Commit aca1578f authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2020-01-10

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in 8 minutes and 53 seconds
......@@ -4,3 +4,4 @@
*.log
for-compile.tex
tmp.tex
latex-custom.template
......@@ -50,3 +50,10 @@ mkdir -p ../output
cp for-compile.tex ../output/dgeo-alekseev-III.tex
mv for-compile.pdf dgeo-alekseev-III.pdf
cp dgeo-alekseev-III.pdf ../output/
#rm for-compile.aux
#rm for-compile.log
#rm for-compile.tex
#rm for-compile.toc
#rm tmp.tex
#rm latex-custom.template
%alexeev-custom
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,amscd,stmaryrd}
\usepackage{thmtools}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Def}{Definition}[section]%
\newtheorem{Konv}[Def]{Konvention}%
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Prop}[Def]{Proposition}
\newtheorem{Lemma}[Def]{Lemma}
\newtheorem{Thm}[Def]{Theorem}%
\newtheorem{Satz}[Def]{Satz}%
\newtheorem{Kor}[Def]{Korollar}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Frage}[Def]{Frage}%
\newtheorem{Bem}[Def]{Bemerkung}%
\newtheorem{Ueb}[Def]{Übung}%
\newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiel}%
\newtheorem*{Bsp*}{Beispiel}%
% \usepackage[german]{certus}
\newcommand{ \coloneqq }{ := }
\newcommand{ \mb }{ \mathbb }
\let\subsetAmbiguous\subset
\renewcommand{\subset}{\subseteq}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
%harry-custom
\usepackage{blkarray}
\usepackage{stmaryrd}
......@@ -24,12 +57,3 @@
\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
\newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{} \\ & #1 & \\ \text{} && \end{array} }
%alexeev-custom
\newcommand{ \coloneqq }{ := }
\newcommand{ \mb }{ \mathbb }
\let\subsetAmbiguous\subset
\renewcommand{\subset}{\subseteq}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
......@@ -5,6 +5,14 @@
% ref
%TODO Nummerierung
TODO 2020-01-16
TODO 2020-01-17
TODO 2020-01-23
TODO 2020-01-24
TODO 2020-01-31
TODO 2020-02-06
TODO 2020-02-07
%%%%%%%%%%%
* Meta-Infos
......@@ -63,7 +71,7 @@ Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig?
** Notation
- $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen
- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ -- auch mit Einschränkungen der Bilder und Urbiler dieser -- werden ab jetzt als glatt vorrausgesetzt
- $f\colon U\to V$
- $$
D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix}
......@@ -440,10 +448,10 @@ Fazit: $\varepsilon^*\colon T_pU \to T_p\R^n$ ist ein Homomorpismus. „Tangenti
In der algebraischen Geometrie gibt es auch Tangentialräume aber da ist das kompliziert, weil es keine kompakt getragene Polynome gibt.
Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
* Definition: Pullback-Abbildung
Sei $U\subseteq \R^n$, $V\subseteq\R^m$ offen, $f\colon U\to V$ (glatt)
Die Pullback-Abbildung zu $f$ ist
$$
......@@ -1151,6 +1159,7 @@ M \arrow[r, "f_*"] & N
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung $\pi\colon E\to M$ (Projektionsabbildung), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. jede Faser $E_p := \pi^{-1}(p)$, $p\in M$ ist ein $\R$-Vektorraum von Dimension $m$
TODO Bildchen 13.1
2. \emph{[lokale Trivialität]} für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $U$, so dass
\begin{center}
\begin{tikzcd}
......@@ -1180,6 +1189,8 @@ Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein \emph{Vektorbündel} $E$ von Dimension $m$ ü
„Differentialgeometrie ist ein Teil der Mathematik, wo man Analysis horizontal und lineare Algebra vertikal macht“
#+END_QUOTE
TODO Bildchen 13.2
** Definition: Schnitt
Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein \emph{Schnitt} von $E$ ist eine glatte Abbildung $s\colon M\to E$ mit
......@@ -1681,7 +1692,8 @@ Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $
- $SL(n,\R) = \{ A\in \mathbb M_n(R)\ |\ \operatorname{det} A = 1 \}$ ist eine Lie-Gruppe (Da Multiplikation und Invertieren von $\operatorname{GL}_n(\R)$ vererbt sind, reicht es zu zeigen, dass $\operatorname{SL}_n(\R)\subseteq \operatorname{GL}_n\R$ eine Untermannigfaltigkeit ist.) Dazu: benutze Satz von regulären Wert. Zu zeigen: $\forall A\in \operatorname{SL}_n(\R)$ gilt: $D_A \det$ hat vollen Rang $(=1)$ $\Leftrightarrow$ $D_A \det \neq 0$
Sei $X\in T_A\R^{n^2}$.
$$
D_A \det(X) = \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\det(A+\varepsilon X)-\det(A)}{\varepsilon} = \det(A)\cdot \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\det(\eins +\varepsilon \overbrace{A^{-1}X}^{=: Y})-1}{\varepsilon}
D_A \det(X) &=& \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\det(A+\varepsilon X)-\det(A)}{\varepsilon}
\\&=& \det(A)\cdot \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\det(\eins +\varepsilon \overbrace{A^{-1}X}^{=: Y})-1}{\varepsilon}
\\&=& \operatorname{det}(A) \cdot T_r(A^{-1}X)
$$
wobei
......@@ -3097,6 +3109,7 @@ $$
wobei $\gamma(t) = (\psi_{-t}\circ\phi_{-t}\circ\psi_t\circ\phi_t)(p)$ (vgl 19.12 ganz unten)%TODO ref
TODO Bildchen 40
Beweis:
......@@ -3223,7 +3236,7 @@ Eine \emph{Basis} von $V$ ist eine Menge $S$ zusammen mit $i\colon S\to V$ sodas
\begin{center}
\begin{tikzcd}
S \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "\varphi"'] & Z \arrow[d, "{\exists!\bar\varphi}", dashed]
S \arrow[r, "i"] \arrow[rd, "\varphi"'] & V \arrow[d, "{\exists!\bar\varphi}", dashed]
\\{}&Z
\end{tikzcd}
\end{center}
......@@ -3239,5 +3252,253 @@ $$
\\&\cong& \bigoplus_{s\in S} \mathbb K
$$
TODO 2020-01-10
TODO 2020-01-16
%2020-01-10
*** Beweis der Proposition
$$
V\otimes W &:=&
{
\mathcal F(V\times W)
}
/
\left\langle
\begin{subarray}{l}
\\ \lambda{(v,w)} - {(\lambda v, w)},\ \lambda{(v,w)} - {(v, \lambda w)}
\\ {(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)},
\\ {(v, w_1+w_2)} -{(v,w_1)} -{(v,w_2)},
\end{subarray}
\mathrel{\Bigg |}
\begin{subarray}{l}
v, v_1, v_2\in V,
\\w, w_1, w_2\in W,
\\ \lambda \in \mathbb R
\end{subarray}
\right\rangle
\\
\beta&\colon&
\begin{cases}
V\times W&\to V\otimes W
\\ (v,w) &\mapsto [(v,w)] =: v\otimes w
\end{cases}
$$
Das heißt $V\otimes W$ ist aufgespannt durch Elemente $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$. Die folgenden Rechenregeln erfüllen [= „ $\otimes$ “ ist linear auf beiden Seiten]
$$
\lambda(v\otimes w) &=& \lambda v\otimes w = v\otimes \lambda w
\\ (v_1 + v_2) \otimes w &=& v_1 \otimes w + v_2 \otimes w
\\ v\otimes (w_1 + w_2) &=& v\otimes w_1 + v\otimes w_2
$$
Die universelle Eigenschaft ist erfüllt, denn:
Sei $Z$ ein Vektorraum, $\varphi\colon V\times W\to Z$ linear. Definiere $\bar\varphi(v\otimes w) := \varphi(v,w)$ linear fortgesetzt. $\Rightarrow \bar\varphi \circ \beta = \varphi$ nach Konstruktion $\bar\varphi$ ist wohldefiniert, weil $\varphi$ bilinear war. Zum Beispiel
$$
\bar\varphi(\lambda(v\otimes w)-(\lambda v\otimes w)) = \lambda\varphi(v,w) - \varphi(\lambda v, w) = 0
$$
entsprechend für andere Relationen. Wenn jetzt $\bar\psi\colon V\otimes W\to Z$ mit
$$
\bar\psi\circ\beta = \varphi \Rightarrow \bar\phi(v\otimes w) = \varphi(v,w) = \bar\varphi(v\otimes w)
$$
$v\otimes w$ spannen $(V\otimes W)$ auf $\Rightarrow \bar\psi = \bar\varphi$
%TODO having enumerations within Def environment
\begin{Def}
\end{Def}
1. $V\xrightarrow{f} Z$, $W\xrightarrow{g} U$ linear $\Rightarrow \exists! f\otimes g\colon V\otimes W\to Z\otimes U$ mit $(f\otimes g)(v\otimes w)=f(v)\otimes g(w)$, denn $(v,w)\mapsto f(v)\otimes g(w)$ ist bilinear.
2. $\alpha\in V^*$, $\beta\in W^* \Rightarrow \exists! \alpha\otimes \beta : V\otimes W \to \mathbb K$, $(\alpha\otimes \beta)(v\otimes w) = \alpha(v)\beta(w)$
[Keine Notationskollision, weil $\mathbb K\otimes \mathbb K \cong \mathbb K$, $\lambda\otimes \mu \mapsto \lambda \mu$ ]
\begin{Prop}
Seien $v_1,\ldots, v_n\in V$ linear unabhängig, $w_1,\ldots, w_n\in W$ beliebig. Dann sind $v_1\otimes w_1, \ldots, v_2\otimes w_n$ linear unabhängig in $V\otimes W$
\end{Prop}
Beweis:
$$
\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \otimes w_i = 0
$$
$\exists \alpha_1, \ldots, \alpha_n\in V^*$ mit $\alpha_j(v_i) = \delta_{ij}$. Für $\beta\in W^*$ beliebig gilt dann
$$
(\alpha_j \otimes \beta)\bigg( \underbrace{\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \otimes w_i }_{=0} \bigg)
&=& \sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha_j(v_i)\otimes \beta(w_i) = \lambda_j
\\&=& \lambda_j \beta(w_j)
$$
Wenn $w_j \neq 0\Rightarrow \exists \beta: \beta(w_j)\neq 0\Rightarrow \lambda_j =0$
\begin{Kor}
Wenn $B=(b_i)_{i\in I}$, $C = (c_j)_{j\in J}$ Basen in $V$ bzw, $W$ sind, dann ist $(b_i\otimes c_j)_{(i,j)\in I\times J}$ eine Basis in $V\otimes W$
\end{Kor}
\begin{Kor}
$\operatorname{dim} (V\otimes W) = \operatorname{dim} V\cdot \operatorname{dim}W$
\end{Kor}
\begin{Kor}
Wenn $(b_i)_{i\in I}$ eine Basis in $V$, $x\in V\otimes W \Rightarrow \exists!(w_i)_{i\in I}$, $w_i\in W$ mit $x=\sum_{i=1}^n b_i \otimes w_i$
\end{Kor}
Ab hier seien $V, W, Z,\ldots$ endlich dimensional.
\begin{Prop}
Es gibt einen kanonischen Isomophismus
\begin{center}
\begin{tikzcd}
W\otimes V^* \arrow[r] & {\operatorname{Hom}(V,W)}\\[-15pt]
w\otimes \alpha \arrow[r, maps to] & (v \mapsto \alpha(v)w)
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{Prop}
Beweis:
Dimensionen sind gleich, also reicht es zu zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist:
$$
\sum_i f(e_i)\otimes e_i^* \mapsfrom f\in \operatorname{Hom}(V,W)
$$
( $(e_i^*)$ ist die Dualbasis zu $(e_i)\colon e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ )
$$
\sum_i f(e_i)\otimes e_i^* \mapsto (e_j \mapsto \sum_ie_i^*(e_j)f(e_j)=f(e_j))
$$
\begin{Kor}
$K\otimes V \cong K\otimes V^{**} \cong \operatorname{Hom}(V^*,\mathbb K) = V^{**}\cong V$
\end{Kor}
\begin{Def}
Sei $V$ ein Vektorraum. Ein \emph{Tensor vom Typ $(r,s)$ (über $V$)} ist ein Element von
$$
T_{r,s}(V) &=& V\otimes\ldots\otimes V\otimes V^*\otimes \ldots \otimes V^*
\\&=& V^{\otimes r} \otimes \left( V^*\right)^{\otimes s} \quad r,s\in \mathbb N
$$
\end{Def}
\begin{Bem}
Eine Basis $(e_i)_{i\in I}$ in $V$ induziert eine Basis
$$
:= (e_i\otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes e_{j_1}^*\otimes \ldots\otimes e_{j_s})_{i_1,\ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s\in I}\quad \text{in}\quad T_{rs}(V)
$$
\end{Bem}
Indexnotation $T\in T_{r,s}(V)$.
$$
\Rightarrow T &=& \sum_{i_1,\ldots, i_r \atop j_1,\ldots, j_s} T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s} e^{j_1\cdots j_s}_{i_1\cdots i_r}
$$
\begin{Bsp}
$T_{1,0}(V) =V$, $T_{0,1}=V^*$, $T_{1,1}(V)=V\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{End}(V)$
\end{Bsp}
\begin{Bem}
$(e_i)_{i=1}^n$ Basis in $V \rightsquigarrow (e_i^*)_{i=1}^n$ Dualbasis in $V^*$. $(e_i\otimes e_j^*)$ Basis in $V\otimes V^*\cong \operatorname{End}(V)\to f$
$$
f &=& \sum \underbrace{f_{ij}}_{\text{Matrix von $f$ bezüglich $(e_i)$}} e_i \otimes e_j^*
$$
\end{Bem}
\begin{Frage}
Was ist $T_{r,s}(V)^*$?
\end{Frage}
Erwartung $T_{r,s}(V)^* \cong T_{r,s}(V^*)$
\begin{Def}
$$
M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{V\times \ldots\times V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \mathrel| f \mathrel{\text{multilinear}} \}
$$
\end{Def}
\begin{Prop}
Es gibt antürlche Isomophismen
$$
T_{r,s}(V) \cong T_{s,r}(V^*) \cong (T_{r,s}(V^*))^* \cong M_{r,s}(V^*)\cong M_{s,r}
$$
\end{Prop}
** Vorbereitung
1. $V\otimes W \cong W\otimes V$, $v\otimes w \mapsto w\otimes v$
2. Definiere:
\begin{Def}
Seien $U$, $Z$ Vektoräume. Eine Paarung zwischen $U$ und $Z$ ist eine bilineare Abbildung $\alpha\colon U\times Z\to \mathbb K$. $\alpha$ ist \emph{nicht ausgeartet} =\emph{nicht-singulär}, wenn
\end{Def}
- $\forall z\in Z \alpha(u,z) = 0 \Rightarrow u=0$
- $\forall u\in U \alpha(u,z) = 0 \Rightarrow z=0$
\begin{Bsp}
Die kanonische Paarung $(\cdot, \cdot) \colon V^*\times V\to \mathbb K$, $(\alpha, v)\mapsto \alpha(v)$ ist nicht ausgeartet.
\end{Bsp}
\begin{Lemma}
Ist $\alpha$ eine nicht-ausgeartete Paarung. Betrachte Abbildungen:
$$
\flat_u &\colon& \begin{cases} U&\to Z^*\\ u&\mapsto (z\mapsto (\alpha(u,z))) \end{cases}
\\\flat_z &\colon& \begin{cases} Z&\to U^*\\ z&\mapsto (u\mapsto (\alpha(u,z))) \end{cases}
$$
$\flat_u$, $\flat_z$ heißen musikalische Isomophismen zur Paarung $\alpha$. Die Inversen heißen
$$
\sharp_u := \flat_u^{-1}, && \sharp_z := \flat_z^{-1}
$$
\end{Lemma}
Beweis:
Nicht-Singularität von $\alpha$ bedeutet, dass $\flat_u$, $\flat_z$ injektiv sind. $\Leftrightarrow \operatorname{dim} U\leqslant \operatorname{dim}(Z)$, $\operatorname{dim}Z \leqslant \operatorname{dim}U$
$\Rightarrow$ Dimensionen gleich, endlich $\Rightarrow \flat$'s auch surjektiv.
Beweis der Proposition:
Wegen der kanonischen Isomorphie von $V\cong V^{**}$ ist bei $(1)$ nichts zu zeigen:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{T_{r,s}(V)} \arrow[r, "\overset{\smash{(1)}}\cong", phantom] \arrow[rr, leftrightarrow, "\overset{(3)}\cong"', bend right] & {T_{s,r}(V^*)} \arrow[r, "\cong", phantom] & {(T_{r,s}(V^*))^*} \arrow[r, "\overset{\smash{(2)}}\cong", phantom] & { M_{r,s}(V^*)} \arrow[r, "\overset{\smash{(1)}}\cong", phantom] & {M_{s,r}}
\end{tikzcd}
\end{center}
Für $(2)$ beachte man
$$
M_{s,r}(V) := \{ f\colon \underbrace{V\times \ldots\times V}_{s} \times \underbrace{V^*\times \ldots\times V^*}_{k} \to \mathbb K \mathrel| f\mathrel{\text{multilinear}} \}
$$
Für $(3)$ konstruieren wir eine nicht ausgeartete Paarung $\alpha$ zwischen $T_{r,s}(V)$ und $T_{r,s}(V^*)$:
Für
$$
u &=& v_1\otimes \ldots \otimes v_r \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_s^*
\\ w &=& z_1\otimes \ldots \otimes z_r \otimes z_1^* \otimes \ldots \otimes z_s^*
$$
$v_i$, $z_i\in V$, $v_j^*$, $z^*\in V^*$
$$
\alpha(u,w) := \Pi_{i=1}^r z_i^*(v_i) \Pi_{j=1}^s v_j^*(z_i) \in \mathbb K
$$
$\alpha$ ist nichtsingulär, weil diese Paarung ausgedrückt in Basen
$$
e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes e_{j_1}^* \otimes \ldots \otimes e_{j_s}^*
\\e_{i_1}^* \otimes \ldots \otimes e_{i_r}^* \otimes e_{j_1} \otimes \ldots \otimes e_{j_s}
$$
die Matrix $\eins_{(\dim V)^{r+s}}$
\begin{Bem}
$V$ euklidisch, $\langle\cdot, \cdot\rangle\colon V\times V\to \mathbb R$ eine nichtausgeartete Paarung
$$
\flat &\colon& \overset{(1,0)}V \to \overset{(0,1)}V^*
\\ \sharp &\colon& \overset{(0,1)}{V^*} \to \overset{(1,0)}V
$$
\end{Bem}
\begin{Bem}
$M_{2,0}(V) = T_{2,0}(V^*)\cong V^* \otimes V^*\ni \alpha\otimes\beta$, $(\alpha\otimes \beta)(v,w) = \alpha(v)\beta(w)$
\end{Bem}
In $M_{2,0}(V)$ gibt es den Unterraum der symetrischen Bilinearformen
$$
\operatorname{Sym}_{2,0} (V) = \{ f\colon V\times V\to \mathbb K \mathrel| f\mathrel{\text{symmetrische Bilinearform}} \}
$$
Dies entspricht in $V^*\otimes V^*$ dem Unterraum
$$
(V^*\otimes V^*)^{\sigma} := \{ b\in V^* \otimes V^* \mathrel | \sigma(b) = b \}
$$
mit
$$
\sigma\colon V^*\otimes V^* \to V^* \otimes V^*\quad \text{linear fortgesetzt}
\\ \alpha \otimes \beta \mapsto \beta\otimes \alpha
$$
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