@@ -440,10 +448,10 @@ Fazit: $\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n$ ist ein Homomorpismus. „Tangenti
In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt.
Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
* Definition: Pullback-Abbildung
Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
Die Pullback-Abbildung zu $f$ ist
$$
...
...
@@ -1151,6 +1159,7 @@ M \arrow[r, "f_*"] & N
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung $\pi\colon E\to M$ (Projektionsabbildung), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. jede Faser $E_p := \pi^{-1}(p)$, $p\in M$ ist ein $\R$-Vektorraum von Dimension $m$
TODO Bildchen 13.1
2. \emph{[lokale Trivialität]} für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $U$, so dass
\begin{center}
\begin{tikzcd}
...
...
@@ -1180,6 +1189,8 @@ Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ ü
„Differentialgeometrie ist ein Teil der Mathematik, wo man Analysis horizontal und lineare Algebra vertikal macht“
#+END_QUOTE
TODO Bildchen 13.2
** Definition: Schnitt
Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein \emph{Schnitt} von $E$ ist eine glatte Abbildung $s\colon M\to E$ mit
...
...
@@ -1681,7 +1692,8 @@ Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $
- $SL(n,\R) = \{ A\in \mathbb M_n(R)\ |\ \operatorname{det} A = 1 \}$ ist eine Lie-Gruppe (Da Multiplikation und Invertieren von $\operatorname{GL}_n(\R)$ vererbt sind, reicht es zu zeigen, dass $\operatorname{SL}_n(\R)\subseteq \operatorname{GL}_n\R$ eine Untermannigfaltigkeit ist.) Dazu: benutze Satz von regulären Wert. Zu zeigen: $\forall A\in \operatorname{SL}_n(\R)$ gilt: $D_A \det$ hat vollen Rang $(=1)$ $\Leftrightarrow$ $D_A \det \neq 0$
Das heißt $V\otimes W$ ist aufgespannt durch Elemente $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$. Die folgenden Rechenregeln erfüllen [= „ $\otimes$ “ ist linear auf beiden Seiten]
$$
\lambda(v\otimes w) &=& \lambda v\otimes w = v\otimes \lambda w
\\ (v_1 + v_2) \otimes w &=& v_1 \otimes w + v_2 \otimes w
Sei $Z$ ein Vektorraum, $\varphi\colon V\times W\to Z$ linear. Definiere $\bar\varphi(v\otimes w) := \varphi(v,w)$ linear fortgesetzt. $\Rightarrow \bar\varphi \circ \beta = \varphi$ nach Konstruktion $\bar\varphi$ ist wohldefiniert, weil $\varphi$ bilinear war. Zum Beispiel
[Keine Notationskollision, weil $\mathbb K\otimes \mathbb K \cong \mathbb K$, $\lambda\otimes \mu \mapsto \lambda \mu$ ]
\begin{Prop}
Seien $v_1,\ldots, v_n\in V$ linear unabhängig, $w_1,\ldots, w_n\in W$ beliebig. Dann sind $v_1\otimes w_1, \ldots, v_2\otimes w_n$ linear unabhängig in $V\otimes W$
\end{Prop}
Beweis:
$$
\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \otimes w_i = 0
$$
$\exists \alpha_1, \ldots, \alpha_n\in V^*$ mit $\alpha_j(v_i) = \delta_{ij}$. Für $\beta\in W^*$ beliebig gilt dann
1. $V\otimes W \cong W\otimes V$, $v\otimes w \mapsto w\otimes v$
2. Definiere:
\begin{Def}
Seien $U$, $Z$ Vektoräume. Eine Paarung zwischen $U$ und $Z$ ist eine bilineare Abbildung $\alpha\colon U\times Z\to \mathbb K$. $\alpha$ ist \emph{nicht ausgeartet} =\emph{nicht-singulär}, wenn
\end{Def}
- $\forall z\in Z \alpha(u,z) = 0 \Rightarrow u=0$
- $\forall u\in U \alpha(u,z) = 0 \Rightarrow z=0$
\begin{Bsp}
Die kanonische Paarung $(\cdot, \cdot) \colon V^*\times V\to \mathbb K$, $(\alpha, v)\mapsto \alpha(v)$ ist nicht ausgeartet.
\end{Bsp}
\begin{Lemma}
Ist $\alpha$ eine nicht-ausgeartete Paarung. Betrachte Abbildungen:
