2019-06-18

diffgeoII/edit-this-file.tex

@@ -3524,24 +3524,256 @@ exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus
 $H^*(C^*, \diffd)$ misst genau, inwiefern $(C^*, \diffd)$ nicht exakt an $C^k$ ist.
 
 %2019-06-18
-%TODO
-TODO missing 2019-06-18
 
-%2019-06-19
+** Definition: exakt an
 
-Gestern:
+Kettenkomplex $(C^*, \diffd)$ ist \emph{exakt an} $C^k$, $k\in\mathbb Z$, wenn $H^k(C^*, \diffd) = 0$ ($\Leftrightarrow \ker \diffd^k = \operatorname{im} \diffd^{k-1}$) (für ein festes $k$)
 
-Hauptsatz der homologischen Algebra:
+** Definition: kurze exakte Sequenz
 
-eine exakte Sequenz
+Eine kurze exakte Sequenz von \emph{Cokettenkomplexen} $(A_*, \diffd)$, $(B_*, \diffd)$, $(C_*, \diffd)$ ist eine Sequenz der Form
 
-TODO%TODO Bildchen
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0
+\end{tikzcd}
+\end{center}
 
-von Kokettenkomplex gibt eine lange exakte Sequenz in Kohomologien
+wobei $i$, $q$ Cokettenabbildungen sind, sodass $i$ injektiv, $q$ surjektiv, $\operatorname{ker} q = \operatorname{Im} i$. 
 
-TODO%TODO Bilchen
+Ist äquivalent zu $\forall k\in \mathbb Z$ ist 
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+0 \arrow[r] & A_k \arrow[r, "i_k"] & B_k \arrow[r, "q_k"] & C_k \arrow[r] & 0
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+eine kurze exakte Sequenz.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+0 \arrow[d]                              & 0 \arrow[d]                                      & 0 \arrow[d]                  \\
+A_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_k"] & A_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_{k+1}"] & A_{k+2} \arrow[d, "i_{k+2}"] \\
+B_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_k"] & B_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_{k+1}"] & B_{k+2} \arrow[d, "q_{k+2}"] \\
+C_k \arrow[r, "\diffd"]                  & C_{k+1} \arrow[r, "\diffd"]                      & C_{k+2}                     
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+** Beispiel
+
+($i_u^*$ Einschränkung der Form auf $U$, $\ker q$: Formen die auf $U\cap V$ übereinstimmen)
+
+Sei $M=U\cup V$, $U$ offen, $V$ offen, sodass $U\cap V$ offen. Dann ist 
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+    0 \arrow[r] & \Omega^* M \arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] &[+10pt] \Omega^* U \oplus \Omega^* V \arrow[r, "q"] & \Omega^* (U\cap V) \arrow[r] & 0
+  \end{tikzcd}
+\end{center}
+
+eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen ($i_u^*\colon U\hookrightarrow M$, $i_v\colon V\hookrightarrow M$)
+
+$$
+  j^u\colon U\cap V &\hookrightarrow& U
+  \\j^v\colon U\cap V &\hookrightarrow& V
+  \\q&=& (j^u)^* - (j^v)^*
+$$
+
+$\rightsquigarrow q(\alpha, \beta) = \alpha|_{U\cap V} - \beta|_{U\cap V}$
+
+** Satz: Hauptsatz der homologischen Algebra
+
+Sei 
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen. Dann besteht eine lange exakt Sequenz der Cohomologiegruppen:
+
+TODO%TODO
+% \begin{tikzcd}
+%  \arrow[r, "\diffd^*"]              & { {}} \arrow[r, "i_*"]     & { {}} \arrow[r, "q_*"]      
+% & { {}} \arrow[llld, "\diffd^*", to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\
+% { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"] & { {}} \arrow[r, "\diffd^*"] &  \ldots                                       
+% \end{tikzcd}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+  H^{k-1}(C_*, \diffd)
+  \arrow[r, "\diffd^*"]
+  &
+  H^k(A_*, \diffd)
+  \arrow[r, "i_*"]\arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]
+  &
+  H^k(B_*, \diffd)
+  \arrow[r, "q_*"]
+  &
+  H^k(C_*, \diffd)
+  \arrow[dlll, "\diffd^*"',rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}]
+  \\
+  H^{k+1}(A_*, \diffd)
+  \arrow[r, "i_*"]
+  &
+  H^{k+1}(B_*, \diffd)
+  \arrow[r, "q_*"]
+  &
+  H^k(C_*, \diffd)
+  \arrow[r, "\diffd^*"]
+  &
+  \ldots
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Hierbei sind
+$$
+  i_* \colon H^k(A_*) \to H^k(B_*)
+  \\ q_*\colon H^k(B_*) \to H^k(C_*)
+$$
+
+die durch $i$, $q$ induzierte Abbildung.
+
+Randabbildung $\diffd^*$ ist eine Abbildung, die durch $\diffd$ induziert ist (wird im Zuge des Beweises konstruiert).
+
+** Korollar: Mayer-Vietoris-Sequenz
+
+Sei $M = U\cap V$ und $U$, $V$ offen sowie $U\cap V$ offen. Dann besteht eine lange kurze exakte Sequenz:
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+\ldots\arrow[r, "\diffd^*"]& H^k(M)\arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] \arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]& H^k(U)\oplus H^k(V)\arrow[dll,"q_*",rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\H^k(U\cap V)\arrow[r, "\diffd^*"]& H^{k+1}(M)\arrow[r]& \ldots
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Beweis des Satzes:
 
-Nachtrag:
+Wir haben die Randbedingungen $\diffd^*$ zu konstruiren und zu zeigen, dass die Sequenz in der Behauptung exakt ist.
+
+Technik: Diagrammjagt
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+           & 0 \arrow[d]                           & 0 \arrow[d]                       & 0 \arrow[d]                           &                             &        \\
+ \arrow[r] & A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\
+ \arrow[r] & B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\
+ \arrow[r] & C_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d]     & C_{k+2} \arrow[r]           & \ldots \\
+           & 0                                     & 0                                 & 0                                     &                             &       
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+      \phantom{\alpha}              & 0 \arrow[d, maps to]                         & 0 \arrow[d, maps to]                          & 0 \arrow[d, maps to]                                 &           \phantom{\alpha}           \\
+ \arrow[r, maps to] & \phantom{\alpha} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to]       & \delta' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to]          &  \arrow[d, maps to]  \\
+ \arrow[r, maps to] & \gamma' \arrow[d, maps to] \arrow[r]         & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to]  & \diffd \alpha' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] \\
+ \arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to]  & 0 \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to]              &       \phantom{\alpha}               \\
+                    & 0                                            & 0                                             & 0                                                    &                     
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Wollen:
+$$
+  \diffd^*\colon H^k(C_*) &\to& H^{k+1}(A_*)
+  \\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} &&
+  \\ \lbrack\alpha\rbrack &\mapsto& \lbrack\beta\rbrack
+$$
+wobei $\beta$ wie folgt konstruiert ist:
+$\alpha \in c_k$, $\diffd \alpha = 0 \Rightarrow \exists \alpha' \in B_k$ mit $q(\alpha') = \alpha$
+
+$q(\diffd \alpha') = 0$ (Diagramm kommutiert) $\Rightarrow \exists \beta \in A_{k+1}$ mit $i(\beta) = \diffd \alpha'$
+
+Auch gilt: $(\diffd \beta) = \diffd(\diffd \alpha') = 0$, $i$ injektiv $\Rightarrow \diffd \beta = 0$
+
+Konstruktion $\beta$ zu ende.
+
+$\diffd^*$ ist wohldefiniert, denn wenn $\alpha_1 = \alpha + \diffd \gamma$ ein Lift von $\gamma$ (existiert, weil $q$ surjektiv)
+
+$$
+  \rightsquigarrow \diffd \alpha'_1 = \diffd \alpha' \checkmark
+$$
+
+ 1. ? TODO%TODO
+
+ 2. Wenn $\alpha''\in B_k$ ein anderer Lift von $\alpha$ (Elemente mit $q(\alpha'') = \alpha$) Dann gilt: 
+  $$
+     \alpha'' - \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta')
+  $$
+  
+  $$
+    &\Rightarrow& \diffd \alpha'' - \diffd \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta')
+    \\ &\Rightarrow& \lbrack \beta + \diffd \delta' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack
+  $$
+
+Haben jetzt zu zeigen: exakte Sequenz
+
+ - $q_* \circ i_* = (q\circ i)_* = 0$
+ - $\diffd_* \circ q_* \lbrack \alpha' \rbrack = \diffd^* (\lbrack \alpha \rbrack) = 0$, weil $\diffd \alpha' = 0$
+    weil $\alpha'$ geschlossene Form. anderes $\alpha'$ als oben, aber auch aus $B_k$
+ - $(i_*\circ \diffd^*) (\lbrack \alpha \rbrack) = \lbrack i(\beta) \rbrack = \lbrack \diffd\alpha' \rbrack = 0$
+
+(hier fangen wir mit geschlossenen Formen $\alpha'$ an und puschen das runter)
+
+$\Rightarrow$ die Sequenz ist ein Cokettenkomplex
+
+zu zeigen:
+
+ - $\ker i_* \subseteq \operatorname{im}\diffd^*$
+ - $\ker q_* \subseteq \operatorname{im}i_*$
+ - $\ker d^* \subseteq \operatorname{im}q_*$
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+                                       & \beta \arrow[r, maps to]          & 0                 \\
+A_{k-1} \arrow[d, "\gamma"] \arrow[r]  & A_k \arrow[d, "\beta'"] \arrow[r] & A_{k+1} \arrow[d] \\
+B_{k-1} \arrow[d, "\gamma'"] \arrow[r] & B_k \arrow[d] \arrow[r]           & B_{k+1} \arrow[d] \\
+C_{k-1} \arrow[r]                      & C_k \arrow[r]                     & C_{k+1}          
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+*** erster Punkt
+
+Sei $\lbrack \beta \rbrack \in \ker i_*$ ($\beta\in A_k$, $\diffd \beta = 0$)
+
+$\Rightarrow i(\beta) = \diffd \gamma$
+
+Sei $q(\gamma) =: \gamma'$
+
+$$
+  \diffd \gamma' = q(\diffd \gamma) = q(\beta') = q(i(\beta)) = 0
+  \\ \Rightarrow \lbrack \gamma' \rbrack \in H^{k-1}
+$$
+Nach Konstruktion gilt $\diffd^*\lbrack \gamma' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack$
+
+*** zweiter Punkt: Übung
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & A_k \arrow[r] \arrow[d] & A_{k+1} \arrow[d] \\
+B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & B_k \arrow[r] \arrow[d] & B_{k+1} \arrow[d] \\
+C_{k-1} \arrow[r]           & C_k \arrow[r]           & C_{k+1}          
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \\
+{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha' \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \diffd \alpha \arrow[d, maps to] \\
+{} \arrow[r, maps to]           & \alpha \arrow[r, maps to]           & {}          
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Sei $\alpha \in \ker \diffd^* \Rightarrow \beta = \diffd \gamma$
+
+$$
+  && \diffd (\alpha' - i(\gamma)) = \diffd \alpha' - \underbrace{ i(\underbrace{ \diffd \gamma }_{=\beta}) }_{\diffd \alpha'} = 0
+  \\ \Rightarrow && \lbrack \alpha' -i(\gamma) \rbrack \in H^k(B_*), \quad q(\alpha' - i(\gamma)) = q(\alpha') = \alpha
+  \\ \Rightarrow \alpha \in \operatorname{im} q_*
+$$
+
+%2019-06-19
+
+TODO%TODO Bilchen
 
 TODO%TODO Bilchen
 $\leftarrow$ Spalten exakt ($\operatorname{ker} i = \operatorname{Im} q$, $i$ injektiv, $q$ surjektiv)
@@ -3802,8 +4034,8 @@ Beweis:
   $$
     f(x) = \int_\alpha^x \varphi(t) \intd t
     \\ \Rightarrow f(\beta) = \int_\alpha^\beta \varphi(t) \intd t = 0
+    \\ \lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \begin{matrix} \operatorname{supp}\varphi \\ \operatorname{supp}f \end{matrix}
   $$
-  $\lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \operatorname{supp}\varphi, \operatorname{supp}f$%TODO table
   
   Aus der Rechnung folgt: $f$ kompakt getragen 
   $$
@@ -3826,6 +4058,10 @@ Beweis:
   
   
   
+  
+%   \begin{tikzcd}
+%  \arrow[r] & H_c^k(M\setminus N) \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & H_c^{k+1}(M\setminus N) \arrow[r] & \ldots
+% \end{tikzcd}
   TODO%TODO missing part