@@ -440,10 +448,10 @@ Fazit: $\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n$ ist ein Homomorpismus. „Tangenti
In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt.
Sei $U\subseteq\R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
* Definition: Pullback-Abbildung
Sei $U\subseteq\R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
Die Pullback-Abbildung zu $f$ ist
$$
...
...
@@ -1151,6 +1159,7 @@ M \arrow[r, "f_*"] & N
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel}$E$ von Dimension $m$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung $\pi\colon E\to M$ (Projektionsabbildung), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. jede Faser $E_p :=\pi^{-1}(p)$, $p\in M$ ist ein $\R$-Vektorraum von Dimension $m$
TODO Bildchen 13.1
2. \emph{[lokale Trivialität]} für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $U$, so dass
\begin{center}
\begin{tikzcd}
...
...
@@ -1180,6 +1189,8 @@ Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ ü
„Differentialgeometrie ist ein Teil der Mathematik, wo man Analysis horizontal und lineare Algebra vertikal macht“
#+END_QUOTE
TODO Bildchen 13.2
** Definition: Schnitt
Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein \emph{Schnitt} von $E$ ist eine glatte Abbildung $s\colon M\to E$ mit
...
...
@@ -1681,7 +1692,8 @@ Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $
- $SL(n,\R)=\{ A\in\mathbb M_n(R)\ |\ \operatorname{det} A =1\}$ ist eine Lie-Gruppe (Da Multiplikation und Invertieren von $\operatorname{GL}_n(\R)$ vererbt sind, reicht es zu zeigen, dass $\operatorname{SL}_n(\R)\subseteq\operatorname{GL}_n\R$ eine Untermannigfaltigkeit ist.) Dazu: benutze Satz von regulären Wert. Zu zeigen: $\forall A\in\operatorname{SL}_n(\R)$ gilt: $D_A \det$ hat vollen Rang $(=1)$$\Leftrightarrow$$D_A \det\neq0$
Das heißt $V\otimes W$ ist aufgespannt durch Elemente $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$. Die folgenden Rechenregeln erfüllen [= „ $\otimes$ “ ist linear auf beiden Seiten]
$$
\lambda(v\otimes w)&=&\lambda v\otimes w = v\otimes\lambda w
\\(v_1+ v_2)\otimes w &=& v_1\otimes w + v_2\otimes w
Sei $Z$ ein Vektorraum, $\varphi\colon V\times W\to Z$ linear. Definiere $\bar\varphi(v\otimes w) :=\varphi(v,w)$ linear fortgesetzt. $\Rightarrow\bar\varphi\circ\beta=\varphi$ nach Konstruktion $\bar\varphi$ ist wohldefiniert, weil $\varphi$ bilinear war. Zum Beispiel
[Keine Notationskollision, weil $\mathbb K\otimes\mathbb K \cong\mathbb K$, $\lambda\otimes\mu\mapsto\lambda\mu$ ]
\begin{Prop}
Seien $v_1,\ldots, v_n\in V$ linear unabhängig, $w_1,\ldots, w_n\in W$ beliebig. Dann sind $v_1\otimes w_1, \ldots, v_2\otimes w_n$ linear unabhängig in $V\otimes W$
\end{Prop}
Beweis:
$$
\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \otimes w_i =0
$$
$\exists\alpha_1, \ldots, \alpha_n\in V^*$ mit $\alpha_j(v_i)=\delta_{ij}$. Für $\beta\in W^*$ beliebig gilt dann
$(e_i)_{i=1}^n$ Basis in $V \rightsquigarrow(e_i^*)_{i=1}^n$ Dualbasis in $V^*$. $(e_i\otimes e_j^*)$ Basis in $V\otimes V^*\cong\operatorname{End}(V)\to f$
$$
f &=&\sum\underbrace{f_{ij}}_{\text{Matrix von $f$ bezüglich $(e_i)$}} e_i \otimes e_j^*
$$
\end{Bem}
\begin{Frage}
Was ist $T_{r,s}(V)^*$?
\end{Frage}
Erwartung $T_{r,s}(V)^*\cong T_{r,s}(V^*)$
\begin{Def}
$$
M_{s,r}(V) :=\{ f\colon\underbrace{V\times\ldots\times V}_{s\text{-mal}}\times\underbrace{V^*\times\ldots\times V^*}_{r\text{-mal}}\mathrel| f \mathrel{\text{multilinear}}\}
1. $V\otimes W \cong W\otimes V$, $v\otimes w \mapsto w\otimes v$
2. Definiere:
\begin{Def}
Seien $U$, $Z$ Vektoräume. Eine Paarung zwischen $U$ und $Z$ ist eine bilineare Abbildung $\alpha\colon U\times Z\to\mathbb K$. $\alpha$ ist \emph{nicht ausgeartet} =\emph{nicht-singulär}, wenn
\end{Def}
- $\forall z\in Z \alpha(u,z)=0\Rightarrow u=0$
- $\forall u\in U \alpha(u,z)=0\Rightarrow z=0$
\begin{Bsp}
Die kanonische Paarung $(\cdot, \cdot)\colon V^*\times V\to\mathbb K$, $(\alpha, v)\mapsto\alpha(v)$ ist nicht ausgeartet.
\end{Bsp}
\begin{Lemma}
Ist $\alpha$ eine nicht-ausgeartete Paarung. Betrachte Abbildungen:
Nicht-Singularität von $\alpha$ bedeutet, dass $\flat_u$, $\flat_z$ injektiv sind. $\Leftrightarrow\operatorname{dim} U\leqslant\operatorname{dim}(Z)$, $\operatorname{dim}Z \leqslant\operatorname{dim}U$
$\Rightarrow$ Dimensionen gleich, endlich $\Rightarrow\flat$'s auch surjektiv.
Beweis der Proposition:
Wegen der kanonischen Isomorphie von $V\cong V^{**}$ ist bei $(1)$ nichts zu zeigen:
