Inversen heißen$$ \sharp_u := \flat_u^{-1}, && \sharp_z := \flat_z^{-1} $$\end{Lemma} Beweis: Nicht-Singularität von \alpha bedeutet, dass \flat_u, \flat_z injektiv sind. \Leftrightarrow \operatorname{dim} U\leqslant \operatorname{dim}(Z), \operatorname{dim}Z \leqslant \operatorname{dim}U \Rightarrow Dimensionen gleich, endlich \Rightarrow \flat's auch surjektiv. Beweis der Proposition: Wegen der kanonischen Isomorphie von V\cong V^{**} ist bei (1) nichts zu zeigen: \begin{center} \begin{tikzcd} {T_{r,s}(V)} \arrow[r, "\overset{\smash{(1)}}\cong", phantom] \arrow[rr, leftrightarrow, "\overset{(3)}\cong"', bend right] & {T_{s,r}(V^*)} \arrow[r, "\cong", phantom] & {(T_{r,s}(V^*))^*} \arrow[r, "\overset{\smash{(2)}}\cong", phantom] & { M_{r,s}(V^*)} \arrow[r, "\overset{\smash{(1)}}\cong", phantom] & {M_{s,r}} \end{tikzcd} \end{center} Für (2) beachte man$$ M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{V\times \ldots\times V}_{s} \times \underbrace{V^*\times \ldots\times V^*}_{k} \to \mathbb K \mathrel| f\mathrel{\text{multilinear}} \} $$Für (3) konstruieren wir eine nicht ausgeartete Paarung \alpha zwischen T_{r,s}(V) und T_{r,s}(V^*): Für$$ u &=& v_1\otimes \ldots \otimes v_r \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_s^* \\ w &=& z_1\otimes \ldots \otimes z_r \otimes z_1^* \otimes \ldots \otimes z_s^* $$v_i, z_i\in V, v_j^*, z^*\in V^*$$ \alpha(u,w) := \Pi_{i=1}^r z_i^*(v_i) \Pi_{j=1}^s v_j^*(z_i) \in \mathbb K $$\alpha ist nichtsingulär, weil diese Paarung ausgedrückt in Basen$$ e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes e_{j_1}^* \otimes \ldots \otimes e_{j_s}^* \\e_{i_1}^* \otimes \ldots \otimes e_{i_r}^* \otimes e_{j_1} \otimes \ldots \otimes e_{j_s} $$die Matrix \eins_{(\dim V)^{r+s}} \begin{Bem} V euklidisch, \langle\cdot, \cdot\rangle\colon V\times V\to \mathbb R eine nichtausgeartete Paarung$$ \flat &\colon& \overset{(1,0)}V \to \overset{(0,1)}V^* \\ \sharp &\colon& \overset{(0,1)}{V^*} \to \overset{(1,0)}V $$\end{Bem} \begin{Bem} M_{2,0}(V) = T_{2,0}(V^*)\cong V^* \otimes V^*\ni \alpha\otimes\beta, (\alpha\otimes \beta)(v,w) = \alpha(v)\beta(w) \end{Bem} In M_{2,0}(V) gibt es den Unterraum der symetrischen Bilinearformen$$ \operatorname{Sym}_{2,0} (V) = \{ f\colon V\times V\to \mathbb K \mathrel| f\mathrel{\text{symmetrische Bilinearform}} \} $$Dies entspricht in V^*\otimes V^* dem Unterraum$$ (V^*\otimes V^*)^{\sigma} := \{ b\in V^* \otimes V^* \mathrel | \sigma(b) = b \} $$mit$$ \sigma\colon V^*\otimes V^* \to V^* \otimes V^*\quad \text{linear fortgesetzt} \\ \alpha \otimes \beta \mapsto \beta\otimes \alpha$\$
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