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Alekseev, Vadim
diffgeo-skript
Commits
b0b1e94e
Commit
b0b1e94e
authored
Jun 26, 2019
by
Harry Fuchs
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2019-06-18
parent
e1afb21c
Pipeline
#2524
passed with stage
in 7 minutes and 10 seconds
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1
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diffgeoII/edit-this-file.tex
View file @
b0b1e94e
...
...
@@ -3524,24 +3524,256 @@ exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus
$
H
^
*(
C
^
*
,
\diffd
)
$
misst genau, inwiefern
$
(
C
^
*
,
\diffd
)
$
nicht exakt an
$
C
^
k
$
ist.
%2019-06-18
%TODO
TODO missing 2019-06-18
%2019-06-19
** Definition: exakt an
Gestern:
Kettenkomplex
$
(
C
^
*
,
\diffd
)
$
ist
\emph
{
exakt an
}
$
C
^
k
$
,
$
k
\in\mathbb
Z
$
, wenn
$
H
^
k
(
C
^
*
,
\diffd
)
=
0
$
(
$
\Leftrightarrow
\ker
\diffd
^
k
=
\operatorname
{
im
}
\diffd
^{
k
-
1
}$
) (für ein festes
$
k
$
)
Hauptsatz der homologischen Algebra:
** Definition: kurze exakte Sequenz
e
ine exakte Sequenz
E
ine
kurze
exakte Sequenz
von
\emph
{
Cokettenkomplexen
}
$
(
A
_
*
,
\diffd
)
$
,
$
(
B
_
*
,
\diffd
)
$
,
$
(
C
_
*
,
\diffd
)
$
ist eine Sequenz der Form
TODO
%TODO Bildchen
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0
\arrow
[r]
&
(A
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "i"]
&
(B
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "q"]
&
(C
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r]
&
0
\end{tikzcd}
\end{center}
von Kokettenkomplex gibt eine lange exakte Sequenz in Kohomologien
wobei
$
i
$
,
$
q
$
Cokettenabbildungen sind, sodass
$
i
$
injektiv,
$
q
$
surjektiv,
$
\operatorname
{
ker
}
q
=
\operatorname
{
Im
}
i
$
.
TODO
%TODO Bilchen
Ist äquivalent zu
$
\forall
k
\in
\mathbb
Z
$
ist
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0
\arrow
[r]
&
A
_
k
\arrow
[r, "i_k"]
&
B
_
k
\arrow
[r, "q_k"]
&
C
_
k
\arrow
[r]
&
0
\end{tikzcd}
\end{center}
eine kurze exakte Sequenz.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0
\arrow
[d]
&
0
\arrow
[d]
&
0
\arrow
[d]
\\
A
_
k
\arrow
[r, "\diffd"]
\arrow
[d, "i_k"]
&
A
_{
k+1
}
\arrow
[r, "\diffd"]
\arrow
[d, "i_{k+1}"]
&
A
_{
k+2
}
\arrow
[d, "i_{k+2}"]
\\
B
_
k
\arrow
[r, "\diffd"]
\arrow
[d, "q_k"]
&
B
_{
k+1
}
\arrow
[r, "\diffd"]
\arrow
[d, "q_{k+1}"]
&
B
_{
k+2
}
\arrow
[d, "q_{k+2}"]
\\
C
_
k
\arrow
[r, "\diffd"]
&
C
_{
k+1
}
\arrow
[r, "\diffd"]
&
C
_{
k+2
}
\end{tikzcd}
\end{center}
** Beispiel
(
$
i
_
u
^
*
$
Einschränkung der Form auf
$
U
$
,
$
\ker
q
$
: Formen die auf
$
U
\cap
V
$
übereinstimmen)
Sei
$
M
=
U
\cup
V
$
,
$
U
$
offen,
$
V
$
offen, sodass
$
U
\cap
V
$
offen. Dann ist
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0
\arrow
[r]
&
\Omega
^
* M
\arrow
[r, "i_u^* \oplus i_v^*"]
&
[+10pt]
\Omega
^
* U
\oplus
\Omega
^
* V
\arrow
[r, "q"]
&
\Omega
^
* (U
\cap
V)
\arrow
[r]
&
0
\end{tikzcd}
\end{center}
eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen (
$
i
_
u
^
*
\colon
U
\hookrightarrow
M
$
,
$
i
_
v
\colon
V
\hookrightarrow
M
$
)
$$
j
^
u
\colon
U
\cap
V
&
\hookrightarrow
&
U
\\
j
^
v
\colon
U
\cap
V
&
\hookrightarrow
&
V
\\
q
&
=
&
(
j
^
u
)
^
*
-
(
j
^
v
)
^
*
$$
$
\rightsquigarrow
q
(
\alpha
,
\beta
)
=
\alpha
|
_{
U
\cap
V
}
-
\beta
|
_{
U
\cap
V
}$
** Satz: Hauptsatz der homologischen Algebra
Sei
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0
\arrow
[r]
&
(A
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "i"]
&
(B
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "q"]
&
(C
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r]
&
0
\end{tikzcd}
\end{center}
eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen. Dann besteht eine lange exakt Sequenz der Cohomologiegruppen:
TODO
%TODO
% \begin{tikzcd}
% \arrow[r, "\diffd^*"] & { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"]
% & { {}} \arrow[llld, "\diffd^*", to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\
% { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"] & { {}} \arrow[r, "\diffd^*"] & \ldots
% \end{tikzcd}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
H
^{
k-1
}
(C
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "\diffd^*"]
&
H
^
k(A
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "i_*"]
\arrow
[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]
&
H
^
k(B
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "q_*"]
&
H
^
k(C
_
*,
\diffd
)
\arrow
[dlll, "\diffd^*"',rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]
\tikztostart
.east)|- (Z)[near end]
\tikztonodes
-| ([xshift=-2ex]
\tikztotarget
.west)-- (
\tikztotarget
)
}
]
\\
H
^{
k+1
}
(A
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "i_*"]
&
H
^{
k+1
}
(B
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "q_*"]
&
H
^
k(C
_
*,
\diffd
)
\arrow
[r, "\diffd^*"]
&
\ldots
\end{tikzcd}
\end{center}
Hierbei sind
$$
i
_
*
\colon
H
^
k
(
A
_
*)
\to
H
^
k
(
B
_
*)
\\
q
_
*
\colon
H
^
k
(
B
_
*)
\to
H
^
k
(
C
_
*)
$$
die durch
$
i
$
,
$
q
$
induzierte Abbildung.
Randabbildung
$
\diffd
^
*
$
ist eine Abbildung, die durch
$
\diffd
$
induziert ist (wird im Zuge des Beweises konstruiert).
** Korollar: Mayer-Vietoris-Sequenz
Sei
$
M
=
U
\cap
V
$
und
$
U
$
,
$
V
$
offen sowie
$
U
\cap
V
$
offen. Dann besteht eine lange kurze exakte Sequenz:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\ldots\arrow
[r, "\diffd^*"]
&
H
^
k(M)
\arrow
[r, "i_u^* \oplus i_v^*"]
\arrow
[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]
&
H
^
k(U)
\oplus
H
^
k(V)
\arrow
[dll,"q_*",rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]
\tikztostart
.east)|- (Z)[near end]
\tikztonodes
-| ([xshift=-2ex]
\tikztotarget
.west)-- (
\tikztotarget
)
}
]
\\
H
^
k(U
\cap
V)
\arrow
[r, "\diffd^*"]
&
H
^{
k+1
}
(M)
\arrow
[r]
&
\ldots
\end{tikzcd}
\end{center}
Beweis des Satzes:
Nachtrag:
Wir haben die Randbedingungen
$
\diffd
^
*
$
zu konstruiren und zu zeigen, dass die Sequenz in der Behauptung exakt ist.
Technik: Diagrammjagt
\begin{center}
\begin{tikzcd}
&
0
\arrow
[d]
&
0
\arrow
[d]
&
0
\arrow
[d]
&
&
\\
\arrow
[r]
&
A
_{
k-1
}
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
A
_
k
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
A
_{
k+1
}
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
A
_{
k+2
}
\arrow
[d]
\arrow
[r]
&
\ldots
\\
\arrow
[r]
&
B
_{
k-1
}
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
B
_
k
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
B
_{
k+1
}
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
B
_{
k+2
}
\arrow
[d]
\arrow
[r]
&
\ldots
\\
\arrow
[r]
&
C
_{
k-1
}
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
C
_
k
\arrow
[d]
\arrow
[r, "\diffd"]
&
C
_
k
\arrow
[r, "\diffd"]
\arrow
[d]
&
C
_{
k+2
}
\arrow
[r]
&
\ldots
\\
&
0
&
0
&
0
&
&
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\phantom
{
\alpha
}
&
0
\arrow
[d, maps to]
&
0
\arrow
[d, maps to]
&
0
\arrow
[d, maps to]
&
\phantom
{
\alpha
}
\\
\arrow
[r, maps to]
&
\phantom
{
\alpha
}
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
\delta
'
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
\beta
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
\arrow
[d, maps to]
\\
\arrow
[r, maps to]
&
\gamma
'
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r]
&
\alpha
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
\diffd
\alpha
'
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
0
\arrow
[d, maps to]
\\
\arrow
[r, maps to]
&
\gamma
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
\alpha
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
0
\arrow
[r, maps to]
\arrow
[d, maps to]
&
\phantom
{
\alpha
}
\\
&
0
&
0
&
0
&
\end{tikzcd}
\end{center}
Wollen:
$$
\diffd
^
*
\colon
H
^
k
(
C
_
*)
&
\to
&
H
^{
k
+
1
}
(
A
_
*)
\\
\reflectbox
{
\rotatebox
[
origin
=
c
]
{
90
}{
$
\in
$
}}
&&
\\
\lbrack\alpha\rbrack
&
\mapsto
&
\lbrack\beta\rbrack
$$
wobei
$
\beta
$
wie folgt konstruiert ist:
$
\alpha
\in
c
_
k
$
,
$
\diffd
\alpha
=
0
\Rightarrow
\exists
\alpha
'
\in
B
_
k
$
mit
$
q
(
\alpha
'
)
=
\alpha
$
$
q
(
\diffd
\alpha
'
)
=
0
$
(Diagramm kommutiert)
$
\Rightarrow
\exists
\beta
\in
A
_{
k
+
1
}$
mit
$
i
(
\beta
)
=
\diffd
\alpha
'
$
Auch gilt:
$
(
\diffd
\beta
)
=
\diffd
(
\diffd
\alpha
'
)
=
0
$
,
$
i
$
injektiv
$
\Rightarrow
\diffd
\beta
=
0
$
Konstruktion
$
\beta
$
zu ende.
$
\diffd
^
*
$
ist wohldefiniert, denn wenn
$
\alpha
_
1
=
\alpha
+
\diffd
\gamma
$
ein Lift von
$
\gamma
$
(existiert, weil
$
q
$
surjektiv)
$$
\rightsquigarrow
\diffd
\alpha
'
_
1
=
\diffd
\alpha
'
\checkmark
$$
1. ? TODO
%TODO
2. Wenn
$
\alpha
''
\in
B
_
k
$
ein anderer Lift von
$
\alpha
$
(Elemente mit
$
q
(
\alpha
''
)
=
\alpha
$
) Dann gilt:
$$
\alpha
''
-
\alpha
'
=
i
(
\diffd
\delta
'
)
\Rightarrow
\diffd
\alpha
'
=
i
(
\beta
+
\diffd
\delta
'
)
$$
$$
&
\Rightarrow
&
\diffd
\alpha
''
-
\diffd
\alpha
'
=
i
(
\diffd
\delta
'
)
\Rightarrow
\diffd
\alpha
'
=
i
(
\beta
+
\diffd
\delta
'
)
\\
&
\Rightarrow
&
\lbrack
\beta
+
\diffd
\delta
'
\rbrack
=
\lbrack
\beta
\rbrack
$$
Haben jetzt zu zeigen: exakte Sequenz
-
$
q
_
*
\circ
i
_
*
=
(
q
\circ
i
)
_
*
=
0
$
-
$
\diffd
_
*
\circ
q
_
*
\lbrack
\alpha
'
\rbrack
=
\diffd
^
*
(
\lbrack
\alpha
\rbrack
)
=
0
$
, weil
$
\diffd
\alpha
'
=
0
$
weil
$
\alpha
'
$
geschlossene Form. anderes
$
\alpha
'
$
als oben, aber auch aus
$
B
_
k
$
-
$
(
i
_
*
\circ
\diffd
^
*)
(
\lbrack
\alpha
\rbrack
)
=
\lbrack
i
(
\beta
)
\rbrack
=
\lbrack
\diffd\alpha
'
\rbrack
=
0
$
(hier fangen wir mit geschlossenen Formen
$
\alpha
'
$
an und puschen das runter)
$
\Rightarrow
$
die Sequenz ist ein Cokettenkomplex
zu zeigen:
-
$
\ker
i
_
*
\subseteq
\operatorname
{
im
}
\diffd
^
*
$
-
$
\ker
q
_
*
\subseteq
\operatorname
{
im
}
i
_
*
$
-
$
\ker
d
^
*
\subseteq
\operatorname
{
im
}
q
_
*
$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
&
\beta
\arrow
[r, maps to]
&
0
\\
A
_{
k-1
}
\arrow
[d, "\gamma"]
\arrow
[r]
&
A
_
k
\arrow
[d, "\beta'"]
\arrow
[r]
&
A
_{
k+1
}
\arrow
[d]
\\
B
_{
k-1
}
\arrow
[d, "\gamma'"]
\arrow
[r]
&
B
_
k
\arrow
[d]
\arrow
[r]
&
B
_{
k+1
}
\arrow
[d]
\\
C
_{
k-1
}
\arrow
[r]
&
C
_
k
\arrow
[r]
&
C
_{
k+1
}
\end{tikzcd}
\end{center}
*** erster Punkt
Sei
$
\lbrack
\beta
\rbrack
\in
\ker
i
_
*
$
(
$
\beta\in
A
_
k
$
,
$
\diffd
\beta
=
0
$
)
$
\Rightarrow
i
(
\beta
)
=
\diffd
\gamma
$
Sei
$
q
(
\gamma
)
=
:
\gamma
'
$
$$
\diffd
\gamma
'
=
q
(
\diffd
\gamma
)
=
q
(
\beta
'
)
=
q
(
i
(
\beta
))
=
0
\\
\Rightarrow
\lbrack
\gamma
'
\rbrack
\in
H
^{
k
-
1
}
$$
Nach Konstruktion gilt
$
\diffd
^
*
\lbrack
\gamma
'
\rbrack
=
\lbrack
\beta
\rbrack
$
*** zweiter Punkt: Übung
\begin{center}
\begin{tikzcd}
A
_{
k-1
}
\arrow
[d]
\arrow
[r]
&
A
_
k
\arrow
[r]
\arrow
[d]
&
A
_{
k+1
}
\arrow
[d]
\\
B
_{
k-1
}
\arrow
[d]
\arrow
[r]
&
B
_
k
\arrow
[r]
\arrow
[d]
&
B
_{
k+1
}
\arrow
[d]
\\
C
_{
k-1
}
\arrow
[r]
&
C
_
k
\arrow
[r]
&
C
_{
k+1
}
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{}
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
\gamma
\arrow
[r, maps to]
\arrow
[d, maps to]
&
\beta
\arrow
[d, maps to]
\\
{}
\arrow
[d, maps to]
\arrow
[r, maps to]
&
\alpha
'
\arrow
[r, maps to]
\arrow
[d, maps to]
&
\diffd
\alpha
\arrow
[d, maps to]
\\
{}
\arrow
[r, maps to]
&
\alpha
\arrow
[r, maps to]
&
{}
\end{tikzcd}
\end{center}
Sei
$
\alpha
\in
\ker
\diffd
^
*
\Rightarrow
\beta
=
\diffd
\gamma
$
$$
&&
\diffd
(
\alpha
'
-
i
(
\gamma
))
=
\diffd
\alpha
'
-
\underbrace
{
i
(
\underbrace
{
\diffd
\gamma
}_{
=
\beta
}
)
}_{
\diffd
\alpha
'
}
=
0
\\
\Rightarrow
&&
\lbrack
\alpha
'
-
i
(
\gamma
)
\rbrack
\in
H
^
k
(
B
_
*)
,
\quad
q
(
\alpha
'
-
i
(
\gamma
))
=
q
(
\alpha
'
)
=
\alpha
\\
\Rightarrow
\alpha
\in
\operatorname
{
im
}
q
_
*
$$
%2019-06-19
TODO
%TODO Bilchen
TODO
%TODO Bilchen
$
\leftarrow
$
Spalten exakt (
$
\operatorname
{
ker
}
i
=
\operatorname
{
Im
}
q
$
,
$
i
$
injektiv,
$
q
$
surjektiv)
...
...
@@ -3802,8 +4034,8 @@ Beweis:
$$
f
(
x
)
=
\int
_
\alpha
^
x
\varphi
(
t
)
\intd
t
\\
\Rightarrow
f
(
\beta
)
=
\int
_
\alpha
^
\beta
\varphi
(
t
)
\intd
t
=
0
\\
\lbrack
\alpha
,
\beta
\rbrack
\supseteq
\begin
{
matrix
}
\operatorname
{
supp
}
\varphi
\\
\operatorname
{
supp
}
f
\end
{
matrix
}
$$
$
\lbrack
\alpha
,
\beta
\rbrack
\supseteq
\operatorname
{
supp
}
\varphi
,
\operatorname
{
supp
}
f
$
%TODO table
Aus der Rechnung folgt:
$
f
$
kompakt getragen
$$
...
...
@@ -3826,6 +4058,10 @@ Beweis:
% \begin{tikzcd}
% \arrow[r] & H_c^k(M\setminus N) \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & H_c^{k+1}(M\setminus N) \arrow[r] & \ldots
% \end{tikzcd}
TODO
%TODO missing part
...
...
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